Δ' ΔΕΣΜΗ 1997

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Δ' ΔΕΣΜΗ 1997

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Κυρ Ιουν 30, 2013 7:58 pm

1. α) Έστω \displaystyle{X,B} είναι \displaystyle{\nu \, \, x \,\, \mu} πίνακες και \displaystyle{A} είναι ένας \displaystyle{\nu \, \, x \,\, \nu} αντιστρέψιμος πίνακας .
Να αποδείξετε ότι ισχύει η ισοδυναμία \displaystyle{ AX=B\Leftrightarrow X={{A}^{-1}}B}
β) Αν \displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}-\left\{\frac{3}{2},2\right\}}, να αποδείξετε ότι υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί \displaystyle{x} και \displaystyle{y},
ώστε να ισχύει η σχέση : \displaystyle{\left[ \begin{matrix} 
	   \lambda  & 2  \\ 
	   -2 & \lambda   \\ 
	\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} 
	  x  \\ 
	  y \\ 
	\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix} 
	   -2 & \lambda   \\ 
	   \lambda  & -1  \\ 
	\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} 
	   x \\ 
   y  \\ 
\end{matrix} \right]=\mathsf{\lambda }\left[ \begin{matrix} 
   1  \\ 
   1  \\ 
\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix} 
   1  \\ 
   -3  \\ 
\end{matrix} \right]} .


2. α) Στην τελευταία Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα , που έγινε στη Βομβάη , πέντε Έλληνες μαθητές βραβεύτηκαν με μετάλλια.
Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία αποφάσισε να δωρίσει σε καθένα από τους πέντε μαθητές από δυο βιβλία,
που επιλέγονται από μια συλλογή δέκα διαφορετικών βιβλίων.
Με πόσους διαφορετικούς τρόπους τα δέκα αυτά βιβλία μπορούν να διανεμηθούν στους πέντε βραβευθέντες μαθητές;
β) Θεωρούμε το σύνολο των θετικών ακεραίων αριθμών \displaystyle{x} τέτοιων ώστε \displaystyle{1000<x<9999}.
Ως γνωστόν αυτοί είναι τετραψήφιοι αριθμοί στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης.
Πόσοι από αυτούς τους αριθμούς γράφονται με τέσσερα διαφορετικά ψηφία;


3. α) Αν οι συναρτήσεις \displaystyle{f,g } είναι δυο φορές παραγωγίσιμες στο \displaystyle{ \mathbb{R} } και ικανοποιούν τις σχέσεις :
\displaystyle{\bullet} \displaystyle{ {f}''(x)-{g}''(x)=4} για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}}
\displaystyle{\bullet} \displaystyle{  {f}'(1)={g}'(1)}
\displaystyle{\bullet} \displaystyle{ f(2)=g(2) }
i) Να βρείτε τη συνάρτηση \displaystyle{ t(x)=f(x)-g(x)  ,x\in \mathbb{R}}
ii) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \displaystyle{ f } και \displaystyle{g}.
β) Έστω \displaystyle{f } πραγματική συνάρτηση ορισμένη στο \displaystyle{\mathbb{R}} που είναι δυο φορές παραγωγίσιμη και ισχύει \displaystyle{{f}''(x)>0} για κάθε \displaystyle{χ\in \mathbb{R}} .
Έστω \displaystyle{ \alpha,\beta\in \mathbb{R}} και \displaystyle{ \alpha<\beta} . Να αποδειχθεί ότι :
i) \displaystyle{f(x)-f(\alpha)\le {f}'(\beta)(x-\alpha)} για κάθε \displaystyle{x\in [ \alpha,\beta]}
ii) \displaystyle{2\int_{\alpha }^{\beta }{f(x)}dx\le {f}'(\beta ){{(\beta -\alpha )}^{2}}+2f(\alpha )(\beta -\alpha )}.


4. Έστω \displaystyle{f } πραγματική συνάρτηση συνεχής στο \displaystyle{\mathbb{R}} τέτοια ώστε \displaystyle{f(x)\ge 2} για κάθε \displaystyle{x\in  \mathbb{R} } .
Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{g(x)={{x}^{2}}-5x+1-\int_{0}^{{x^{2}}-5x}{f(t)}dt,\,\,x\in \mathbb{R}} .
α) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{g(-3) g(0)<0}
β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \displaystyle{g(x)=0} έχει μια μόνο ρίζα στο διάστημα \displaystyle{(-3,0)} .


Άβαταρ μέλους
Christos75
Δημοσιεύσεις: 421
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
Τοποθεσία: Athens
Επικοινωνία:

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1997

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos75 » Τρί Ιούλ 02, 2013 2:53 am

parmenides51 έγραψε: 4. Έστω \displaystyle{f } πραγματική συνάρτηση συνεχής στο \displaystyle{\mathbb{R}} τέτοια ώστε \displaystyle{f(x)\ge 2} για κάθε \displaystyle{x\in  \mathbb{R} } .
Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{g(x)={{x}^{2}}-5x+1-\int_{0}^{{x^{2}}-5x}{f(t)}dt,\,\,x\in \mathbb{R}} .
α) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{g(-3) g(0)<0}
β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \displaystyle{g(x)=0} έχει μια μόνο ρίζα στο διάστημα \displaystyle{(-3,0)} .
Λύση

α)
Μας δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{g(x)=x^{2}-5x+1-\int_{0}^{x^{2}-5x}f(t)dt, x\in \mathbb{R}}

Θέλουμε να δείξουμε ότι \displaystyle{g(0).g(3)<0}

Πάμε να υπολογίσουμε μία-μία τις τιμές και έχουμε \displaystyle{g(0)=0^{2}-5.0+1-\int_{0}^{0}f(t)dt=1+0=1>0}

Ομοίως \displaystyle{g(-3)=(-3)^{2}-5.(-3)+1-\int_{0}^{(-3)^2-5(-3)}f(t)dt=9+15+1-\int_{0}^{9+15}f(t)dt=25-\int_{0}^{24}f(t)dt}

Οπότε \displaystyle{g(0).g(-3)=25-\int_{0}^{24}f(t)dt}

Αρκεί λοιπόν να δείξω ότι \displaystyle{25-\int_{0}^{24}f(t)dt < 0\Leftrightarrow 25 < \int_{0}^{24}f(t)dt (1)}

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο \displaystyle{\mathbb{R}} κατά συνέπεια και στο \displaystyle{[0,24]}

Ισχύει εξ' υποθέσεως ότι

\displaystyle{f(x)\geq 2\Rightarrow \int_{0}^{24}f(x)dx\geq \int_{0}^{24}2dx\Rightarrow \int_{0}^{24}f(x)dx\geq 2(24-0)\Leftrightarrow \int_{0}^{24}f(x)dx \geq 48 > 25}

Άρα πράγματι \displaystyle{\int_{0}^{24}f(x)dx  > 25} συνεπώς αποδείξαμε ότι \displaystyle{g(0).g(-3) < 0}

β) Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο \displaystyle{[-3,0]} ως άθροισμα και σύνθεση συνεχών συναρτήσεων.

\displaystyle{g(0).g(-3) < 0} από το ερώτημα α), οπότε από το θεώρημα Bolzano \displaystyle{\exists x_{0}\in (-3,0): g(x_{0})=0 } δηλαδή το x_{0}

ρίζα της εξίσωσης.

Θα αποδείξουμε ότι αυτή η ρίζα είναι μοναδική. Πράγματι,

\displaystyle{g'(x)=(x^{2}-5x+1-\int_{0}^{x^{2}-5x}f(t)dt)'=2x-5-f(x^{2}-5x).(x^{2}-5x)'=2x-5-(2x-5).f(x^{2}-5x)=(2x-5).(1-f(x^{2}-5x))}

Όμως, \displaystyle{-3<x<0\Leftrightarrow -6<2x<0\Leftrightarrow -6-5<2x-5<0-5\Leftrightarrow -11<2x-5<-5\Rightarrow 2x-5<0 (2)}

και \displaystyle{f(x)\geq 2 \vee f(x^{2}-5x)\geq 2\Leftrightarrow -f(x^{2}-5x) \leq -2\Leftrightarrow 1-f(x^{2}-5x)\leq -1 <0\Rightarrow 1-f(x^{2}-5x) <0 (3)}

Συνεπώς από το γινόμενο των (2), (3) προκύπτει ότι \displaystyle{g'(x)>0} άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, κατά συνέπεια, το x_{0} που

βρήκαμε παραπάνω, είναι μοναδικό.


Χρήστος Λοΐζος
Άβαταρ μέλους
Christos75
Δημοσιεύσεις: 421
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
Τοποθεσία: Athens
Επικοινωνία:

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1997

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos75 » Τρί Ιούλ 02, 2013 2:18 pm

parmenides51 έγραψε: 3. α) Αν οι συναρτήσεις \displaystyle{f,g } είναι δυο φορές παραγωγίσιμες στο \displaystyle{ \mathbb{R} } και ικανοποιούν τις σχέσεις :
\displaystyle{\bullet} \displaystyle{ {f}''(x)-{g}''(x)=4} για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}}
\displaystyle{\bullet} \displaystyle{  {f}'(1)={g}'(1)}
\displaystyle{\bullet} \displaystyle{ f(2)=g(2) }
i) Να βρείτε τη συνάρτηση \displaystyle{ t(x)=f(x)-g(x)  ,x\in \mathbb{R}}
ii) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \displaystyle{ f } και \displaystyle{g}.
β) Έστω \displaystyle{f } πραγματική συνάρτηση ορισμένη στο \displaystyle{\mathbb{R}} που είναι δυο φορές παραγωγίσιμη και ισχύει \displaystyle{{f}''(x)>0} για κάθε \displaystyle{χ\in \mathbb{R}} .
Έστω \displaystyle{ \alpha,\beta\in \mathbb{R}} και \displaystyle{ \alpha<\beta} . Να αποδειχθεί ότι :
i) \displaystyle{f(x)-f(\alpha)\le {f}'(\beta)(x-\alpha)} για κάθε \displaystyle{x\in [ \alpha,\beta]}
ii) \displaystyle{2\int_{\alpha }^{\beta }{f(x)}dx\le {f}'(\beta ){{(\beta -\alpha )}^{2}}+2f(\alpha )(\beta -\alpha )}.
Λύση

α)
i)
Μας δίνονται οι σχέσεις:
\bullet \displaystyle{f''(x)-g''(x)=4 (1)}

\bullet \displaystyle{f'(1)=g'(1) (2)}

\bullet \displaystyle{f(2)=g(2) (3)}

Από την σχέση (1) έχω \displaystyle{f''(x)-g''(x)=4\Leftrightarrow (f'(x)-g'(x))'=(4x)'\Leftrightarrow f'(x)-g'(x)=4x+c_{1}, c_{1}\in \mathbb{R}}

Αν θέσω στην παραπάνω σχέση την τιμή x=1 θα έχω: \displaystyle{f'(1)-g'(1)=4.1+c_{1}\Leftrightarrow 0=4+c_{1}\Leftrightarrow c_{1}=-4}

Άρα \displaystyle{f'(x)-g'(x)=4x-4\Leftrightarrow (f(x)-g(x))'=(4\frac{x^{2}}{2}-4x)'\Leftrightarrow (f(x)-g(x))=2x^{2}-4x+c_{2}}

Στην παραπάνω σχέση θέτω για \displaystyle{x=2} και προκύπτει \displaystyle{(f(x)-g(x))=2.2^{2}-4.2+c_{2}\Leftrightarrow 8-8+c_{2}=0\Leftrightarrow c_{2}=0}

Άρα \displaystyle{t(x)=f(x)-g(x)=2x^{2}-4x, x\in \mathbb{R}}

ii)
Ζητάμε τα σημεία τομής του γραφήματος της t(x) με τον άξονα x'x

Είναι λοιπόν \displaystyle{t(x)=0\Leftrightarrow f(x)-g(x)=0\Leftrightarrow 2x^{2}-4x=0\Leftrightarrow x=0 \vee x=2}

Από πρόσημο τριωνύμου στο παραπάνω βρίσκουμε ότι \displaystyle{t(x)\geq 0\Leftrightarrow x\in (-\infty ,0]\cup [2,+\infty )}

άρα στο διάστημα που μας ενδιαφέρει είναι \displaystyle{t(x)\leq 0\Leftrightarrow x\in [0 ,2]} και εφόσον η συνάρτηση t είναι συνεχής, το ζητούμενο εμβαδόν είναι

\displaystyle{E=\int_{0}^{2}\mid t(x) \mid dx=E=\int_{0}^{2}(-t(x))dx=\int_{0}^{2}(4x-2x^{2})dx=4\int_{0}^{2}xdx-2\int_{0}^{2}x^{2}dx=}

\displaystyle{=4[\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}-2[\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}=...=\frac{8}{3}} τ.μ. που είναι και το ζητούμενο εμβαδόν.

β)
i) θέλουμε να δείξουμε ότι \displaystyle{f(x)-f(\alpha )\leq f'(\alpha )(x-\alpha )} για κάθε \displaystyle{x\in [\alpha ,\beta ]}

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο \displaystyle{[\alpha ,x ]}

Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle{(\alpha ,x )}

Συνεπώς, ικανοποιούνται οι προυποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού, άρα

\displaystyle{\exists \xi\in (\alpha ,x): f'(\xi)=\frac{f(x)-f(\alpha )}{x-\alpha }} δηλαδή \displaystyle{f(x)-f(\alpha )= f'(\xi )(x-\alpha ) (1)}

Αλλά \displaystyle{\alpha \leq  \xi < x \leq \beta} και εφόσον \displaystyle{f''(x) >0} σημαίνει ότι η f' είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση.

Συνεπώς εάν \displaystyle{\xi < \beta \Rightarrow f'(\xi) < f'(\beta ) (A)} και επειδή \displaystyle{x> \alpha \Leftrightarrow x-\alpha >0} μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε την

(A) με το \displaystyle{x-\alpha >0} και προκύπτει \displaystyle{f'(\xi )(x-\alpha ) < f'(\beta )(x-\alpha )}

Συνεπώς σε κάθε περίπτωση (ακόμα και στην οριακή περίπτωση που x=\alpha) έχουμε ότι \displaystyle{f(x)-f(\alpha )\leq  f'(\beta )(x-\alpha )} για κάθε

\displaystyle{x\in [\alpha ,\beta ]}

ii)
Από το προηγούμενο ερώτημα, έχουμε αποδείξει ότι \displaystyle{f(x)-f(\alpha )\leq  f'(\beta )(x-\alpha )\Leftrightarrow f(x)-f(\alpha )-f'(\beta )(x-\alpha )\leq 0}

από γνωστό θεώρημα και αφού επίσης η f συνεχής συνάρτηση στο [\alpha, \beta], τότε

\displaystyle{\int_{\alpha }^{\beta }(f(x)-f(\alpha )-f'(\beta) (x-\alpha ))dx\leq 0\Leftrightarrow \int_{\alpha }^{\beta }(f(x)-f(\alpha ))dx\leq \int_{\alpha }^{\beta }f'(\beta )(x-\alpha)dx\Leftrightarrow}

\displaystyle{\int_{\alpha }^{\beta }f(x)dx-\int_{\alpha }^{\beta }f(\alpha )dx\leq \int_{\alpha }^{\beta }f'(\beta )(x-\alpha )dx\Leftrightarrow}

\displaystyle{\int_{\alpha }^{\beta }f(x)dx-f(\alpha )(\beta -\alpha )\leq f'(\beta )[\frac{x^{2}}{2}-\alpha x]_{\alpha }^{\beta }\Leftrightarrow \int_{\alpha }^{\beta }f(x)dx-f(\alpha )(\beta -\alpha )\leq f'(\beta )[\frac{\beta ^{2}}{2}-\alpha .\beta +\frac{\alpha ^{2}}{2}]\Leftrightarrow}

\displaystyle{\int_{\alpha }^{\beta }f(x)dx-f(\alpha )(\beta -\alpha )\leq \frac{1}{2}f'(\beta )(\alpha ^{2}-2\alpha .\beta +\beta ^{2})\Leftrightarrow 2\int_{\alpha }^{\beta }f(x)dx-2f(\alpha )(\beta -\alpha )\leq f'(\beta )(\beta -\alpha )^{2}\Leftrightarrow}

\displaystyle{2\int_{\alpha }^{\beta }f(x)dx\leq f'(\beta )(\beta -\alpha )^{2}+2f(\alpha )(\beta -\alpha )} και έτσι αποδείξαμε το ζητούμενο.


Χρήστος Λοΐζος
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1395
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1997

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Τρί Ιούλ 02, 2013 3:20 pm

parmenides51 έγραψε:1. α) Έστω \displaystyle{X,B} είναι \displaystyle{\nu \, \, x \,\, \mu} πίνακες και \displaystyle{A} είναι ένας \displaystyle{\nu \, \, x \,\, \nu} αντιστρέψιμος πίνακας .
Να αποδείξετε ότι ισχύει η ισοδυναμία \displaystyle{ AX=B\Leftrightarrow X={{A}^{-1}}B}
β) Αν \displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}-\left\{\frac{3}{2},2\right\}}, να αποδείξετε ότι υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί \displaystyle{x} και \displaystyle{y},
ώστε να ισχύει η σχέση : \displaystyle{\left[ \begin{matrix} 
	   \lambda  & 2  \\ 
	   -2 & \lambda   \\ 
	\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} 
	  x  \\ 
	  y \\ 
	\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix} 
	   -2 & \lambda   \\ 
	   \lambda  & -1  \\ 
	\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} 
	   x \\ 
   y  \\ 
\end{matrix} \right]=\mathsf{\lambda }\left[ \begin{matrix} 
   1  \\ 
   1  \\ 
\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix} 
   1  \\ 
   -3  \\ 
\end{matrix} \right]} .

α)Θεωρία

β)Εκτελώντας τις πράξεις, φτάνουμε στο συμπέρασμα πως θέλουμε να αποδείξουμε ότι υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί \displaystyle{x\,\,,y}

τέτοιοι, ώστε \displaystyle{\left[\begin{matrix} 
                                                       \left(\lambda-2\right)x+\left(\lambda+2\right)y\\ 
                                                       \left(\lambda-2\right)x+\left(\lambda-1\right)y 
                                                      \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 
                                                                                             \lambda+1\\ 
                                                                                             \lambda-3 
                                                                                            \end{matrix}\right]}

ή ισοδύναμα, ότι το ακόλουθο σύστημα ως προς \displaystyle{x\,\,,y} έχει λύση.

\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
                                    \left(\lambda-2\right)x+\left(\lambda+2\right)y=\lambda+1\\ 
                                    \left(\lambda-2\right)x+\left(\lambda-1\right)y=\lambda-3 
                                    \end{matrix}}

Η ορίζουσα του πίνακα των συντελεστών των αγνώστων του συστήματος αυτού είναι η

\displaystyle{D=\begin{vmatrix} 
                                \lambda-2 & \lambda+2\\ 
                                \lambda-2 & \lambda-1 
                               \end{vmatrix}=\left(\lambda-2\right)\left(\lambda-1\right)-\left(\lambda-2\right)\left(\lambda+2\right)=3\left(2-\lambda\right)}

Επειδή \displaystyle{\lambda\in\mathbb{R}-\left\{\frac{3}{2},2\right\}} έχουμε ότι \displaystyle{D\neq 0}

Άρα, υπάρχουν τέτοιοι πραγματικοί αριθμοί \displaystyle{x\,\,,y} και μάλιστα

\displaystyle{x=\frac{1}{3\left(2-\lambda\right)}\begin{vmatrix} 
                                                                              \lambda+1 & \lambda+2\\ 
                                                                               \lambda-3 & \lambda-1 
                                                                            \end{vmatrix}=\frac{\lambda+5}{3\left(2-\lambda\right)}}

και

\displaystyle{y=\frac{1}{3\left(2-\lambda\right)}\begin{vmatrix} 
                                                                              \lambda-2 & \lambda+1\\ 
                                                                               \lambda-2 & \lambda-3 
                                                                            \end{vmatrix}=\frac{1}{3\left(2-\lambda\right)}\left[\left(\lambda-2\right)\left(\lambda-3\right)-\left(\lambda-2\right)\left(\lambda+1\right)\right]=\frac{4}{3}}


Παπαπέτρος Ευάγγελος
orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1322
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1997

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Πέμ Ιούλ 11, 2013 3:26 pm

parmenides51 έγραψε:[2. α) Στην τελευταία Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα , που έγινε στη Βομβάη , πέντε Έλληνες μαθητές βραβεύτηκαν με μετάλλια.
Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία αποφάσισε να δωρίσει σε καθένα από τους πέντε μαθητές από δυο βιβλία,
που επιλέγονται από μια συλλογή δέκα διαφορετικών βιβλίων.
Με πόσους διαφορετικούς τρόπους τα δέκα αυτά βιβλία μπορούν να διανεμηθούν στους πέντε βραβευθέντες μαθητές;
β) Θεωρούμε το σύνολο των θετικών ακεραίων αριθμών \displaystyle{x} τέτοιων ώστε \displaystyle{1000<x<9999}.
Ως γνωστόν αυτοί είναι τετραψήφιοι αριθμοί στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης.
Πόσοι από αυτούς τους αριθμούς γράφονται με τέσσερα διαφορετικά ψηφία;
Για το β).

Οι διατάξεις των \displaystyle{0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9} ανά \displaystyle{4} που δεν περιέχουν το \displaystyle{0} μπροστά.

Αυτές είναι \displaystyle{\Delta _{4}^{10}-\Delta _{3}^{9}=\frac{10!}{\left( 10-4 \right)!}-\frac{9!}{\left( 9-3 \right)!}=\frac{10!}{6!}-\frac{9!}{6!}=4.536}.

Κύριε Παρμενίδη και Θανάση (socrates) σας ευχαριστώ.


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1997

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Πέμ Ιούλ 11, 2013 4:26 pm

διαφορετικά
parmenides51 έγραψε:2. α) Στην τελευταία Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα , που έγινε στη Βομβάη , πέντε Έλληνες μαθητές βραβεύτηκαν με μετάλλια.
Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία αποφάσισε να δωρίσει σε καθένα από τους πέντε μαθητές από δυο βιβλία,
που επιλέγονται από μια συλλογή δέκα διαφορετικών βιβλίων.
Με πόσους διαφορετικούς τρόπους τα δέκα αυτά βιβλία μπορούν να διανεμηθούν στους πέντε βραβευθέντες μαθητές;
β) Θεωρούμε το σύνολο των θετικών ακεραίων αριθμών \displaystyle{x} τέτοιων ώστε \displaystyle{1000<x<9999}.
Ως γνωστόν αυτοί είναι τετραψήφιοι αριθμοί στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης.
Πόσοι από αυτούς τους αριθμούς γράφονται με τέσσερα διαφορετικά ψηφία;.
β) αναζητούμε \displaystyle{4}ψήφιους αριθμούς με διαφορετικά ψηφία από \displaystyle{0} εως \displaystyle{9} (με το πρώτο ψηφίο να μην είναι \displaystyle{0})
έστω \displaystyle{\overline{abcd} } o αριθμός που ψάχνουμε στο δεκαδικό σύστημα
για το πρώτο ψηφίο \displaystyle{a} έχουμε \displaystyle{ 9} επιλογές,
γιατί από τα \displaystyle{10} ψηφία που έχουμε δεν μπορεί να μπεί το \displaystyle{0}
για το δεύτερο ψηφίο \displaystyle{ b} έχουμε \displaystyle{9} επιλογές,
γιατί από τα \displaystyle{10} ψηφία που είχαμε, βάλαμε ήδη ένα στην θέση \displaystyle{a} και θέλουμε ένα ψηφίο διαφορετικό από το \displaystyle{a}
για το τρίτο ψηφίο \displaystyle{ c} έχουμε \displaystyle{ 8} επιλογές,
γιατί από τα \displaystyle{10} ψηφία που είχαμε, βάλαμε ήδη δυο ψηφία στις θέσεις \displaystyle{a,b} και θέλουμε ένα ψηφίο διαφορετικό από το \displaystyle{a,b}
ομοίως για το τέταρτο ψηφίο \displaystyle{c} έχουμε \displaystyle{7} επιλογές
οπότε σύμφωνα με την βασική αρχή απαρίθμηση θα υπάρχουν \displaystyle{9\cdot 9\cdot 8\cdot 7=4.536} τέτοιοι αριθμοί

α) :surrender:
σήκωσα λευκή πετσέτα


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1322
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1997

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Πέμ Ιούλ 11, 2013 4:36 pm

Διαγραφή λόγω λάθους.
τελευταία επεξεργασία από orestisgotsis σε Τετ Ιούλ 31, 2013 10:01 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Christos75
Δημοσιεύσεις: 421
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
Τοποθεσία: Athens
Επικοινωνία:

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1997

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos75 » Πέμ Ιούλ 11, 2013 4:49 pm

parmenides51 έγραψε:διαφορετικά
parmenides51 έγραψε:2. α) Στην τελευταία Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα , που έγινε στη Βομβάη , πέντε Έλληνες μαθητές βραβεύτηκαν με μετάλλια.
Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία αποφάσισε να δωρίσει σε καθένα από τους πέντε μαθητές από δυο βιβλία,
που επιλέγονται από μια συλλογή δέκα διαφορετικών βιβλίων.
Με πόσους διαφορετικούς τρόπους τα δέκα αυτά βιβλία μπορούν να διανεμηθούν στους πέντε βραβευθέντες μαθητές;
β) Θεωρούμε το σύνολο των θετικών ακεραίων αριθμών \displaystyle{x} τέτοιων ώστε \displaystyle{1000<x<9999}.
Ως γνωστόν αυτοί είναι τετραψήφιοι αριθμοί στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης.
Πόσοι από αυτούς τους αριθμούς γράφονται με τέσσερα διαφορετικά ψηφία;.
β) αναζητούμε \displaystyle{4}ψήφιους αριθμούς με διαφορετικά ψηφία από \displaystyle{0} εως \displaystyle{9} (με το πρώτο ψηφίο να μην είναι \displaystyle{0})
έστω \displaystyle{\overline{abcd} } o αριθμός που ψάχνουμε στο δεκαδικό σύστημα
για το πρώτο ψηφίο \displaystyle{a} έχουμε \displaystyle{ 9} επιλογές,
γιατί από τα \displaystyle{10} ψηφία που έχουμε δεν μπορεί να μπεί το \displaystyle{0}
για το δεύτερο ψηφίο \displaystyle{ b} έχουμε \displaystyle{9} επιλογές,
γιατί από τα \displaystyle{10} ψηφία που είχαμε, βάλαμε ήδη ένα στην θέση \displaystyle{a} και θέλουμε ένα ψηφίο διαφορετικό από το \displaystyle{a}
για το τρίτο ψηφίο \displaystyle{ c} έχουμε \displaystyle{ 8} επιλογές,
γιατί από τα \displaystyle{10} ψηφία που είχαμε, βάλαμε ήδη δυο ψηφία στις θέσεις \displaystyle{a,b} και θέλουμε ένα ψηφίο διαφορετικό από το \displaystyle{a,b}
ομοίως για το τέταρτο ψηφίο \displaystyle{c} έχουμε \displaystyle{7} επιλογές
οπότε σύμφωνα με την βασική αρχή απαρίθμηση θα υπάρχουν \displaystyle{9\cdot 9\cdot 8\cdot 7=4.536} τέτοιοι αριθμοί

α) :surrender:
σήκωσα λευκή πετσέτα
Αχχχ...με πρόλαβες και επειδή έχω την ίδια ακριβώς λύση να προτείνω, δεν γράφω τίποτα...


Χρήστος Λοΐζος
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1997

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τετ Ιούλ 31, 2013 8:56 pm

επαναφορά για το 2α :?


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1322
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1997

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Τετ Ιούλ 31, 2013 10:05 pm

parmenides51 έγραψε:2. α) Στην τελευταία Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα , που έγινε στη Βομβάη , πέντε Έλληνες μαθητές βραβεύτηκαν με μετάλλια.
Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία αποφάσισε να δωρίσει σε καθένα από τους πέντε μαθητές από δυο βιβλία,
που επιλέγονται από μια συλλογή δέκα διαφορετικών βιβλίων.
Με πόσους διαφορετικούς τρόπους τα δέκα αυτά βιβλία μπορούν να διανεμηθούν στους πέντε βραβευθέντες μαθητές;
Βάζουμε τους μαθητές στην σειρά. Περνάει ο πρώτος και διαλέγουμε δύο βιβλία να του δώσουμε με \displaystyle{\left( \begin{matrix} 
  10 \\  
  2 \\  
\end{matrix} \right)} τρόπους, μετά περνάει ο δεύτερος και διαλέγουμε δύο βιβλία να του δώσουμε με \displaystyle{\left( \begin{matrix} 
  8 \\  
  2 \\  
\end{matrix} \right)} τρόπους κ.τ.λ.

Τελικά υπάρχουν \displaystyle{\left( \begin{matrix} 
  10 \\  
  2 \\  
\end{matrix} \right)\cdot \left( \begin{matrix} 
  8 \\  
  2 \\  
\end{matrix} \right)\cdot \left( \begin{matrix} 
   6  \\ 
   2  \\ 
\end{matrix} \right)\cdot \left( \begin{matrix} 
   4  \\ 
   2  \\ 
\end{matrix} \right)\cdot \left( \begin{matrix} 
  2 \\  
  2 \\  
\end{matrix} \right)=113.400} τρόποι, βάσει της πολλαπλασιαστικής αρχής.


Ευχαριστώ τους κυρίους Δημήτρη (Demetres) και Θανάση (socrates).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Δ' Δέσμη”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης