2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Στον παρόντα φάκελο μπορούν να γίνουν προσκλήσεις για συγγραφή ομαδικών εργασιών που αφορούν μαθηματικά από μέλη του mathematica.gr. Η θεματολογία μπορεί να ποικίλει ανάλογα με τα ενδιαφέροντα των συγγραφέων.
Κανόνες Δ. Συζήτησης
Συνοπτικοί κανόνες για την ομαδική συγγραφή εργασιών μέσα στους χώρους του mathematica.gr

α) Κάθε πρόσκληση για ομαδική εργασία γίνεται στον παρόντα φάκελο.
β) Ένα μέλος του mathematica.gr ορίζεται ως συντονιστής της έκδοσης της εργασίας, είναι ο υπεύθυνος της έκδοσης και ορίζει τις αρμοδιότητες των υπολοίπων μελών. Αυτό μπορεί να γίνει και σε συνεννόηση με άλλα μέλη. Ο συντονιστής της έκδοσης έρχεται σε επαφή με το συμβούλιο των συντονιστών του mathematica.gr και απευθύνεται σε αυτό για οποιοδήποτε απορία/πρόβλημα προκύψει.
γ) Οι λύσεις όλων των θεμάτων γράφονται σε {\color{orange}\LaTeX} και προαιρετικά μπορεί η δημοσίεση να περιλαμβάνει τη λύση γραμμένη και σε Mathtype.
δ) Στο τέλος αναρτάται ΜΟΝΟ σε μορφή .pdf η έκδοση.
ε) Περιέχεται σε κάθε σελίδα και στο εξώφυλλο το λογότυπο του mathematica.gr
στ) Στο εξώφυλλο αναφέρονται τα επώνυμα μέλη που βοήθησαν στην συγγραφή του δελτίου. Σε περίπτωση που ο αριθμός τους είναι μεγάλος τότε τα ονόματα αντί στο εξώφυλλο αναφέρονται σε ειδικό χώρο στο εσώφυλλο του Δελτίου.
ζ) Την τελική έγκριση του Δελτίου την έχουν οι συντονιστές του mathematica.gr
pap65
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Παρ Δεκ 14, 2012 11:27 pm
Τοποθεσία: ΞΑΝΘΗ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#41

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pap65 » Κυρ Νοέμ 16, 2014 7:24 pm

ΜΠΗΚΑΝ 22 ΝΕΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΚΑΛΟ ΚΟΥΡΑΓΙΟ
Ετοιμάζω με την σειρά τη 2_20050


ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
mathfinder
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 502
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 01, 2009 11:56 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#42

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathfinder » Κυρ Νοέμ 16, 2014 7:36 pm

Καλησπέρα
Φτιάχνω το GI_V_MATHP_2_20072

Θεωρούμε μια ευθεία (ε) και ένα σημείοA(6, -1) εκτός της (ε).
Έστω M(2, 1) η προβολή του Α στην (ε). Να βρείτε:
α) Την εξίσωση της ευθείας (ε).
(Μονάδες 13)
β) Το συμμετρικό του Α ως προς την (ε).
(Μονάδες 12)

ΛΥΣΗ
α) Επειδή \lambda _{AM}=\frac{1-\left(-1 \right)}{2-6}=-\frac{1}{2} και AM\perp \varepsilon είναι \lambda _{\varepsilon }.\lambda _{AM}=-1\Leftrightarrow \lambda _{\varepsilon }=2
Άρα η εξίσωση της (ε) είναι : \varepsilon : y-y_{M}=\lambda _{\varepsilon }\left(x-x_{M} \right)\Leftrightarrow y-1=2\left(x-2 \right)\Leftrightarrow y=2x-3 .
β) Έστω B\left(x_{B},y_{B} \right) το συμμετρικό του Α ως προς την (ε) . Τότε ισχύει \frac{6+x_{B}}{2}=2\Leftrightarrow x_{B}=-2 και \frac{-1+y_{B}}{2}=1\Leftrightarrow y_{B}=3 .
Άρα είναι B\left(-2,3 \right) .

Αθ. Μπεληγιάννης
Συνημμένα
GI_V_MATHP_2_20072 .docx
(43.67 KiB) Μεταφορτώθηκε 106 φορές
τελευταία επεξεργασία από mathfinder σε Κυρ Νοέμ 16, 2014 8:13 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Never stop learning , because life never stops teaching.
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 944
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#43

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Κυρ Νοέμ 16, 2014 7:50 pm

GI_V_MATHP_2_20052

Δίνονται τα διανύσματα \vec \alpha ,\vec \beta με \left| {\vec \alpha } \right| = 1, \left( {\vec \alpha  + 2\vec \beta } \right) \cdot \vec \beta  = 7

και \vec \alpha  \cdot \vec \beta  =  - 1.
α) Να υπολογίσετε τα {\vec \alpha ^2} και \left| {\vec \beta } \right| (Μονάδες 6)
β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος \vec \alpha  + 2\vec \beta (Μονάδες 9)
γ) Να βρείτε την προβολή του \vec \alpha  + 2\vec \beta στο διάνυσμα \vec \beta (Μονάδες 10)

Λύση

α) Είναι: {\vec \alpha ^2} = {\left| {\vec \alpha } \right|^2} = 1 και

\left( {\vec \alpha  + 2\vec \beta } \right) \cdot \vec \beta  = 7 \Leftrightarrow \vec \alpha  \cdot \vec \beta  + 2{\vec \beta ^2} = 7 \Leftrightarrow  - 1 + 2\left| {{{\vec \beta }^2}} \right| = 7 \Leftrightarrow{\left| {\vec \beta } \right|^2} = 4 \Leftrightarrow \left| {\vec \beta } \right| = 2

β) Είναι {\left| {\vec \alpha  + 2\vec \beta } \right|^2} = {\left( {\vec \alpha  + 2\vec \beta } \right)^2} = {\vec \alpha ^2} + 4\vec \alpha  \cdot \vec \beta  + 4{\vec \beta ^2} = 1 - 4 + 16 = 13

Έτσι \left| {\vec \alpha  + 2\vec \beta } \right| = \sqrt {13}

γ) Ισχύει: \vec \beta  \cdot \pi \rho o{\beta _{\vec \beta }}\left( {\vec \alpha  + 2\vec \beta } \right) = \left( {\vec \alpha  + 2\vec \beta } \right) \cdot \vec \beta  \Leftrightarrow \vec \beta  \cdot \pi \rho o{\beta _{\vec \beta }}\left( {\vec \alpha  + 2\vec \beta } \right) = 7\;\left( 1 \right)

Όμως \pi \rho o{\beta _{\vec \beta }}\left( {\vec \alpha  + 2\vec \beta } \right)//\vec \beta  \Leftrightarrow \pi \rho o{\beta _{\vec \beta }}\left( {\vec \alpha  + 2\vec \beta } \right) = \lambda \vec \beta ,\lambda  \in R\;\left( 2 \right)

\left( 1 \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right)} \lambda {\vec \beta ^2} = 7 \Rightarrow 4\lambda  = 7 \Leftrightarrow \lambda  = \dfrac{7}{4}

Από τη \left( 2 \right) \Rightarrow \pi \rho o{\beta _{\vec \beta }}\left( {\vec \alpha  + 2\vec \beta } \right) = \dfrac{7}{4}\vec \beta
τελευταία επεξεργασία από hlkampel σε Κυρ Νοέμ 16, 2014 8:09 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ηλίας Καμπελής
Νίκος Ξενιάδης
Δημοσιεύσεις: 24
Εγγραφή: Τετ Οκτ 16, 2013 9:35 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#44

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νίκος Ξενιάδης » Κυρ Νοέμ 16, 2014 7:54 pm

Nα υπολογίσετε το ύψους ΓΔ καθως και την εξίσωση ευθείας πάνω στην οποία βρίσκετε αυτό ΑΣΚΗΣΗ2-20067 . Από τις φρέσκες !
Τι θέλει να πεί ; Αν θέλει το μήκος , μήπως πρώτα να ζήταγε την εξίσωση ευθείας πάνω στην οποία είναι το ύψος ; Πραγματικά έχω την περιέργεια να δω . Αλλά πιστεύω σε μια νέα απόσυρση
τελευταία επεξεργασία από Νίκος Ξενιάδης σε Κυρ Νοέμ 16, 2014 7:57 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#45

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Κυρ Νοέμ 16, 2014 7:57 pm

GI_V_MATHP_2_20053

Δίνονται τα διανύσματα \displaystyle{\vec a,\vec \beta} με \displaystyle{|\vec \beta|=2|\vec a|=4} και \displaystyle{\vec a \cdot \vec \beta =-8}

α) Να υπολογίσετε τη γωνία \displaystyle{\left(\widehat{\vec a,\vec\beta}\right)}

β) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{\vec \beta+2\vec a=\vec 0}

Λύση

α) Παρατηρούμε ότι \displaystyle{\vec a \cdot \vec \beta =-|\vec a||| \vec \beta|} άρα τα διανύσματα είναι αντίρροπα και επομένως έχουν γωνία \displaystyle{180^o}.

β) Αφού τα διανύσματα είναι αντίρροπα, θα υπάρχει \displaystyle{\lambda <0} τέτοιος ώστε \displaystyle{\vec \beta=\lambda \vec a}.

Όμως \displaystyle{|\vec \beta|=2|\vec a|} άρα \displaystyle{\lambda=-2} και έτσι \displaystyle{\vec \beta=-2 \vec a\Rightarrow \vec \beta+2 \vec a=\vec 0}.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Απόκης σε Κυρ Νοέμ 16, 2014 8:05 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Γιώργος
ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ
Δημοσιεύσεις: 73
Εγγραφή: Παρ Μάιος 17, 2013 8:15 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#46

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ » Κυρ Νοέμ 16, 2014 7:58 pm

Καλησπέρα. ανεβάζω την 2 – 20053
Συνημμένα
ΘΕΜΑ 2 – 20053.docx
(25.84 KiB) Μεταφορτώθηκε 124 φορές


ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ
Δημοσιεύσεις: 73
Εγγραφή: Παρ Μάιος 17, 2013 8:15 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#47

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ » Κυρ Νοέμ 16, 2014 8:07 pm

Ετοιμάζω την 2-20056


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#48

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Κυρ Νοέμ 16, 2014 8:11 pm

Γιώργος Απόκης έγραψε: GI_V_MATHP_2_20053

Δίνονται τα διανύσματα \displaystyle{\vec a,\vec \beta} με \displaystyle{|\vec \beta|=2|\vec a|=4} και \displaystyle{\vec a \cdot \vec \beta =-8}

α) Να υπολογίσετε τη γωνία \displaystyle{\left(\widehat{\vec a,\vec\beta}\right)}

β) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{\vec \beta+2\vec a=\vec 0}

Λύση

α) Παρατηρούμε ότι \displaystyle{\vec a \cdot \vec \beta =-|\vec a||| \vec \beta|} άρα τα διανύσματα είναι αντίρροπα και επομένως έχουν γωνία \displaystyle{180^o}.

β) Αφού τα διανύσματα είναι αντίρροπα, θα υπάρχει \displaystyle{\lambda <0} τέτοιος ώστε \displaystyle{\vec \beta=\lambda \vec a}.

Όμως \displaystyle{|\vec \beta|=2|\vec a|} άρα \displaystyle{\lambda=-2} και έτσι \displaystyle{\vec \beta=-2 \vec a\Rightarrow \vec \beta+2 \vec a=\vec 0}.
ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ έγραψε:Καλησπέρα. ανεβάζω την 2 – 20053
Συγχρονισμός! Στις 7.57 έγραψα ότι θα ασχοληθώ με την άσκηση, ο Γιώργος την είχε ήδη λύσει και την ανέβασε στις 7.58 και λίγο μετά ανέβασα τη δική μου. :D

Βλέπω ότι διαφέρουν λίγο στο πρώτο ερώτημα...


Γιώργος
ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ
Δημοσιεύσεις: 73
Εγγραφή: Παρ Μάιος 17, 2013 8:15 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#49

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ » Κυρ Νοέμ 16, 2014 8:17 pm

Γιώργος Απόκης έγραψε:
Γιώργος Απόκης έγραψε: GI_V_MATHP_2_20053

Δίνονται τα διανύσματα \displaystyle{\vec a,\vec \beta} με \displaystyle{|\vec \beta|=2|\vec a|=4} και \displaystyle{\vec a \cdot \vec \beta =-8}

α) Να υπολογίσετε τη γωνία \displaystyle{\left(\widehat{\vec a,\vec\beta}\right)}

β) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{\vec \beta+2\vec a=\vec 0}

Λύση

α) Παρατηρούμε ότι \displaystyle{\vec a \cdot \vec \beta =-|\vec a||| \vec \beta|} άρα τα διανύσματα είναι αντίρροπα και επομένως έχουν γωνία \displaystyle{180^o}.

β) Αφού τα διανύσματα είναι αντίρροπα, θα υπάρχει \displaystyle{\lambda <0} τέτοιος ώστε \displaystyle{\vec \beta=\lambda \vec a}.

Όμως \displaystyle{|\vec \beta|=2|\vec a|} άρα \displaystyle{\lambda=-2} και έτσι \displaystyle{\vec \beta=-2 \vec a\Rightarrow \vec \beta+2 \vec a=\vec 0}.
ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ έγραψε:Καλησπέρα. ανεβάζω την 2 – 20053
Συγχρονισμός! Στις 7.57 έγραψα ότι θα ασχοληθώ με την άσκηση, ο Γιώργος την είχε ήδη λύσει και την ανέβασε στις 7.58 και λίγο μετά ανέβασα τη δική μου. :D

Βλέπω ότι διαφέρουν λίγο στο πρώτο ερώτημα...
Με συγχωρείς δεν είχα δει ότι την ετοίμαζες!


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#50

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Κυρ Νοέμ 16, 2014 8:19 pm

GI_V_MATHP_2_20059

Δίνονται τα διανύσματα \displaystyle{\vec a=(-1,3),~\vec\beta=\left(-2,-\frac{1}{2}\right)}.

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος \displaystyle{\vec u=\vec a-2\vec \beta}.

β) Να βρείτε το θετικό αριθμό \displaystyle{x} για τον οποία τα διανύσματα \displaystyle{\vec u} και \displaystyle{\vec v=(x^2,x-1)} είναι κάθετα.

Λύση

α) Έχουμε \displaystyle{\vec u=(-1,3)-2\left(-2,-\frac{1}{2}\right)=(-1,3)+(4,1)=(3,4)}

β) Ισχύει \displaystyle{\vec u\perp \vec v\Leftrightarrow \vec u\cdot\vec v=0\Leftrightarrow 3x^2+4(x-1)=0\Leftrightarrow 3x^2+4x-4=0}.

Το τριώνυμο έχει \displaystyle{\Delta=64} και ρίζες \displaystyle{x=-2<0,~x=\frac{2}{3}>0} από τις οποίες δεκτή είναι η \displaystyle{x=\frac{2}{3}}.


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#51

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Κυρ Νοέμ 16, 2014 8:20 pm

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ έγραψε:
Γιώργος Απόκης έγραψε:
Γιώργος Απόκης έγραψε: GI_V_MATHP_2_20053

Δίνονται τα διανύσματα \displaystyle{\vec a,\vec \beta} με \displaystyle{|\vec \beta|=2|\vec a|=4} και \displaystyle{\vec a \cdot \vec \beta =-8}

α) Να υπολογίσετε τη γωνία \displaystyle{\left(\widehat{\vec a,\vec\beta}\right)}

β) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{\vec \beta+2\vec a=\vec 0}

Λύση

α) Παρατηρούμε ότι \displaystyle{\vec a \cdot \vec \beta =-|\vec a||| \vec \beta|} άρα τα διανύσματα είναι αντίρροπα και επομένως έχουν γωνία \displaystyle{180^o}.

β) Αφού τα διανύσματα είναι αντίρροπα, θα υπάρχει \displaystyle{\lambda <0} τέτοιος ώστε \displaystyle{\vec \beta=\lambda \vec a}.

Όμως \displaystyle{|\vec \beta|=2|\vec a|} άρα \displaystyle{\lambda=-2} και έτσι \displaystyle{\vec \beta=-2 \vec a\Rightarrow \vec \beta+2 \vec a=\vec 0}.
ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ έγραψε:Καλησπέρα. ανεβάζω την 2 – 20053
Συγχρονισμός! Στις 7.57 έγραψα ότι θα ασχοληθώ με την άσκηση, ο Γιώργος την είχε ήδη λύσει και την ανέβασε στις 7.58 και λίγο μετά ανέβασα τη δική μου. :D

Βλέπω ότι διαφέρουν λίγο στο πρώτο ερώτημα...
Με συγχωρείς δεν είχα δει ότι την ετοίμαζες!
Δεν πειράζει Γιώργο. Είναι λογικό αφού οι πρώτες δύο δημοσιεύσεις ενδέχεται να διέφεραν κατά δευτερόλεπτα!


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1406
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#52

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Κυρ Νοέμ 16, 2014 8:24 pm

20057
Συνημμένα
20057.docx
(41.04 KiB) Μεταφορτώθηκε 135 φορές
τελευταία επεξεργασία από exdx σε Κυρ Νοέμ 16, 2014 11:18 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#53

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Κυρ Νοέμ 16, 2014 8:25 pm

GI_V_MATHP_2_20058

Δίνονται τα διανύσματα \displaystyle{\vec a=(-1,\sqrt{3}),~\vec \beta=(\sqrt{3},3)}. Να υπολογίσετε

α) την γωνία \displaystyle{\left(\widehat{\vec a,\vec\beta}\right)}

β) το διάνυσμα \displaystyle{\vec u=\vec a^2\vec \beta-(\vec a\cdot \vec\beta)\vec a}.

Λύση

α) Υπολογίζουμε \displaystyle{\vec a\cdot \vec\beta=-1\cdot\sqrt{3}+3\sqrt{3}=2\sqrt{3}},

\displaystyle{|\vec a|=\sqrt{1+3}=2} και \displaystyle{|\vec \beta|=\sqrt{3+9}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}} επομένως

\displaystyle{\sigma \upsilon \nu\left(\widehat{\vec a,\vec\beta}\right)=\frac{\vec a\cdot \vec\beta}{|\vec a\||\vec\beta|}=\frac{2\sqrt{3}}{2\cdot 2\sqrt{3}}=\frac{1}{2} } άρα η γωνία είναι \displaystyle{60^o}.

β) Ισχύει : \displaystyle{\vec a^2=|\vec a^2|=2^2=4} και \displaystyle{(\vec a\cdot \vec\beta)^2=(2\sqrt{3})^2=12}

άρα \displaystyle{\vec u=4\vec\beta-12\vec a=4(\sqrt{3},3)-12(-1,\sqrt{3})=(4\sqrt{3}+12,12-12\sqrt{3})}.


Γιώργος
ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ
Δημοσιεύσεις: 73
Εγγραφή: Παρ Μάιος 17, 2013 8:15 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#54

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ » Κυρ Νοέμ 16, 2014 8:39 pm

Ανεβάζω το ΘΕΜΑ 2 – 20056
Συνημμένα
ΘΕΜΑ 2 – 20056.docx
(32.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 136 φορές


mathfinder
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 502
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 01, 2009 11:56 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#55

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathfinder » Κυρ Νοέμ 16, 2014 8:46 pm

Στο συνημμένο η λύση του θέματος GI_V_MATHP_2_20071

Αθ. Μπεληγιάννης
Συνημμένα
GI_V_MATHP_2_20071.docx
(55.08 KiB) Μεταφορτώθηκε 129 φορές


Never stop learning , because life never stops teaching.
pap65
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Παρ Δεκ 14, 2012 11:27 pm
Τοποθεσία: ΞΑΝΘΗ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#56

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pap65 » Κυρ Νοέμ 16, 2014 9:08 pm

ΘΕΜΑ 2_20050

Δίνονται τα διανύσματα \displaystyle{\overrightarrow{\alpha }=\left( 1,7 \right)} και \displaystyle{\overrightarrow{\beta }=\left( 2,4 \right)}

α) Να βρεθεί η προβολή του \displaystyle{\overrightarrow{\alpha }} πάνω στο \displaystyle{\overrightarrow{\beta }} (Μονάδες 10)

β) Να αναλύσετε το \displaystyle{\overrightarrow{\alpha }} σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες, από τις οποίες, η μία να είναι παράλληλη στο

\displaystyle{\overrightarrow{\beta }} (Μονάδες 15)


ΛΥΣΗ

α) Ο τύπος για την προβολή διανύσματος σε διάνυσμα είναι :


\displaystyle{\overrightarrow{\alpha }\cdot \overrightarrow{\beta }=\overrightarrow{\beta }\cdot \pi \rho o{{\beta }_{\overrightarrow{\beta }}}\overrightarrow{\alpha  
}\quad \left( 1 \right)}.

Ισχύει ότι : \displaystyle{\pi \rho o{{\beta }_{\overrightarrow{\beta }}}\overrightarrow{\alpha }//\,\overrightarrow{\beta }\Leftrightarrow \pi \rho o{{\beta  
}_{\overrightarrow{\beta }}}\overrightarrow{\alpha }=\kappa \cdot \overrightarrow{\beta }}

Άρα \displaystyle{\pi \rho o{{\beta }_{\overrightarrow{\beta }}}\overrightarrow{\alpha }=\kappa \cdot \overrightarrow{\beta }=\left( 2\kappa ,4\kappa  \right)}

Έτσι από την ( 1 ) έχουμε:

\displaystyle{\overrightarrow{\alpha }\cdot \overrightarrow{\beta }=\overrightarrow{\beta }\cdot \pi \rho o{{\beta }_{\overrightarrow{\beta }}}\overrightarrow{\alpha }\Leftrightarrow \left( 1,7 \right)\left( 2,4 \right)=\left( 2,4 \right)\left( 2\kappa ,4\kappa  \right)}

\displaystyle{\Leftrightarrow 1\cdot 2+4\cdot 7=2\cdot 2\kappa +4\cdot 4\kappa \Leftrightarrow 30=20\kappa \Leftrightarrow \kappa =\frac{3}{2}}

Επομένως \displaystyle{\pi \rho o{{\beta }_{\overrightarrow{\beta }}}\overrightarrow{\alpha }=\left( 4,6 \right)}.

β) Θέλουμε να αναλύσουμε το \displaystyle{\overrightarrow{\alpha }} σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες, από τις οποίες, η μία να είναι παράλληλη στο \displaystyle{\overrightarrow{\beta }} .

Δηλαδή \displaystyle{\overrightarrow{\alpha }=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\quad \left( 2 \right)}

[attachment=1]2_20050.png[/attachment]

Όπως φαίνεται από το σχήμα η συνιστώσα \overrightarrow{u} είναι η η προβολή του \displaystyle{\overrightarrow{\alpha }} πάνω στο

\displaystyle{\overrightarrow{\beta }}

\displaystyle{\overrightarrow{u}=\pi \rho o{{\beta }_{\overrightarrow{\beta }}}\overrightarrow{\alpha }=\left( 4,6 \right)}

Άρα από την σχέση ( 2 )

\left( 1,7 \right)=\overrightarrow{v}+\left( 4,6 \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{v}=\left( 1,7 \right)-\left( 4,6 \right)=\left( -3,1 \right)

Επομένως \displaystyle{\overrightarrow{\alpha }=\left( -3,1 \right)+\left( 4,6 \right)}
Συνημμένα
2_20050.docx
(77.73 KiB) Μεταφορτώθηκε 105 φορές
2_20050.png
2_20050.png (5.79 KiB) Προβλήθηκε 2835 φορές


ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
mathfinder
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 502
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 01, 2009 11:56 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#57

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathfinder » Κυρ Νοέμ 16, 2014 9:09 pm

Στο συνημμένο η λύση του θέματος GI_V_MATHP_2_20070

Αθ. Μπεληγιάννης
Συνημμένα
GI_V_MATHP_2_20070.docx
(55.01 KiB) Μεταφορτώθηκε 118 φορές


Never stop learning , because life never stops teaching.
pap65
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Παρ Δεκ 14, 2012 11:27 pm
Τοποθεσία: ΞΑΝΘΗ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#58

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pap65 » Κυρ Νοέμ 16, 2014 9:13 pm

Ετοιμάζω τη 2_20060


ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
pap65
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Παρ Δεκ 14, 2012 11:27 pm
Τοποθεσία: ΞΑΝΘΗ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#59

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pap65 » Κυρ Νοέμ 16, 2014 9:55 pm

[size=150]ΘΕΜΑ 2_20060[/size]

Δίνονται τα διανύσματα \overrightarrow{\alpha }=\left( 1,-1 \right) και \overrightarrow{\beta }=\left( 3,0 \right) .

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος \displaystyle{\overrightarrow{u}=4\overrightarrow{\alpha }-\frac{1}{3}\overrightarrow{\beta }} (Μονάδες 10)

β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που έχει συντελεστή διεύθυνσης\frac{{{\overrightarrow{u}}^{2}}}{5}

και διέρχεται από το σημείο A\left( 1,\overrightarrow{\alpha }\cdot \overrightarrow{\beta }+2 \right) . (Μονάδες 15)


ΛΥΣΗ


α) Είναι : \displaystyle{\overrightarrow{u}=4\overrightarrow{\alpha }-\frac{1}{3}\overrightarrow{\beta }=4\cdot \left( 1,-1 \right)-\frac{1}{3}\cdot \left( 3,0 \right)=\left( 4,-4 \right)-\left( 1,0 \right)=\left( 3,-4 \right)}

β) Είναι : \left| \overrightarrow{u} \right|=\sqrt{{{3}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5

Άρα \frac{{{\overrightarrow{u}}^{2}}}{5}=\frac{{{\left| \overrightarrow{u} \right|}^{2}}}{5}=\frac{{{5}^{2}}}{5}=5

Ακόμη \overrightarrow{\alpha }\cdot \overrightarrow{\beta }=\left( 1,-1 \right)\cdot \left( 3,0 \right)=1\cdot 3-1\cdot 0=3-0=3

Συνεπώς A\left( 1,5 \right)

Επομένως η ευθεία που αναζητούμε περνάει από το σημείο A\left( 1,5 \right) και έχει συντελεστή διεύθυνσης \lambda =5 .

Εφαρμόζουμε τον τύπο \varepsilon :y-{{y}_{0}}=\lambda \left( x-{{x}_{0}} \right)

Έτσι \varepsilon :y-5=5\cdot \left( x-1 \right)\Leftrightarrow y-5=5x-5

Δηλαδή \varepsilon :y=5x
Συνημμένα
2_20060.docx
(50.73 KiB) Μεταφορτώθηκε 102 φορές


ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
mathfinder
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 502
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 01, 2009 11:56 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#60

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathfinder » Κυρ Νοέμ 16, 2014 9:57 pm

Ανεβάζω και την άσκηση GI_V_MATHP_2_20069 η οποία είναι όμοια με την GI_V_MATHP_2_20050 .

Αθ. Μπεληγιάννης
Συνημμένα
GI_V_MATHP_2_20069.docx
(45.26 KiB) Μεταφορτώθηκε 153 φορές


Never stop learning , because life never stops teaching.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΜΑΔΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΕΛΩΝ ΤΟΥ MATHEMATICA.GR”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης