4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#21

hsiodos έγραψε:GI_V_ALG_4_17837

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \left| {\alpha + 1} \right|\,\eta \mu (\beta \pi x)}$ με $\displaystyle{\,\alpha \in R}$ και $\displaystyle{\,\beta > 0}$ , η οποία έχει μέγιστη τιμή $\displaystyle{3}$ και περίοδο $\displaystyle{4}$ .

α) Να δείξετε ότι $\displaystyle{\alpha = 2\,}$ ή $\displaystyle{\,\alpha =- 4}$ και $\displaystyle{\beta = \frac{1}{2}}$ . (Μονάδες 7)

β) Για $\displaystyle{\alpha = 2\,}$ και $\displaystyle{\beta = \frac{1}{2}}$ ,

i. να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\,f(x) = 3}$ (Μονάδες 10)

ii. να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ στο διάστημα $\displaystyle{\left[ {0\,,\,8} \right]}$ . (Μονάδες 8)

Λύση:

Εδώ ίσως υπάρξουν ενστάσεις. Το βιβλίο με τον τύπο $T=\frac{2\pi }{\omega }$ αναφέρεται, προφανώς, στην βασική περίοδο.

Τι θα πούμε όμως εδώ, αφού Τ=4 έχουμε π.χ. και για β=1;

pap65 · #22

ΘΕΜΑ 17850

Ο Κώστας έχει τρία παιδιά. Δύο δίδυμα κορίτσια και ένα αγόρι. Στην ερώτηση πόσων χρονών
είναι τα παιδιά του απάντησε ως εξής.
1. Το άθροισμα των ηλικιών και των τριών παιδιών είναι

2. Το γινόμενο της ηλικίας της κόρης μου επί την ηλικία του γιου μου είναι

3. Το άθροισμα των ηλικιών των κοριτσιών είναι μικρότερο από την ηλικία του αγοριού.
α) Να γράψετε τις εξισώσεις που περιγράφουν τα στοιχεία 1. και 2. που έδωσε ο Κώστας.
(Μονάδες 10)
β) Να βρείτε τις ηλικίες των παιδιών του Κώστα.
(Μονάδες 15)
ΛΥΣΗ
Έστω ότι οι ηλικία του καθενός από τα δίδυμα κορίτσια είναι

και του αγοριού $\psi$ .
Προφανώς είναι $x,\psi >0$

Α) Αφού το άθροισμα των ηλικιών και των τριών παιδιών είναι

ισχύει: $2x+\psi =14$ ( 1)

Ακόμη το γινόμενο της ηλικίας της κόρης επί την ηλικία του γιου είναι

, επομένως: $x\cdot \psi =24$ . (2)

Β) Ισχύει ακόμη ( από το στοιχείο 3. ) $2x<\psi$ .

Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων (1) και (2) .
Από την σχέση (1) έχουμε :

$\psi =14-2x$ και αντικαθιστώντας στην (2) : $x\cdot \left( 14-2x \right)=24\Leftrightarrow 14x-2{{x}^{2}}=24$

$\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-14x+24=0\overset{:2}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,{{x}^{2}}-7x+12=0$ .

Η τελευταία εξίσωση έχει: $\Delta ={{\left( -7 \right)}^{2}}-4\cdot 12=49-48=1>0$

Και λύσεις: $x=\frac{-\left( -7 \right)\pm 1}{2}\Leftrightarrow x=4$ ή x=3

Επομένως για x=4

παίρνουμε: $\psi =14-2\cdot 4=6$

για x=3

παίρνουμε: $\psi =14-2\cdot 3=8$

Όμως από τον περιορισμό $2x<\psi$ δεχόμαστε μόνο την περίπτωση $x=3,\quad \psi =8$

Αφού για $x=4,\quad \psi =6$ έχουμε $2\cdot 4>6$ .

Επομένως τα δίδυμα κορίτσια είναι

ετών και το αγόρι

ετών.

pap65 · #23

ετοιμάζω την 18746

pap65 · #24

ΘΕΜΑ 17846

Δίνονται οι συναρτήσεις $\displaystyle{f(x)=\sigma \upsilon \nu x}$ και $\displaystyle{g(x)=\sigma \upsilon \nu 2x}$ .
α) Να μεταφέρετε στην κόλα σας και να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών των συναρτήσεων

και

. Στη συνέχεια, να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $\displaystyle{f(x)}$ και $\displaystyle{g(x)}$ , για $\displaystyle{x\varepsilon \left[ 0,\text{ }2\pi \right]}$ .
(Μονάδες 8)

β) Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης, να προσδιορίσετε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu 2x=\sigma \upsilon \nu x\quad \left( 1 \right)}$ στο διάστημα $\displaystyle{\left[ 0,\text{ }2\pi \right]}$ . (Μονάδες 4)
γ) Να λύσετε αλγεβρικά την εξίσωση (1) στο διάστημα $\displaystyle{\left[ 0,\text{ }2\pi \right]}$ και να σημειώσετε πάνω στο σχήμα του ερωτήματος (α) τις συντεταγμένες των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων

και

. (Μονάδες 13)

ΛΥΣΗ

Είναι :
ix. $\displaystyle{f(0)=\sigma \upsilon \nu 0=1}$ . $\displaystyle{g(0)=\sigma \upsilon \nu 0=1}$

x. $\displaystyle{f\left( \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}} \right)=\sigma \upsilon \nu \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}}$ . $\displaystyle{g\left( \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}} \right)=\sigma \upsilon \nu 2\cdot \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}=\sigma \upsilon \nu \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}=0}$

xi. $\displaystyle{f\left( \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right)=\sigma \upsilon \nu \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}=0}$ . $\displaystyle{g\left( \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right)=\sigma \upsilon \nu 2\cdot \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}=\sigma \upsilon \nu \pi =-1}$

xii. $\displaystyle{f\left( \frac{\text{3 }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}} \right)=\sigma \upsilon \nu \frac{\text{3 }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}=-\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{4}~~=~-\frac{\sqrt{2}}{2}}$ . ( Αφού $\displaystyle{\frac{\text{3 }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}~~=~\pi -\frac{\pi }{4}}$ )
$\displaystyle{g\left( \frac{\text{3 }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}} \right)=\sigma \upsilon \nu 2\cdot \frac{\text{3 }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}=\sigma \upsilon \nu \frac{\text{3 }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}=0}$

xiii. $\displaystyle{f\left( \frac{\text{5 }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}} \right)=\sigma \upsilon \nu \frac{\text{5 }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}=-\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{4}~~=~-\frac{\sqrt{2}}{2}}$ . ( Αφού $\displaystyle{\frac{\text{5 }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}~~=~\pi +\frac{\pi }{4}}$ )

$\displaystyle{g\left( \frac{\text{5 }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}} \right)=\sigma \upsilon \nu 2\cdot \frac{\text{5 }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}=\sigma \upsilon \nu \frac{\text{5 }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}=\sigma \upsilon \nu \left( 2\pi +\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right)=\sigma \upsilon \nu \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}=0}$
xiv. $\displaystyle{f\left( \frac{\text{3 }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right)=\sigma \upsilon \nu \frac{\text{3 }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}=0}$ .
$\displaystyle{g\left( \frac{\text{3 }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right)=\sigma \upsilon \nu 2\cdot \frac{\text{3 }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}=\sigma \upsilon \nu 3\pi =\sigma \upsilon \nu \left( 2\pi +\pi \right)=\sigma \upsilon \nu \pi =-1}$
xv. $\displaystyle{f\left( \frac{\text{7 }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}} \right)=\sigma \upsilon \nu \frac{\text{7 }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}=\sigma \upsilon \nu \left( 2\pi -\frac{\pi }{4}~~ \right)=~\sigma \upsilon \nu \left( -\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}} \right)=\sigma \upsilon \nu \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}}$
ή $\displaystyle{f\left( \frac{\text{7 }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}} \right)=\sigma \upsilon \nu \frac{\text{7 }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}=\sigma \upsilon \nu \left( \pi +\frac{3\pi }{4}~~ \right)=~-\sigma \upsilon \nu \frac{\text{3 }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}=-\sigma \upsilon \nu \left( \pi -\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}} \right)=\sigma \upsilon \nu \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$\displaystyle{g\left( \frac{\text{7 }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}} \right)=\sigma \upsilon \nu 2\cdot \frac{\text{7 }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}=\sigma \upsilon \nu \frac{\text{7 }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}=\sigma \upsilon \nu \left( 2\pi +\frac{\text{3 }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right)=\sigma \upsilon \nu \frac{\text{3 }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}=0}$

xvi. $\displaystyle{f(2\pi )=\sigma \upsilon \nu 2\pi =1}$ . $\displaystyle{g(2\pi )=\sigma \upsilon \nu 4\pi =1}$

: 17846.png (10 KiB) Προβλήθηκε 5877 φορές

Β) Το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu 2x=\sigma \upsilon \nu x}$ στο διάστημα $\displaystyle{\left[ 0,\text{ }2\pi \right]}$
είναι το πλήθος των κοινών σημείων των ${{C}_{f}}$ και ${{C}_{g}}$ στο διάστημα αυτό.
Από το σχήμα προκύπτει ότι το πλήθος των κοινών σημείων είναι

.

Γ) Είναι $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu 2x=\sigma \upsilon \nu x\Leftrightarrow 2x=2\kappa \pi +x}$ ή $\displaystyle{2x=2\kappa \pi -x}$
$\displaystyle{\Leftrightarrow x=2\kappa \pi }$ ή $\displaystyle{3x=2\kappa \pi }$
$\displaystyle{\Leftrightarrow x=2\kappa \pi }$ ή $\displaystyle{x=\frac{2\kappa \pi }{3}}$ , $\kappa \in \mathbb{Z}$
Επειδή θέλουμε οι λύσεις $\displaystyle{2\kappa \pi }$ και $\displaystyle{\frac{2\kappa \pi }{3}}$ να ανήκουν στο διάστημα $\displaystyle{\left[ 0,\text{ }2\pi \right]}$
• $0\le 2\kappa \pi \le 2\pi \Leftrightarrow 0\le \kappa \le 1$ με $\kappa \in \mathbb{Z}$

Δηλαδή $\kappa =0$ ή $\kappa =1$

Επομένως για $\kappa =0$ τότε x=0

για $\kappa =1$ τότε $x=2\pi$

• $\displaystyle{0\le \frac{2\kappa }{3}\le 2\overset{\cdot 3}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,0\le 2\kappa \le 6\Leftrightarrow 0\le \kappa \le 3}$ με $\kappa \in \mathbb{Z}$
Δηλαδή $\kappa =0$ ή $\kappa =1$ ή $\kappa =2$ ή $\kappa =3$

Επομένως για $\kappa =0$ τότε x=0

για $\kappa =1$ τότε $\displaystyle{x=\frac{2\pi }{3}}$

για $\kappa =2$ τότε $x=\frac{4\pi }{3}$

για $\kappa =3$ τότε $\displaystyle{x=2\pi }$

Άρα η εξίσωση (1) στο διάστημα $\displaystyle{\left[ 0,\text{ }2\pi \right]}$ έχει

λύσεις:

, $\displaystyle{x=\frac{2\pi }{3}}$ , $x=\frac{4\pi }{3}$ και $\displaystyle{x=2\pi }$

Οι παραπάνω λύσεις είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων

και

Για

τότε $\sigma \upsilon \nu 0=1$

για $\displaystyle{x=\frac{2\pi }{3}}$ τότε $\sigma \upsilon \nu \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$

για $\displaystyle{x=\frac{4\pi }{3}}$ τότε $\sigma \upsilon \nu \frac{4\pi }{3}=\sigma \upsilon \nu \left( \pi +\frac{\pi }{3} \right)=-\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{3}=-\frac{1}{2}$

για $\displaystyle{x=2\pi }$ τότε $\sigma \upsilon \nu 2\pi =1$

Επομένως τα κοινά σημεία , όπως φαίνονται και στο παραπάνω σχήμα είναι :

$\left( 0,1 \right)$ , $\left( \frac{2\pi }{3},-\frac{1}{2} \right)$ $\left( \frac{4\pi }{3},-\frac{1}{2} \right)$ και $\left( 2\pi ,1 \right)$ .

pap65 · #25

Ξέχασα να υποβάλω το word, γιατί αδυνατώ να εισάγω τον πίνακα του ερωτήματος α.
Αν κάποιος μπορεί ας το κάνει.

hsiodos · #26

rek2 έγραψε:
hsiodos έγραψε:GI_V_ALG_4_17837

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \left| {\alpha + 1} \right|\,\eta \mu (\beta \pi x)}$ με $\displaystyle{\,\alpha \in R}$ και $\displaystyle{\,\beta > 0}$ , η οποία έχει μέγιστη τιμή $\displaystyle{3}$ και περίοδο $\displaystyle{4}$ .

α) Να δείξετε ότι $\displaystyle{\alpha = 2\,}$ ή $\displaystyle{\,\alpha =- 4}$ και $\displaystyle{\beta = \frac{1}{2}}$ . (Μονάδες 7)

β) Για $\displaystyle{\alpha = 2\,}$ και $\displaystyle{\beta = \frac{1}{2}}$ ,

i. να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\,f(x) = 3}$ (Μονάδες 10)

ii. να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ στο διάστημα $\displaystyle{\left[ {0\,,\,8} \right]}$ . (Μονάδες 8)

Λύση:

Εδώ ίσως υπάρξουν ενστάσεις. Το βιβλίο με τον τύπο $T=\frac{2\pi }{\omega }$ αναφέρεται, προφανώς, στην βασική περίοδο.

Τι θα πούμε όμως εδώ, αφού Τ=4 έχουμε π.χ. και για β=1;

Κώστα γεια σου , καλή δύναμη

Νομίζω πως σε τέτοιες περιπτώσεις(δεν είναι και οι μόνες) " σιωπηλά" δεχόμαστε πως γίνεται αναφορά στη βασική περίοδο.
Δες το και από την ανάποδη. Αν έλεγε ότι η βασική περίοδος είναι ίση με 4 τι θα καταλάβαινε ο μαθητής αφού στο σχολικό δεν γίνεται σχετική αναφορά;

pap65 · #27

Ετοιμάζω την 17855

pap65 · #28

ΘΕΜΑ 17855

Ένα σώμα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώματος από το έδαφος (σε $\displaystyle{cm}$ ), δίνεται από την συνάρτηση:
$f\left( t \right)=12\eta \mu \frac{\pi t}{4}+13$ , όπου

ο χρόνος σε ώρες.
α) Να βρείτε την περίοδο της ταλάντωσης. (Μονάδες 7)
β) Να βρείτε την απόσταση του σώματος από το έδαφος τις χρονικές στιγμές $\displaystyle{t=5}$ και $\displaystyle{t=8}$ . (Μονάδες 8)
γ) Να βρείτε κατά το χρονικό διάστημα από $\displaystyle{t=0}$ έως $\displaystyle{t=8}$ , ποιά χρονική στιγμή η απόσταση του σώματος από το έδαφος είναι ελάχιστη. Ποια είναι η απόσταση αυτή;
(Μονάδες10)

ΛΥΣΗ
Α) Η περίοδος μιας συνάρτησης της μορφής $f\left( t \right)=\rho \eta \mu \omega t$

δίνεται από τον τύπο $T=\frac{2\pi }{\omega }$ , επομένως $\Tau =\frac{2\pi }{\frac{\pi }{4}}=\frac{8\pi }{\pi }=8$ ώρες.

Β) Από την συνάρτηση $f\left( t \right)=12\eta \mu \frac{\pi t}{4}+13$

• Για $\displaystyle{t=5}$

$f\left( 5 \right)=12\eta \mu \frac{5\pi }{4}+13=12\eta \mu \left( \pi +\frac{\pi }{4} \right)+13=12\left( -\eta \mu \frac{\pi }{4} \right)+13$

$=12\cdot \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)+13=-6\sqrt{2}+13\quad cm$
• Για $\displaystyle{t=8}$

$f\left( 8 \right)=12\eta \mu \frac{8\pi }{4}+13=12\eta \mu 2\pi +13=12\cdot 0+13=13\quad cm$

Γ) Κατά το χρονικό διάστημα από $\displaystyle{t=0}$ έως $\displaystyle{t=8}$ ,

δηλαδή κατά την διάρκεια μιας περιόδου, γνωρίζουμε ότι η συνάρτησης της μορφής $f\left( t \right)=\rho \eta \mu \omega t,\quad \rho >0$ παρουσιάζει ελάχιστο$ -\rho όταν

\omega t=\frac{3\pi }{2} ,

Επομένως η ελάχιστη απόσταση του σώματος από το έδαφος θα είναι

\min f=-12+13=1\ cm ,

όταν

\frac{\pi t}{4}=\frac{3\pi }{2}\Leftrightarrow \pi t=6\pi \Leftrightarrow t=6$ ώρες.

: 17855.png (13.32 KiB) Προβλήθηκε 5756 φορές

#29

Αγαπητοί φίλοι, με μια πρόχειρη ματιά νομίζω ότι έχουν αντιμετωπιστεί όλα τα θέματα.

Θα προχωρήσουμε σύντομα στην αποδελτίωση και μορφοποίηση των κειμένων.

Έχει προσφερθεί να συγκεντρώσει τα αρχεία ο Γιώργης Καλαθάκης.

Παρακαλούμε όποιον έχει τη δυνατότητα να ελέγξει τις απαντήσεις και να προσθέσει ότι νομίζει ότι θα πλουτίσει το δελτίο μας.

#30

Θα με διευκολύνετε αν στείλετε τα αρχεία docx που δεν υπάρχουν ήδη
στο Kalathakisg@yahoo.com

Ευχαριστώ

#31

exdx έγραψε: ΑL_4_17833

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \sqrt {8 - x} - \sqrt {8 + x} }$ .
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ . (Μονάδες 5)
β) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι άρτια ή περιττή. (Μονάδες 8)
γ) Αν η συνάρτησης $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της, να επιλέξετε ποια από τις παρακάτω τρείς προτεινόμενες, είναι η γραφική της παράσταση και στη συνέχεια να υπολογίσετε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της . (Μονάδες 7)
17833.png
δ) Να αιτιολογήσετε γραφικά ή αλγεβρικά, γιατί οι συναρτήσεις $\displaystyle{g(x) = f(x) - 3}$ και
$\displaystyle{h(x) = f(x + 3)}$ δεν είναι ούτε άρτιες ούτε περιττές . (Μονάδες 5)

(...)
Ακόμα η συνάρτηση $\displaystyle{h}$ έχει τύπο $\displaystyle{h(x) = f(x + 3) = \sqrt {8 - (x + 3)} - \sqrt {8 + (x + 3)} = \sqrt {5 - x} - \sqrt {11 + x} }$ και ορίζεται αν και μόνο αν :
$\displaystyle{\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {5 - x \ge 0} \\ {11 + x \ge 0} \\ \end{array}} \right\} \Leftrightarrow \left. {\begin{array}{*{20}{c}} {x \le 5} \\ {x \ge - 11} \\ \end{array}} \right\} \Leftrightarrow - 11 \le x \le 5}$
Επομένως το πεδίο ορισμού της είναι το : $\displaystyle{{\,D = [ - 5,11]}}$ και δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή αφού δεν ικανοποιείται η συνθήκη :
για κάθε $\displaystyle{x \in D}$ και $\displaystyle{ - x \in D}$ , αφού π.χ. είναι $\displaystyle{11 \in D}$ και $\displaystyle{ - 11 \notin D}$ .

Καλησπέρα σε όλους.

Κοιτώντας τα θέματα, ίσως είναι η ιδέα μου, αλλά νομίζω ότι στην Άλγεβρα Β΄Γενικής Παιδείας, (το τονίζω: ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ) ο πήχης έχει πάει ψηλά, πολύ ψηλά. Δουλεύοντας τέτοια θέματα στις τάξεις, θα δούμε αν είναι υπερβολικοί οι φόβοι μου.

Επίσης, στο ερώτημα (δ) η h(x)

είναι σύνθετη. Σωστά ο Γιώργης υπολογίζει εδώ το Π.Ο. της, αλλά, όπως ξέρουμε, υπάρχει περίπτωση σε μια σύνθετη συνάρτηση το Π.Ο. της να μην προκύπτει από τις συνθήκες στον τελικό τύπο, αλλά με τους τύπους που δίνονται στη Γ΄ Λυκείου.
Επειδή δεν νομίζω να αποτελεί διδακτικό στόχο στην Α΄ή στη Β΄ Λυκείου η εύρεση Π.Ο. σύνθετης συνάρτησης, μήπως θα έπρεπε να ξαναδούν οι υπεύθυνοι ολόκληρο αυτό το θέμα;

#32

pap65 έγραψε:ΘΕΜΑ 17855

Ένα σώμα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώματος από το έδαφος (σε $\displaystyle{cm}$ ), δίνεται από την συνάρτηση:
$f\left( t \right)=12\eta \mu \frac{\pi t}{4}+13$ , όπου ο χρόνος σε ώρες.
α) Να βρείτε την περίοδο της ταλάντωσης. (Μονάδες 7)
β) Να βρείτε την απόσταση του σώματος από το έδαφος τις χρονικές στιγμές $\displaystyle{t=5}$ και $\displaystyle{t=8}$ . (Μονάδες 8)
γ) Να βρείτε κατά το χρονικό διάστημα από $\displaystyle{t=0}$ έως $\displaystyle{t=8}$ , ποιά χρονική στιγμή η απόσταση του σώματος από το έδαφος είναι ελάχιστη. Ποια είναι η απόσταση αυτή;
(Μονάδες10)

Θέλω να πιστεύω ότι είναι απλή αβλεψία που θα διορθωθεί άμεσα.

Σε αντίθεση με το 4_17852, όπου ο χρόνος (λογικά) δίνεται σε sec

, εδώ μονάδα χρόνου είναι η ώρα, ενώ η απόσταση μετριέται σε

.

Οπότε.... το σώμα θέλει

ώρες για να κινηθεί λίγα εκατοστά!

Παράλογο, όπως και να το δεις! Ακόμα και το γνωστό μυρμήγκι στην Άλγεβρα Ά Λυκείου που ήθελε ένα λεπτό για να κινηθεί ένα εκατοστό, είναι ταχύτερο από το εν λόγω σώμα!

Ελπίζουμε στην άμεση διόρθωση της μονάδας χρόνου. Μη ξεχνάμε σε λίγους μήνες τα παιδιά μας θα συμμετέχουν στον PISA 2015. Οι εκφωνήσεις των προβλημάτων πρέπει να είναι όσο γίνεται ρεαλιστικές.

pap65 · #33

H αραχνούλα πήγαινε ακόμη πιο γρήγορα !!!

Antonis_A · #34

επί του θέματος ΑL_4_17833 ερώτημα (δ)
Δεν είναι απαραίτητο να εξετάσουμε το Π.Ο. της συνάρτησης αναλόγως το όρισμα της.
(για το δεδομένο πεδίο ορισμού) H γραφική παράσταση προκύπτει απο την οριζόντια μετατόπιση κατά 3 μονάδες αριστερά,
επομένως θα έχουμε την γραφική παράσταση της εικόνας.

Πιο απλό δεν είναι έτσι για την Β';

#35

Antonis_A έγραψε: Θα μου επιτρέψετε να εκφράσω αντίθετη γνώμη. Η συνάρτηση δεν αλλάζει Π.Ο. αναλόγως το όρισμα της.]

Αγαπητέ Αντώνη, ίσως να μην εξήγησα καλά τι εννοούσα.
Το ξαναγράφω με ένα παράδειγμα, αν και δε θέλω να φορτώσουμε τη συγκεκριμένη σελίδα με διαλόγους και απόψεις, που προσπερνούν το περιεχόμενό της.

Είπα ότι ΝΟΜΙΖΩ ΟΤΙ ΞΕΦΕΥΓΕΙ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΣΤΟΧΟΥΣ ΤΗΣ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ Η ΕΥΡΕΣΗ Π.Ο. ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ, αν και εδώ δεν υπάρχει πρόβλημα ορθότητας στη λύση του Γιώργη.

Αλλού, όμως, θα μπορούσε:

Π.χ.
Γράφω τα ευρύτερα το δυνατόν υποσύνολα του

στο οποίο ορίζονται οι συναρτήσεις.

Έστω η $\displaystyle f\left( x \right) = \frac{1}{x},\;\;x \in {R^*}$

Τότε $\displaystyle f\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{1}{{\frac{1}{x}}} = x,\;\;x \in {R^*}$

Ενώ αν (λανθασμένα) αναζητήσω το Π.Ο. της $\displaystyle f\left( {\frac{1}{x}} \right)$ κοιτώντας μόνο τον τύπο της, δίχως να λάβω υπόψη ότι προήλθε από σύνθεση άλλων (εν προκειμένω $\displaystyle f \circ f$ ) , τότε η $\displaystyle g\left( x \right) = x$ ορίζεται προφανώς σ' όλο το

.

depymak · #36

pap65 έγραψε:H αραχνούλα πήγαινε ακόμη πιο γρήγορα !!!

Aπό περιέργεια έβαλα στο wolfram alpha ταχύτητα 1 cm/h και μου έβγαλε: 1.8Χspeed cellular vesicle propelled by a motor protein"
Τι να πω ...βιολόγα δεν είμαι ...το ξαναψάχνω και βρίσκω άρθρο ένα άρθρο http://www.ncbi.nlm.nih.gov/books/NBK21710/:διαβάζω διάφορα και ..." Transported materials are divided into three groups according to the speed of movement. The fastest-moving material, consisting of membrane-bounded vesicles, has a velocity of about 250 mm/day, or about 3 μm/s. The slowest material, comprising mostly polymerized cytoskeletal proteins, moves only a fraction of a millimeter per day."!!!

#37

Αναρτώ εδώ ένα κείμενο με κάποιους προβληματισμούς μου σχετικά με τη χρήση "πραγματικών" προβλημάτων στην Άλγεβρα της Β΄ Λυκείου. Θα χαιρόμουν να προκληθεί συζήτηση και οι προβληματισμοί μας να μην χαθούν στις ισοπέδωτικές διαδικασίες των προκάτ λογιστικών τυποποιημένων αξιολογήσεων (Βλέπετε ΕΔΩ), αλλά να ληφθούν υπόψη από τους υπεύθυνους.

Σχετικά με τις διατυπώσεις των προβλημάτων της Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β΄ Λυκείου
της Τράπεζας θεμάτων
(Ενημέρωση "Τράπεζας Θεμάτων Νοέμβριος 2014)

Θέλω να κάνω κάποιες παρατηρήσεις, διαβάζοντας τα θέματα της Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β΄ Λυκείου της Τράπεζας θεμάτων, που είναι διατυπωμένα υπό μορφή προβλήματος, δηλαδή τις ασκήσεις που έχουν στην εκφώνησή τους ένα σενάριο, που (υποτίθεται ότι) αντανακλά κάποια πραγματική κατάσταση, η οποία μπορεί να μοντελοποιηθεί και να μελετηθεί με τα εργαλεία της Άλγεβρας.

Τα περισσότερα αφορούν το κεφάλαιο το συστημάτων και έχουν τετριμμένες, χιλιοειπωμένες διατυπώσεις, που είναι απωθητικές για την πλειοψηφία των μαθητών.
Π.χ. ποια πραγματική κατάσταση εκφράζει το "πρόβλημα" 2_17651, όπου ένας, προφανώς ψυχαναγκαστικός, υπάλληλος μετρά όχι πόσα αυτοκίνητα και πόσα μηχανάκια χωρά το (παραδόξως τεράστιο) δημοτικό πάρκινγκ, αλλά πόσα οχήματα είναι μαζί και πόσες ρόδες έχουν συνολικά και κατόπιν λύνει σύστημα για να βρει τον αριθμό των αυτοκινήτων και των μηχανών. Θυμίζει τα παλιά ανούσια προβλήματα με τον χωρικό που μετρά μαζί πρόβατα και κότες, μετά μετρά τα πόδια τους και λύνοντας το συστηματάκι τα ταξινομεί κατ' είδος.
Αναρωτιέμαι τι προσφέρουν τέτοιου είδους διατυπώσεις σε θέματα εξέτασης του Ιουνίου. Ποιους στόχους από αυτούς της προκήρυξης εξυπηρετούν;

Το 2_17717 που αναφέρεται στα καθίσματα δύο διαζωμάτων ενός θεάτρου, είναι απλό σύστημα, αληθοφανές, δίχως ιδιαίτερη δυσκολία, αλλά και δίχως να εξυπηρετεί τίποτα σε επίπεδο Β΄ Λυκείου. Για το Γυμνάσιο θα ήταν καλό.
Όπως και το 2_16957 με τις ηλικίες δύο φίλων, των οποίων γνωρίζουμε το άθροισμα των ηλικιών και τη διαφορά μεταξύ τους.

Το 4_17834 αναφέρεται στους λόγους των ηλικιών γονέων προς το παιδί. Ζητείται η κατασκευή του συστήματος και η επίλυσή του.

Προφανώς, κι εδώ, το "σενάριο" δεν προσφέρει γλαφυρότητα στο πρόβλημα, ούτε τραβά το ενδιαφέρον των μαθητών. Δεν είναι "ρεαλιστικό", σύμφωνα με την επίσημη άποψη των υπευθύνων του προγράμματος PISA(*). Το αναφέρουμε αυτό, γιατί η έμφαση στη διδασκαλία των μαθηματικών μέσω προβλημάτων, αποδίδεται στην προσπάθεια της βελτίωσης της θέσης μας στο διαγωνισμό αυτό.
Το ίδιο σχόλιο και για το 4_17850, όπου πρέπει να πολλαπλασιάσουμε ηλικίες για να βρούμε τη μοναδική δεκτή λύση. Αλήθεια, ποια φυσική έννοια έχει το γινόμενο ηλικιών;

Ένα μειονέκτημα των παραπάνω θεμάτων, που ίσως τώρα δεν γίνεται φανερό, αλλά τον Ιούνη οι διορθωτές θα το αντιμετωπίσουν, είναι η εξάρτηση των δεύτερων ερωτημάτων από τα πρώτα. Δηλαδή όποιος μαθητής δεν απαντήσει στο πρώτο ερώτημα αποκλείεται να ασχοληθεί με το επόμενο. Αυτό και μόνο τα μετατρέπει σε ακατάλληλα για θέματα εξέτασης. Κι αυτό δε διορθώνεται γιατί απλούστατα σε ένα πρόβλημα ηλικιών δεν μπορείς να "καρφώσεις" το αποτέλεσμα από το πρώτο ερώτημα.
Γίνεται επικίνδυνα γελοίο ως θέμα. Π.χ. στο 4_17834, πώς θα μπορούσε να διατυπωθεί το ερώτημα (α), ώστε να δοθούν οι εξισώσεις, με στόχο στο (β) να ελεγχθεί μόνο αν οι μαθητές μπορούν να λύσουν το σύστημα;
Έτσι ένας μαθητής που ξέρει να λύνει σύστημα, αλλά δεν το κατασκεύασε σωστά στο πρώτο ερώτημα μηδενίζεται όπως κι αυτός που δεν θα ασχοληθεί καθόλου. Μη ξεχνάμε ότι πρόκειται για μάθημα Γενικής Παιδείας, στο οποίο εξετάζονται και μαθητές που σκοπεύουν να ακολουθήσουν άλλα επιστημονικά πεδία.

Στο πρόβλημα 4_17855 ο χρόνος ταλάντωσης δίνεται σε ώρες (!) αντί για sec, όπως είναι σύνηθες σε σχετικά προβλήματα (και στο 4_17481), με αποτέλεσμα να χρειάζονται

ώρες για την ταλάντωση ολίγων εκατοστών. Προφανώς, για να γίνει αληθοφανές, χρειάζεται διόρθωση.

Στο 4_17481 δίνεται ημιτονοειδής συνάρτηση που μελετά το ύψος ενός καθίσματος μιας ρόδας λούνα παρκ. Η συνάρτηση είναι σωστή και τα μεγέθη σχεδόν σωστά. Ελάχιστο ύψος τα

μέτρα και μέγιστο τα

. Θα προτιμούσαμε ελάχιστο ύψος το

μέτρο για να μη δυσκολευτούν επισκέπτες του λούνα παρκ στην ανάβαση, αλλά δε νομίζω ότι τίθεται πρόβλημα.
Κάνουν τρεις γύρους του ενός λεπτού, απολύτως λογικό.

Η μελέτη της κίνησης της ρόδας ως πρόβλημα είναι ελκυστικό. Υπάρχει σχετική (δύσκολη) άσκηση στις γενικές του βιβλίου, όπου πρέπει να κατασκευαστεί η εξίσωση που δίνει το ύψος του καθίσματος.
Χρησιμοποιώντας πολικές συντεταγμένες για το σημείο Μ που κινείται στον κύκλο, έχουμε M(cosx, sinx)

, όπου

η γωνία της

με τον οριζόντιο άξονα.
Οπότε το ύψος του είναι απλούστατα η τιμή του cosx

, όσο το

διατρέχει τον κύκλο.
Η συνάρτηση, λοιπόν που δίνει το ύψος είναι συνημιτονοειδής καμπύλη.
Όμως και η χρήση της ημιτονοειδούς καμπύλης είναι αποδεκτή. Οι Φυσικοί, καθόσον ξέρω, συνηθίζουν να χρησιμοποιούν ημίτονα σε σχετικά προβλήματα. Όπου συναντούν συνημίτονο το μετατρέπουν σε ημίτονο με διαφορά φάσης 90^0

.
Όμως…, η μελέτη ξεκινά από τη χρονική στιγμή t = 0

, όπου το κάθισμα βρίσκεται στα

μέτρα. Αυτό φαντάζει παράλογο σε ένα πρόβλημα του πραγματικού κόσμου (κοντά στο ύφος των θεμάτων του PISA, μόνο που αυτά περιέχουν φτωχότερες μαθηματικές επεξεργασίες)
Θα πρότεινα, λοιπόν, μια άλλη συνάρτηση είτε με ημίτονο είτε με συνημίτονο, ώστε τη χρονική τιμή t = 0

να βρίσκεται στην ελάχιστη θέση (φόρτωσης).
Εδώ θα μπορούσε να είναι $f\left( t \right) = 6{\rm{\eta \mu }}\left( {\frac{{{\rm{\pi t}}}}{{30}} + \frac{{3\pi }}{2}} \right) + 8,\;\;0 \le t \le 180\;\;\left( {{\rm{\sigma \varepsilon sec}}} \right)$ .
Κάτι τέτοιο το κάνει πιο αληθοφανές, αλλά ασφαλώς του προσθέτει δυσκολία.
Συγκρινόμενο με άλλα "τέταρτα θέματα" αποδεικνύεται ότι μόνο ισοδύναμα δεν είναι τα θέματα, ως όφειλαν. Έτσι, όμως, καθίσταται η όλη διαδικασία (τυχαία επιλογή κατά σχολείο) άδικη και τελικά προβληματική.
Σε αναμονή των επόμενων θεμάτων και τυχόν τροποποιήσεων των παρόντων.

ΑΝΑΦΟΡΕΣ
[1] Θέματα Άλγεβρας Β΄ Λυκείου, Τράπεζα θεμάτων (ενημέρωση Νοέμβριος 2014),
http://exams-repo.cti.gr/category/89-alegvra?Itemid

(*) Η άποψη των υπευθύνων του PISA είναι:
Τα προβλήματα του «πραγματικού κόσμου» δίνουν ένα αυθεντικό περιεχόμενο στη χρήση των μαθηματικών, από τη στιγμή που η εφαρμογή των μαθηματικών είναι το κύριο εργαλείο για τη λύση του προβλήματος. Η αυθεντικότητα του προβλήματος έρχεται συχνά σε αντίθεση με τα συνήθη προβλήματα των σχολικών διαγωνισμάτων, όπου προτεραιότητά τους είναι η εξάσκηση με τα μαθηματικά, αντί της χρήσης των μαθηματικών για την επίλυση πραγματικών προβλημάτων.
Η αυθεντικότητα στη χρήση των μαθηματικών είναι ένας σημαντικός παράγοντας στο σχεδιασμό και την ανάλυση των περιεχομένων των διαγωνισμών PISA, στενά συνδεδεμένων με τον ορισμό της μαθηματικής γνώσης (επάρκειας).
Σημειώστε ότι ο όρος «αυθεντικό» δεν χρησιμοποιείται για να δηλώσει ότι τα περιεχόμενα είναι με μια έννοια γνήσια και πραγματικά. Ο PISA χρησιμοποιεί τον όρο «αυθεντικό» για να δηλώσει ότι η χρήση των μαθηματικών χρησιμοποιείται για την επίλυση προβλημάτων, σε αντίθεση με την κατασκευή «προβλημάτων» ως όχημα για την εξάσκηση στα μαθηματικά.
Βλέπε σε ηλεκτρονική μορφή εδώ (σ. 22).

Σε μορφή pdf το κείμενο είναι στο συνημμένο αρχείο.

Antonis_A · #38

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Στο 4_17481 δίνεται ημιτονοειδής συνάρτηση που μελετά το ύψος ενός καθίσματος μιας ρόδας λούνα παρκ. Η συνάρτηση είναι σωστή και τα μεγέθη σχεδόν σωστά. Ελάχιστο ύψος τα μέτρα και μέγιστο τα . Θα προτιμούσαμε ελάχιστο ύψος το μέτρο για να μη δυσκολευτούν επισκέπτες του λούνα παρκ στην ανάβαση, αλλά δε νομίζω ότι τίθεται πρόβλημα.
Κάνουν τρεις γύρους του ενός λεπτού, απολύτως λογικό.

Επίσης, η σωστή διατύπωση του ερωτήματος β είναι: "Να υπολογίσετε την ακτίνα του κύκλου που διαγράφει το κάθισμα".
Αλλά, γιατί πιστεύουμε ότι είναι γνωστό στους μαθητές τι είναι ρόδα στο λούνα πάρκ;... Το λιγότερο που πρέπει να δωθεί στην άσκηση είναι σχήμα.

Ακόμα στο γ) διατυπώνει: "Να βρείτε την περίοδο της κίνησης"
Επίσης λανθασμένη διατύπωση, διότι η κίνηση του σώματος διαρκεί 180sec, οπότε μια κίνηση στο Δχ έχει περίοδο 1.
Η άσκηση ζητάει την εύρεση της περιόδου και της συχνότητας περιστροφής.

Συμφωνώ και επαυξάνω ότι τα θέματα στα οποία η επίλυση επόμενων ερωτημάτων αποκλείεται απο την μη επίλυση προηγούμενων, είναι ακατάλληλα για εξετάσεις.

Το γεγονός ότι δεν δίνονται οι λύσεις -αναφέρομαι στην Α εδώ- ύστερα απο τόσο καιρό θα έπρεπε τα θεωρείται απο όλους απαράδεκτο
(όπως απαράδεκτο είναι αρκετά Λύκεια να μην κάνουν Γεωμετρία στην Β' ολόκληρο τον Οκτώβριο λόγω έλλειψης διδάσκοντα)
αν όχι εκ του πονηρού. Όπως εκ του πονηρού είναι η άρνηση καθηγητών σε μαθητές να πάρουν στο σπίτι θέματα στα οποία εξετάστηκαν.

Ασύνδετα μοιάζουν μεταξύ τους, στην βάση τους όμως είναι;

dimkat · #39

Στο θέμα 4_17835 στο γ ερώτημα, αν η λύση για το λ ήταν το 3, θα γινόταν δεκτή?

#40

Με επισήμανση του φίλου Δ.Κατούνη (dimkat) διόρθωσα στη λύση μου, αυτή της 4_17835 στο Γ) ερώτημα το εξής:

Είχα γράψει εκ παραδρομής οι ευθείες x+3y=5

ενώ το σωστό είναι x+5y=3.

Διορθώθηκε και παρακαλώ να ληφθεί υπ'όψιν.

4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση