Δ' ΔΕΣΜΗ 1999

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Δ' ΔΕΣΜΗ 1999

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Δευ Ιούλ 01, 2013 8:28 am

1. α) Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση \displaystyle{f } είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο \displaystyle{x_0} τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.
β) i) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{\ln (x+1)>x-\frac{{{x}^{2}}}{2}-\frac{1}{5}} για κάθε \displaystyle{x\in [0,+\infty)}
ii) Έστω συνάρτηση \displaystyle{f} παραγωγίσιμη στο \displaystyle{[0,+\infty)} για την οποία ισχύει \displaystyle{{{\left[ f(x) \right]}^{5}}+2{{\left[ f(x) \right]}^{3}}+3f(x)=(x+1)\ln (x+1)-\frac{4}{5}x-\frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{{{x}^{3}}}{6}+182}
για κάθε \displaystyle{x\in [0,+\infty)}. Να αποδείξετε ότι η \displaystyle{f } είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{ [0,+\infty)}


2. α) Δίνονται τα σημεία του επιπέδου \displaystyle{A(1,3), B(-1,0), \Gamma(3,-1)}
i) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το \displaystyle{A} και είναι κάθετη στην ευθεία \displaystyle{B\Gamma} .
ii) Έστω \displaystyle{C} ο κύκλος με κέντρο το σημείο \displaystyle{A} και ακτίνα \displaystyle{(AB)}.
Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής της ευθείας \displaystyle{B\Gamma} με τον παραπάνω κύκλο.
β) Έστω \displaystyle{\Omega =\left\{ 0,1,2 \right\}} ένας δειγματικός χώρος με \displaystyle{P(0)=2P(2)=\frac{1}{3}}
i) Να βρείτε το \displaystyle{P(1)}
ii) Έστω η συνάρτηση \displaystyle{f(x)={{e}^{x}}-\frac{\lambda }{2}{{x}^{2}}+118,\,\,\,x\in \mathbb{R}} με \displaystyle{\lambda \in \Omega } .
Θεωρούμε το ενδεχόμενο \displaystyle{E=\{  \lambda \in \Omega |} η γραφική παράσταση της \displaystyle{f} έχει σημείο καμπής το \displaystyle{(0,f(0)\}} .
Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου \displaystyle{E}.


3. α) Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=\eta {{\mu }^{2}}(\alpha x),\,\,x\in \mathbb{R}} και \displaystyle{\alpha \in \mathbb{R}}. Να βρείτε την τιμή του \displaystyle{\alpha} ώστε να ισχύει \displaystyle{{f}''(x)+4{{\alpha }^{2}}f(x)=2} για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}}
β) Δίνεται η συνάρτηση f(x)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+1,\,\,x\in \mathbb{R}
i) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τη συνάρτηση \displaystyle{f} και να αποδείξετε ότι \displaystyle{f(x)>0 } για κάθε \displaystyle{x \in [1,3]}
ii) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \displaystyle{f}, τον άξονα \displaystyle{x'x} και τις ευθείες \displaystyle{x=1} και \displaystyle{x=3} .


4. α) Έστω \displaystyle{A} ένας \displaystyle{\nu \, x \, \nu} πίνακας για τον οποίο ισχύει {{\left( A-\mathbb{I} \right)}^{-1}}=A+2I όπου \displaystyle{\mathbb{I}} ο \displaystyle{\nu \, x \, \nu} μοναδιαίος πίνακας
i) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{{{A}^{2}}=3\mathbb{I} -A}
ii) Έστω \displaystyle{ X \,\,\,  \nu \, x \, \nu} πίνακας για τον οποίο ισχύει AX-A=4\mathbb{I}-X. Να αποδείξετε ότι \displaystyle{X=A+\mathbb{I}}
β) Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση \displaystyle{f} με πεδίο ορισμού το \displaystyle{\mathbb{R} } και το σύστημα \left\{ \begin{matrix} 
 f(1)x+y+z=0 \\  
 f(2)x+2y+2z=0 \\  
	  2x+f(2)y+2f(1)z =0 \\  
	\end{matrix} \right} με αγνώστους \displaystyle{x,y,z}.
Υποθέτουμε ότι το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις. Να αποδείξετε ότι :
i) \displaystyle{\frac{f(2)}{2}=\frac{f(1)}{1}}
ii) Η εξίσωση \displaystyle{x{f}'(x)-f(x)=0} έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα \displaystyle{(1,2)}.


Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1755
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1999

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Δευ Ιούλ 01, 2013 9:07 am

[quote="parmenides51"]1. α) Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση \displaystyle{f } είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο \displaystyle{x_0} τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.
β) i) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{\ln (x+1)>x-\frac{{{x}^{2}}}{2}-\frac{1}{5}} για κάθε \displaystyle{x\in [0,+\infty)}
ii) Έστω συνάρτηση \displaystyle{f} παραγωγίσιμη στο \displaystyle{[0,+\infty)} για την οποία ισχύει \displaystyle{{{\left[ f(x) \right]}^{5}}+2{{\left[ f(x) \right]}^{3}}+3f(x)=(x+1)\ln (x+1)-\frac{4}{5}x-\frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{{{x}^{3}}}{6}+182}
για κάθε \displaystyle{x\in [0,+\infty)}. Να αποδείξετε ότι η \displaystyle{f } είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{ [0,+\infty)}

ΛΥΣΗ:

α) Θεωρία

β) i)Έστω η \displaystyle g(x)=ln(x+1)-x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{5}, x>-1, παραγωγίσιμη με \displaystyle g'(x)=\frac{1}{x+1}+x-1=\frac{x^{2}}{x+1}\geq 0, για x>-1 με g'(0)=0
Έτσι η g είναι γνησίως αύξουσα για x>-1
Τώρα για \displaystyle x>0 \Rightarrow  g(x)>g(0)\Rightarrow \Rightarrow g(x)>\frac{1}{5} με g(0)=\frac{1}{5}, άρα g(x)>0 για x\geq 0

ii) Αφού η f παραγωγίσιμη, παραγωγίζοντας τη δοσμένη είναι \displaystyle f'(x)(5f^{4}(x)+6f^{2}(x)+3)=g(x)\Rightarrow f'(x)=\frac{g(x)}{5f^{4}(x)+3+6f^{2}(x)} αφού
5f^{4}(x)+6f^{2}(x)+3>0 και g(x)>0 άρα και f'(x)>0 δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+\infty)


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 945
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1999

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Δευ Ιούλ 01, 2013 9:46 am

parmenides51 έγραψε:4. α) Έστω \displaystyle{A} ένας \displaystyle{\nu \, x \, \nu} πίνακας για τον οποίο ισχύει {{\left( A-\mathbb{I} \right)}^{-1}}=A+2I όπου \displaystyle{\mathbb{I}} ο \displaystyle{\nu \, x \, \nu} μοναδιαίος πίνακας
i) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{{{A}^{2}}=3\mathbb{I} -A}
ii) Έστω \displaystyle{ X \,\,\,  \nu \, x \, \nu} πίνακας για τον οποίο ισχύει AX-A=4\mathbb{I}-X. Να αποδείξετε ότι \displaystyle{X=A+\mathbb{I}}
β) Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση \displaystyle{f} με πεδίο ορισμού το \displaystyle{\mathbb{R} } και το σύστημα \left\{ \begin{matrix} 
 f(1)x+y+z=0 \\  
 f(2)x+2y+2z=0 \\  
	  2x+f(2)y+2f(1)z =0 \\  
	\end{matrix} \right} με αγνώστους \displaystyle{x,y,z}.
Υποθέτουμε ότι το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις. Να αποδείξετε ότι :
i) \displaystyle{\frac{f(2)}{2}=\frac{f(1)}{1}}
ii) Η εξίσωση \displaystyle{x{f}'(x)-f(x)=0} έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα \displaystyle{(1,2)}.
α) i) {\left( {A - I} \right)^{ - 1}} = A + 2I \Leftrightarrow \left( {A - I} \right){\left( {A - I} \right)^{ - 1}} = \left( {A - I} \right)\left( {A + 2I} \right) \Leftrightarrow

I = {A^2} + 2A - A - 2I \Leftrightarrow {A^2} = 3I - A (1)

ii) \displaystyle {A^2} + A = 3I \Leftrightarrow A\left( {A + I} \right) = 3I \Leftrightarrow {\left( {A + I} \right)^{ - 1}} = \frac{1}{3}A (2)

AX - A = 4I - X \Leftrightarrow \left( {A + I} \right)X = 4I + A \Leftrightarrow

{\left( {A + I} \right)^{ - 1}}\left( {A + I} \right)X = {\left( {A + I} \right)^{ - 1}}\left( {4I + A} \right)\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\left( 2 \right)}

\displaystyle X = \frac{1}{3}A\left( {4I + A} \right) \Leftrightarrow X = \frac{4}{3}A + \frac{1}{3}{A^2} \Leftrightarrow

\displaystyle X = A + \frac{1}{3}A + \frac{1}{3}{A^2} \Leftrightarrow X = A + \frac{1}{3}\left( {A + {A^2}} \right)\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\left( 1 \right)}

\displaystyle X = A + \frac{1}{3}3I \Leftrightarrow X = A + I

β) i) Αφού το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις θα ισχύει:

D = 0 \Leftrightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
{f\left( 1 \right)}&1&1\\ 
{f\left( 2 \right)}&2&2\\ 
2&{f\left( 2 \right)}&{2f\left( 1 \right)} 
\end{array}} \right| = 0 (3)

Πολ/ντας την 1η γραμμή με 2 και αφαιρώντας την 2η γραμμή η \left( 3 \right) γίνεται:

\displaystyle{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
{2f\left( 1 \right) - f\left( 2 \right)}&0&0\\ 
{f\left( 2 \right)}&2&2\\ 
2&{f\left( 2 \right)}&{2f\left( 1 \right)} 
\end{array}} \right| = 0 \Leftrightarrow \left[ {2f\left( 1 \right) - f\left( 2 \right)} \right]\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
2&2\\ 
{f\left( 2 \right)}&{2f\left( 1 \right)} 
\end{array}} \right| = 0 \Leftrightarrow }

\displaystyle{\left[ {2f\left( 1 \right) - f\left( 2 \right)} \right]\left[ {4f\left( 1 \right) - 2f\left( 2 \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow 2{\left[ {2f\left( 1 \right) - f\left( 2 \right)} \right]^2} = 0 \Leftrightarrow }

\displaystyle 2f\left( 1 \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow \frac{{f\left( 2 \right)}}{2} = \frac{{f\left( 1 \right)}}{1}\;\left( 4 \right)

ii. \displaystyle xf'\left( x \right) - f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{f\left( x \right)}}{x}} \right)^\prime } = 0 με x \ne 0

Η συνάρτηση \displaystyle g\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{x} είναι συνεχής στο \left[ {1,2} \right] και παραγωγίσιμη στο \left( {1,2} \right) ως πηλίκο συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων.

\displaystyle {g\left( 1 \right) = \frac{{f\left( 1 \right)}}{1}} και \displaystyle {g\left( 2 \right) = \frac{{f\left( 2 \right)}}{2}}

Από τη σχέση (4) θα είναι g\left( 1 \right) = g\left( 2 \right) .

Από Θεώρημα Rolle, υπάρχει ένα τουλάχιστον {x_o} \in \left( {1,2} \right) τέτοιο ώστε g'\left( {{x_o}} \right) = 0 \Leftrightarrow {x_o}f'\left( {{x_o}} \right) - f\left( {{x_o}} \right) = 0


Ηλίας Καμπελής
sokratis lyras
Δημοσιεύσεις: 718
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 05, 2011 9:13 pm

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1999

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sokratis lyras » Δευ Ιούλ 01, 2013 11:43 am

hlkampel έγραψε:
parmenides51 έγραψε:4. α) Έστω \displaystyle{A} ένας \displaystyle{\nu \, x \, \nu} πίνακας για τον οποίο ισχύει {{\left( A-\mathbb{I} \right)}^{-1}}=A+2I όπου \displaystyle{\mathbb{I}} ο \displaystyle{\nu \, x \, \nu} μοναδιαίος πίνακας
i) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{{{A}^{2}}=3\mathbb{I} -A}
ii) Έστω \displaystyle{ X \,\,\,  \nu \, x \, \nu} πίνακας για τον οποίο ισχύει AX-A=4\mathbb{I}-X. Να αποδείξετε ότι \displaystyle{X=A+\mathbb{I}}
β) Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση \displaystyle{f} με πεδίο ορισμού το \displaystyle{\mathbb{R} } και το σύστημα \left\{ \begin{matrix} 
 f(1)x+y+z=0 \\  
 f(2)x+2y+2z=0 \\  
	  2x+f(2)y+2f(1)z =0 \\  
	\end{matrix} \right} με αγνώστους \displaystyle{x,y,z}.
Υποθέτουμε ότι το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις. Να αποδείξετε ότι :
i) \displaystyle{\frac{f(2)}{2}=\frac{f(1)}{1}}
ii) Η εξίσωση \displaystyle{x{f}'(x)-f(x)=0} έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα \displaystyle{(1,2)}.
α) i) {\left( {A - I} \right)^{ - 1}} = A + 2I \Leftrightarrow \left( {A - I} \right){\left( {A - I} \right)^{ - 1}} = \left( {A - I} \right)\left( {A + 2I} \right) \Leftrightarrow

I = {A^2} + 2A - A - 2I \Leftrightarrow {A^2} = 3I - A (1)

ii) \displaystyle {A^2} + A = 3I \Leftrightarrow A\left( {A + I} \right) = 3I \Leftrightarrow {\left( {A + I} \right)^{ - 1}} = \frac{1}{3}A (2)

AX - A = 4I - X \Leftrightarrow \left( {A + I} \right)X = 4I + A \Leftrightarrow

{\left( {A + I} \right)^{ - 1}}\left( {A + I} \right)X = {\left( {A + I} \right)^{ - 1}}\left( {4I + A} \right)\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\left( 2 \right)}

\displaystyle X = \frac{1}{3}A\left( {4I + A} \right) \Leftrightarrow X = \frac{4}{3}A + \frac{1}{3}{A^2} \Leftrightarrow

\displaystyle X = A + \frac{1}{3}A + \frac{1}{3}{A^2} \Leftrightarrow X = A + \frac{1}{3}\left( {A + {A^2}} \right)\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\left( 1 \right)}

\displaystyle X = A + \frac{1}{3}3I \Leftrightarrow X = A + I

β) i) Αφού το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις θα ισχύει:

D = 0 \Leftrightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
{f\left( 1 \right)}&1&1\\ 
{f\left( 2 \right)}&2&2\\ 
2&{f\left( 2 \right)}&{2f\left( 1 \right)} 
\end{array}} \right| = 0 (3)

Πολ/ντας την 1η γραμμή με 2 και αφαιρώντας την 2η γραμμή η \left( 3 \right) γίνεται:

\displaystyle{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
{2f\left( 1 \right) - f\left( 2 \right)}&0&0\\ 
{f\left( 2 \right)}&2&2\\ 
2&{f\left( 2 \right)}&{2f\left( 1 \right)} 
\end{array}} \right| = 0 \Leftrightarrow \left[ {2f\left( 1 \right) - f\left( 2 \right)} \right]\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
2&2\\ 
{f\left( 2 \right)}&{2f\left( 1 \right)} 
\end{array}} \right| = 0 \Leftrightarrow }

\displaystyle{\left[ {2f\left( 1 \right) - f\left( 2 \right)} \right]\left[ {4f\left( 1 \right) - 2f\left( 2 \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow 2{\left[ {2f\left( 1 \right) - f\left( 2 \right)} \right]^2} = 0 \Leftrightarrow }

\displaystyle 2f\left( 1 \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow \frac{{f\left( 2 \right)}}{2} = \frac{{f\left( 1 \right)}}{1}\;\left( 4 \right)

ii. \displaystyle xf'\left( x \right) - f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{f\left( x \right)}}{x}} \right)^\prime } = 0 με x \ne 0

Η συνάρτηση \displaystyle g\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{x} είναι συνεχής στο \left[ {1,2} \right] και παραγωγίσιμη στο \left( {1,2} \right) ως πηλίκο συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων.

\displaystyle {g\left( 1 \right) = \frac{{f\left( 1 \right)}}{1}} και \displaystyle {g\left( 2 \right) = \frac{{f\left( 2 \right)}}{2}}

Από τη σχέση (4) θα είναι g\left( 1 \right) = g\left( 2 \right) .

Από Θεώρημα Rolle, υπάρχει ένα τουλάχιστον {x_o} \in \left( {1,2} \right) τέτοιο ώστε g'\left( {{x_o}} \right) = 0 \Leftrightarrow {x_o}f'\left( {{x_o}} \right) - f\left( {{x_o}} \right) = 0
Λίγο πιο απλά για το β:
Πολλαπλασιάζουμε την 1η εξίσωση με 2 και να την αφαιρούμε από την 2η.


BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1400
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1999

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Δευ Ιούλ 01, 2013 3:21 pm

parmenides51 έγραψε:

2. α) Δίνονται τα σημεία του επιπέδου \displaystyle{A(1,3), B(-1,0), \Gamma(3,-1)}
i) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το \displaystyle{A} και είναι κάθετη στην ευθεία \displaystyle{B\Gamma} .
ii) Έστω \displaystyle{C} ο κύκλος με κέντρο το σημείο \displaystyle{A} και ακτίνα \displaystyle{(AB)}.
Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής της ευθείας \displaystyle{B\Gamma} με τον παραπάνω κύκλο.
β) Έστω \displaystyle{\Omega =\left\{ 0,1,2 \right\}} ένας δειγματικός χώρος με \displaystyle{P(0)=2P(2)=\frac{1}{3}}
i) Να βρείτε το \displaystyle{P(1)}
ii) Έστω η συνάρτηση \displaystyle{f(x)={{e}^{x}}-\frac{\lambda }{2}{{x}^{2}}+118,\,\,\,x\in \mathbb{R}} με \displaystyle{\lambda \in \Omega } .
Θεωρούμε το ενδεχόμενο \displaystyle{E=\{  \lambda \in \Omega |} η γραφική παράσταση της \displaystyle{f} έχει σημείο καμπής το \displaystyle{(0,f(0)\}} .
Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου \displaystyle{E}.
αi)Η εξίσωση της ευθείας που ορίζουν τα σημεία \displaystyle{B\,,\Gamma} είναι η

\displaystyle{y-y_{B}=\frac{y_{\Gamma}-y_{B}}{x_{\Gamma}-x_{B}}\left(x-x_{B}\right)\Leftrightarrow y=-\frac{1}{4}\,x-\frac{1}{4}}

με συντελεστή διεύθυνσης \displaystyle{\lambda_{1}=-\frac{1}{4}}

Αν με \displaystyle{\lambda_{2}} συμβολίσουμε τον συντελεστή διεύθυνσης της ζητούμενης ευθείας, τότε,

\displaystyle{\lambda_{1}\cdot \lambda_{2}=-1\Rightarrow -\frac{\lambda_{2}}{4}=-1\Rightarrow \lambda_{2}=4}

Δοθέντος ότι η ζητούμενη ευθεία διερχεται από το σημείο \displaystyle{A\left(1,3\right)}, η εξίσωση της δίνεται από την

\displaystyle{y-3=4(x-1)\Leftrightarrow y=4x-1}

αii)Είναι, \displaystyle{\left(AB\right)=\sqrt{\left(-1-1\right)^2+\left(0-3\right)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}}

Η εξίσωση του κύκλου είναι η \displaystyle{\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2=13}

Οι συντεταγμένες των σημείων τομής θα βρεθούν από τις λύσεις του συστήματος

\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
                                    \left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2=13\\ 
                                    y=-\frac{1}{4}\,x-\frac{1}{4} 
                                   \end{matrix}}

Αντικαθιστώντας την δεύτερη εξίσωση στην πρώτη έχουμε,

\displaystyle{\begin{aligned} \left(x-1\right)^2+\left(-\frac{1}{4}\,x-\frac{13}{4}\right)^2=13&\Leftrightarrow x^2-2x+1+\frac{1}{16}\,x^2+\frac{13}{8}\,x+\frac{169}{16}=13\\&\Leftrightarrow \frac{17}{16}\,x^2-\frac{3}{8}\,x=\frac{23}{16}\\&\Leftrightarrow 17x^2-6x=23\\&\Leftrightarrow x^2-\frac{6}{17}\,x=\frac{23}{17}\\&\Leftrightarrow \left(x-\frac{3}{17}\right)^2=\frac{23}{17}+\frac{9}{17^2}\\&\Leftrightarrow \left(x-\frac{3}{17}\right)^2=\frac{400}{17^2}\\&\Leftrightarrow x=\frac{23}{17}\ \lor x=-1\end{aligned}}

Τα ζητούμενα σημεία είναι τα

\displaystyle{\left(\frac{23}{17},-\frac{10}{17}\right)\,\,,\left(-1,0\right)\right)}

βi)Είναι,

\displaystyle{\begin{aligned} P(0)+P(1)+P(2)=1&\Rightarrow \frac{1}{3}+P(1)+\frac{1}{6}=1\\&\Rightarrow P(1)=1-\frac{1}{6}-\frac{1}{3}\\&\Rightarrow P(1)=\frac{1}{2}\end{aligned}}

βii)Για κάθε \displaystyle{x\in\mathbb{R}} έχουμε,

\displaystyle{f^\prime(x)=e^{x}-\lambda\,x\,\,,f''(x)=e^{x}-\lambda}

Αν \displaystyle{\lambda=0} τότε \displaystyle{f''(x)=e^{x}>0\,,x\in\mathbb{R}} με αποτέλεσμα η \displaystyle{f} να είναι κυρτή

και κατά συνέπεια να μην παρουσιάζει καμπή.

Αν \displaystyle{\lambda=2} , τότε, \displaystyle{f''(x)>0\ \forall x>\ln 2\,\,,f''(x)<0\ \forall x<\ln 2\,\,,f''(\ln 2)=0}

και άρα η \displaystyle{f} παρουσιάζει καμπή στο σημείο \displaystyle{\left(\ln 2,f\left(\ln 2\right)\right)}

Αν \displaystyle{\lambda=1} , τότε, \displaystyle{f''(x)>0\ \forall x>0\,\,,f''(x)<0\ \forall x<0\,\,,f''(0)=0}.

Έτσι, η \displaystyle{f} παρουσιάζει καμπή στο σημείο \displaystyle{\left(0,f\left(0\right)\right)}.

Συνεπώς, η ζητούμενη πιθανότητα ισούται με

\displaystyle{P\left(E\right)=P\left(1\right)=\frac{1}{2}}

edit:Διόρθωση προσήμου που επηρέαζε την λύση.Ευχαριστώ τον κύριο Καμπελή για την υπόδειξη.
τελευταία επεξεργασία από BAGGP93 σε Τετ Ιούλ 03, 2013 12:13 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Άβαταρ μέλους
Christos75
Δημοσιεύσεις: 421
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
Τοποθεσία: Athens
Επικοινωνία:

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1999

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos75 » Τρί Ιούλ 02, 2013 11:49 pm

parmenides51 έγραψε: 3. α) Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=\eta {{\mu }^{2}}(\alpha x),\,\,x\in \mathbb{R}} και \displaystyle{\alpha \in \mathbb{R}}. Να βρείτε την τιμή του \displaystyle{\alpha} ώστε να ισχύει \displaystyle{{f}''(x)+4{{\alpha }^{2}}f(x)=2} για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}}
β) Δίνεται η συνάρτηση f(x)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+1,\,\,x\in \mathbb{R}
i) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τη συνάρτηση \displaystyle{f} και να αποδείξετε ότι \displaystyle{f(x)>0 } για κάθε \displaystyle{x \in [1,3]}
ii) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \displaystyle{f}, τον άξονα \displaystyle{x'x} και τις ευθείες \displaystyle{x=1} και \displaystyle{x=3} .
Λύση

α)
Μας δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=sin^{2}(\alpha x) ,x,\alpha \in \mathbb{R}}

και η σχέση \displaystyle{f''(x)+4\alpha ^{2}f(x)=2} για κάθε x \in \mathbb{R}

Αρχικά υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο της f και έχω

\displaystyle{f'(x)=[sin^{2}(\alpha x)]'=2sin(\alpha x).(sin\alpha x)'=2sin(\alpha x).cos(\alpha x).(\alpha x)'=2\alpha.sin(\alpha x).cos(\alpha x)=\alpha sin(2\alpha x)}

εν συνεχεία, υπολογίζουμε και την δεύτερη παράγωγο

\displaystyle{f''(x)=[\alpha sin(2\alpha x)]'=\alpha (sin(2\alpha x))'=\alpha cos(2\alpha x).(2\alpha x)'=2\alpha ^{2}cos(2\alpha x)\Leftrightarrow f''(x)=2\alpha ^{2}cos(2\alpha x)}

Αντικαθιστούμε τα παραπάνω στην δοσμένη σχέση και έχουμε

\displaystyle{f''(x)+4\alpha ^{2}f(x)=2\Leftrightarrow 2\alpha ^{2}cos(2\alpha x)+4\alpha ^{2}sin^{2}(\alpha x)=2}

\displaystyle{\Leftrightarrow 2\alpha ^{2}(cos^{2}(\alpha x)-sin^{2}(\alpha x))+4\alpha ^{2}sin^{2}(\alpha x)=2}

\displaystyle{\Leftrightarrow 2\alpha ^{2}sin^{2}(\alpha x)-2\alpha ^{2}cos^{2}(\alpha x)+4\alpha ^{2}sin^{2}(\alpha x)=2}

\displaystyle{\Leftrightarrow 2\alpha ^{2}sin^{2}(\alpha x)+2\alpha ^{2}cos^{2}(\alpha x)=2}

\displaystyle{\Leftrightarrow 2\alpha ^{2}(sin^{2}(\alpha x)+cos^{2}(\alpha x))=2}

\displaystyle{\Leftrightarrow \alpha ^{2}.1=1\Leftrightarrow \mid \alpha \mid = 1\Leftrightarrow \alpha =-1\vee \alpha =1}

β)
i)
΄Εχουμε την συνάρτηση \displaystyle{f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+1, x\in \mathbb{R}}

Υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο της εν λόγω συνάρτησης

\displaystyle{f'(x)=(x^{3}-6x^{2}+9x+1)'=3(x^{2}-4x+3)  \Leftrightarrow f'(x)=3(x^{2}-4x+3)}

Θα βρούμε το πρόσημο της παραγώγου και έχουμε \displaystyle{f'(x)=0\Leftrightarrow 3(x^{2}-4x+3)=0\Leftrightarrow x^{2}-4x+3=0\Rightarrow x=1 \vee x=3}

Από πρόσημο τριωνύμου έχουμε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{(-\infty ,1]\cup [3,+\infty )} και γνησίως φθίνουσα στο \displaystyle{[1,3]}

Αφού η συνάρτηση f είναι γνησίως στο προαναφερθέν διάστημα θα ισχύει

\displaystyle{1\leq x\leq 3\Rightarrow f(1)\geq f(x)\geq f(3)} Αλλά \displaystyle{f(3)=27-54+27+1=1\Leftrightarrow f(3)=1 }

Συνεπώς, \displaystyle{f(x)\geq 1>0\Leftrightarrow f(x)>0}

ii) Το ζητούμενο εμβαδόν δίνεται από τον τύπο

\displaystyle{E=\int_{1}^{3}\mid f(x) \mid dx\overset{f(x)>0}{\rightarrow}}

\displaystyle{E=\int_{1}^{3}f(x)dx =\int_{1}^{3}(x^{3}-6x^{2}+9x+1)dx= \int_{1}^{3}x^{3}dx-6\int_{1}^{3}x^{2}dx+9\int_{1}^{3}xdx+1.(3-1)=}



\displaystyle{[\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}-6[\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}+9[\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}+2=...=6} τ.μ.


Χρήστος Λοΐζος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Δ' Δέσμη”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης