Δ' ΔΕΣΜΗ 2001
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Δ' ΔΕΣΜΗ 2001
Ουφ , πάει και το τελευταίο θέμα Δ΄Δέσμης (καλύψαμε όλα τα θέματα από τις χρονιές 1983-2001).
Όταν σχεδόν λυθούν τα θέματα της Δ΄Δέσμης θα συνεχίσω με τα εναπομείναντα της Α΄Δέσμης (1996-2001).
1. α) Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα και ,
τότε για κάθε αριθμό μεταξύ των και υπάρχει τουλάχιστον ένας τέτοιος ώστε να ισχύει .
β) Να αποδείξετε ότι:
i ) Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
ii) Η εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα στο διάστημα .
2. α) Δίνεται το σύστημα με
i. Να βρείτε την τιμή του για την οποία το σύστημα έχει δύο τουλάχιστον διαφορετικές λύσεις.
ii. Αν και είναι δύο διαφορετικές λύσεις του συστήματος, να αποδείξετε ότι .
β) Θεωρούμε στο καρτεσιανό επίπεδο τη γραμμή με εξίσωση
i) Να αποδείξετε ότι η προηγούμενη εξίσωση παριστάνει κύκλο και να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα του.
ii) Να αποδείξετε ότι τα σημεία και είναι τα άκρα μιας διαμέτρου του κύκλου.
3. α) Η συνάρτηση έχει συνεχή παράγωγο και ικανοποιεί την ισότητα όπου με .
Να αποδείξετε ότι:
i)
ii) Η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα .
β) Έστω η συνάρτηση
i) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ,
τον άξονα και τις ευθείες , όπου , είναι
ii) Να προσδιορίσετε την τιμή του για την οποία το εμβαδόν γίνεται ελάχιστο.
4. α) Δίνεται η συνάρτηση
i) Να αποδείξετε ότι .
ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο .
β) Έστω η συνάρτηση όπου .
i) Αν η ευθεία είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο , ποιες είναι οι τιμές των ;
ii) Έστω είναι ένας δειγματικός χώρος με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα,
όπου οι έχουν τις τιμές που προκύπτουν στο προηγούμενο ερώτημα.
Θεωρούμε τη συνάρτηση
και το ενδεχόμενο η συνάρτηση είναι κυρτή στο
Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου .
Όταν σχεδόν λυθούν τα θέματα της Δ΄Δέσμης θα συνεχίσω με τα εναπομείναντα της Α΄Δέσμης (1996-2001).
1. α) Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα και ,
τότε για κάθε αριθμό μεταξύ των και υπάρχει τουλάχιστον ένας τέτοιος ώστε να ισχύει .
β) Να αποδείξετε ότι:
i ) Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
ii) Η εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα στο διάστημα .
2. α) Δίνεται το σύστημα με
i. Να βρείτε την τιμή του για την οποία το σύστημα έχει δύο τουλάχιστον διαφορετικές λύσεις.
ii. Αν και είναι δύο διαφορετικές λύσεις του συστήματος, να αποδείξετε ότι .
β) Θεωρούμε στο καρτεσιανό επίπεδο τη γραμμή με εξίσωση
i) Να αποδείξετε ότι η προηγούμενη εξίσωση παριστάνει κύκλο και να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα του.
ii) Να αποδείξετε ότι τα σημεία και είναι τα άκρα μιας διαμέτρου του κύκλου.
3. α) Η συνάρτηση έχει συνεχή παράγωγο και ικανοποιεί την ισότητα όπου με .
Να αποδείξετε ότι:
i)
ii) Η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα .
β) Έστω η συνάρτηση
i) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ,
τον άξονα και τις ευθείες , όπου , είναι
ii) Να προσδιορίσετε την τιμή του για την οποία το εμβαδόν γίνεται ελάχιστο.
4. α) Δίνεται η συνάρτηση
i) Να αποδείξετε ότι .
ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο .
β) Έστω η συνάρτηση όπου .
i) Αν η ευθεία είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο , ποιες είναι οι τιμές των ;
ii) Έστω είναι ένας δειγματικός χώρος με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα,
όπου οι έχουν τις τιμές που προκύπτουν στο προηγούμενο ερώτημα.
Θεωρούμε τη συνάρτηση
και το ενδεχόμενο η συνάρτηση είναι κυρτή στο
Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου .
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 2001
α)Θεώρημα των Ενδιάμεσων Τιμώνparmenides51 έγραψε:
1. α) Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα και ,
τότε για κάθε αριθμό μεταξύ των και υπάρχει τουλάχιστον ένας τέτοιος ώστε να ισχύει .
β) Να αποδείξετε ότι:
i ) Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
ii) Η εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα στο διάστημα .
βi)Για κάθε έχουμε
με την ισότητα να ισχύει μόνο για
Επομένως, η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο
βii)Για είναι,
Επειδή η είναι συνεχής στο διάστημα και ,
λόγω της , από το Θεώρημα του Bolzano, έπεται ότι υπάρχει
τέτοιο, ώστε , που είναι και μοναδικό, λόγω μονοτονίας
Παπαπέτρος Ευάγγελος
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 2001
αi)Για κάθε είναι,parmenides51 έγραψε:
4. α) Δίνεται η συνάρτηση
i) Να αποδείξετε ότι .
ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο .
β) Έστω η συνάρτηση όπου .
i) Αν η ευθεία είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο , ποιες είναι οι τιμές των ;
ii) Έστω είναι ένας δειγματικός χώρος με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα,
όπου οι έχουν τις τιμές που προκύπτουν στο προηγούμενο ερώτημα.
Θεωρούμε τη συνάρτηση
και το ενδεχόμενο η συνάρτηση είναι κυρτή στο
Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου .
Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με,
Η είναι παραγωγίσιμη στο ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με,
αii)Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο σημείο της , δίνεται από τη σχέση,
β)Εφόσον η ευθεία με εξίσωση είναι η ασύμπτωτη του γραφήματος της συνάρτησης
στο , έχουμε ότι,
Έτσι,
Επί πλέον,
βii)
Για κάθε είναι,
Η είναι κυρτή στο αν και μόνο αν .
Είναι,
Αν , τότε
Αν , τότε
Αν , τότε
Αν , τότε
Άρα, και άρα
Διαφορετικά, μπορούμε να εργαστούμε ως εξής,
Αλλιώς, επειδή η είναι ένα τριώνυμο του με θετικό συντελεστή του ,
παίρνει θετικές τιμές αν και μόνο αν η διακρίνουσα της είναι αρνητική, οπότε,
Παπαπέτρος Ευάγγελος
-
- Δημοσιεύσεις: 1753
- Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 2001
ΠΕΡΙΤΤΑ
τελευταία επεξεργασία από orestisgotsis σε Δευ Φεβ 26, 2024 1:03 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Christos75
- Δημοσιεύσεις: 422
- Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
- Τοποθεσία: Athens
- Επικοινωνία:
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 2001
Αν και με πρόλαβε ο Ορέστης και για να μην πάει χαμένος ο κόπος παραθέτω κι εγώ την λύση για το εν λόγω θέμα.parmenides51 έγραψε: 3. α) Η συνάρτηση έχει συνεχή παράγωγο και ικανοποιεί την ισότητα όπου με .
Να αποδείξετε ότι:
i)
ii) Η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα .
β) Έστω η συνάρτηση
i) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ,
τον άξονα και τις ευθείες , όπου , είναι
ii) Να προσδιορίσετε την τιμή του για την οποία το εμβαδόν γίνεται ελάχιστο.
Λύση
α)
i) Μας δίνεται η σχέση για την συνάρτηση :
Θα επεξεργαστούμε αυτήν την σχέση και θα έχουμε
ii) Η συνάρτηση είναι συνεχής στο
Η ίδια είναι παραγωγίσιμη στο
και επίσης από το προηγούμενο ερώτημα
κατά συνέπεια, ικανοποιούνται οι προυποθέσεις για το θεώρημα Rolle, δηλαδή δηλαδή ρίζα της
στο .
β)
i) Μας δίνεται η συνάρτηση
Το ζητούμενο εμβαδόν δίνεται από την σχέση
ii)
Αναζητάμε την τιμή της παραμέτρου έτσι ώστε το εμβαδόν να ελαχιστοποιείται.
Βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης ,
είναι
Αναζητούμε το πρόσημο της και έχουμε
η τελευταία τιμή για το απορρίπτεται αφού οπότε δεκτή είναι μόνο η
με πρόσημο τριωνύμου και πάλι διαπιστώνουμε ότι η ελάχιστη τιμή του εμβαδού επιτυγχάνεται για
Χρήστος Λοΐζος
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 2001
Καλησπέρα.parmenides51 έγραψε:
2. α) Δίνεται το σύστημα με
i. Να βρείτε την τιμή του για την οποία το σύστημα έχει δύο τουλάχιστον διαφορετικές λύσεις.
ii. Αν και είναι δύο διαφορετικές λύσεις του συστήματος, να αποδείξετε ότι .
β) Θεωρούμε στο καρτεσιανό επίπεδο τη γραμμή με εξίσωση
i) Να αποδείξετε ότι η προηγούμενη εξίσωση παριστάνει κύκλο και να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα του.
ii) Να αποδείξετε ότι τα σημεία και είναι τα άκρα μιας διαμέτρου του κύκλου.
Έστω
ο πίνακας των πραγματικών συντελεστών των αγνώστων του συστήματος.
Για τον υπολογισμό της ορίζουσας εκτελούμε τις εξής γραμμοπράξεις, και έχουμε
Αν , τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση την
Αν , τότε το σύστημα γράφεται
Εκτελώντας, στον επαυξημένο πίνακα, τις ίδιες γραμμοπράξεις με αυτές στον υπολογισμό της ορίζουσας του πίνακα των συντελεστών των αγνώστων, έχουμε
ότι το παραπάνω σύστημα είναι ισοδύναμο με το
Από την δεύτερη εξίσωση είναι και αντικαθιστώντας στην τρίτη παίρνουμε,
Επομένως, για έχουμε άπειρες λύσεις, άρα και τουλάχιστον δύο διαφορετικές, της παρακάτω μορφής.
Αν τώρα είναι δύο διαφορετικές λύσεις του συστήματος, τότε βρισκόμαστε στην
περίπτωση όπου και και
Έτσι,
βi)Για είναι,
Επομένως, η αρχική εξίσωση παριστάνει κύκλο κέντρου και ακτίνας
βii)Αρχικά παρατηρούμε ότι τα σημεία ανήκουν στον κύκλο διότι και
Επομένως, το ευθύγραμμο τμήμα είναι μια χορδή του παραπάνω κύκλου και επειδή
, έπεται ότι το είναι διάμετρος του κύκλου.
Παπαπέτρος Ευάγγελος
-
- Δημοσιεύσεις: 1753
- Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης