2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Στον παρόντα φάκελο μπορούν να γίνουν προσκλήσεις για συγγραφή ομαδικών εργασιών που αφορούν μαθηματικά από μέλη του mathematica.gr. Η θεματολογία μπορεί να ποικίλει ανάλογα με τα ενδιαφέροντα των συγγραφέων.
Κανόνες Δ. Συζήτησης
Συνοπτικοί κανόνες για την ομαδική συγγραφή εργασιών μέσα στους χώρους του mathematica.gr

α) Κάθε πρόσκληση για ομαδική εργασία γίνεται στον παρόντα φάκελο.
β) Ένα μέλος του mathematica.gr ορίζεται ως συντονιστής της έκδοσης της εργασίας, είναι ο υπεύθυνος της έκδοσης και ορίζει τις αρμοδιότητες των υπολοίπων μελών. Αυτό μπορεί να γίνει και σε συνεννόηση με άλλα μέλη. Ο συντονιστής της έκδοσης έρχεται σε επαφή με το συμβούλιο των συντονιστών του mathematica.gr και απευθύνεται σε αυτό για οποιοδήποτε απορία/πρόβλημα προκύψει.
γ) Οι λύσεις όλων των θεμάτων γράφονται σε {\color{orange}\LaTeX} και προαιρετικά μπορεί η δημοσίεση να περιλαμβάνει τη λύση γραμμένη και σε Mathtype.
δ) Στο τέλος αναρτάται ΜΟΝΟ σε μορφή .pdf η έκδοση.
ε) Περιέχεται σε κάθε σελίδα και στο εξώφυλλο το λογότυπο του mathematica.gr
στ) Στο εξώφυλλο αναφέρονται τα επώνυμα μέλη που βοήθησαν στην συγγραφή του δελτίου. Σε περίπτωση που ο αριθμός τους είναι μεγάλος τότε τα ονόματα αντί στο εξώφυλλο αναφέρονται σε ειδικό χώρο στο εσώφυλλο του Δελτίου.
ζ) Την τελική έγκριση του Δελτίου την έχουν οι συντονιστές του mathematica.gr
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4042
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Οκτ 25, 2014 12:11 am

Αγαπητοί φίλοι, ας συγκεντρώσουμε εδώ τις λύσεις, τις παρατηρήσεις και τυχόν διορθώσεις στις ασκήσεις που αναρτήθηκαν στην Τράπεζα Θεμάτων της Β΄Λυκείου.
Κατόπιν θα συγκεντρωθούν και θα σελιδοποιηθούν ώστε να αναρτηθούν με την ευθύνη των επιμελητών του :logo: .
Ας φροντίσουμε να είναι πλήρως διατυπωμένες οι απαντήσεις μας, για να διευκολυνθούν οι συντάκτες των δελτίων.
Η πρόσκληση απευθύνεται σε κάθε μέλος και φίλο του :logo: που θα ήθελε να συμμετέχει.
Σ' αυτήν τη συζήτηση θα ασχοληθούμε με το
2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

edit: 9-11-2014 Πρόσθεσα το σύνδεσμο για τα θέματα.


Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2484
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Κυρ Νοέμ 09, 2014 10:19 pm

18605

Δίνονται τα διανύσματα \overrightarrow{OA} = 2 \overrightarrow{i} + 4 \overrightarrow{j} , \overrightarrow{OB} = 3 \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} , \overrightarrow{O\Gamma} = 5 \overrightarrow{i} - 5 \overrightarrow{j}, όπου \overrightarrow{i} και \overrightarrow{j} είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων x'x, y'y αντίστοιχα.
α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των \overrightarrow{AB} , \overrightarrow{B\Gamma}. (Μονάδες 12)
β) Να εξετάσετε αν τα σημεία Α,Β και Γ μπορεί να είναι κορυφές τριγώνου.

Λύση

α)Έχουμε ότι: \overrightarrow{OA} = (2,4), \overrightarrow{OB} = (3,1), \overrightarrow{O\Gamma}=(5,-5)
Οπότε:\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (3,1) - (2,4) = (1,-3)
και
\overrightarrow{B\Gamma} = \overrightarrow{O\Gamma} - \overrightarrow{OB} = (5,-5) - (3,1) = (2 , -6)

β) Αρκεί τα διανύσματα \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{B\Gamma} να μην είναι παράλληλα, ώστε τα Α,Β,Γ να μην είναι συγγραμμικά.
Οπότε αρκεί: det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{B\Gamma}) \neq 0.
Όμως det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{B\Gamma}) = \left|\begin{array}{cc} 1 & -3 \\ 2 & -6\end{array}\right| =  1 \cdot(-6) - 2 \cdot (-3) =  -6 + 6 = 0
Συνεπώς τα σημεία Α,Β και Γ είναι συνευθειακά οπότε δεν μπορούν να σχηματίζουν τρίγωνο.


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
ji2mada2006
Δημοσιεύσεις: 93
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 17, 2013 12:48 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ji2mada2006 » Κυρ Νοέμ 09, 2014 10:49 pm

Λύνω το ΓΗ_Β_ΜΑΘΠ_2_18604.


Δημήτρης Ε. Κοντόκωστας
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1945
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Κυρ Νοέμ 09, 2014 11:25 pm

18581
Συνημμένα
GI_V_MATHP_2_18581.docx
(20.35 KiB) Μεταφορτώθηκε 306 φορές
τελευταία επεξεργασία από xr.tsif σε Κυρ Νοέμ 09, 2014 11:33 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
kostas.zig
Δημοσιεύσεις: 423
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 3:29 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas.zig » Κυρ Νοέμ 09, 2014 11:29 pm

ΓΗ_Β_ΜΑΘΠ_2_18600


α) Είναι \lambda _{\epsilon _{1}}=\frac{6-0}{0-3}=-2 άρα \epsilon _{1}: \psi -0=-2\left(\chi -3 \right) δηλαδή \epsilon _{1}: \psi =-2\chi +6

β) (i) Είναι \lambda _{\epsilon _{2}}=\frac{1}{2}, οπότε \epsilon _{2}: \psi =\frac{1}{2}\chi
(ii) Λύνοντας το σύστημα των παραπάνω ευθειών έχουμε \left\{\begin{matrix} 
\psi =-2\chi +6\\  
\psi =\frac{1}{2}\chi\  
 
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 
\frac{1}{2}\chi =-2\chi +6\\  
\psi =\frac{1}{2}\chi 
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \chi =\frac{12}{5} και \psi =\frac{6}{5}
τελευταία επεξεργασία από kostas.zig σε Κυρ Νοέμ 09, 2014 11:47 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ζυγούρης Κώστας
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1945
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Κυρ Νοέμ 09, 2014 11:43 pm

το ΘΕΜΑ 2-18589
Συνημμένα
ΘΕΜΑ 2-18589.docx
(34.77 KiB) Μεταφορτώθηκε 246 φορές


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4042
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Νοέμ 09, 2014 11:46 pm

Καλησπέρα σε όλους. Για τη διευκόλυνση όσων θέλουν να γράψουν λύση στα θέματα, ετοίμασα ένα αρχείο με τις εκφωνήσεις σε Word.
Συνημμένα
2ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Εκφωνήσεις.doc
(423.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 302 φορές


kgeo67
Δημοσιεύσεις: 19
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 16, 2009 10:37 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kgeo67 » Κυρ Νοέμ 09, 2014 11:51 pm

2_18556
Συνημμένα
2_18556.docx
2ο_18556
(28.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 254 φορές
τελευταία επεξεργασία από kgeo67 σε Δευ Νοέμ 10, 2014 2:28 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κωνσταντίνος Γεωργίου
pap65
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Παρ Δεκ 14, 2012 11:27 pm
Τοποθεσία: ΞΑΝΘΗ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pap65 » Δευ Νοέμ 10, 2014 12:04 am

ΕΤΟΙΜΑΖΩ 18598, 18599


GI_V_MATHP_2_18598

Δίνονται τα διανύσματα \overrightarrow{AB}=\left( {{\kappa }^{2}}-6\kappa +9,\kappa -3 \right) και \overrightarrow{A\Gamma }=\left( 1,6 \right), όπου \kappa \in \mathbb{R}
α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{A\Gamma }
(Μονάδες 8)
β) Να βρείτε τις τιμές του \kappa, ώστε τα διανύσματα \overrightarrow{AB} και \overrightarrow{A\Gamma } να είναι κάθετα.
(Μονάδες 9)
γ) Για \kappa =1 να βρείτε το διάνυσμα \overrightarrow{B\Gamma } .
(Μονάδες 8)


ΛΥΣΗ
α) Εφαρμόζοντας την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινομένου,έχουμε: \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{A\Gamma }={{\kappa }^{2}}-6\kappa +9+\left( \kappa -3 \right)\cdot 6={{\kappa }^{2}}-\cancel{6\kappa }+9+\cancel{6\kappa }-18={{\kappa }^{2}}-9.
β) Ισχύει : \displaystyle{\overrightarrow{AB}\bot \overrightarrow{A\Gamma }\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{A\Gamma }=0\Leftrightarrow {{\kappa }^{2}}-9=0}
\Leftrightarrow {{\kappa }^{2}}=9\Leftrightarrow \kappa =3\text{  }\kappa =-3.
γ) Για \kappa =1 είναι \overrightarrow{AB}=\left( 4,-2 \right) και \overrightarrow{A\Gamma }=\left( 1,6 \right)
Επομένως: \overrightarrow{B\Gamma }=\overrightarrow{A\Gamma }-\overrightarrow{AB}=\left( 1,6 \right)-\left( 4,-2 \right)=\left( 1-4,6-\left( -2 \right) \right)=\left( -3,8 \right).
τελευταία επεξεργασία από pap65 σε Δευ Νοέμ 10, 2014 10:33 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4042
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Νοέμ 10, 2014 12:08 am

GI_V_MATHP_2_18600


Θεωρούμε την ευθεία {\varepsilon _1} που τέμνει τους άξονες \chi '\chi και \psi '\psi στα σημεία {\rm A}\left( {3,0} \right) και {\rm B}\left( {0,6} \right) αντίστοιχα.
α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας {\varepsilon _1} (Μονάδες 8)
β) Αν {\varepsilon _2} είναι η ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην {\varepsilon _1}, τότε να βρείτε:
i) την εξίσωση της ευθείας {\varepsilon _2} (Μονάδες 9)
ii) τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών {\varepsilon _1} και {\varepsilon _2}
(Μονάδες 8)

ΛΥΣΗ:
α) Είναι \displaystyle {\lambda _{\overrightarrow {{\rm A}{\rm B}} }} = \frac{{6 - 0}}{{0 - 3}} =  - 2 , οπότε η ευθεία {\varepsilon _1} έχει εξίσωση \displaystyle \psi  - 0 =  - 2\left( {\chi  - 3} \right) \Leftrightarrow \psi  =  - 2\chi  + 6

β) Αφού \displaystyle {\varepsilon _1} \bot {\varepsilon _2} , θα είναι \displaystyle {\lambda _{{\varepsilon _1}}} \cdot {\lambda _{{\varepsilon _2}}} =  - 1 \Leftrightarrow {\lambda _{{\varepsilon _2}}} = \frac{1}{2}

Η ευθεία {\varepsilon _2} διέρχεται από το \displaystyle {\rm O}\left( {0,\;0} \right) οπότε έχει εξίσωση \displaystyle \left( {{\varepsilon _2}} \right):\;\;\psi  = \frac{1}{2}\chi

γ) Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων των ευθειών: \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
\psi  =  - 2\chi  + 6\;\\ 
\psi  = \frac{1}{2}\chi  
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
\frac{1}{2}\chi  =  - 2\chi  + 6\;\\ 
\psi  = \frac{1}{2}\chi  
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
\chi  = \frac{{12}}{5}\;\\ 
\psi  = \frac{6}{5} 
\end{array} \right. ,

οπότε το σημείο τομής τους είναι το \displaystyle {\rm M}\left( {\frac{{12}}{5},\;\frac{6}{5}} \right)

edit: Κατόπιν εορτής είδα ότι το είχε ήδη λύσει παραπάνω ο Κώστας....
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Δευ Νοέμ 10, 2014 12:23 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


kgeo67
Δημοσιεύσεις: 19
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 16, 2009 10:37 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kgeo67 » Δευ Νοέμ 10, 2014 12:14 am

GI_V_MATHP_2_18598
Συνημμένα
GI_V_MATHP_2_18598.docx
(34.57 KiB) Μεταφορτώθηκε 184 φορές


Κωνσταντίνος Γεωργίου
ji2mada2006
Δημοσιεύσεις: 93
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 17, 2013 12:48 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ji2mada2006 » Δευ Νοέμ 10, 2014 12:25 am

ΓΗ_Β_ΜΑΘΠ 2 - 18604

Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και E , Z σημεία τέτοια ώστε:
\vec{AE}=\frac{2}{5}\vec{A\Delta },\vec{AZ}=\frac{2}{7}\vec{A\Gamma } ,
α) Να γράψετε τα διανύσματα \vec{EZ}και \vec{ZB} ως γραμμικό συνδυασμό των \vec{AB} και \vec{A\Delta }
(Μονάδες 13)
β) Να αποδείξτε ότι τα σημεία B , Z και E είναι συνευθειακά.
(Μονάδες 12)

Ενδεικτική λύση
2_18604.png
2_18604.png (7.75 KiB) Προβλήθηκε 6060 φορές
α) Θεωρώ σημείο αναφοράς το Α
\vec{EZ}=\vec{AZ}-\vec{AE}=\frac{2}{7}\vec{A\Gamma }-\frac{2}{5}\vec{A\Delta }=\frac{2}{7}(\vec{AB }+\vec{A\Delta})-\frac{2}{5}\vec{A\Delta }=\frac{2}{7}\vec{AB }+\frac{2}{7}\vec{A\Delta}-\frac{2}{5}\vec{A\Delta }=\frac{2}{7}\vec{AB }-\frac{4}{35}\vec{A\Delta}=\frac{2}{7}(\vec{AB }-\frac{2}{5}\vec{A\Delta})

\vec{ZB}=\vec{AB}-\vec{AZ}=\vec{AB }-\frac{2}{7}\vec{A\Gamma }=\vec{AB }-\frac{2}{7}(\vec{AB }+\vec{A\Delta})=\vec{AB }-\frac{2}{7}\vec{AB }-\frac{2}{7}\vec{A\Delta}=\frac{5}{7}\vec{AB }-\frac{2}{7}\vec{A\Delta}=\frac{5}{7}(\vec{AB }-\frac{2}{5}\vec{A\Delta})


β) Από τις διανυσματικές σχέσεις του α) ερωτήματος προκύπτει ότι \vec{EZ} //( \vec{AB }-\frac{2}{5}\vec{A\Delta}) και \vec{ZB} //( \vec{AB }-\frac{2}{5}\vec{A\Delta}) άρα και τα διανύσματα \vec{EZ}και \vec{ZB} είναι συγγραμμικά μεταξύ τους και επειδή έχουν κοινό άκρο το Ζ , τότε τα σημεία Ε ,Ζ και Β θα είναι συνευθειακά .
τελευταία επεξεργασία από ji2mada2006 σε Δευ Νοέμ 10, 2014 1:42 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Δημήτρης Ε. Κοντόκωστας
kgeo67
Δημοσιεύσεις: 19
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 16, 2009 10:37 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kgeo67 » Δευ Νοέμ 10, 2014 12:27 am

GI_V_MATHP_2_18603
Συνημμένα
GI_V_MATHP_2_18603.docx
(37.42 KiB) Μεταφορτώθηκε 230 φορές


Κωνσταντίνος Γεωργίου
kgeo67
Δημοσιεύσεις: 19
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 16, 2009 10:37 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kgeo67 » Δευ Νοέμ 10, 2014 12:47 am

GI_V_MATHP_2_18605
Συνημμένα
GI_V_MATHP_2_18605.docx
(42.18 KiB) Μεταφορτώθηκε 209 φορές


Κωνσταντίνος Γεωργίου
kgeo67
Δημοσιεύσεις: 19
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 16, 2009 10:37 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kgeo67 » Δευ Νοέμ 10, 2014 1:43 am

GI_V_MATHP_2_18602
Συνημμένα
GI_V_MATHP_2_18602.docx
(56.29 KiB) Μεταφορτώθηκε 206 φορές


Κωνσταντίνος Γεωργίου
kgeo67
Δημοσιεύσεις: 19
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 16, 2009 10:37 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kgeo67 » Δευ Νοέμ 10, 2014 2:25 am

GI_V_MATHP_2_18601
Συνημμένα
GI_V_MATHP_2_18601.docx
(48.84 KiB) Μεταφορτώθηκε 213 φορές


Κωνσταντίνος Γεωργίου
kgeo67
Δημοσιεύσεις: 19
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 16, 2009 10:37 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kgeo67 » Δευ Νοέμ 10, 2014 3:05 am

GI_V_MATHP_2_18595
Συνημμένα
GI_V_MATHP_2_18595.docx
(57.81 KiB) Μεταφορτώθηκε 202 φορές


Κωνσταντίνος Γεωργίου
kgeo67
Δημοσιεύσεις: 19
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 16, 2009 10:37 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kgeo67 » Δευ Νοέμ 10, 2014 3:40 am

GI_V_MATHP_2_18592
Συνημμένα
GI_V_MATHP_2_18592.docx
(55.17 KiB) Μεταφορτώθηκε 200 φορές


Κωνσταντίνος Γεωργίου
Νίκος Ξενιάδης
Δημοσιεύσεις: 24
Εγγραφή: Τετ Οκτ 16, 2013 9:35 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νίκος Ξενιάδης » Δευ Νοέμ 10, 2014 12:12 pm

Να σας δώσω και εγώ μερικές λύσεις
Συνημμένα
2-18558.doc
(217 KiB) Μεταφορτώθηκε 291 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΜΑΔΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΕΛΩΝ ΤΟΥ MATHEMATICA.GR”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης