2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Στον παρόντα φάκελο μπορούν να γίνουν προσκλήσεις για συγγραφή ομαδικών εργασιών που αφορούν μαθηματικά από μέλη του mathematica.gr. Η θεματολογία μπορεί να ποικίλει ανάλογα με τα ενδιαφέροντα των συγγραφέων.
Κανόνες Δ. Συζήτησης
Συνοπτικοί κανόνες για την ομαδική συγγραφή εργασιών μέσα στους χώρους του mathematica.gr

α) Κάθε πρόσκληση για ομαδική εργασία γίνεται στον παρόντα φάκελο.
β) Ένα μέλος του mathematica.gr ορίζεται ως συντονιστής της έκδοσης της εργασίας, είναι ο υπεύθυνος της έκδοσης και ορίζει τις αρμοδιότητες των υπολοίπων μελών. Αυτό μπορεί να γίνει και σε συνεννόηση με άλλα μέλη. Ο συντονιστής της έκδοσης έρχεται σε επαφή με το συμβούλιο των συντονιστών του mathematica.gr και απευθύνεται σε αυτό για οποιοδήποτε απορία/πρόβλημα προκύψει.
γ) Οι λύσεις όλων των θεμάτων γράφονται σε {\color{orange}\LaTeX} και προαιρετικά μπορεί η δημοσίεση να περιλαμβάνει τη λύση γραμμένη και σε Mathtype.
δ) Στο τέλος αναρτάται ΜΟΝΟ σε μορφή .pdf η έκδοση.
ε) Περιέχεται σε κάθε σελίδα και στο εξώφυλλο το λογότυπο του mathematica.gr
στ) Στο εξώφυλλο αναφέρονται τα επώνυμα μέλη που βοήθησαν στην συγγραφή του δελτίου. Σε περίπτωση που ο αριθμός τους είναι μεγάλος τότε τα ονόματα αντί στο εξώφυλλο αναφέρονται σε ειδικό χώρο στο εσώφυλλο του Δελτίου.
ζ) Την τελική έγκριση του Δελτίου την έχουν οι συντονιστές του mathematica.gr
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#41

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Πέμ Νοέμ 20, 2014 2:13 pm

sifis80 έγραψε:
kgeo67 έγραψε:GI_V_GEO_2_19008
Αφού ισχύει το αντίστροφο του Πυθαγoρείου δεν είναι περιττό να εξετάσουμε την τριγωνική ανισότητα;Υπάρχει περίπτωση τρεις θετικοί αριθμοί α,β, γ να ικανοποιούν το Πυθαγόρειο θεώρημα και όχι την τριγωνική ανισότητα;
Πράγματι είναι περιττό. Έστω ότι για τους θετικούς αριθμός \displaystyle{a,b,c} ισχύει \displaystyle{a^2=b^2+c^2}. Θα δείξουμε ότι ισχύει \displaystyle{ |b-c|<a<b+c}.

Έχουμε \displaystyle{a^2=b^2+c^2>b^2+c^2-2bc=(b-c)^2} άρα \displaystyle{|a|>|b-c|\Rightarrow a>|b-c|}

και \displaystyle{a^2=b^2+c^2<b^2+c^2+2bc=(b+c)^2} άρα \displaystyle{|a|<|b+c|\Rightarrow a<b+c}


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Στέλιος Μαρίνης
Δημοσιεύσεις: 524
Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 16, 2009 9:45 pm
Τοποθεσία: Νέα Σμύρνη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#42

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Στέλιος Μαρίνης » Σάβ Νοέμ 22, 2014 10:06 am

Επισυνάπτω αρχείο στο οποίο παρουσιάζονται τα θέματα με υποδείξεις για τη λύση τους. Προσωπικά θα το μοιράσω στους μαθητές μου για να λύσουν με τη βοήθεια των υποδείξεων τις ασκήσεις ώστε να τις μάθουν, μιας και οι λυμένες ασκήσεις δεν νομίζω ότι βοηθούν τόσο τους μαθητές εκείνους που δυσκολεύονται να λύσουν μόνοι τους θέματα αυτή; της κατηγορίας (2ο).
Συνημμένα
ΘΕΜΑ 2o ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B.docx
(400.38 KiB) Μεταφορτώθηκε 241 φορές


Κάποτε οι καμπύλες των γραφικών παραστάσεων ζωντανεύουν, είναι διαφορίσιμες γιατί είναι λείες κι όμορφες, έχουν ακρότατες τιμές γιατί αρνούνται τη μονοτονία, δεν έχουν όριο πραγματικό, αλλά μπορείς και τις φαντάζεσαι στο άπειρο και η ασύμπτωτη ευθεία είναι το καράβι που σε ταξιδεύει πλάι τους.
kgeo67
Δημοσιεύσεις: 19
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 16, 2009 10:37 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#43

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kgeo67 » Πέμ Νοέμ 27, 2014 1:08 am

Γιώργος Απόκης έγραψε:
sifis80 έγραψε:
kgeo67 έγραψε:GI_V_GEO_2_19008
Αφού ισχύει το αντίστροφο του Πυθαγoρείου δεν είναι περιττό να εξετάσουμε την τριγωνική ανισότητα;Υπάρχει περίπτωση τρεις θετικοί αριθμοί α,β, γ να ικανοποιούν το Πυθαγόρειο θεώρημα και όχι την τριγωνική ανισότητα;
Πράγματι είναι περιττό. Έστω ότι για τους θετικούς αριθμός \displaystyle{a,b,c} ισχύει \displaystyle{a^2=b^2+c^2}. Θα δείξουμε ότι ισχύει \displaystyle{ |b-c|<a<b+c}.

Έχουμε \displaystyle{a^2=b^2+c^2>b^2+c^2-2bc=(b-c)^2} άρα \displaystyle{|a|>|b-c|\Rightarrow a>|b-c|}

και \displaystyle{a^2=b^2+c^2<b^2+c^2+2bc=(b+c)^2} άρα \displaystyle{|a|<|b+c|\Rightarrow a<b+c}
Ευχαριστώ τους sifis80, Antonis_A και Γιώργο Απόκη για την παρατήρηση, θα συμφωνήσω απόλυτα μαζί σας. Χρειάζεται να το διορθώσω στο συνημμένο; Μόλις τώρα το είδα, λόγω φόρτου εργασίας είχα αρκετές μέρες να μπω στον ιστότοπο.


Κωνσταντίνος Γεωργίου
ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ
Δημοσιεύσεις: 71
Εγγραφή: Παρ Μάιος 17, 2013 8:15 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#44

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ » Πέμ Νοέμ 27, 2014 6:28 pm

ΚΑΛΗΣΠΕΡΑ. Μετά την εύστοχη υπόδειξη του συναδέλφου dimkat ανεβάζω την σωστή λύση της άσκησης 2_19035 (γιατί είχε παραλειφθεί ολόκληρη παράγραφος) και ζητώ συγνώμη αν ταλαιπώρησα, άθελά μου, κάποιους συναδέλφους. Ευχαριστώ.
Συνημμένα
ΘΕΜΑ 2 - 19035.docx
(57.14 KiB) Μεταφορτώθηκε 115 φορές


Άβαταρ μέλους
AMD
Δημοσιεύσεις: 61
Εγγραφή: Τετ Δεκ 17, 2014 11:14 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#45

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AMD » Πέμ Ιαν 22, 2015 11:42 am

Άσκηση 2_22289 σύνδεσμος

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρνουμε απο το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ.
Η παράλληλη στην ΑΒ τέμνει την ΑΓ στο σημείο Ζ και η παράλληλη στην ΑΓ τέμνει την ΑΒ στο σημείο Ε.
Θεωρούμε τα Κ και Λ τα μέσα των ΒΔ και ΔΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:

α) (EK\Delta)=\frac{(BE\Delta)}{2} (7 μονάδες)

β) (E\Delta Z)=\frac{(AE\Delta Z)}{2} ( 7μονάδες)

γ) 2(KEZ\Lambda)=(AB\Gamma) (11 μονάδες)

Λύση:

α) Στο τρίγωνο ΒΕΔ, η ΕΚ είναι διάμεσος. Απο εφαρμογή του βιβλίου (παρ. 10.3) ισχύει: (BEK)=(EK\Delta).

Στο σχήμα έχουμε: (BE\Delta)= (BEK) + (EK\Delta) \Leftrightarrow (BE\Delta)= 2(EK\Delta)

(ομοίως δείχνουμε ότι (\Delta Z\Gamma) = 2(\Delta Z \Lambda) )

β) Στο τετράπλευρο ΑΕΔΖ ισχύει ότι: AE \parallel \Delta Z και AZ \parallel \Delta E επομένως είναι παραλληλόγραμμο.
Στα τρίγωνα ΑΕΖ, ΕΔΖ θεωρούμε βάσεις τις ΑΕ, ΔΖ (AE=\Delta Z ως απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου)
και τα ύψη, απο τις κορυφές Ε και Ζ,που αντιστοιχούν σε αυτές είναι ίσα, οπότε (AEZ)=(E\Delta Z).

Έχουμε τελικά: (AE\Delta Z) = (AEZ) + (E\Delta Z)  \Leftrightarrow (AE\Delta Z) = 2(E\Delta Z)

γ) απο το σχήμα ισχύει: (KEZ\Lambda)= (EK\Delta) + (E\Delta Z) + (\Delta Z\Lambda)

αντικαθιστούμε τα συμπεράσματα από τα ερωτήματα α) και β) :

(KEZ\Lambda)= \frac{(BE\Delta)}{2} + \frac{(AE\Delta Z)}{2} + \frac{(\Delta Z\Gamma)}{2} \Leftrightarrow

(KEZ\Lambda)= \frac{(BE\Delta) +(AE\Delta Z) + (\Delta Z\Gamma)}{2}  \Leftrightarrow

(KEZ\Lambda)= \frac{(AB\Gamma)}{2}
Συνημμένα
22289.docx
(54.62 KiB) Μεταφορτώθηκε 44 φορές
2_22289b.png
2_22289b.png (16.26 KiB) Προβλήθηκε 1521 φορές
τελευταία επεξεργασία από AMD σε Σάβ Ιαν 24, 2015 2:09 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6848
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#46

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιαν 22, 2015 5:59 pm

Άσκηση 2_22291

Δίνεται κύκλος (K,R) και δύο διάμετροί του AB και \Gamma\Delta. Έστω M εξωτερικό σημείο του κύκλου τέτοιο, ώστεAM=10 , BM=12 και \Gamma M=14.
α) Να αποδείξετε ότι :MA^2 +MB^2 = 2(MK^2 + R^2 ) (Μονάδες 9)
β) Να αποδείξετε ότι : M\Gamma^2 +M\Delta^2 = 2(MK^2 + R^2 ) (Μονάδες 7)
γ) Να υπολογίσετε το μήκος του \Delta M. (Μονάδες 9)

Λύση
2_22291.png
2_22291.png (12.18 KiB) Προβλήθηκε 1509 φορές
α,β) Επειδή τα τρίγωνα MAB, M\Gamma\Delta έχουν AB=\Gamma\Delta=2R και κοινή διάμεσο MK, από το 1ο θεώρημα των διαμέσων θα είναι:
\displaystyle{M{A^2} + M{B^2} = M{\Gamma ^2} + M{\Delta ^2} = 2M{K^2} + \frac{{{{(2R)}^2}}}{2} = 2(M{K^2} + {R^2})}

γ) \displaystyle{M{A^2} + M{B^2} = M{\Gamma ^2} + M{\Delta ^2} \Leftrightarrow M{\Delta ^2} = M{A^2} + M{B^2} - M{\Gamma ^2} = }

\displaystyle{100 + 144 - 196 \Leftrightarrow M{\Delta ^2} = 48 \Leftrightarrow M\Delta  = 4\sqrt 3 }
Συνημμένα
G_2_22291.docx
(127.48 KiB) Μεταφορτώθηκε 46 φορές


ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ
Δημοσιεύσεις: 71
Εγγραφή: Παρ Μάιος 17, 2013 8:15 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#47

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ » Πέμ Ιαν 22, 2015 7:44 pm

AΣΚΗΣΗ 2_22318
Συνημμένα
ΑΣΚΗΣΗ 22318.docx
(68.18 KiB) Μεταφορτώθηκε 63 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΜΑΔΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΕΛΩΝ ΤΟΥ MATHEMATICA.GR”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης