4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Κανόνες Δ. Συζήτησης
Συνοπτικοί κανόνες για την ομαδική συγγραφή εργασιών μέσα στους χώρους του mathematica.gr
α) Κάθε πρόσκληση για ομαδική εργασία γίνεται στον παρόντα φάκελο.
β) Ένα μέλος του mathematica.gr ορίζεται ως συντονιστής της έκδοσης της εργασίας, είναι ο υπεύθυνος της έκδοσης και ορίζει τις αρμοδιότητες των υπολοίπων μελών. Αυτό μπορεί να γίνει και σε συνεννόηση με άλλα μέλη. Ο συντονιστής της έκδοσης έρχεται σε επαφή με το συμβούλιο των συντονιστών του mathematica.gr και απευθύνεται σε αυτό για οποιοδήποτε απορία/πρόβλημα προκύψει.
γ) Οι λύσεις όλων των θεμάτων γράφονται σε και προαιρετικά μπορεί η δημοσίεση να περιλαμβάνει τη λύση γραμμένη και σε Mathtype.
δ) Στο τέλος αναρτάται ΜΟΝΟ σε μορφή .pdf η έκδοση.
ε) Περιέχεται σε κάθε σελίδα και στο εξώφυλλο το λογότυπο του mathematica.gr
στ) Στο εξώφυλλο αναφέρονται τα επώνυμα μέλη που βοήθησαν στην συγγραφή του δελτίου. Σε περίπτωση που ο αριθμός τους είναι μεγάλος τότε τα ονόματα αντί στο εξώφυλλο αναφέρονται σε ειδικό χώρο στο εσώφυλλο του Δελτίου.
ζ) Την τελική έγκριση του Δελτίου την έχουν οι συντονιστές του mathematica.gr
Συνοπτικοί κανόνες για την ομαδική συγγραφή εργασιών μέσα στους χώρους του mathematica.gr
α) Κάθε πρόσκληση για ομαδική εργασία γίνεται στον παρόντα φάκελο.
β) Ένα μέλος του mathematica.gr ορίζεται ως συντονιστής της έκδοσης της εργασίας, είναι ο υπεύθυνος της έκδοσης και ορίζει τις αρμοδιότητες των υπολοίπων μελών. Αυτό μπορεί να γίνει και σε συνεννόηση με άλλα μέλη. Ο συντονιστής της έκδοσης έρχεται σε επαφή με το συμβούλιο των συντονιστών του mathematica.gr και απευθύνεται σε αυτό για οποιοδήποτε απορία/πρόβλημα προκύψει.
γ) Οι λύσεις όλων των θεμάτων γράφονται σε και προαιρετικά μπορεί η δημοσίεση να περιλαμβάνει τη λύση γραμμένη και σε Mathtype.
δ) Στο τέλος αναρτάται ΜΟΝΟ σε μορφή .pdf η έκδοση.
ε) Περιέχεται σε κάθε σελίδα και στο εξώφυλλο το λογότυπο του mathematica.gr
στ) Στο εξώφυλλο αναφέρονται τα επώνυμα μέλη που βοήθησαν στην συγγραφή του δελτίου. Σε περίπτωση που ο αριθμός τους είναι μεγάλος τότε τα ονόματα αντί στο εξώφυλλο αναφέρονται σε ειδικό χώρο στο εσώφυλλο του Δελτίου.
ζ) Την τελική έγκριση του Δελτίου την έχουν οι συντονιστές του mathematica.gr
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
4_22590
Δίνεται η εξίσωση , .
α) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του , με , παριστάνει κύκλο. Κατόπιν να βρείτε τι παριστάνει η εξίσωση, όταν . (Μονάδες 12)
β) Έστω οι κύκλοι που προκύπτουν από την παραπάνω εξίσωση όταν και αντίστοιχα.
i. Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι και εφάπτονται εξωτερικά. (Μονάδες 6)
ii. Να βρείτε το σημείο επαφής των κύκλων. (Μονάδες 7)
Λύση
α) Για να παριστάνει κύκλο η εξίσωση πρέπει:
Οι παραπάνω κύκλοι έχουν κέντρο και ακτίνα
Αν τότε και η εξίσωση παριστάνει το σημείο
β) Με και έχουμε αντίστοιχα τις εξισώσεις των κύκλων:
με κέντρο και ακτίνα
με κέντρο και ακτίνα
i. Η διάκεντρος των δύο κύκλων έχει μήκος:
Άρα έτσι οι κύκλοι και εφάπτονται εξωτερικά
ii.
Έτσι οι κύκλοι εφάπτονται στο σημείο
Δίνεται η εξίσωση , .
α) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του , με , παριστάνει κύκλο. Κατόπιν να βρείτε τι παριστάνει η εξίσωση, όταν . (Μονάδες 12)
β) Έστω οι κύκλοι που προκύπτουν από την παραπάνω εξίσωση όταν και αντίστοιχα.
i. Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι και εφάπτονται εξωτερικά. (Μονάδες 6)
ii. Να βρείτε το σημείο επαφής των κύκλων. (Μονάδες 7)
Λύση
α) Για να παριστάνει κύκλο η εξίσωση πρέπει:
Οι παραπάνω κύκλοι έχουν κέντρο και ακτίνα
Αν τότε και η εξίσωση παριστάνει το σημείο
β) Με και έχουμε αντίστοιχα τις εξισώσεις των κύκλων:
με κέντρο και ακτίνα
με κέντρο και ακτίνα
i. Η διάκεντρος των δύο κύκλων έχει μήκος:
Άρα έτσι οι κύκλοι και εφάπτονται εξωτερικά
ii.
Έτσι οι κύκλοι εφάπτονται στο σημείο
- Συνημμένα
-
- 4-22590.docx
- (64.72 KiB) Μεταφορτώθηκε 134 φορές
Ηλίας Καμπελής
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
22591
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της υπερβολής που τέμνει τον άξονα στα σημεία και διέρχεται από το σημείο είναι η (Μονάδες 10)
β) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με διάμετρο το τμήμα (Μονάδες 5)
γ) Να αποδείξετε ότι οι μοναδικές κοινές εφαπτόμενες της υπερβολής και του κύκλου είναι οι ευθείες και . (Μονάδες 10)
ΛΥΣΗ
Με την παραδοχή ότι η υπερβολή έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και άξονα συμμετρίας τον έχουμε:
α) Έστω η εξίσωση της υπερβολής. Τα σημεία είναι οι κορυφές της, οπότε . Οι συντεταγμένες του σημείου επαληθεύουν την εξίσωση, επομένως:
Ώστε, , όποτε η εξίσωση της υπερβολής είναι η
β) Ο κύκλος έχει κέντρο το μέσο του που είναι το σημείο και ακτίνα ίση με , επομένως η εξίσωσή του είναι γ) Έστω μια κοινή εφαπτομένη των δύο κωνικών τομών, που εφάπτεται του κύκλου στο σημείο και της υπερβολής στο . Ισχύουν οι σχέσεις
Αφού η εφάπτεται του κύκλου στο έχει εξίσωση
Αφού η εφάπτεται στην υπερβολή στο έχει εξίσωση
1ος τρόπος. Η απόσταση της ευθείας από το κέντρο του κύκλου είναι ίση με την ακτίνα του :
Το σύστημα των εξισώσεων δίνει , επομένως έχει λύσεις ή .
Στην πρώτη περίπτωση από την η κοινή εφαπτόμενη είναι η
Στην δεύτερη περίπτωση από την η κοινή εφαπτόμενη είναι η
2oς τρόπος. Οι εξισώσεις και παριστάνουν την ίδια ευθεία. Έστω ότι δεν είναι της μορφής . Από την συμπεραίνουμε ότι τέμνει τον άξονα των στο σημείο . Από την συμπεραίνουμε ότι θα τον τέμνει στο σημείο . Τα δύο αυτά σημεία συμπίπτουν, επομένως . Οι εξισώσεις και τώρα γράφονται αντίστοιχα και παριστάνουν την ίδια ευθεία όταν άτοπο, γιατί θα πρέπει να είναι της μορφής . Άρα, οι κοινές εφαπτόμενες είναι της μορφής . Αυτές είναι προφανώς μόνο οι και
3ος τρόπος. Έστω ότι έχουμε εφαπτόμενη της μορφής Το σύστημα των και έχει μοναδική λύση. Επομένως η εξίσωση
έχει διακρίνουσα μηδέν:
Ομοίως και το σύστημα των και έχει μοναδική λύση, επομένως και η εξίσωση
έχει διακρίνουσα μηδέν:
Οι ισότητες και με αφαίρεση κατά μέλη δίνουν 5=0, άτοπο. Επομένως δεν υπάρχουν εφαπτόμενες της μορφής . Άρα υπάρχουν μόνο της μορφής . Αυτές είναι προφανώς οι και
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της υπερβολής που τέμνει τον άξονα στα σημεία και διέρχεται από το σημείο είναι η (Μονάδες 10)
β) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με διάμετρο το τμήμα (Μονάδες 5)
γ) Να αποδείξετε ότι οι μοναδικές κοινές εφαπτόμενες της υπερβολής και του κύκλου είναι οι ευθείες και . (Μονάδες 10)
ΛΥΣΗ
Με την παραδοχή ότι η υπερβολή έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και άξονα συμμετρίας τον έχουμε:
α) Έστω η εξίσωση της υπερβολής. Τα σημεία είναι οι κορυφές της, οπότε . Οι συντεταγμένες του σημείου επαληθεύουν την εξίσωση, επομένως:
Ώστε, , όποτε η εξίσωση της υπερβολής είναι η
β) Ο κύκλος έχει κέντρο το μέσο του που είναι το σημείο και ακτίνα ίση με , επομένως η εξίσωσή του είναι γ) Έστω μια κοινή εφαπτομένη των δύο κωνικών τομών, που εφάπτεται του κύκλου στο σημείο και της υπερβολής στο . Ισχύουν οι σχέσεις
Αφού η εφάπτεται του κύκλου στο έχει εξίσωση
Αφού η εφάπτεται στην υπερβολή στο έχει εξίσωση
1ος τρόπος. Η απόσταση της ευθείας από το κέντρο του κύκλου είναι ίση με την ακτίνα του :
Το σύστημα των εξισώσεων δίνει , επομένως έχει λύσεις ή .
Στην πρώτη περίπτωση από την η κοινή εφαπτόμενη είναι η
Στην δεύτερη περίπτωση από την η κοινή εφαπτόμενη είναι η
2oς τρόπος. Οι εξισώσεις και παριστάνουν την ίδια ευθεία. Έστω ότι δεν είναι της μορφής . Από την συμπεραίνουμε ότι τέμνει τον άξονα των στο σημείο . Από την συμπεραίνουμε ότι θα τον τέμνει στο σημείο . Τα δύο αυτά σημεία συμπίπτουν, επομένως . Οι εξισώσεις και τώρα γράφονται αντίστοιχα και παριστάνουν την ίδια ευθεία όταν άτοπο, γιατί θα πρέπει να είναι της μορφής . Άρα, οι κοινές εφαπτόμενες είναι της μορφής . Αυτές είναι προφανώς μόνο οι και
3ος τρόπος. Έστω ότι έχουμε εφαπτόμενη της μορφής Το σύστημα των και έχει μοναδική λύση. Επομένως η εξίσωση
έχει διακρίνουσα μηδέν:
Ομοίως και το σύστημα των και έχει μοναδική λύση, επομένως και η εξίσωση
έχει διακρίνουσα μηδέν:
Οι ισότητες και με αφαίρεση κατά μέλη δίνουν 5=0, άτοπο. Επομένως δεν υπάρχουν εφαπτόμενες της μορφής . Άρα υπάρχουν μόνο της μορφής . Αυτές είναι προφανώς οι και
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
22592
Σε καρτεσιανό επίπεδο θεωρούμε τα σημεία για τα οποία ισχύει η ισότητα
όπου και .
α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία ανήκουν στον κύκλο (Μονάδες 11)
β) Αν και είναι τα σημεία τομής του κύκλου με τον άξονα , τότε:
i) να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης η οποία έχει μεγάλο άξονα το ευθύγραμμο τμήμα και εστίες τα σημεία και . (Μονάδες 10)
ii) να παραστήσετε γραφικά τον κύκλο και την έλλειψη (Μονάδες 4)
ΛΥΣΗ
α) Είναι ,οπότε
β) Η έλλειψη έχει μεγάλο ημιάξονα , εστιακή απόσταση , οπότε ο μικρός ημιάξονας είναι . Επομένως η εξίσωσή της είναι
γ) Στο σχήμα φαίνονται η έλλειψη (μπλε χρώμα) και ο κύκλος (κόκκινο χρώμα):
Σε καρτεσιανό επίπεδο θεωρούμε τα σημεία για τα οποία ισχύει η ισότητα
όπου και .
α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία ανήκουν στον κύκλο (Μονάδες 11)
β) Αν και είναι τα σημεία τομής του κύκλου με τον άξονα , τότε:
i) να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης η οποία έχει μεγάλο άξονα το ευθύγραμμο τμήμα και εστίες τα σημεία και . (Μονάδες 10)
ii) να παραστήσετε γραφικά τον κύκλο και την έλλειψη (Μονάδες 4)
ΛΥΣΗ
α) Είναι ,οπότε
β) Η έλλειψη έχει μεγάλο ημιάξονα , εστιακή απόσταση , οπότε ο μικρός ημιάξονας είναι . Επομένως η εξίσωσή της είναι
γ) Στο σχήμα φαίνονται η έλλειψη (μπλε χρώμα) και ο κύκλος (κόκκινο χρώμα):
- Συνημμένα
-
- 22592.png (8.02 KiB) Προβλήθηκε 3558 φορές
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
4_22574
Θεωρούμε σημεία , .
α) Να δείξετε ότι κινούνται στην ευθεία . (Μονάδες 5)
β) Να βρείτε το συμμετρικό του ως προς την ευθεία . (Μονάδες 5)
γ) Να δείξετε ότι το κινείται, για τις διάφορες τιμές του , στην ευθεία . (Μονάδες 5)
δ) Να εξετάσετε αν οι τρείς ευθείες συντρέχουν και κατόπιν να αιτιολογήσετε το αποτέλεσμα, αφού πρώτα σχεδιάσετε τις τρεις ευθείες. (Μονάδες 5)
Λύση
α) Έστω και , τότε , δηλαδή τα σημεία κινούνται σε ευθεία εξίσωση .
β) Αν το τμήμα τέμνει την ευθεία στο σημείο , το είναι μέσο του , έτσι:
και επειδή ανήκει στην ευθεία θα ισχύει:
Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας είναι: με ,
γιατί αν η θα ήταν ο άξονας που είναι άτοπο ή τα σημεία , θα ταυτίζονται .
Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας (ε): είναι
Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων βρίσκουμε ότι:
και , οπότε
γ) Αν και θα έχουμε:
Άρα το κινείται στην ευθεία .
δ) Οι τρείς ευθείες συντρέχουν όταν το σημείο βρίσκεται στην ευθεία , αφού τότε θα ταυτίζεται με το συμμετρικό του . (Ελπίζω αυτό να ζητούσε η άσκηση) Παρατήρηση: Το άθροισμα των μονάδων του θέματος είναι 20 και όχι 25. Το πρόσεξε ο Γιώργος Λέκκας (αν και δεν ήθελε να αναφέρω το όνομα του )
Θεωρούμε σημεία , .
α) Να δείξετε ότι κινούνται στην ευθεία . (Μονάδες 5)
β) Να βρείτε το συμμετρικό του ως προς την ευθεία . (Μονάδες 5)
γ) Να δείξετε ότι το κινείται, για τις διάφορες τιμές του , στην ευθεία . (Μονάδες 5)
δ) Να εξετάσετε αν οι τρείς ευθείες συντρέχουν και κατόπιν να αιτιολογήσετε το αποτέλεσμα, αφού πρώτα σχεδιάσετε τις τρεις ευθείες. (Μονάδες 5)
Λύση
α) Έστω και , τότε , δηλαδή τα σημεία κινούνται σε ευθεία εξίσωση .
β) Αν το τμήμα τέμνει την ευθεία στο σημείο , το είναι μέσο του , έτσι:
και επειδή ανήκει στην ευθεία θα ισχύει:
Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας είναι: με ,
γιατί αν η θα ήταν ο άξονας που είναι άτοπο ή τα σημεία , θα ταυτίζονται .
Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας (ε): είναι
Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων βρίσκουμε ότι:
και , οπότε
γ) Αν και θα έχουμε:
Άρα το κινείται στην ευθεία .
δ) Οι τρείς ευθείες συντρέχουν όταν το σημείο βρίσκεται στην ευθεία , αφού τότε θα ταυτίζεται με το συμμετρικό του . (Ελπίζω αυτό να ζητούσε η άσκηση) Παρατήρηση: Το άθροισμα των μονάδων του θέματος είναι 20 και όχι 25. Το πρόσεξε ο Γιώργος Λέκκας (αν και δεν ήθελε να αναφέρω το όνομα του )
- Συνημμένα
-
- 4-22574.docx
- (93.2 KiB) Μεταφορτώθηκε 127 φορές
τελευταία επεξεργασία από hlkampel σε Κυρ Ιαν 25, 2015 12:00 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Ηλίας Καμπελής
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
4_23321
Είναι η 4_22579 (viewtopic.php?f=147&t=46870&start=40) με διορθωμένο το τυπογραφικό λάθος.
(Η 4_22579 αφαιρέθηκε)
Είναι η 4_22579 (viewtopic.php?f=147&t=46870&start=40) με διορθωμένο το τυπογραφικό λάθος.
(Η 4_22579 αφαιρέθηκε)
Ηλίας Καμπελής
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
η 4_23341 με ημερομηνία ανάρτησης 27-1-15 είναι και αυτή διόρθωση παλαιοτέρας;hlkampel έγραψε:4_23321
Είναι η 4_22579 (viewtopic.php?f=147&t=46870&start=40) με διορθωμένο το τυπογραφικό λάθος.
(Η 4_22579 αφαιρέθηκε)
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες