Δ' ΔΕΣΜΗ 2000

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Δ' ΔΕΣΜΗ 2000

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Δευ Ιούλ 01, 2013 6:27 pm

1. α) Έστω μία συνάρτηση \displaystyle{f} συνεχής σ' ένα διάστημα \displaystyle{\Delta}.
Αν \displaystyle{f'(x)>0} για κάθε εσωτερικό σημείο \displaystyle{x} του \displaystyle{\Delta}, να αποδείξετε ότι η \displaystyle{f } είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το \displaystyle{\Delta}.
β) Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση \displaystyle{f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}} τέτοια, ώστε :
\displaystyle{2xf(x)+(x^2+1) f'(x)=e^x} για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}} με \displaystyle{f(0)=1}.
i) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{f(x)=\frac{{{e}^{x}}}{{{x}^{2}}+1}\,\, , x\in \mathbb{R}} .
ii) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση \displaystyle{f}.


2. α) Δίνεται ο πίνακας \displaystyle{A= \left[ \begin{matrix} 
   \beta  & -1  \\ 
   \beta  & -2  \\ 
\end{matrix} \right]} , όπου \displaystyle{\beta \in \mathbb{R}}.
Αν \displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}} , θεωρούμε το \displaystyle{2 \, x \, 2} γραμμικό σύστημα \displaystyle{AX=\lambda X } όπου \displaystyle{X= \left[ \begin{matrix} 
   x  \\ 
   y  \\ 
\end{matrix} \right]} είναι ο πίνακας-στήλη των αγνώστων.
Να αποδείξετε ότι για κάθε \displaystyle{\beta \in \mathbb{R}} υπάρχουν ακριβώς δύο τιμές του \displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}},
για τις οποίες το παραπάνω γραμμικό σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις.
β) Έστω \displaystyle{A} ένας \displaystyle{2 \, x \, 2} πίνακας για τον οποίο ισχύει \displaystyle{A= \left[ \begin{matrix} 
   2+\left| A \right| & 4\left| A \right|+1  \\ 
   1 & 2\left| A \right|  \\ 
\end{matrix} \right]}
και \displaystyle{\left| A \right| > 0} όπου \displaystyle{\left| A \right|} είναι η ορίζουσα του πίνακα \displaystyle{A}.
i) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{A=\left[ \begin{matrix} 
   3 & 5  \\ 
   1 & 2  \\ 
\end{matrix} \right]}
ii) Να αποδείξετε ότι ο πίνακας \displaystyle{B=5\mathbb{I} -A}, όπου \displaystyle{\mathbb{I}} ο \displaystyle{2 \, x \, 2} μοναδιαίος πίνακας, είναι αντίστροφος του \displaystyle{A}
και να βρείτε τον πίνακα \displaystyle{X} για τον οποίο ισχύει \displaystyle{BX=A}


3. α) Θεωρούμε συνάρτηση \displaystyle{f} συνεχή στο \displaystyle{ \mathbb{R} }.
i) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{\int_{0}^{3}f(2x+1)dx =  \frac{1}{2}\int_{1}^{7}{f(x)dx}}
ii) Έστω ότι \displaystyle{4\int_{0}^{3}f(2x+1)dx = \int_{1}^{7}{f(x)dx}+\text{2004}}}
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον \displaystyle{\xi \in (1,7)} τέτοιο, ώστε \displaystyle{f(\xi)= 334}.
β) Θεωρούμε συνεχή συνάρτηση \displaystyle{f: \mathbb{R} \to  \mathbb{R}} που ικανοποιεί την ισότητα
\displaystyle{\int_{0}^{x}\left( 1+{t^2 \right) f(t) dt ={{x}^{2}}+\int_{0}^{1}{6x\left( t^2+t \right) dt\,\, , x\in \mathbb{R}} .
i) Nα αποδείξετε ότι \displaystyle{f(x)=\frac{2x+5}{{{x}^{2}}+1}}
ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της γραφικής παράστασης της \displaystyle{f} στο σημείο της \displaystyle{A (0, f(0))}.


4. α) Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{f} με \displaystyle{f(x)=x^2-4x+3 \,\, , x \in \mathbb{R}}.
i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \displaystyle{f(x)+f(y)=0} με \displaystyle{x,y\in \mathbb{R}} παριστάνει κύκλο και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του.
ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της \displaystyle{f} και τον άξονα \displaystyle{x'x}.
β) Έστω \displaystyle{\Omega} είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και \displaystyle{X,Y} ενδεχόμενα του τέτοια, ώστε \displaystyle{X\subseteq Y}.
Έστω \displaystyle{P(X), P(Y)} είναι οι πιθανότητες των \displaystyle{X,Y} αντίστοιχα.
Έστω ότι οι πραγματικοί αριθμοί \displaystyle{P(X), P(Y)} είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης \displaystyle{f}, με
\displaystyle{f(x)=4x^3-5x^2+2x+2000\,\, , x \in \mathbb{R}} .
Να υπολογίσετε
i) τις πιθανότητες \displaystyle{P(X), P(Y)}
ii) τις πιθανότητες \displaystyle{P(X\cap Y), P(X\cup Y)} και \displaystyle{P(Y\cap X') } όπου \displaystyle{X'} το αντίθετο ενδεχόμενο του \displaystyle{X}.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 2000

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Δευ Ιούλ 01, 2013 6:40 pm

1. α) Έστω μία συνάρτηση \displaystyle{f} συνεχής σ' ένα διάστημα \displaystyle{\Delta}.
Αν \displaystyle{f'(x)>0} για κάθε εσωτερικό σημείο \displaystyle{x} του \displaystyle{\Delta}, να αποδείξετε ότι η \displaystyle{f } είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το \displaystyle{\Delta}.
β) Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση \displaystyle{f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}} τέτοια, ώστε :
\displaystyle{2xf(x)+(x^2+1) f'(x)=e^x} για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}} με \displaystyle{f(0)=1}.
i) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{f(x)=\frac{{{e}^{x}}}{{{x}^{2}}+1}\,\, , x\in \mathbb{R}} .
ii) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση \displaystyle{f}.

Λύση

α) Θεωρία

β)i) Η δοσμένη γράφεται : \displaystyle{\left((x^2+1)f(x)\right)'=\left(e^x\right)'\Leftrightarrow (x^2+1)f(x)=e^x+c\Leftrightarrow }

\displaystyle{f(x)=\frac{e^x+c}{x^2+1}}. Όμως \displaystyle{f(0)=1\Leftrightarrow \frac{1+c}{1}=1\Leftrightarrow c=0} και \displaystyle{f(x)=\frac{e^x}{x^2+1},~x\in \mathbb R }.

ii) Έχουμε : \displaystyle{f'(x)=\frac{(x^2+1)e^x-2xe^x}{(x^2+1)^2}=\frac{e^x(x^2-2x+1)}{(x^2+1)^2}=\frac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2}\geq 0}.

Η παράγωγος μηδενίζεται μόνο για \displaystyle{x=1} άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{\mathbb R}


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 2000

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Δευ Ιούλ 01, 2013 8:45 pm

3. α) Θεωρούμε συνάρτηση \displaystyle{f} συνεχή στο \displaystyle{ \mathbb{R} }.
i) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{\int_{0}^{3}f(2x+1)dx =  \frac{1}{2}\int_{1}^{7}{f(x)dx}}
ii) Έστω ότι \displaystyle{4\int_{0}^{3}f(2x+1)dx = \int_{1}^{7}{f(x)dx}+\text{2004}}}
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον \displaystyle{\xi \in (1,7)} τέτοιο, ώστε \displaystyle{f(\xi)= 334}.
β) Θεωρούμε συνεχή συνάρτηση \displaystyle{f: \mathbb{R} \to  \mathbb{R}} που ικανοποιεί την ισότητα
\displaystyle{\int_{0}^{x}\left( 1+{t^2 \right) f(t) dt ={{x}^{2}}+\int_{0}^{1}{6x\left( t^2+t \right) dt\,\, , x\in \mathbb{R}} .
i) Nα αποδείξετε ότι \displaystyle{f(x)=\frac{2x+5}{{{x}^{2}}+1}}
ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της γραφικής παράστασης της \displaystyle{f} στο σημείο της \displaystyle{A (0, f(0))}.

Λύση

α) i) Έστω \displaystyle{I=\int_0^3 f(2x+1)dx}. Θέτουμε \displaystyle{u=2x+1\Rightarrow du=2dx} και έτσι \displaystyle{I=\int_1^7 \frac{1}{2}f(u)du=\frac{1}{2}\int_{1}^{7}{f(x)dx}}.

ii) Aπό το ερώτημα i) η δοσμένη γράφεται : \displaystyle{2\int_1^7f(x)dx=\int_1^7f(x)dx+2004\Rightarrow \int_1^7f(x)dx=2004}.

Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{K(x)=\int_1^xf(t)dt} η οποία είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle{[1,7]} άρα

από το Θ.Μ.Τ (Ο.Λ) υπάρχει \displaystyle{\xi \in \mathbb (1,7)} τέτοιο ώστε \displaystyle{K'(\xi)=\frac{K(7)-K(1)}{7-1}\Rightarrow f(\xi)=\frac{\int_1^7f(t)dt-0}{6}=\frac{2004}{6}=334 }.

β) i) Υπολογίζουμε το \displaystyle{\int_0^1 (t^2+t)dt=\big[\frac{t^3}{3}+\frac{t^2}{2}\big]_0^1=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}} επομένως η δοσμένη σχέση γίνεται:

\displaystyle{\int_0^1(1+t^2)f(t)dt=x^2+6x\cdot\frac{5}{6}\Leftrightarrow \int_0^1(1+t^2)f(t)dt=x^2+5x\ }. Τα μέλη της τελευταίας είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις

άρα έχουμε : \displaystyle{(1+x^2)f(x)=2x+5\Leftrightarrow f(x)=\frac{2x+5}{x^2+1}}.

ii) Έχουμε : \displaystyle{f'(x)=\frac{-2(x^2+5x-1)}{(x^2+1)^2}} άρα \displaystyle{f(0)=5,~f'(0)=2} και η εξίσωση είναι :

\displaystyle{y-5=2(x-0)\Leftrightarrow y=2x+5}


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 945
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 2000

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Δευ Ιούλ 01, 2013 10:06 pm

parmenides51 έγραψε: 2. α) Δίνεται ο πίνακας \displaystyle{A= \left[ \begin{matrix} 
   \beta  & -1  \\ 
   \beta  & -2  \\ 
\end{matrix} \right]} , όπου \displaystyle{\beta \in \mathbb{R}}.
Αν \displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}} , θεωρούμε το \displaystyle{2 \, x \, 2} γραμμικό σύστημα \displaystyle{AX=\lambda X } όπου \displaystyle{X= \left[ \begin{matrix} 
   x  \\ 
   y  \\ 
\end{matrix} \right]} είναι ο πίνακας-στήλη των αγνώστων.
Να αποδείξετε ότι για κάθε \displaystyle{\beta \in \mathbb{R}} υπάρχουν ακριβώς δύο τιμές του \displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}},
για τις οποίες το παραπάνω γραμμικό σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις.
β) Έστω \displaystyle{A} ένας \displaystyle{2 \, x \, 2} πίνακας για τον οποίο ισχύει \displaystyle{A= \left[ \begin{matrix} 
   2+\left| A \right| & 4\left| A \right|+1  \\ 
   1 & 2\left| A \right|  \\ 
\end{matrix} \right]}
και \displaystyle{\left| A \right| > 0} όπου \displaystyle{\left| A \right|} είναι η ορίζουσα του πίνακα \displaystyle{A}.
i) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{A=\left[ \begin{matrix} 
   3 & 5  \\ 
   1 & 2  \\ 
\end{matrix} \right]}
ii) Να αποδείξετε ότι ο πίνακας \displaystyle{B=5\mathbb{I} -A}, όπου \displaystyle{\mathbb{I}} ο \displaystyle{2 \, x \, 2} μοναδιαίος πίνακας, είναι αντίστροφος του \displaystyle{A}
και να βρείτε τον πίνακα \displaystyle{X} για τον οποίο ισχύει \displaystyle{BX=A}
α) \displaystyle{AX = \lambda X \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
\beta &{ - 1}\\ 
\beta &{ - 2} 
\end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
x\\ 
y 
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{\lambda x}\\ 
{\lambda y} 
\end{array}} \right] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
\beta x - y = \lambda x\\ 
\beta x - 2y = \lambda y 
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
\left( {\beta  - \lambda } \right)x - y = 0\\ 
\beta x - \left( {2 + \lambda } \right)y = 0 
\end{array} \right.}

Αφού το σύστημα είναι ομογενές και έχει και μη μηδενικές λύσεις θα είναι:

D = 0 \Leftrightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
{\beta  - \lambda }&{ - 1}\\ 
\beta &{ - \left( {2 + \lambda } \right)} 
\end{array}} \right| = 0 \Leftrightarrow  - 2\beta  - \beta \lambda  + 2\lambda  + {\lambda ^2} + \beta  = 0 \Leftrightarrow

{\lambda ^2} - \left( {\beta  - 2} \right)\lambda  - \beta  = 0 (1)

Η εξίσωση (1) έχει με άγνωστο \lambda διακρίνουσα

\Delta  = {\left( {\beta  - 2} \right)^2} + 4\beta  = {\beta ^2} - 4\beta  + 4 + 4\beta  = {\beta ^2} + 4 > 0 για κάθε \beta  \in R

Άρα υπάρχουν δύο ακριβώς τιμές του \lambda.

β) i. Είναι \left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
{2 + \left| A \right|}&{4\left| A \right| + 1}\\ 
1&{2\left| A \right|} 
\end{array}} \right| \Rightarrow \left| A \right| = 4\left| A \right| + 2{\left| A \right|^2} - 4\left| A \right| - 1 \Leftrightarrow

\displaystyle{2{\left| A \right|^2} - \left| A \right| - 1 = 0 \Leftrightarrow \left| A \right| = 1\;\dot \eta \;\left| A \right| =  - \frac{1}{2}}

Άρα \displaystyle{\left| A \right| = 1\;} αφού \displaystyle{\left| A \right| > 0}

Με \displaystyle{\left| A \right| = 1\;} η αρχική ορίζουσα γίνεται:

\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
3&5\\ 
1&2 
\end{array}} \right|

ii. {A^2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
3&5\\ 
1&2 
\end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
3&5\\ 
1&2 
\end{array}} \right] \Rightarrow {A^2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{14}&{25}\\ 
5&9 
\end{array}} \right]

B = 5I - A\mathop  \Rightarrow \limits^{ \cdot A} AB = 5A - {A^2} \Rightarrow AB = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{15}&{25}\\ 
5&{10} 
\end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{14}&{25}\\ 
5&9 
\end{array}} \right] \Rightarrow

AB = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
1&0\\ 
0&1 
\end{array}} \right] \Rightarrow AB = I \Rightarrow {A^{ - 1}} = B

BX = A\mathop  \Leftrightarrow \limits^{ \cdot A} ABX = {A^2}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{AB = I} X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{14}&{25}\\ 
5&9 
\end{array}} \right]


Ηλίας Καμπελής
Ηλίας Θ.
Δημοσιεύσεις: 103
Εγγραφή: Τετ Μάιος 19, 2010 9:23 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 2000

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ηλίας Θ. » Δευ Ιούλ 01, 2013 10:13 pm

parmenides51 έγραψε: 2. α) Δίνεται ο πίνακας \displaystyle{A= \left[ \begin{matrix} 
   \beta  & -1  \\ 
   \beta  & -2  \\ 
\end{matrix} \right]} , όπου \displaystyle{\beta \in \mathbb{R}}.
Αν \displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}} , θεωρούμε το \displaystyle{2 \, x \, 2} γραμμικό σύστημα \displaystyle{AX=\lambda X } όπου \displaystyle{X= \left[ \begin{matrix} 
   x  \\ 
   y  \\ 
\end{matrix} \right]} είναι ο πίνακας-στήλη των αγνώστων.
Να αποδείξετε ότι για κάθε \displaystyle{\beta \in \mathbb{R}} υπάρχουν ακριβώς δύο τιμές του \displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}},
για τις οποίες το παραπάνω γραμμικό σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις.
β) Έστω \displaystyle{A} ένας \displaystyle{2 \, x \, 2} πίνακας για τον οποίο ισχύει \displaystyle{A= \left[ \begin{matrix} 
   2+\left| A \right| & 4\left| A \right|+1  \\ 
   1 & 2\left| A \right|  \\ 
\end{matrix} \right]}
και \displaystyle{\left| A \right| > 0} όπου \displaystyle{\left| A \right|} είναι η ορίζουσα του πίνακα \displaystyle{A}.
i) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{A=\left[ \begin{matrix} 
   3 & 5  \\ 
   1 & 2  \\ 
\end{matrix} \right]}
ii) Να αποδείξετε ότι ο πίνακας \displaystyle{B=5\mathbb{I} -A}, όπου \displaystyle{\mathbb{I}} ο \displaystyle{2 \, x \, 2} μοναδιαίος πίνακας, είναι αντίστροφος του \displaystyle{A}
και να βρείτε τον πίνακα \displaystyle{X} για τον οποίο ισχύει \displaystyle{BX=A}
Ισχύει \displaystyle{AX=\lambda X }\Leftrightarrow  \displaystyle{AX-\lambda X =O} \Leftrightarrow \left(A-\lambda I \right)X=O
Για να έχει το ομογενές σύστημα και μη μηδενικές λύσεις, τότε θα έχει άπειρες λύσεις άρα \left|A-\lambda I\right |=0\Leftrightarrow\displaystyle{\left| \begin{matrix} 
   \beta-\lambda   & -1  \\ 
   \beta  & -2-\lambda  \\ 
\end{matrix} \right|}=0\Leftrightarrow\lambda ^2+\lambda \left(2-\beta \right)-\beta=0
Η δευτεροβάθμια αυτή εξίσωση, ως προς \lambda έχει διακρίνουσα \Delta=(2-\beta)^2+4\beta=4+\beta^2>0 που σημαίνει ότι για κάθε \beta υπάρχουν δύο τιμές του \lambda ώστε \left|A-\lambda I\right |=0
β) i) Αφού \displaystyle{A= \left[ \begin{matrix} 
   2+\left| A \right| & 4\left| A \right|+1  \\ 
   1 & 2\left| A \right|  \\ 
\end{matrix} \right]} τότε \displaystyle{\left |A\right |= \left| \begin{matrix} 
   2+\left| A \right| & 4\left| A \right|+1  \\ 
   1 & 2\left| A \right|  \\ 
\end{matrix} \right|} \Rightarrow \left |A\right |= 2\left |A\right |^2-1 \Leftrightarrow 2\left |A\right |^2-\left |A\right |-1=0 \Leftrightarrow \left |A\right |=1 ή \left |A\right |=\dfrac{-1}{2} κι αφού \left |A\right |>0 τότε \left |A\right |=1 άρα \displaystyle{A=\left[ \begin{matrix} 
   3 & 5  \\ 
   1 & 2  \\ 
\end{matrix} \right]}
ii) B=\left[ \begin{matrix} 
   2 & -5  \\ 
   -1 & 3  \\ 
\end{matrix} \right] και BA=\left[ \begin{matrix} 
   3\cdot 2-5\cdot1 & 2\cdot5-5\cdot2  \\ 
   -1\cdot3+3\cdot1 & -1\cdot5+3\cdot2  \\ 
\end{matrix} \right]=I άρα BA=AB=I\Leftrightarrow B=A^{-1}
Τέλος BX=A\Leftrightarrow A(BX)=A^2\Leftrightarrow (AB)X=A^2\Leftrightarrow X=A^2=\left[ \begin{matrix} 
   14 & 25  \\ 
   8 & 9  \\ 
\end{matrix} \right]}

Υ.Γ. Ελπίζω να μην έχω κάνει κάποιο λάθος, αφού δεν έχω ξαναγράψει τόσους πίνακες ή ορίζουσες σε LaTex...
Υ.Γ.2 Με πρόλαβε ο συνονόματος... αλλά το αφήνω για την ώρα που μου πήρε !


Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 945
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 2000

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Δευ Ιούλ 01, 2013 11:04 pm

parmenides51 έγραψε:4. α) Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{f} με \displaystyle{f(x)=x^2-4x+3 \,\, , x \in \mathbb{R}}.
i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \displaystyle{f(x)+f(y)=0} με \displaystyle{x,y\in \mathbb{R}} παριστάνει κύκλο και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του.
ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της \displaystyle{f} και τον άξονα \displaystyle{x'x}.
β) Έστω \displaystyle{\Omega} είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και \displaystyle{X,Y} ενδεχόμενα του τέτοια, ώστε \displaystyle{X\subseteq Y}.
Έστω \displaystyle{P(X), P(Y)} είναι οι πιθανότητες των \displaystyle{X,Y} αντίστοιχα.
Έστω ότι οι πραγματικοί αριθμοί \displaystyle{P(X), P(Y)} είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης \displaystyle{f}, με
\displaystyle{f(x)=4x^3-5x^2+2x+2000\,\, , x \in \mathbb{R}} .
Να υπολογίσετε
i) τις πιθανότητες \displaystyle{P(X), P(Y)}
ii) τις πιθανότητες \displaystyle{P(X\cap Y), P(X\cup Y)} και \displaystyle{P(Y\cap X') } όπου \displaystyle{X'} το αντίθετο ενδεχόμενο του \displaystyle{X}.

α) i) f\left( x \right) + f\left( y \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x - 4y + 6 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 2

Άρα η εξίσωση f\left( x \right) + f\left( y \right) = 0 παριστάνει κύκλο με κέντρο K(2,2) και ακτίνα \rho  = \sqrt 2.

ii) f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\;\dot \eta \;x = 3

f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 3

Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι:

\displaystyle E = \int_3^1 {f\left( x \right)dx}  = \left[ {\frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + 3x} \right]_3^1 = \frac{1}{3} - 2 + 3 - 9 + 18 - 9 = \frac{4}{3}\tau .\mu .

β) Είναι f'\left( x \right) = 12{x^2} - 10x + 2

\displaystyle f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 12{x^2} - 10x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\;\dot \eta \;x = \frac{1}{2}

Άρα η f είναι γν. αύξουσα στα διαστήματα \displaystyle\left( { - \infty ,\frac{1}{3}} \right] και \displaystyle\left[ {\frac{1}{2}, + \infty } \right) και γν. φθίνουσα στο διάστημα \displaystyle\left[ {\frac{1}{3},\frac{1}{2}} \right].

Παρουσιάζει ακρότατα για \displaystyle x = \frac{1}{3}\;\kappa \alpha \iota \;x = \frac{1}{2}

i. Επειδή X \subseteq Y \Rightarrow P\left( X \right) \le P\left( Y \right)

Έτσι \displaystyle P\left( X \right) = \frac{1}{3} και \displaystyle P\left( Y \right) = \frac{1}{2}

ii. \displaystyle X \subseteq Y \Rightarrow \left( {X \cap Y} \right) = X \Rightarrow P\left( {X \cap Y} \right) = P\left( X \right) \Rightarrow P\left( {X \cap Y} \right) = \frac{1}{3}

\displaystyle X \subseteq Y \Rightarrow \left( {X \cup Y} \right) = Y \Rightarrow P\left( {X \cup Y} \right) = P\left( Y \right) \Rightarrow P\left( {X \cup Y} \right) = \frac{1}{2}

\displaystyle P\left( {Y \cap X'} \right) = P\left( Y \right) - P\left( {Y \cap X} \right) \Rightarrow P\left( {Y \cap X'} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \Leftrightarrow P\left( {Y \cap X'} \right) = \frac{1}{6}

Edit: διόρθωση τελευταίας πιθανότητας. Είχα βρεί άλλη από αυτή που ζητάει. Ευτυχώς έβαλε ο Ορέστης τη λύση του..
τελευταία επεξεργασία από hlkampel σε Δευ Ιούλ 01, 2013 11:14 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ηλίας Καμπελής
orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1322
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 2000

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Δευ Ιούλ 01, 2013 11:08 pm

parmenides51 έγραψε:[4. α) Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{f} με \displaystyle{f(x)=x^2-4x+3 \,\, , x \in \mathbb{R}}.
i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \displaystyle{f(x)+f(y)=0} με \displaystyle{x,y\in \mathbb{R}} παριστάνει κύκλο και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του.
ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της \displaystyle{f} και τον άξονα \displaystyle{x'x}.
β) Έστω \displaystyle{\Omega} είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και \displaystyle{X,Y} ενδεχόμενα του τέτοια, ώστε \displaystyle{X\subseteq Y}.
Έστω \displaystyle{P(X), P(Y)} είναι οι πιθανότητες των \displaystyle{X,Y} αντίστοιχα.
Έστω ότι οι πραγματικοί αριθμοί \displaystyle{P(X), P(Y)} είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης \displaystyle{f}, με
\displaystyle{f(x)=4x^3-5x^2+2x+2000\,\, , x \in \mathbb{R}} .
Να υπολογίσετε
i) τις πιθανότητες \displaystyle{P(X), P(Y)}
ii) τις πιθανότητες \displaystyle{P(X\cap Y), P(X\cup Y)} και \displaystyle{P(Y\cap X') } όπου \displaystyle{X'} το αντίθετο ενδεχόμενο του \displaystyle{X}.
{{\alpha }_{i}}) Είναι \displaystyle{f(x)+f(y)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+4+{{y}^{2}}-4y+4=-6+4+4\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=2},

δηλαδή κύκλος με \displaystyle{K\left( 2,2 \right),\,\,\rho =\sqrt{2}}.

{{\alpha }_{ii}}) Έχουμε \displaystyle{f(x)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+3=0\Leftrightarrow \left( x=1\,\,\,\vee \,\,\,x=3 \right)} με \displaystyle{f} συνεχή στο \displaystyle{\left[ 1,3 \right]} και \displaystyle{f(x)\le 0} σ’ αυτό, άρα \displaystyle{E=\int\limits_{1}^{3}{\left| f(x) \right|dx=\int\limits_{1}^{3}{\left( -{{x}^{2}}+4x-3 \right)dx}}=\left[ -\frac{{{x}^{3}}}{3}+2{{x}^{2}}-3x \right]_{\,1}^{\,3}=\frac{4}{3}\,\,\,\tau .\mu }.

{{\beta }_{i}}) Είναι \displaystyle{{f}'(x)=12{{x}^{2}}-10x+2\Leftrightarrow {f}'(x)=0\Leftrightarrow \left( x=\frac{1}{3}\,\,\,\vee \,\,\,x=\frac{1}{2} \right)} και επειδή στα σημεία αυτά έχουμε ακρότατα, θα είναι \displaystyle{P(X)=\frac{1}{3},\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,P(Y)=\frac{1}{2}} αφού από \displaystyle{X\subseteq Y\Rightarrow P\left( X \right)\le P\left( Y \right)}.

{{\beta }_{ii}}) Από \displaystyle{X\subseteq Y\Rightarrow X=X\cap Y\Rightarrow P\left( X \right)=P\left( X\cap Y \right)\Rightarrow P\left( X\cap Y \right)=\frac{1}{3}}

\displaystyle{P\left( X\cup Y \right)=P\left( X \right)+P\left( Y \right)-P\left( X\cap Y \right)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}}

\displaystyle{P\left( Y\cap {X}' \right)=P\left( Y-X \right)=P\left( Y \right)-P\left( Y\cap X \right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}}.

Κύριε Ηλία τώρα είδα την δική σας λύση. Έχουμε τα ίδια, αλλά ας την αφήσω.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Δ' Δέσμη”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες