Δ' ΔΕΣΜΗ 2000
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Δ' ΔΕΣΜΗ 2000
1. α) Έστω μία συνάρτηση συνεχής σ' ένα διάστημα .
Αν για κάθε εσωτερικό σημείο του , να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το .
β) Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια, ώστε :
για κάθε με .
i) Να αποδείξετε ότι .
ii) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση .
2. α) Δίνεται ο πίνακας , όπου .
Αν , θεωρούμε το γραμμικό σύστημα όπου είναι ο πίνακας-στήλη των αγνώστων.
Να αποδείξετε ότι για κάθε υπάρχουν ακριβώς δύο τιμές του ,
για τις οποίες το παραπάνω γραμμικό σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις.
β) Έστω ένας πίνακας για τον οποίο ισχύει
και όπου είναι η ορίζουσα του πίνακα .
i) Να αποδείξετε ότι
ii) Να αποδείξετε ότι ο πίνακας , όπου ο μοναδιαίος πίνακας, είναι αντίστροφος του
και να βρείτε τον πίνακα για τον οποίο ισχύει
3. α) Θεωρούμε συνάρτηση συνεχή στο .
i) Να αποδείξετε ότι
ii) Έστω ότι
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο, ώστε .
β) Θεωρούμε συνεχή συνάρτηση που ικανοποιεί την ισότητα
.
i) Nα αποδείξετε ότι
ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της γραφικής παράστασης της στο σημείο της .
4. α) Θεωρούμε τη συνάρτηση με .
i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση με παριστάνει κύκλο και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του.
ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της και τον άξονα .
β) Έστω είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και ενδεχόμενα του τέτοια, ώστε .
Έστω είναι οι πιθανότητες των αντίστοιχα.
Έστω ότι οι πραγματικοί αριθμοί είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης , με
.
Να υπολογίσετε
i) τις πιθανότητες
ii) τις πιθανότητες και όπου το αντίθετο ενδεχόμενο του .
Αν για κάθε εσωτερικό σημείο του , να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το .
β) Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια, ώστε :
για κάθε με .
i) Να αποδείξετε ότι .
ii) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση .
2. α) Δίνεται ο πίνακας , όπου .
Αν , θεωρούμε το γραμμικό σύστημα όπου είναι ο πίνακας-στήλη των αγνώστων.
Να αποδείξετε ότι για κάθε υπάρχουν ακριβώς δύο τιμές του ,
για τις οποίες το παραπάνω γραμμικό σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις.
β) Έστω ένας πίνακας για τον οποίο ισχύει
και όπου είναι η ορίζουσα του πίνακα .
i) Να αποδείξετε ότι
ii) Να αποδείξετε ότι ο πίνακας , όπου ο μοναδιαίος πίνακας, είναι αντίστροφος του
και να βρείτε τον πίνακα για τον οποίο ισχύει
3. α) Θεωρούμε συνάρτηση συνεχή στο .
i) Να αποδείξετε ότι
ii) Έστω ότι
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο, ώστε .
β) Θεωρούμε συνεχή συνάρτηση που ικανοποιεί την ισότητα
.
i) Nα αποδείξετε ότι
ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της γραφικής παράστασης της στο σημείο της .
4. α) Θεωρούμε τη συνάρτηση με .
i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση με παριστάνει κύκλο και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του.
ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της και τον άξονα .
β) Έστω είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και ενδεχόμενα του τέτοια, ώστε .
Έστω είναι οι πιθανότητες των αντίστοιχα.
Έστω ότι οι πραγματικοί αριθμοί είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης , με
.
Να υπολογίσετε
i) τις πιθανότητες
ii) τις πιθανότητες και όπου το αντίθετο ενδεχόμενο του .
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 2000
1. α) Έστω μία συνάρτηση συνεχής σ' ένα διάστημα .
Αν για κάθε εσωτερικό σημείο του , να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το .
β) Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια, ώστε :
για κάθε με .
i) Να αποδείξετε ότι .
ii) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση .
Λύση
α) Θεωρία
β)i) Η δοσμένη γράφεται :
. Όμως και .
ii) Έχουμε : .
Η παράγωγος μηδενίζεται μόνο για άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο
Αν για κάθε εσωτερικό σημείο του , να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το .
β) Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια, ώστε :
για κάθε με .
i) Να αποδείξετε ότι .
ii) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση .
Λύση
α) Θεωρία
β)i) Η δοσμένη γράφεται :
. Όμως και .
ii) Έχουμε : .
Η παράγωγος μηδενίζεται μόνο για άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο
Γιώργος
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 2000
3. α) Θεωρούμε συνάρτηση συνεχή στο .
i) Να αποδείξετε ότι
ii) Έστω ότι
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο, ώστε .
β) Θεωρούμε συνεχή συνάρτηση που ικανοποιεί την ισότητα
.
i) Nα αποδείξετε ότι
ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της γραφικής παράστασης της στο σημείο της .
Λύση
α) i) Έστω . Θέτουμε και έτσι .
ii) Aπό το ερώτημα i) η δοσμένη γράφεται : .
Θεωρούμε τη συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο άρα
από το Θ.Μ.Τ (Ο.Λ) υπάρχει τέτοιο ώστε .
β) i) Υπολογίζουμε το επομένως η δοσμένη σχέση γίνεται:
. Τα μέλη της τελευταίας είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις
άρα έχουμε : .
ii) Έχουμε : άρα και η εξίσωση είναι :
i) Να αποδείξετε ότι
ii) Έστω ότι
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο, ώστε .
β) Θεωρούμε συνεχή συνάρτηση που ικανοποιεί την ισότητα
.
i) Nα αποδείξετε ότι
ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της γραφικής παράστασης της στο σημείο της .
Λύση
α) i) Έστω . Θέτουμε και έτσι .
ii) Aπό το ερώτημα i) η δοσμένη γράφεται : .
Θεωρούμε τη συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο άρα
από το Θ.Μ.Τ (Ο.Λ) υπάρχει τέτοιο ώστε .
β) i) Υπολογίζουμε το επομένως η δοσμένη σχέση γίνεται:
. Τα μέλη της τελευταίας είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις
άρα έχουμε : .
ii) Έχουμε : άρα και η εξίσωση είναι :
Γιώργος
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 2000
α)parmenides51 έγραψε: 2. α) Δίνεται ο πίνακας , όπου .
Αν , θεωρούμε το γραμμικό σύστημα όπου είναι ο πίνακας-στήλη των αγνώστων.
Να αποδείξετε ότι για κάθε υπάρχουν ακριβώς δύο τιμές του ,
για τις οποίες το παραπάνω γραμμικό σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις.
β) Έστω ένας πίνακας για τον οποίο ισχύει
και όπου είναι η ορίζουσα του πίνακα .
i) Να αποδείξετε ότι
ii) Να αποδείξετε ότι ο πίνακας , όπου ο μοναδιαίος πίνακας, είναι αντίστροφος του
και να βρείτε τον πίνακα για τον οποίο ισχύει
Αφού το σύστημα είναι ομογενές και έχει και μη μηδενικές λύσεις θα είναι:
(1)
Η εξίσωση (1) έχει με άγνωστο διακρίνουσα
για κάθε
Άρα υπάρχουν δύο ακριβώς τιμές του .
β) i. Είναι
Άρα αφού
Με η αρχική ορίζουσα γίνεται:
ii.
Ηλίας Καμπελής
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 2000
Ισχύειparmenides51 έγραψε: 2. α) Δίνεται ο πίνακας , όπου .
Αν , θεωρούμε το γραμμικό σύστημα όπου είναι ο πίνακας-στήλη των αγνώστων.
Να αποδείξετε ότι για κάθε υπάρχουν ακριβώς δύο τιμές του ,
για τις οποίες το παραπάνω γραμμικό σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις.
β) Έστω ένας πίνακας για τον οποίο ισχύει
και όπου είναι η ορίζουσα του πίνακα .
i) Να αποδείξετε ότι
ii) Να αποδείξετε ότι ο πίνακας , όπου ο μοναδιαίος πίνακας, είναι αντίστροφος του
και να βρείτε τον πίνακα για τον οποίο ισχύει
Για να έχει το ομογενές σύστημα και μη μηδενικές λύσεις, τότε θα έχει άπειρες λύσεις άρα
Η δευτεροβάθμια αυτή εξίσωση, ως προς έχει διακρίνουσα που σημαίνει ότι για κάθε υπάρχουν δύο τιμές του ώστε
β) i) Αφού τότε ή κι αφού τότε άρα
ii) και άρα
Τέλος
Υ.Γ. Ελπίζω να μην έχω κάνει κάποιο λάθος, αφού δεν έχω ξαναγράψει τόσους πίνακες ή ορίζουσες σε LaTex...
Υ.Γ.2 Με πρόλαβε ο συνονόματος... αλλά το αφήνω για την ώρα που μου πήρε !
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 2000
parmenides51 έγραψε:4. α) Θεωρούμε τη συνάρτηση με .
i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση με παριστάνει κύκλο και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του.
ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της και τον άξονα .
β) Έστω είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και ενδεχόμενα του τέτοια, ώστε .
Έστω είναι οι πιθανότητες των αντίστοιχα.
Έστω ότι οι πραγματικοί αριθμοί είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης , με
.
Να υπολογίσετε
i) τις πιθανότητες
ii) τις πιθανότητες και όπου το αντίθετο ενδεχόμενο του .
α) i)
Άρα η εξίσωση παριστάνει κύκλο με κέντρο και ακτίνα .
ii)
Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι:
β) Είναι
Άρα η είναι γν. αύξουσα στα διαστήματα και και γν. φθίνουσα στο διάστημα .
Παρουσιάζει ακρότατα για
i. Επειδή
Έτσι και
ii.
Edit: διόρθωση τελευταίας πιθανότητας. Είχα βρεί άλλη από αυτή που ζητάει. Ευτυχώς έβαλε ο Ορέστης τη λύση του..
τελευταία επεξεργασία από hlkampel σε Δευ Ιούλ 01, 2013 11:14 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Ηλίας Καμπελής
-
- Δημοσιεύσεις: 1753
- Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες