2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

pap65 · #61

Ετοιμάζω την 2_20061

kathorad · #62

Kαλησπέρα σε όλους.
Είμαι ο asemarak και αντιμετωπίζω ένα πρόβλημα με τη σύνδεσή μου στο mathematica (από τότε που άλλαξα το δηλωμένο email μου). Έχω στείλει mail στο info@mathematica.gr, αλλά δε λύθηκε το πρόβλημα, ούτε πήρα απάντηση.
Μέχρι να λυθεί το πρόβλημά μου θα γράφω σαν kathorad (δημιούργησα άλλον λογαριασμό).

Ετοιμάζω την GI_V_MATHP_2_20055

mathfinder · #63

Ανεβάζω και τη λύση της άσκησης GI_V_MATHP_2_20068

Αθ. Μπεληγιάννης

pap65 · #64

ΘΕΜΑ 2_20061

Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία

$\displaystyle{\Alpha \left( 1,1 \right)\text{ },\text{ }\Gamma \left( 4,3 \right)}$

και
$\displaystyle{\Delta \left( 2,3 \right)}$
.
α) Να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του ΑΒΓΔ . (Μονάδες 9)

β) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Κ των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ , καθώς και τις συντεταγμένες της κορυφής Β. (Μονάδες 16)

ΛΥΣΗ

: 2_20061.png (5.22 KiB) Προβλήθηκε 6497 φορές

α) Είναι $\overrightarrow{A\Delta }=\left( 2-1,3-1 \right)=\left( 1,2 \right)$

και
$\displaystyle{\overrightarrow{\Delta \Gamma }=\left( 4-2,3-3 \right)=\left( 2,0 \right)}$

Έτσι $\left( B\Gamma \right)=\left( A\Delta \right)=\left| \overrightarrow{A\Delta } \right|=\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{5}$

και $\left( AB \right)=\left( \Delta \Gamma \right)=\left| \overrightarrow{\Delta \Gamma } \right|=\sqrt{{{2}^{2}}+{{0}^{2}}}=\sqrt{4}=2$

β) Το σημείο Κ είναι μέσο του $A\Gamma$ , επομένως οι συντεταγμένες του σημείου Κ είναι:

$\displaystyle{K\left( \frac{{{x}_{A}}+{{x}_{\Gamma }}}{2},\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{\Gamma }}}{2} \right)}$ ,

άρα
$\displaystyle{K\left( \frac{1+4}{2},\frac{1+3}{2} \right)=K\left( \frac{5}{2},2 \right)}$

Έστω $B\left( x,y \right)$ , άρα

$\displaystyle{\overrightarrow{AB}=\left( x-1,y-1 \right)}$

Είναι
$\displaystyle{\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{\Delta \Gamma }\Leftrightarrow \left( x-1,y-1 \right)=\left( 2,0 \right)\Leftrightarrow x-1=2}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow x-1=2}$

και y-1=0

$\displaystyle{\Leftrightarrow x=3}$

και y=1

Επομένως $B\left( 3,1 \right)$

και
$\displaystyle{\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{\Delta \Gamma }}$

Ισχύει
$\displaystyle{\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{\Delta \Gamma }}$

mathfinder · #65

Ανεβάζω και τη λύση της άσκησης GI_V_MATHP_2_20067 έχοντας διορθώσει λίγο την εκφώνηση . Νομίζω ότι πρόκειται για τυπογραφικό .

Αθ. Μπεληγιάννης

kathorad · #66

GI_V_MATHP_2_20055

Θεωρούμε τα σημεία Α(α+1, 3), Β(α, 4) και Γ(-4, 5α+4), $\alpha \in \mathbb{R}$ .

α) Να βρείτε τα διανύσματα $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{B\Gamma }$ . (Μονάδες 8)

β) Να βρείτε για ποια τιμή του α, τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. (Μονάδες 10)

γ) Αν α=1, να βρείτε αριθμό λ ώστε $\overrightarrow{A\Gamma }= \lambda \overrightarrow{AB}$ . (Μονάδες 7)

ΛΥΣΗ

α) $\overrightarrow{AB}=\left ( x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A} \right )=\left ( \alpha -\alpha -1,4-3 \right )=\left ( -1,1 \right )$ και

$\overrightarrow{B\Gamma }=\left ( x_{\Gamma }-x_{B},y_{\Gamma }-y_{B} \right )=\left ( -4 -\alpha ,5\alpha +4-4 \right )=\left ( -4 -\alpha ,5\alpha \right )$ .

β) Τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά αν και μόνο αν $\overrightarrow{AB}//\overrightarrow{B\Gamma }\Leftrightarrow det\left ( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{B\Gamma } \right )=0\Leftrightarrow \begin{vmatrix} -1 &1 \\ -4-\alpha & 5\alpha \end{vmatrix}=0$

$\Leftrightarrow -5\alpha -\left ( -4-\alpha \right )=0 \Leftrightarrow -4\alpha +4=0\Leftrightarrow \alpha =1$ .

γ) Για α=1 είναι Α(2, 3), Β(1, 4) και Γ(-4, 9).

Άρα $\overrightarrow{A\Gamma }=(x_{\Gamma}-x_{A},y_{\Gamma}-y_{A})= \left ( -4-2,9-3 \right )=\left ( -6,6 \right )$ .

Έτσι έχουμε: $\overrightarrow{A\Gamma }= \lambda \overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \left ( -6,6 \right )=\lambda \left ( -1,1 \right )\Leftrightarrow \left \left ( -6,6 \right )=( -\lambda ,\lambda \right )$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -6=-\lambda \\ 6=\lambda \end{matrix}\right\Leftrightarrow \lambda =6$ .

mathfinder · #67

Στο συνημμένο η λύση της GI_V_MATHP_2_20066 .

Αθ. Μπεληγιάννης

pap65 · #68

ετοιμάζω την 2_20054
ΚΟΥΡΑΓΙΟ 4 ΕΜΕΙΝΑΝ

mathfinder · #69

Και η λύση της GI_V_MATHP_2_20065 (τελευταία για απόψε ).

Αθ. Μπεληγιάννης

pap65 · #70

ΘΕΜΑ 2_20054

Θεωρούμε τα σημεία $\displaystyle{P,\Lambda ,K}$ και του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση

$\displaystyle{5\overrightarrow{P\Lambda }=2\overrightarrow{PK}\text{ }+3\overrightarrow{PM}}$

α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία $K,\Lambda$ και είναι συνευθειακά.

(Μονάδες 10)
β) Για τα παραπάνω σημεία $K,\Lambda$ και να δείξετε ότι ισχύει:

$\displaystyle{2\overrightarrow{A\Lambda }+3\overrightarrow{B\Lambda }+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BK}}$

όπου και είναι σημεία του επιπέδου.
(Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ

α) Ισχύει: $\displaystyle{5\overrightarrow{P\Lambda }=2\overrightarrow{PK}\text{ }+3\overrightarrow{PM}\Leftrightarrow 2\overrightarrow{P\Lambda }+3\overrightarrow{P\Lambda }=2\overrightarrow{PK}\text{ }+3\overrightarrow{PM}}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 2\overrightarrow{P\Lambda }-2\overrightarrow{PK}=3\overrightarrow{PM}-3\overrightarrow{P\Lambda }\Leftrightarrow 2\left( \overrightarrow{P\Lambda }-\overrightarrow{PK} \right)=3\left( \overrightarrow{PM}-\overrightarrow{P\Lambda } \right)}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 2\overrightarrow{K\Lambda }=3\overrightarrow{\Lambda M}\Leftrightarrow \overrightarrow{K\Lambda }=\frac{3}{2}\overrightarrow{\Lambda M}}$

Επομένως $\displaystyle{\overrightarrow{K\Lambda }//\overrightarrow{\Lambda M}}$ . Επιπλέον έχουν ένα κοινό σημείο το $\Lambda$ .

Άρα τα σημεία $K,\Lambda$ και είναι συνευθειακά.

β) Αν σημείο αναφοράς τότε

$\displaystyle{2\overrightarrow{A\Lambda }+3\overrightarrow{B\Lambda }+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BK}\quad \left( 1 \right)}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 2\left( \overrightarrow{P\Lambda }-\overrightarrow{PA} \right)+3\left( \overrightarrow{P\Lambda }-\overrightarrow{PB} \right)+2\left( \overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PM} \right)=\overrightarrow{PK}-\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PM}-\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PK}-\overrightarrow{PB}}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 2\overrightarrow{P\Lambda }-2\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{P\Lambda }-3\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PB}-2\overrightarrow{PM}-\overrightarrow{PK}+\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PK}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{0}}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 5\overrightarrow{P\Lambda }-3\overrightarrow{PM}-2\overrightarrow{PK}=\overrightarrow{0}}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 5\overrightarrow{P\Lambda }=3\overrightarrow{PM}+2\overrightarrow{PK}}$ που ισχύει .

Επομένως ισχύει και η αρχική σχέση $\left( 1 \right)$ .

ΚΑΛΗΝΥΧΤΑ!!

ΕΜΕΙΝΑΝ : 2-20062
2_20063
2_20073[/b]

mathfinder · #71

Στο συνημμένο η GI_V_MATHP_2_20073 (αν και ξεκίνησα αντίστροφα τη λίστα , την είχα ξεχάσει)

Αθ. Μπεληγιάννης

#72

Τι έμεινε να κάνω και εγώ τίποτα

pap65 · #73

swsto έγραψε:Τι έμεινε να κάνω και εγώ τίποτα

ΕΜΕΙΝΑΝ : 2-20062
2_20063

Γιώργος Απόκης · #74

GI_V_MATHP_2_20062

Δίνονται τα σημεία $\displaystyle{A(1,-2),~B(2,3)}$ .

α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας $\displaystyle{\epsilon}$ που διέρχεται από τα $\displaystyle{A,B}$ .

β) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{OK\Lambda}$ , όπου $\displaystyle{O}$ είναι η αρχή των αξόνων και $\displaystyle{K,\Lambda}$

είναι τα σημεία τομής της ευθείας με τους άξονες $\displaystyle{x'x,~y'y}$ αντίστοιχα.

Λύση

α) Αφού $\displaystyle{x_A\ne x_B}$ , ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης για το $\displaystyle{AB}$ και είναι ίσος με $\displaystyle{\lambda=\frac{3-(-2)}{2-1}=5}$ .

Η ευθεία διέρχεται από το $\displaystyle{B}$ άρα θα έχει εξίσωση : $\displaystyle{(\epsilon):y-3=5(x-2)\Leftrightarrow y=5x-7}$

β) Για $\displaystyle{x=0}$ έχουμε $\displaystyle{y=-7}$ και για $\displaystyle{y=0}$ έχουμε $\displaystyle{x=\frac{7}{5}}$ άρα $\displaystyle{K\left(\frac{7}{5},0\right)}$ και $\displaystyle{\Lambda(0,-7)}$ .

To εμβαδόν επομένως είναι $\displaystyle{(OK\Lambda)=\frac{1}{2}\cdot \frac{7}{5}\cdot 7=\frac{49}{10}~\tau .\mu .}$

Γιώργος Απόκης · #75

GI_V_MATHP_2_20063

Θεωρούμε το ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{AB}$ με μέσο $\displaystyle{M}$ και $\displaystyle{A(1,-2),~M(-2,5)}$ .

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου $\displaystyle{B}$ .

β) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου $\displaystyle{\epsilon}$ του $\displaystyle{AB}$ καθώς και τα κοινά της σημεία με τους άξονες.

Λύση

α) Αν $\displaystyle{B(x,y)}$ τότε ισχύουν $\displaystyle{\begin{cases} \frac{x+1}{2}=-2\\\frac{y-2}{2}=5 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x+1=-4\\y-2=10 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=-5\\y=12 \end{cases}}$ άρα $\displaystyle{B(-5,12)}$ .

β) Για το $\displaystyle{AB}$ ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης $\displaystyle{\lambda_{AB}=\frac{12-(-2)}{-5-1}=-\frac{7}{3}}$ άρα η κάθετη θα έχει

$\displaystyle{\lambda=\frac{3}{7}}$ και αφού διέρχεται από το $\displaystyle{M}$ θα έχει εξίσωση $\displaystyle{(\epsilon):y-5=\frac{3}{7}(x+2)\Leftrightarrow y=\frac{3}{7}x+\frac{41}{7}}$ .

Για $\displaystyle{x=0}$ έχουμε $\displaystyle{y=\frac{41}{7}}$ και για $\displaystyle{y=0}$ έχουμε $\displaystyle{x=-\frac{41}{3}}$ άρα $\displaystyle{C\left(0,\frac{41}{7}\right)}$ και $\displaystyle{D\left(-\frac{41}{3},0\right)}$ .

#76

pap65 έγραψε:
swsto έγραψε:Τι έμεινε να κάνω και εγώ τίποτα
ΕΜΕΙΝΑΝ : 2-20062
2_20063

Τα ετοίμασα αλλά με πρόλαβαν . Δεν έχω να προσθέσω κάτι διαφορετικό .

Γιώργος Απόκης · #77

swsto έγραψε:
pap65 έγραψε:
swsto έγραψε:Τι έμεινε να κάνω και εγώ τίποτα
ΕΜΕΙΝΑΝ : 2-20062
2_20063

Τα ετοίμασα αλλά με πρόλαβαν . Δεν έχω να προσθέσω κάτι διαφορετικό .

Σωτήρη καλημέρα. Δεν είχα δει το σχόλιό σου το πρωί...

#78

Στους αγαπητούς φίλους που "ξεπέταξαν' τα θέματα σε

ένα θερμό ευχαριστώ για τη άμεση ανταπόκριση στο κάλεμα του

Στους φίλους που δεν πρόλαβαν (κι εγώ ανάμεσά τους...) προτείνω να ανοίξουμε λίστα αναμονής για τα επόμενα θέματα (όταν αναρτηθούν...).

Θα επεξεργαστούμε το ταχύτερο τις λύσεις και θα αναρτήσουμε το δελτίο με τα θέματα συγκεντρωμένα.

Πάντως, αν υπάρχουν (διαφορετικές) λύσεις, διορθώσεις, συμπληρώσεις, παρακαλώ αναρτήστέ τις το ταχύτερο δυνατό.

perpant · #79

Προστέθηκαν και άλλα θέματα.

perpant · #80

Αυτό αν είδα καλά, δεν υπάρχει στα παραπάνω λυμένα.
GI_V_MATHP_2_20070
Έστω $\displaystyle{\overrightarrow \alpha }$ και $\displaystyle{\overrightarrow \beta }$ δύο διανύσματα του επιπέδου για τα οποία ισχύουν
$\displaystyle{3\left| {\overrightarrow \alpha } \right| + \left| {\overrightarrow \beta } \right| = 9}$ , $\displaystyle{2\left| {\overrightarrow \alpha } \right| - \left| {\overrightarrow \beta } \right| = 1}$ και $\displaystyle{\left( {\widehat {\mathop \alpha \limits^ \to ,\,\mathop \beta \limits^ \to }} \right) = \frac{\pi }{3}}$ .
α) Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων $\displaystyle{\overrightarrow \alpha }$ και $\displaystyle{\overrightarrow \beta }$ και το εσωτερικό γινόμενο $\displaystyle{\overrightarrow \alpha \cdot \overrightarrow \beta }$ .
(Μονάδες 12)
β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος $\displaystyle{\overrightarrow u = 2\overrightarrow \alpha - 3\overrightarrow \beta }$ .
(Μονάδες 13)
Λύση
α) Έστω $\displaystyle{3\left| {\overrightarrow \alpha } \right| + \left| {\overrightarrow \beta } \right| = 9\,\,\,\left( 1 \right)}$ και $\displaystyle{2\left| {\overrightarrow \alpha } \right| - \left| {\overrightarrow \beta } \right| = 1\,\,\,\left( 2 \right)}$ οι δοθείσες σχέσεις. Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε: $\displaystyle{5\left| {\overrightarrow \alpha } \right| = 10 \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow \alpha } \right| = 2}$ και από την $\displaystyle{\left( 1 \right)}$ για $\displaystyle{\left| {\overrightarrow \alpha } \right| = 2}$ βρίσκουμε $\displaystyle{\left| {\overrightarrow \beta } \right| = 3}$ .
Επιπλέον από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου έχουμε:
$\displaystyle{\overrightarrow \alpha \cdot \overrightarrow \beta = \left| {\overrightarrow \alpha } \right|\left| {\overrightarrow \beta } \right|\sigma \upsilon \nu \left( {\widehat {\mathop \alpha \limits^ \to ,\,\mathop \beta \limits^ \to }} \right) = \left| {\overrightarrow \alpha } \right|\left| {\overrightarrow \beta } \right|\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{3} = 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 3}$
β) Αρχικά θα υπολογίσουμε το τετράγωνο του μέτρου για το διάνυσμα $\displaystyle{\overrightarrow u }$ . Έχουμε:
$\displaystyle{\begin{array}{l} \overrightarrow u = 2\overrightarrow \alpha - 3\overrightarrow \beta \Rightarrow \left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {2\overrightarrow \alpha - 3\overrightarrow \beta } \right| \Rightarrow \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\left| {\overrightarrow u } \right|^2} = {\left| {2\overrightarrow \alpha - 3\overrightarrow \beta } \right|^2} \Rightarrow \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\left| {\overrightarrow u } \right|^2} = {\left( {2\overrightarrow \alpha - 3\overrightarrow \beta } \right)^2} \Rightarrow \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\left| {\overrightarrow u } \right|^2} = 4{\overrightarrow \alpha ^2} - 12\widehat \alpha \overrightarrow \beta + 9{\overrightarrow \beta ^2} \Rightarrow \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\left| {\overrightarrow u } \right|^2} = 4{\left| {\overrightarrow \alpha } \right|^2} - 12\widehat \alpha \overrightarrow \beta + 9{\left| {\overrightarrow \beta } \right|^2} \Rightarrow \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\left| {\overrightarrow u } \right|^2} = 4 \cdot {2^2} - 12 \cdot 3 + 9 \cdot {3^2} \Rightarrow \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\left| {\overrightarrow u } \right|^2} = 61 \Rightarrow \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {61} \end{array}}$

2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση