4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

panppdop · #61

akis_man έγραψε:
ΘΕΜΑ: GI_V_ALG_4_20334

Στο σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις μιας παραβολής $f\left( x \right) = \alpha {x^2} + \beta x + \gamma$ και της ευθείας $g\left( x \right) = - x + 2$ .

α) Δεδομένου ότι η παραβολή διέρχεται από τα σημεία Α, Β, Γ, να βρείτε τα α, β, γ.
(Μονάδες 8)
β) Αν $\alpha = \frac{1}{2},\beta = 0$ και $\gamma = - 2$ , να βρείτε αλγεβρικά τις συντεταγμένες των κοινών σημείων ευθείας και παραβολής.
(Μονάδες 8)
γ) Αν μετατοπίσουμε την παραβολή κατά 4,5 μονάδες προς τα πάνω, να δείξετε ότι η ευθεία και η παραβολή θα έχουν ένα μόνο κοινό σημείο.
(Μονάδες 9)

(Σημείωση: Τα σημεία δε δίνονται από το σχήμα στην εκφώνηση της άσκησης. Ο μαθητής πρέπει να τα εντοπίσει.)

ΛΥΣΗ:

α) Τα σημεία είναι: ${\rm A}\left( {3,0} \right),{\rm B}\left( { - 2,0} \right),\Gamma \left( {0, - 2} \right)$ .
Αφού η παραβολή μας διέρχεται από τα σημεία Α, Β, Γ, τότε τα σημεία αυτά θα επαληθεύουν την εξίσωσής της.
Οπότε:
Από το σημείο ${\rm A}\left( {3,0} \right)$ έχω: $\displaystyle{0 = \alpha {3^2} + \beta 3 + \gamma \Leftrightarrow 9\alpha + 3\beta + \gamma = 0}$ .
Από το σημείο ${\rm B}\left( {3,0} \right)$ έχω: $0 = \alpha {\left( { - 2} \right)^2} + \beta \left( { - 2} \right) + \gamma \Leftrightarrow 4\alpha - 2\beta + \gamma = 0$ .
Από το σημείο $\Gamma \left( {0, - 2} \right)$ έχω: $- 2 = \alpha {0^2} + \beta 0 + \gamma \Leftrightarrow \gamma = - 2$ .

Λύνοντας το σύστημα των παραπάνω εξισώσεων θα βρούμε τα α, β, και γ, και κατ’ επέκταση την εξίσωση της παραβολής μας.

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {9\alpha + 3\beta + \gamma = 0}\\ {4\alpha - 2\beta + \gamma = 0}\\ {\gamma = - 2} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {9\alpha + 3\beta - 2 = 0}\\ {4\alpha - 2\beta - 2 = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {9\alpha + 3\beta = 2}\\ {4\alpha - 2\beta = 2} \end{array}} \right. \Leftrightarrow$

$D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 9&3\\ 4&{ - 2} \end{array}} \right| = - 18 - 12 = - 30$

${D_\alpha } = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ 2&{ - 2} \end{array}} \right| = - 4 - 6 = - 10$

${D_\beta } = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 9&2\\ 4&2 \end{array}} \right| = 18 - 8 = 10$

Άρα: $\left( {\alpha ,\beta } \right) = \left( {\frac{{{D_\alpha }}}{D},\frac{{{D_\beta }}}{D}} \right) = \left( {\frac{{ - 10}}{{ - 30}},\frac{{10}}{{ - 30}}} \right) = \left( {\frac{1}{3}, - \frac{1}{3}} \right)$

Οπότε έχουμε $\alpha = \frac{1}{3},\beta = - \frac{1}{3},\gamma = - 2$ και η εξίσωση της παραβολή μας γίνεται: $f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^2} - \frac{1}{3}x - 2$

β) Όταν $\alpha = \frac{1}{2},\beta = 0$ και $\gamma = - 2$ , η εξίσωση της παραβολή μας παίρνει την μορφή: $f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} + 0x - 2 = \frac{1}{2}{x^2} - 2$ .

Για να βρούμε τα κοινά σημεία θα λύσουμε το σύστημα της $f\left( x \right)$ και της $g\left( x \right)$ .

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = \frac{1}{2}{x^2} - 2}\\ {y = - x + 2} \end{array}} \right.\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( = \right)} \frac{1}{2}{x^2} - 2 = - x + 2 \Leftrightarrow \frac{1}{2}{x^2} + x - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 8 = 0$

$\Delta = {\beta ^2} - 4\alpha \gamma = {2^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 8} \right) = 4 + 32 = 36$

${x_{1,2}} = \frac{{ - \beta \pm \sqrt \Delta }}{{2\alpha }} = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {36} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - 2 \pm 6}}{2} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = \frac{{ - 2 + 6}}{2} = \frac{4}{2} = 2}\\ {{x_2} = \frac{{ - 2 - 6}}{2} = \frac{{ - 8}}{2} = - 4} \end{array}} \right.$

Άρα για ${x_1} = 2$ έχουμε ${y_1} = - 2 + 2 = 0$ και
για ${x_2} = - 4$ έχουμε ${y_2} = - \left( { - 4} \right) + 2 = 6$ .

Οπότε τα σημεία τομής της παραβολής $f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} - 2$ και της ευθείας $g\left( x \right) = - x + 2$ είναι τα: $\left( {{x_1},{y_1}} \right) = \left( {2,0} \right)$ και $\left( {{x_2},{y_2}} \right) = \left( { - 4,6} \right)$ .

γ) Αν μετατοπίσουμε την παραβολή μας κατά 4,5 μονάδες προς τα πάνω θα έχουμε μία νέα εξίσωση της μορφής:
$h\left( x \right) = f\left( x \right) + 4,5 = f\left( x \right) + \frac{9}{2} = \frac{1}{2}{x^2} - 2 + \frac{9}{2} = \frac{1}{2}{x^2} + \frac{5}{2}$ .

Λύνοντας το νέο σύστημα της $h\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} + \frac{5}{2}$ και της $g\left( x \right) = - x + 2$ έχουμε:

$\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = \frac{1}{2}{x^2} + \frac{5}{2}}\\ {y = - x + 2} \end{array}} \right.\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( = \right)} \frac{1}{2}{x^2} + \frac{5}{2} = - x + 2 \Leftrightarrow \frac{1}{2}{x^2} + x + \frac{5}{2} - 2 = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}{x^2} + x + \frac{1}{2} = \\ {x^2} + 2x + 1 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{\tau \alpha \upsilon \tau \tau \eta \tau \alpha } {\left( {x + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \end{array}$

Άρα το $y = - \left( { - 1} \right) + 2 = 3$ .
Οπότε το σημείο τομής των $h\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} + \frac{5}{2}$ και $g\left( x \right) = - x + 2$ είναι ένα, το: $\left( {x,y} \right) = \left( { - 1,3} \right)$ .

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Στην εκφώνηση του ερωτήματος (γ), δεν διευκρινίζεται ποια παραβολή θα πρεπει να λάβουμε, αυτή του (α) ερωτήματος ή αυτή του (β), και μπορεί να προκληθεί σύγχυση.
Αν ο μαθητής λάβει την παραβολή του ερωτήματος (α) δεν θα μπορέσει να το αποδείξει, διότι με την μεταφορά δεν προκύπτει ένα ζεύγος λύσεων.

Αν δεν κάνω λάθος, νομίζω η λύση στο α΄ ερώτημα έχει κάποιο προβληματάκι, το οποίο οφείλεται σε λάθος σχήμα (γραφική παράσταση). Αν δε μου ξεφεύγει κάτι, άλλο είναι το σχήμα που δίνεται στην εκφώνηση. Επίσης, η συνάρτηση που προκύπτει είναι η ίδια και στα α΄ και στο β΄ ερώτημα.

akis_man · #62

Αν δεν κάνω λάθος, νομίζω η λύση στο α΄ ερώτημα έχει κάποιο προβληματάκι, το οποίο οφείλεται σε λάθος σχήμα (γραφική παράσταση). Αν δε μου ξεφεύγει κάτι, άλλο είναι το σχήμα που δίνεται στην εκφώνηση. Επίσης, η συνάρτηση που προκύπτει είναι η ίδια και στα α΄ και στο β΄ ερώτημα.

ΘΕΜΑ: GI_V_ALG_4_20334

Ευχαριστώ πάρα πολύ για την παρατήρηση. Έχετε απόλυτο δίκιο. Έλαβα το σημείο Α με λανθασμένες συντεταγμένες από την εκφώνηση

. Διορθώθηκε.

#63

GI_V_ALG_4_20335

Η Άλκηστη και η Ελένη αγαπούν την πεζοπορία και βρίσκονται το καλοκαίρι στην Αμοργό.
Αποφασίζουν να περπατήσουν ένα μονοπάτι περίπου $\displaystyle{16}$ χιλιομέτρων που συνδέει τη Χώρα με
τον όρμο της Αιγιάλης.
Η Άλκηστη ανηφορίζει το μονοπάτι από την Αιγιάλη για να συναντήσει την Ελένη που μένει στη
Χώρα. Υπολογίζει ότι η ταχύτητά της έχει σταθερό μέτρο $\displaystyle{2,4}$ χιλιόμετρα την ώρα. Την ίδια
στιγμή, όμως, ξεκινά η Ελένη να κατηφορίζει το ίδιο μονοπάτι και υπολογίζει ότι η ταχύτητά
της έχει σταθερό μέτρο $\displaystyle{4}$ χιλιόμετρα την ώρα. Μια δεδομένη χρονική στιγμή σε κάποιο σημείο
της διαδρομής συναντά την Άλκηστη.
α) Αν $\displaystyle{t}$ είναι ο χρόνος που περπάτησαν μέχρι να συναντηθούν και $\displaystyle{s}$ η απόσταση του σημείου
συνάντησης από την Αιγιάλη, να κατασκευάσετε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με αγνώστους το
$\displaystyle{t}$ και το $\displaystyle{s}$ , το οποίο να περιγράφει την παραπάνω κατάσταση.
(Μονάδες 10)
β) Σε πόση απόσταση από τη Χώρα και ποια χρονική στιγμή θα συναντηθούν οι δυο κοπέλες;
Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 15)

pap65 · #64

4_20335

ΛΥΣΗ

α) Η απόσταση

από την Αιγιάλη μέχρι το σημείο συνάντησης, είναι η απόσταση που διένυσε η Άλκηστη.

Επομένως δίνεται από την εξίσωση $s=2,4\cdot t\quad \left( 1 \right)$

Η απόσταση που διένυσε η Ελένη είναι 16-s

χιλιόμετρα

Επομένως θα ισχύει $16-s=4\cdot t\quad \left( 2 \right)$

β) Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω εξισώσεις έχουμε:

$16=2,4\cdot t+4\cdot t\Leftrightarrow 16=6,4\cdot t\Leftrightarrow t=\frac{16}{6,4}\Leftrightarrow t=2,5$ ώρες.

Αντικαθιστώντας στην σχέση (1) έχουμε: $\displaystyle{s=2,4\cdot 2,5=6}$ χιλιόμετρα.

Συνεπώς η απόσταση 16-s

από την Χώρα μέχρι το σημείο συνάντησης είναι

χιλιόμετρα.

Η χρονική στιγμή της συνάντησης είναι t=2,5

ώρες.

#65

exdx έγραψε:GI_V_ALG_4_20335

Η Άλκηστη και η Ελένη αγαπούν την πεζοπορία και βρίσκονται το καλοκαίρι στην Αμοργό.
Αποφασίζουν να περπατήσουν ένα μονοπάτι περίπου $\displaystyle{16}$ χιλιομέτρων που συνδέει τη Χώρα με
τον όρμο της Αιγιάλης.
Η Άλκηστη ανηφορίζει το μονοπάτι από την Αιγιάλη για να συναντήσει την Ελένη που μένει στη
Χώρα. Υπολογίζει ότι η ταχύτητά της έχει σταθερό μέτρο $\displaystyle{2,4}$ χιλιόμετρα την ώρα. Την ίδια
στιγμή, όμως, ξεκινά η Ελένη να κατηφορίζει το ίδιο μονοπάτι και υπολογίζει ότι η ταχύτητά
της έχει σταθερό μέτρο $\displaystyle{4}$ χιλιόμετρα την ώρα. Μια δεδομένη χρονική στιγμή σε κάποιο σημείο
της διαδρομής συναντά την Άλκηστη.
α) Αν $\displaystyle{t}$ είναι ο χρόνος που περπάτησαν μέχρι να συναντηθούν και $\displaystyle{s}$ η απόσταση του σημείου
συνάντησης από την Αιγιάλη, να κατασκευάσετε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με αγνώστους το
$\displaystyle{t}$ και το $\displaystyle{s}$ , το οποίο να περιγράφει την παραπάνω κατάσταση.
(Μονάδες 10)
β) Σε πόση απόσταση από τη Χώρα και ποια χρονική στιγμή θα συναντηθούν οι δυο κοπέλες;
Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 15)

Καλημέρα σε όλους.

Είναι γνωστό ότι κάποια από τα προβλήματα κίνησης λύνονται και "πρακτικά", δίχως τη χρήση συστημάτων, κατασκευάζοντας τις λεγόμενες οριακές περιπτώσεις.

Π.χ., εδώ, εφόσον τα δυο κορίτσια ξεκινούν ταυτόχρονα, κινούνται αντίθετα και συναντώνται, διανύουν μαζί 16 Km

. Θεωρούμε ότι κινείται μόνο η μία με ταχύτητα 2,4+4=6,4 Km/h

, οπότε συναντώνται μετά από $\displaystyle \frac{16}{6,4}=2,5 h$ . (Αυτό εννοούμε όταν λέμε "οριακή περίπτωση").
Τότε η Ελένη έχει διανύσει απόσταση S=4 * 2,5 = 10 Km

από τη Χώρα.

Ο προβληματισμός μου είναι ο εξής:
Απαντήσαμε στο ερώτημα (β), παραλείποντας το βοηθητικό ερώτημα (α).
Ακολουθώντας τους τύπους χάνουμε 10 μονάδες, εφόσον δεν χρησιμοποιήσαμε τη μέθοδο που ο θεματοδότης μας υποδεικνύει (ή μάλλον επιβάλει).
Κατανοώ ότι στόχος του θέματος είναι να ελέγξει αν ξέρουμε να "μοντελοποιούμε" μια πραγματική κατάσταση σε σύστημα και κατόπιν αν ξέρουμε να το λύνουμε.
Θεωρώντας, όμως, ότι η Άλγεβρα είναι εργαλείο για την επίλυση προβλημάτων (βασική φιλοσοφία των "Ρεαλιστικών Μαθηματικών, π.χ. βλέπε έρευνα PISA), ποια αρχή της Διδακτικής μού καθορίζει (με ποινή αφαίρεσης μονάδων) τι εργαλεία θα χρησιμοποιήσω; Γιατί να μην το λύσω σε δυο γραμμές, δίχως συστήματα;
Εδώ θα ήθελα (ειλικρινά το λέω) τη γνωμάτευση των ειδικών της Διδακτικής. Θα μπορούσε να τεθεί η παραπάνω κατάσταση ως ερώτημα εργασίας.

Επίσης δεν μπορώ να παραβλέψω το, ΑΠΑΡΑΔΕΚΤΟ για εξετάσεις, γεγονός ότι το δεύτερο ερώτημα εξαρτάται από το πρώτο.
Το έχουμε ξαναπεί, αλλά φαίνεται ή ΔΕΝ μάς ακούν ή ΔΕΝ μάς καταλαβαίνουν ή ΈΧΟΥΝ άλλη άποψη για τη δομή των θεμάτων των εξετάσεων.
Αν ξέρω να λύσω σύστημα, αλλά δεν ξέρω να μοντελοποιώ ή κάνω λάθος στα δεδομένα, γιατί να χάσω τις μονάδες του ερωτήματος (β); Δεν είναι αρνητικά ισοπεδωτικό αυτό, άρα απαράδεκτο για θέμα ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ;

Θα χαιρόμουν να ακούσω γνώμες.

depymak · #66

4_20335
Η επίλυση που δόθηκε στο θέμα αυτό από τον συνάδελφο pap65 είναι ορθή και πλήρης ,επίσης εξαιρετικό και το σχόλιο του συναδέλφου Γιώργου Ρίζου. Καταθέτω τη γνώμη μου στα λεγόμενα του μηνύματος του τελευταίου.
Φαντάζομαι ότι κάθε λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι ορθή. Όπως εσείς ,ωστόσο,είπατε η μοντελοποίηση είναι βασική διαδικασία των επιστημών που υπηρετούμε. Θεωρώ ότι αν τα παιδιά δεν είναι σε θέση να διαπραγματευθούν το πρώτο υποερώτημα , ενδέχεται να χωλαίνουν εννοιολογικά στην έννοια της ταχύτητας και της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης H χρήση γνώσεων και επιδεξιοτήτων από ένα γνωστικό πεδίο σε άλλο γνωστικό πεδίο είναι διδακτικά δόκιμη. Η εξίσωση κίνησης είναι διδακτέα έννοια φυσικής της α΄λυκείου. Η συνάντηση κινητών είναι "θέμα" για την τάξη αυτή. Η θέση μου είναι ότι ο κατά το δυνατόν πληρέστερος μαθηματικός φορμαλισμός πρέπει να χρησιμοποιείται όπου είναι εφικτό.

#67

depymac καλημέρα κι ευχαριστώ για την ενασχόληση με τα ερωτήματά μου.

Ίσως να μην διατύπωσα σωστά τον προβληματισμό μου.

Θέτω δύο διακριτά ερωτήματα:
α) Λύση δίχως μοντελοποίηση (πρακτική) που αψηφά τα διακριτά ερωτήματα είναι ηθικά σωστό να χάσει τις 10 από τις 15 μονάδες, έστω και αν είναι κομψότερη της αλγεβρικής;

β) (Ασχετο με το προηγούμενο) Παρατηρώ ότι σε πολλά θέματα της Τράπεζας τα δεύτερα ερωτήματα εξαρτώνται από τα πρώτα. Αυτό δε συνέβαινε (ορθώς) σε θέματα Πανελληνίων.

Αυτό δυσχεραίνει το έργο του διορθωτή, γιατί πρέπει να βαθμολογήσει ισοπεδωτικά. Εδώ π.χ. το δεύτερο ερώτημα θα έπρεπε να αξιολογεί τη δυνατότητα του μαθητή να λύνει σύστημα, ΑΣΧΕΤΑ αν ξέρει να κατασκευάζει σύστημα από τα δεδομένα προβλήματος .
Αυτό το γνωρίζουν καλά όσοι ασχολούνται με την κατασκευή θεμάτων αξιολόγησης.
Οι κατασκευαστές των θεμάτων της τράπεζας το γνωρίζουν;

depymak · #68

Γιώργο πράγματι.Αντιλαμβάνομαι πράγματι τη φύση της ερώτησης-σχολίου σου. Φαντάζομαι τα δύο υποερωτήματα του εν λόγω θέματος να βαθμολογούνται ως διακριτά .

Γιώργος Ρίζος έγραψε:depymac καλημέρα κι ευχαριστώ για την ενασχόληση με τα ερωτήματά μου.

Ίσως να μην διατύπωσα σωστά τον προβληματισμό μου.

Θέτω δύο διακριτά ερωτήματα:
α) Λύση δίχως μοντελοποίηση (πρακτική) που αψηφά τα διακριτά ερωτήματα είναι ηθικά σωστό να χάσει τις 10 από τις 15 μονάδες, έστω και αν είναι κομψότερη της αλγεβρικής;

β) (Ασχετο με το προηγούμενο) Παρατηρώ ότι σε πολλά θέματα της Τράπεζας τα δεύτερα ερωτήματα εξαρτώνται από τα πρώτα. Αυτό δε συνέβαινε (ορθώς) σε θέματα Πανελληνίων.

Αυτό δυσχεραίνει το έργο του διορθωτή, γιατί πρέπει να βαθμολογήσει ισοπεδωτικά. Εδώ π.χ. το δεύτερο ερώτημα θα έπρεπε να αξιολογεί τη δυνατότητα του μαθητή να λύνει σύστημα, ΑΣΧΕΤΑ αν ξέρει να κατασκευάζει σύστημα από τα δεδομένα προβλήματος .
Αυτό το γνωρίζουν καλά όσοι ασχολούνται με την κατασκευή θεμάτων αξιολόγησης.
Οι κατασκευαστές των θεμάτων της τράπεζας το γνωρίζουν;

#69

Καλησπέρα σε όλους!

Αναρτήθηκαν νέα θέματα στην Άλγεβρα Β΄ Λυκείου. Επίσης, είδα ότι διορθώθηκε το 4_17852 δίνοντας τη γωνία ω θετική. Δείτε το σχετικό διάλογο παραπάνω με την επισήμανση του Λευτέρη Πρωτοπαππά.

Με μια πρόχειρη ματιά τα θέματα είναι στο ίδιο ύφος με τα προηγούμενα.
Ας περιμένουμε και τα νεότερα...

Ας ξεκινήσουμε μ' αυτά. Ξεκινώ με το 4_20919

GI_V_ALG_4_20919

Η περιβαλλοντική ομάδα ενός σχολείου παρέλαβε συρματόπλεγμα μήκους 40m

για να περιφράξει, χρησιμοποιώντας όλο το συρματόπλεγμα, έναν ορθογώνιο κήπο για καλλιέργεια λαχανικών. Οι μαθητές της περιβαλλοντικής ομάδας θέλουν να επιλέξουν ένα κήπο που να έχει όσο το δυνατόν μεγαλύτερο εμβαδόν.
α) Να δώσετε τις διαστάσεις τριών διαφορετικών ορθογώνιων κήπων με περίμετρο 40m

.
Να εξετάσετε αν οι τρεις λαχανόκηποι έχουν το ίδιο εμβαδόν.
(Μονάδες 7)
β) Αν συμβολίσουμε με

το πλάτος και με

το εμβαδόν ενός λαχανόκηπου με περίμετρο 40m

, να εκφράσετε το

ως συνάρτηση του x.
(Μονάδες 8)
γ) Να δείξετε ότι $\displaystyle E\left( x \right) = - {\left( {x - 10} \right)^2} + 100$ . Χρησιμοποιώντας την γραφική παράσταση της συνάρτησης $\displaystyle f\left( x \right) = - {x^2}$ να κατασκευάσετε την γραφική παράσταση της E(x)

. Από τη γραφική παράσταση της E(x)

να βρείτε τις διαστάσεις του λαχανόκηπου με το μεγαλύτερο εμβαδόν.
(Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ:

α) Οι διαστάσεις του ορθογωνίου έχουν άθροισμα 20 m

.
Π.χ. μπορεί να είναι 15 m, 5 m

με εμβαδό

, ή

με εμβαδό

, ή τετράγωνο πλευράς 10 m

με εμβαδό

.
Παρατηρούμε ότι τα τρία ορθογώνια, αν και έχουν ίση περίμετρο έχουν διαφορετικά εμβαδά.

β) Έστω

η μία πλευρά του ορθογωνίου, τότε η άλλη πλευρά του είναι 20 – x

, όπου

.
Είναι $\displaystyle E\left( x \right) = x \cdot \left( {20 - x} \right) = - {x^2} + 20x,\;\;0 < x < 20$

γ) Είναι
$\displaystyle \begin{array}{c} E\left( x \right) = - {x^2} + 2 \cdot 10x + {10^2} - 100 = \\ = - \left( {{x^2} - 2 \cdot 10 \cdot x + {{10}^2}} \right) + 100 = \\ = - {\left( {x - 10} \right)^2} + 100,\;\;0 < x < 20 \end{array}$

: 18-01-2015 Τράπεζα B Λυκείου.png (27.53 KiB) Προβλήθηκε 4875 φορές

Μετατοπίζουμε τη γραφική παράσταση της $\displaystyle f\left( x \right) = - {x^2}$ κατά

μονάδες δεξιά και σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της $\displaystyle {f_1}\left( x \right) = - {\left( {x - 10} \right)^2}$ .
Κατόπιν μετακινούμε την $\displaystyle {f_1}\left( x \right)$ κατά 100

μονάδες προς τα πάνω και σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της $\displaystyle E\left( x \right) = - {\left( {x - 10} \right)^2} + 100$ , περιορίζοντας την στο $\displaystyle \left( {0,\;20} \right)$ .
Από το γράφημα παρατηρούμε ότι έχει μέγιστο εμβαδό όταν x = 10 m

, δηλαδή όταν είναι τετράγωνο.

ΣΧΟΛΙΟ: Η έκφραση "να εξετάσετε αν οι τρεις λαχανόκηποι έχουν το ίδιο εμβαδόν" διαβάζεται, ασφαλώς, "να παρατηρήσετε …", εφόσον η έκφραση "εξετάζω" σημαίνει αποδεικνύω και διερευνώ, ενώ εδώ πρόκειται για απλά τυχαία επιλεγμένα αριθμητικά δεδομένα.
Επίσης, η έκφραση "πλάτος" για το x είναι ατυχής, εφόσον συνηθίζουμε να δηλώνουμε ως πλάτος την μικρότερη πλευρά. Σ' αυτήν την περίπτωση θα έπρεπε να περιορίσουμε τις δυνατές τιμές του

από το

ως το

. Προτιμήσαμε να δώσουμε στο "πλάτος"

τιμές από το

ως το

, ώστε να φανεί το μέγιστο της συνάρτησης. Προτείνουμε τη λεκτική διόρθωσή του.

#70

4_20924

Δίνεται η συνάρτηση $f(x) = ax + \beta$ , $a,\beta\inℝ$ .
α) Αν η γραφική παράσταση της

διέρχεται από τα σημεία A(1, 2)

και

, να δείξετε ότι
$\displaystyle{a = \frac{3}{2},\beta = \frac{1}{2}}$ (Μονάδες 8)
β) Αν g(x)

είναι η συνάρτηση που προκύπτει από τη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της

οριζόντια κατά

μονάδα προς τα αριστερά και κατακόρυφα κατά

μονάδες προς τα κάτω, να βρείτε τον τύπο της

. (Μονάδες 9)
γ) Αν $\displaystyle{h(x) = \frac{3}{2}(x - 1)}$ είναι η συνάρτηση που προκύπτει από τη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της

οριζόντια κατά

μονάδες προς τα δεξιά και κατακόρυφα κατά $\displaystyle{\frac{k}{2}}$ μονάδες κάτω, να βρείτε το

(

). (Μονάδες 8)

Λύση:

α) Είναι $\displaystyle{f(1) = 2 \Leftrightarrow a + \beta = 2}$ και $\displaystyle{f(5) = 8 \Leftrightarrow 5a + \beta = 8}$
Με αφαίρεση κατά μέλη βρίσκουμε $\displaystyle{a = \frac{3}{2}}$ και αντικαθιστώντας σε μία από τις δύο εξισώσεις $\displaystyle{\beta = \frac{1}{2}}$

β) Η συνάρτηση λοιπόν γράφεται $\displaystyle{f(x) = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}}$

$\displaystyle{g(x) = f(x + 1) - 3 = \frac{3}{2}(x + 1) + \frac{1}{2} - 3 \Leftrightarrow g(x) = \frac{3}{2}x - 1}$

γ) $\displaystyle{h(x) = f(x - k) - \frac{k}{2} = \frac{3}{2}(x - 1) \Leftrightarrow \frac{3}{2}(x - k) + \frac{1}{2} - \frac{k}{2} = \frac{3}{2}(x - 1) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ - \frac{{3k}}{2} + \frac{1}{2} - \frac{k}{2} = - \frac{3}{2} \Leftrightarrow k = 1}$

#71

20920

20920

α) Να λύσετε το σύστημα (Σ1): $\left\{\begin{matrix}xy=6\\ x^2+y^2=13\end{matrix}\right.$ (Μονάδες 10)
β) Είναι όλες οι λύσεις του συστήματος (Σ1), λύσεις και του (Σ2): $\left\{\begin{matrix}|xy|=6\\ x^2+y^2=13\end{matrix}\right.$

Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. (Μονάδες 7)

γ) Είναι όλες οι λύσεις του συστήματος (Σ2), λύσεις και του (Σ1); Να δικαιολογήσετε την
απάντηση σας. (Μονάδες 8)

ΛΥΣΗ

α) Η δεύτερη εξίσωση του Σ1 γράφεται ισοδύναμα:

$\displaystyle{(x+y)^2-2xy=1\Leftrightarrow (x+y)^2-12=13\Leftrightarrow (x+y)^2=25\Leftrightarrow x+y=5 \vee x+y=-5}$

Αν x+y=5

τα

είναι λύσεις της εξίσωσης w^2-5w+6=0

. Αυτή έχει λύσεις τους αριθμούς 2,3

, επομένως (x,y)=(2,3)

ή

Αν

τα

είναι λύσεις της εξίσωσης w^2+5w+6=0

. Αυτή έχει λύσεις τους αριθμούς -2,-3

, επομένως (x,y)=(-2,-3)

ή

Ώστε οι λύσεις του Σ1 είναι : (x,y)=(2,3), (x,y)=(3,2), (x,y)=(-2,-3), (x,y)=(-3,-2)

β) Αν

τότε και

, οπότε κάθε λύση του Σ1 είναι και λύση του Σ2, αφού επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις του.

γ) Το Σ2,όπως προκύπτει με επαλήθευση, έχει λύση το ζεύγος (x,y)=(-3,2)

, το οποίο δεν είναι λύση του Σ1. Επομένως δεν είναι όλες οι λύσεις του συστήματος (Σ2), λύσεις και του (Σ1).

#72

"Ελεύθερες" είναι ακόμα (!) οι
4_17843
4_20921
4_20922
4_20924
4_20925

GI_V_ALG_4_20923
Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f\left( x \right) = 2\eta \mu \left( {3x} \right) + 1,\;\;x \in R$
α) Να βρείτε την περίοδο Τ και τη μέγιστη τιμή της f . (Μονάδες 5)
β) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης
$\displaystyle g\left( x \right) = \alpha \eta \mu \left( {\beta x} \right) + \gamma ,\;\;\gamma \in R$

: 18-01-2015 Τράπεζα Άλγεβρα Β.jpg (21.92 KiB) Προβλήθηκε 4823 φορές

i. Nα προσδιορίσετε τα $\displaystyle \alpha ,\;\beta ,\;\gamma$ . (Μονάδες 12)
ii. Για $\displaystyle \alpha = - 2,\;\;\beta = 1,\;\;\gamma = {\rm{ }}1$ , να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle f(x) = g(x)$ στο διάστημα $\displaystyle \left[ {0,\;\pi } \right)$ .
(Μονάδες 8)

ΛΥΣΗ:
α) Η περίοδος της συνάρτησης είναι $\displaystyle {\rm T} = \frac{{2\pi }}{3}$ .
Είναι $\displaystyle \eta \mu \left( {3x} \right) \le 1 \Leftrightarrow 2\eta \mu \left( {3x} \right) + 1 \le 3 \Leftrightarrow f\left( x \right) \le 3$ , με τη μέγιστη τιμή της να επιτυγχάνεται όταν

$\displaystyle 3x = 2\kappa \pi + \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}\kappa \pi + \frac{\pi }{6},\;\;\kappa \in Z$

βi) Παρατηρούμε ότι $\displaystyle g\left( 0 \right) = 1 \Leftrightarrow \gamma = 1$ .

Επίσης η συνάρτηση έχει περίοδο $\displaystyle {\rm T} = 2\pi$ οπότε $\displaystyle \left| \beta \right| = 1$ .

Τέλος, έχει μέγιστη τιμή $\displaystyle g\left( {\frac{{3\pi }}{2}} \right) = 3$ οπότε $\displaystyle \alpha \cdot \eta \mu \frac{{3\pi }}{2} + 1 = 3 \Leftrightarrow \alpha \cdot \left( { - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow \alpha = - 2, \beta = 1$

ή $\displaystyle \alpha \cdot \eta \mu \frac{{-3\pi }}{2} + 1 = 3 \Leftrightarrow \alpha \cdot \left( { 1} \right) = 2 \Leftrightarrow \alpha = 2, \beta = -1$

βii) Για $\displaystyle \alpha =-2,\;\beta =1 ,\;\gamma = 1$ είναι $\displaystyle f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow 2\eta \mu \left( {3x} \right) + 1 = - 2\eta \mu x + 1 \Leftrightarrow \eta \mu \left( {3x} \right) = \eta \mu \left( { - x} \right) \Leftrightarrow$

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 3x = 2\kappa \pi - x\\ \;\;\; \vee \\ 3x = 2\kappa \pi + \pi + x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{\kappa \pi }}{2}\\ \;\;\; \vee \\ x = \kappa \pi + \frac{\pi }{2} \end{array} \right.\;\;\kappa \in Z$ , οπότε, περιοριζόμενοι στο $\displaystyle \left[ {0,\;\pi } \right)$ , είναι $\displaystyle x = 0\;\;\; \vee \;\;x = \frac{\pi }{2}$

edit: Συμπλήρωσα τη λύση μου με την υπόδειξη του Μάνου Κοθρή παρακάτω.

#73

20921

Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης $g(x)=\alpha x+\beta$ , όπου $\alpha, \beta$ πραγματικοί αριθμοί και της συνάρτησης $f(x)=\rho n\mu (\omega x)$ , όπου $\omega >0$ και $\rho >0$ . Και οι δύο συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισμού το ℝ. Επίσης η

έχει μέγιστο

α) Να αποδείξετε ότι $\rho =3$ και $\omega =2$ (Μονάδες 5)

β) Να βρείτε τα $\alpha, \beta$ . (Μονάδες 10)

γ) Να βρείτε, γραφικά, το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης $3n\mu (2x)-\frac{12}{\pi }x=0$ στο διάστημα $[0, \pi]$ . (Μονάδες 10)

: 20921.png (14.86 KiB) Προβλήθηκε 4808 φορές

ΛΥΣΗ

α) Το μέγιστο της συνάρτησης $f(x)=\rho n\mu (\omega x)$ είναι το $\rho$ , επομένως $\rho =3$ .

Από το σχήμα βλέπουμε ότι η συνάρτηση έχει περίοδο $T=\pi$ . Είναι

$T=\frac{2\pi }{\omega }\Leftrightarrow \pi =\frac{2\pi }{\omega }\Leftrightarrow\omega =2$

β) Η

έχει γραφική παράσταση ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων, επομένως $\beta=0$ .

Το σημείο

έχει τεταγμένη y_A=3

και επειδή αυτό είναι το μέγιστο της

η τετμημένη του είναι $x_A=\frac{T}{4}=\frac{\pi }{4}$ . (*) Έτσι

$g\left ( \frac{\pi }{4} \right )=3\Leftrightarrow \alpha \frac{\pi }{4}=3\Leftrightarrow \alpha =\frac{12}{\pi }$

γ) Με τις τιμές που βρήκαμε για τα $\rho ,\omega ,\alpha ,\beta$ , είναι

$3n\mu (2x)-\frac{12}{\pi }x=0\Leftrightarrow f(x)-g(x)=0\Leftrightarrow f(x)=g(x)\Leftrightarrow x=0 \vee x=x_A=\frac{\pi }{4}$

Ώστε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης στο διάστημα $[0, \pi]$ είναι 2.
_________________________________________
(*) ή αλλιώς, για το x_A

, είναι:
$f(x)=3\Leftrightarrow 3n\mu (2x)=3\Leftrightarrow n\mu (2x)=1\Leftrightarrow 2x=2k\pi +\frac{\pi }{2}$

$\Leftrightarrow x=k\pi +\frac{\pi }{4}, k\in \mathbb{Z}$

Αλλά στο διάστημα $[0, \pi]$ η σχέση $x=k\pi +\frac{\pi }{4}$ αληθεύει μόνο για k=0

, οπότε $x=\frac{\pi }{4}$ . 'Ωστε $x_A=\frac{\pi }{4}$

#74

Ασκηση 4_20925

Δίνονται οι ευθείες $\displaystyle{{{\rm{\varepsilon }}_1}:\lambda x + y = 1}$ και $\displaystyle{{{\rm{\varepsilon }}_1}:x + {\rm{\lambda }}y = {\lambda ^2}}$
α) Να βρείτε για ποιες τιμές του $\displaystyle{\lambda }$ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει του $\displaystyle{\lambda }$ . (Μονάδες 13)
β) Για ποια τιμή του $\displaystyle{\lambda }$ οι δύο ευθείες είναι παράλληλες; (Μονάδες 6)
γ) Αν οι ευθείες $\displaystyle{{{\rm{\varepsilon }}_1}}$ και $\displaystyle{{{\rm{\varepsilon }}_2}}$ ταυτίζονται, να αποδείξετε ότι οι ευθείες $\displaystyle{\lambda x + {\lambda ^2}y = {\lambda ^3}}$ και $\displaystyle{2x + 2\lambda y = {\lambda ^2} - 1}$ είναι παράλληλες. (Μονάδες 6)
ΛΥΣΗ
Οι εξισώσεις των ευθειών ορίζουν το σύστημα $\displaystyle{({\rm{\Sigma )}}\left\{ \begin{array}{l} \lambda x + y = 1 \\ x + {\rm{\lambda }}y = {\lambda ^2} \\ \end{array} \right.}$
του οποίου οι ορίζουσες είναι :
$\displaystyle{\begin{array}{l} D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{\lambda }} & 1 \\ 1 & \lambda \\ \end{array}} \right| = {\lambda ^2} - 1 = (\lambda + 1)(\lambda - 1)\,\,\,\,,\,\,\,\, \\ {D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{\lambda }} & 1 \\ 1 & {{\lambda ^2}} \\ \end{array}} \right| = {\lambda ^3} - 1 = (\lambda - 1)({\lambda ^2} + {\rm{\lambda }} + 1)\,\,\,,\,\,\,\, \\ {D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 1 \\ {{{\rm{\lambda }}^2}} & \lambda \\ \end{array}} \right| = \lambda - {\lambda ^2} = - \lambda (\lambda - 1) \\ \end{array}}$
α) Οι ευθείες $\displaystyle{{{\rm{\varepsilon }}_1}}$ και $\displaystyle{{{\rm{\varepsilon }}_2$ τέμνονται αν και μόνο αν η ορίζουσα $\displaystyle{D \ne 0 \Leftrightarrow (\lambda + 1)(\lambda - 1) \ne 0 \Leftrightarrow {\rm{\lambda }} \ne {\rm{1 }}}$ και $\displaystyle{{\rm{\lambda }} \ne - {\rm{1}}}$
Το κοινό τους σημείο $\displaystyle{{\rm{{\rm A}(x}}{\rm{,y)}}}$ είναι η λύση $\displaystyle{{\rm{(x}}{\rm{,y)}}}$ του συστήματος
Όμως :
$\displaystyle{({\rm{x}},{\rm{y}}){\rm{ = }}\left( {\frac{{{D_x}}}{D},\frac{{{D_y}}}{D}} \right) = \left( {\frac{{ - \lambda (\lambda - 1)}}{{(\lambda + 1)(\lambda - 1)}},\frac{{(\lambda - 1)({\lambda ^2} + \lambda + 1)}}{{(\lambda + 1)(\lambda - 1)}}} \right) = \left( {\frac{{ - \lambda }}{{\lambda + 1}},\frac{{{\lambda ^2} + \lambda + 1}}{{(\lambda + 1}}} \right)}$
Επομένως το κοινό τους σημείο είναι το $\displaystyle{{\rm{A}}\left( {\frac{{ - \lambda }}{{\lambda + 1}},\frac{{{\lambda ^2} + \lambda + 1}}{{\lambda + 1}}} \right)}$

β) Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες αν και μόνο αν το $\displaystyle{(\Sigma )}$ είναι αδύνατο .
Αναγκαία συνθήκη γι΄ αυτό είναι η :
$\displaystyle{{D = 0 \Leftrightarrow (\lambda + 1)(\lambda - 1) = 0 \Leftrightarrow \lambda {\rm{ = 1}}}}$ ή $\displaystyle{{\lambda {\rm{ = }} - {\rm{1}}}}$

Για $\displaystyle{{\lambda {\rm{ = 1}}}}$ το $\displaystyle{(\Sigma )}$ γίνεται $\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y = 1} \\ {x + y = 1} \\ \end{array}} \right. \Leftrightarrow x + y = 1 \Leftrightarrow y = 1 - x}$ , το οποίο έχει άπειρες λύσει τις $\[(x,y) = (x,1 - x),x \in R}$
Άρα η τιμή $\displaystyle{{\rm{\lambda }} = 1}$ , απορρίπτεται .
Για $\displaystyle{\lambda = - 1}$ το $\displaystyle{(\Sigma )}$ γίνεται $\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - x + y = 1} \\ {x - y = 1} \\ \end{array}} \right.}$
Με πρόσθεση των εξισώσεών του κατά μέλη παίρνουμε την εξίσωση $\displaystyle{\,\,0x + 0y = 2}$ , που είναι αδύνατη , άρα και το σύστημα είναι αδύνατο . Επομένως η ζητούμενη τιμή είναι $\displaystyle{{\rm{\lambda }} = - 1}$
γ) Όπως είδαμε στο (β) ερώτημα , οι ευθείες συμπίπτουν αν και μόνο αν $\displaystyle{\lambda = 1}$
Για $\displaystyle{\lambda = 1}$ οι εξισώσεις των δοσμένων ευθειών γίνονται :

$\displaystyle{x + y = 1\,\,\,\,\,\,\,(1)}$ και $\displaystyle{2x + 2y = 0 \Leftrightarrow x + y = 0\,\,\,\,\,\,\,\,(2)}$
Από τις $\displaystyle{(1),(2)}$ προκύπτει ότι $\displaystyle{0 = 1}$ ,που είναι αδύνατη , άρα και το σύστημα των $\displaystyle{(1),(2)}$ είναι αδύνατο και επομένως οι ευθείες που παριστάνουν δεν έχουν κοινό σημείο δηλαδή είναι παράλληλες

#75

Άσκηση 4_20922

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(t) = - 2\eta \mu \frac{{\pi t}}{2} + 2,t \in [0,4]}$
α) Να βρείτε την περίοδο της

. (Μονάδες 5)
β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της, καθώς και τις τιμές του

για τις οποίες η

παίρνει τις τιμές αυτές. (Μονάδες 12)
γ) Να κατασκευάσετε τη γραφική παράσταση της

. (Μονάδες 8)

Λύση:

α) Η περίοδος της συνάρτησης είναι $\displaystyle{T = \frac{{2\pi }}{{\frac{\pi }{2}}} \Leftrightarrow T = 4}$

β) $\displaystyle{ - 2 \le - 2\eta \mu \frac{{\pi t}}{2} \le 2 \Leftrightarrow - 2 + 2 \le - 2\eta \mu \frac{{\pi t}}{2} + 2 \le 2 + 2 \Leftrightarrow 0 \le f(t) \le 4}$

Η

έχει λοιπόν ελάχιστη τιμή

και μέγιστη τιμή

.

● $\displaystyle{f(t) = 0 \Leftrightarrow \eta \mu \frac{{\pi t}}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{2} = 2k\pi + \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \pi t = 4k\pi + \pi \Leftrightarrow t = 4k + 1,k \in Z}$

Αλλά, $\displaystyle{t \in [0,4] \Leftrightarrow 0 \le 4k + 1 \le 4 \Leftrightarrow - \frac{1}{4} \le k \le \frac{3}{4} \Leftrightarrow k = 0}$ . Άρα t=1

.

● $\displaystyle{f(t) = 4 \Leftrightarrow - 2\eta \mu \frac{{\pi t}}{2} + 2 = 4 \Leftrightarrow \eta \mu \frac{{\pi t}}{2} = - 1 \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{2} = 2n\pi + \frac{{3\pi }}{2} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\pi t = 4n\pi + 3\pi \Leftrightarrow t = 4n + 3,n \in Z}$

Αλλά, $\displaystyle{t \in [0,4] \Leftrightarrow 0 \le 4n + 3 \le 4 \Leftrightarrow - \frac{3}{4} \le n \le \frac{1}{4} \Leftrightarrow n = 0}$ . Άρα, t=3

.

γ) Τα παραπάνω συμπεράσματα φαίνονται στην παρακάτω γραφική παράσταση της συνάρτησης

.

: ALG_4_20922.png (9.78 KiB) Προβλήθηκε 4757 φορές

manos66 · #76

Στο θέμα 20923 στο β) ii) μπορεί να είναι και $\alpha=2$ , $\beta = -1$ και $\gamma = 1$
Έπρεπε να δοθεί ότι $\beta > 0$ .

Στο θέμα 20921 στο γ) το πλήθος των ριζών είναι

. (το

και το $\frac{\pi }{4}$ )

#77

manos66 έγραψε:Στο θέμα 20923 στο β) ii) μπορεί να είναι και $\alpha=2$ , $\beta = -1$ και $\gamma = 1$
Έπρεπε να δοθεί ότι $\beta > 0$ .

Στο θέμα 20921 στο γ) το πλήθος των ριζών είναι . (το και το $\frac{\pi }{4}$ )

Στο 4_20923 έχει δίκιο ο Μάνος. Συμπληρώνω τη λύση μου παραπάνω. Είναι το ίδιο θέμα με το διορθωμένο θέμα 4_17852 με $\omega >0$ .

depymak · #78

επιθυμώ να λύσω την 4_22799 και την 4_22790
ευχαριστώ.

#79

Έχω ξεκινήσει την 4_17843.

#80

swsto έγραψε:Έχω ξεκινήσει την 4_17843.

Σωτήρη, είναι ήδη λυμένη. Απλά έχει διορθωθεί $\omega >0$ .

Μη στενοχωριέσαι... Έχουν προστεθεί άλλες 50 περίπου. Διάλεξε και πάρε...

(εκτός της 4_22777) Καπαρώθηκε. Θέλω να κάνω ένα σχόλιο για την εκφώνησή της..

4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση