Δ' ΔΕΣΜΗ 1996

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Δ' ΔΕΣΜΗ 1996

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Κυρ Ιουν 30, 2013 7:17 pm

1. α) Έστω \displaystyle{\alpha , \beta , \gamma \in \mathbb{R}} με \displaystyle{ \alpha < \beta<\gamma} και \displaystyle{A=\left[ \begin{matrix} 
   1 & \alpha & \alpha ^{2}  \\ 
	   1 & \beta & \beta ^{2}  \\ 
	   1 & \gamma  & \gamma ^{2}  \\ 
	\end{matrix} \right]}. Θεωρούμε το \displaystyle{3 \, x \, 3} γραμμικό σύστημα \displaystyle{AX=B} όπου \displaystyle{X=\left[ \begin{matrix} 
	x \\ 
	  y  \\ 
	   z \\ 
	\end{matrix} \right]}
με αγνώστους \displaystyle{x,y,z \in \mathbb{R}} .Έστω \displaystyle{D} η ορίζουσα του πίνακα \displaystyle{A} και \displaystyle{D_x,D_y,D_z} οι ορίζουσες που προκύπτουν από την \displaystyle{D}
αν αντικαταστήσουμε την \displaystyle{1} η , \displaystyle{2} η και \displaystyle{3} η στήλη αντίστοιχα με τη στήλη των σταθερών όρων του συστήματος.
Έστω ότι \displaystyle{{{D}_{x}}^{2}+{{D}_{y}}^{2}+{{D}_{z}}^{2}+2{{D}^{2}}=2D({{D}_{x}}-{{D}_{y}})} .
Να λυθεί το σύστημα \displaystyle{AX=B} .
β) Δίνεται ο πίνακας \displaystyle{A=\left[ \begin{matrix} 
   3 & 1 & 0  \\ 
   2 & 3 & 2  \\ 
	   0 & 1 & 3  \\ 
\end{matrix} \right]} και το πολυώνυμο \displaystyle{f(x)=-{{x}^{2}}+3x+1}
i) Να βρεθούν οι τιμές του \displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}} έτσι ώστε \displaystyle{\left| A-\lambda \mathbb{I}\right|=0} όπου \displaystyle{\mathbb{I}} ο μοναδιαίος πίνακας.
ii) Αν \displaystyle{B} συμβολίζει τον πίνακα \displaystyle{\left( f(3)-1 \right){{\left( A-\mathbb{I} \right)}^{2}}+A-f(1)\mathbb{I}} , να αποδείξετε ότι υπάρχει μη μηδενικός πίνακας \displaystyle{X=\left[ \begin{matrix} 
	   x  \\ 
	  y  \\ 
	  z \\ 
\end{matrix} \right]}
τέτοιος ώστε \displaystyle{BX=\mathbb{O} } όπου \displaystyle{\mathbb{O}} ο μηδενικός πίνακας.


2. α) i) Έστω μια πραγματική συνάρτηση \displaystyle{f} συνεχής σ’ ένα διάστημα \displaystyle{\Delta} .
Να αποδείξετε ότι αν \displaystyle{f '(x)>0} για κάθε εσωτερικό σημείο του \displaystyle{\Delta}, τότε η \displaystyle{f} είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το \displaystyle{\Delta}.
ii) Θεωρούμε τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις \displaystyle{f,g} που έχουν πεδίο ορισμού το διάστημα \displaystyle{ [0,+\infty) } για τις οποίες ισχύει η σχέση
\displaystyle{{f}'(x)={g}'(x)+\eta \mu ^{2}x+{{e}^{x}}} για \displaystyle{x \in [0,+\infty) } .
Να αποδείξετε ότι \displaystyle{f(0)+g(x)<g(0)+f(x)} για κάθε \displaystyle{x \in (0,+\infty) }
β) i) Έστω η συνάρτηση \displaystyle{f(x)={{e}^{\alpha x}} όπου \displaystyle{\alpha \in \mathbb{R}  } .
Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν δυο τιμές της παραμέτρου \displaystyle{\alpha} έτσι ώστε να ικανοποιείται η σχέση \displaystyle{{f}''(x)+2{f}'(x)=3f(x)} για κάθε \displaystyle{x \in \mathbb{R}  }
ii) Έστω \displaystyle{\lambda,\mu,\beta_1,\beta_2 \in \mathbb{R}  } με \dxisplaystyle{\beta_1 \ne \beta_2} . Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{g(x)=\lambda e^{\beta_1 x}+\mu e^{\beta_2 x} } με \displaystyle{x \in \mathbb{R}  }.
Έστω ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός \displaystyle{x_0} τέτοιος ώστε \displaystyle{g({{x}_{0}})={g}'({{x}_{0}})=0} . Να αποδειχθεί ότι \displaystyle{\lambda=\mu=0} .


3. α) i) Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{g } συνεχής στο \displaystyle{\mathbb{R} } και \displaystyle{f(x)=\int_{0}^{x }{\left( x-t \right)g(t)dt}} .
Να αποδείξετε ότι η \displaystyle{f} είναι δυο φορές παραγωγίσιμη και να μελετήσετε την \displaystyle{ f} ως προς τα κοίλα όταν \displaystyle{g(x)\ne 0} για κάθε \displaystyle{x \in \mathbb{R}  }
ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \displaystyle{g(x)=\sqrt{x}} και \displaystyle{{\color{red}f}(x)=2x-1}
και την ευθεία \displaystyle{x=0}.
β) Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{f(x)=\sqrt{1+{{x}^{2}}}+\lambda x^2 \,\,, x \in \mathbb{R}}
ii) Να υπολογίσετε την τιμή του \displaystyle{\lambda\in \mathbb{R}} αν είναι γνωστό ότι \displaystyle{\lim_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x}=1}
ii) Για την τιμή του \displaystyle{\lambda} που βρήκατε παραπάνω να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle{I=\int_{0}^{1}{\frac{x}{{{f}^{2}}(x)}}dx}.


4. α) i) Δίνεται ο πίνακας \displaystyle{X=\left[ \begin{matrix} 
   \alpha  & \beta   \\ 
   \beta & \alpha   \\ 
	\end{matrix} \right]} όπου \displaystyle{\alpha  , \beta} είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με \displaystyle{\alpha  + \beta=1} .
Να αποδειχθεί ότι \displaystyle{{{X}^{2}}=\left[ \begin{matrix} 
 \gamma & \delta   \\ 
	   \delta & \gamma   \\ 
	\end{matrix} \right]} όπου \displaystyle{\gamma , \delta} είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με \displaystyle{\gamma + \delta   =1}.
ii) Έστω ότι \displaystyle{ \Omega} είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και \displaystyle{A,B} ενδεχόμενα του \displaystyle{ \Omega}
Θεωρούμε του πίνακες \displaystyle{{\color{red}Y}=\left[ \begin{matrix} 
   P(A) & P({A}')  \\ 
	   P({A}') & P(A)  \\ 
	\end{matrix} \right]} και \displaystyle{{{Y}^{2}}=\left[ \begin{matrix} 
	   P(B) & P({B}')  \\ 
	   P({B}') & P(B)  \\ 
	\end{matrix} \right]} όπου \displaystyle{A',B' } το συμπληρωματικά σύνολα των \displaystyle{A,B} αντίστοιχα.
Αν \displaystyle{P({B}')=\frac{4}{9}} και \displaystyle{P(A)<P({A}')} τότε να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων \displaystyle{A} και \displaystyle{A'}.
β) Έστω ότι \displaystyle{f(t)} είναι η ποσότητα ενός αντιβιοτικού που έχει απορροφηθεί από το ανθρώπινο σώμα κατά τη χρονική στιγμή \displaystyle{t} όπου \displaystyle{t\ge 0}
και \displaystyle{f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}} είναι πραγματική συνάρτηση με \displaystyle{f(\sqrt{t})=1-{{2}^{\displaystyle-\frac{\sqrt{t}}{499}}}}
Να βρεθεί η χρονική στιγμή \displaystyle{t_1} κατά την οποία ο ρυθμός απορρόφησης του αντιβιοτικού από το ανθρώπινο σώμα είναι ίσος
με το \displaystyle{\frac{1}{16}} του ρυθμού απορρόφησης κατά τη χρονική στιγμή \displaystyle{t_0=0}.


edit's
1. συμπλήρωση στο 4ο ελέω \displaystyle{\LaTeX} , θενξ Ηλία
2. διόρθωση ονομασίας στο 3α) ii), σωστός ο Ορέστης
τελευταία επεξεργασία από parmenides51 σε Τρί Ιούλ 02, 2013 2:31 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Christos75
Δημοσιεύσεις: 421
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
Τοποθεσία: Athens
Επικοινωνία:

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1996

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos75 » Τρί Ιούλ 02, 2013 1:04 am

parmenides51 έγραψε: 2. α) i) Έστω μια πραγματική συνάρτηση \displaystyle{f} συνεχής σ’ ένα διάστημα \displaystyle{\Delta} .
Να αποδείξετε ότι αν \displaystyle{f '(x)>0} για κάθε εσωτερικό σημείο του \displaystyle{\Delta}, τότε η \displaystyle{f} είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το \displaystyle{\Delta}.
ii) Θεωρούμε τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις \displaystyle{f,g} που έχουν πεδίο ορισμού το διάστημα \displaystyle{ [0,+\infty) } για τις οποίες ισχύει η σχέση
\displaystyle{{f}'(x)={g}'(x)+\eta \mu ^{2}x+{{e}^{x}}} για \displaystyle{x \in [0,+\infty) } .
Να αποδείξετε ότι \displaystyle{f(0)+g(x)<g(0)+f(x)} για κάθε \displaystyle{x \in (0,+\infty) }
β) i) Έστω η συνάρτηση \displaystyle{f(x)={{e}^{\alpha x}} όπου \displaystyle{\alpha \in \mathbb{R}  } .
Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν δυο τιμές της παραμέτρου \displaystyle{\alpha} έτσι ώστε να ικανοποιείται η σχέση \displaystyle{{f}''(x)+2{f}'(x)=3f(x)} για κάθε \displaystyle{x \in \mathbb{R}  }
ii) Έστω \displaystyle{\lambda,\mu,\beta_1,\beta_2 \in \mathbb{R}  } με \dxisplaystyle{\beta_1 \ne \beta_2} . Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{g(x)=\lambda e^{\beta_1 x}+\mu e^{\beta_2 x} } με \displaystyle{x \in \mathbb{R}  }.
Έστω ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός \displaystyle{x_0} τέτοιος ώστε \displaystyle{g({{x}_{0}})={g}'({{x}_{0}})=0} . Να αποδειχθεί ότι \displaystyle{\lambda=\mu=0} .
Λύση

α)
i) Θεωρία

ii) Μας δίνεται ότι \displaystyle{f'(x)=g'(x)+(sinx)^{2}+e^{x}} για κάθε \displaystyle{x\in [0,+\infty)}

Η παραπάνω σχέση γράφεται \displaystyle{f'(x)-g'(x)=(sinx)^{2}+e^{x}\Leftrightarrow (f(x)-g(x))'= (sinx)^{2}+e^{x} >0}

Αν θέσω \displaystyle{t(x)=f(x)-g(x)} τότε \displaystyle{t'(x)>0} για κάθε \displaystyle{x\in [0,+\infty)}

Συνεπώς η συνάρτηση t είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της, οπότε θα ισχύει

\displaystyle{x>0\Leftrightarrow t(x)>t(0)\Leftrightarrow f(x)-g(x)>f(0)-g(0)\Leftrightarrow g(x)+f(0)<g(0)+f(x)} και έτσι αποδείξαμε το ζητούμενο.

β)
i) Μας δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=e^{\alpha x}, \alpha \in \mathbb{R}} και ικανοποιείται η σχέση \displaystyle{f''(x)+2f'(x)=3f(x) (1)}

Αλλά \displaystyle{f'(x)=(e^{\alpha x})'=e^{\alpha x}.(\alpha x)'=\alpha e^{x}} και επίσης

\displaystyle{f''(x)=(\alpha e^{\alpha x})'=\alpha e^{\alpha x}(\alpha x)'=\alpha ^{2}e^{\alpha x}}

Αντικαθιστώντας τα παραπάνω στην σχέση (1) και έχουμε

\displaystyle{f''(x)+2f'(x)=3f(x)\Leftrightarrow \alpha ^{2}.e^{\alpha x}+2\alpha.e^{\alpha x}=3.e^{\alpha x}\Leftrightarrow  e^{\alpha x}(\alpha ^{2}+2\alpha )= 3.e^{\alpha x}}

\displaystyle{\Leftrightarrow \alpha ^{2}+2\alpha -3=0\Leftrightarrow \alpha _{1}=-3, \alpha _{2}=1}

ii) Έχουμε \displaystyle{\beta _{1}\neq \beta _{2} \wedge g(x)=\lambda e^{\beta _{1}x}+\mu e^{\beta _{2}x}, x\in \mathbb{R}}

Υπολογίζουμε την παράγωγο της συνάρτησης g

\displaystyle{g'(x)=(\lambda e^{\beta _{1}x}+\mu e^{\beta _{2}x})'=\lambda (e^{\beta _{1}x})' + \mu (e^{\beta _{2}x})' = \lambda \beta _{1}e^{\beta _{1}x} + \mu \beta _{2}e^{\beta _{2}x}}

Επίσης \displaystyle{g(x_{0})=0\Leftrightarrow \lambda e^{\beta _{1}x_{0}} + \mu e^{\beta _{2}x_{0}}=0\Leftrightarrow \lambda e^{\beta _{1}x_{0}}=-\mu e^{\beta _{2}x_{0}} (1)}

και επίσης \displaystyle{g'(x_{0})=0\Leftrightarrow \lambda \beta _{1}e^{\beta _{1}x_{0}} + \mu \beta _{2}e^{\beta _{2}x_{0}}=0 (2)}

Αντικαθιστώντας την (1) στην (2) έχουμε

\displaystyle{\beta _{1}(-\mu e^{\beta _{2}x_{0}}) + \mu \beta _{2}e^{\beta _{2}x_{0}}=0\Leftrightarrow -\beta _{1}\mu e^{\beta _{2}x_{0}} + \mu \beta _{2}e^{\beta _{2}x_{0}}=0}

\displaystyle{\Leftrightarrow \mu e^{\beta _{2}x_{0}}(\beta _{2}-\beta _{1})=0} και αφού \displaystyle{\beta _{1}\neq \beta _{2}}

τότε \displaystyle{\mu e^{\beta _{2}x_{0}}=0\overset{e^{\beta _{2}x_{0}}>0}{\rightarrow}\mu =0} και εν συνεχεία

\displaystyle{\lambda  e^{\beta _{1}x_{0}}=0\overset{e^{\beta _{1}x_{0}}>0}{\rightarrow}\lambda  =0}

Συνεπώς αποδείξαμε ότι \displaystyle{\lambda =\mu =0}


Χρήστος Λοΐζος
orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1322
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1996

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Τρί Ιούλ 02, 2013 3:10 am

parmenides51 έγραψε:3. α) i) Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{g } συνεχής στο \displaystyle{\mathbb{R} } και \displaystyle{f(x)=\int_{0}^{x }{\left( x-t \right)g(t)dt}} .
Να αποδείξετε ότι η \displaystyle{f} είναι δυο φορές παραγωγίσιμη και να μελετήσετε την \displaystyle{ f} ως προς τα κοίλα όταν \displaystyle{g(x)\ne 0} για κάθε \displaystyle{x \in \mathbb{R}  }
ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \displaystyle{g(x)=\sqrt{x}} και \displaystyle{{\color{red}f}(x)=2x-1}
και την ευθεία \displaystyle{x=0}.
β) Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{f(x)=\sqrt{1+{{x}^{2}}}+\lambda x^2 \,\,, x \in \mathbb{R}}
i) Να υπολογίσετε την τιμή του \displaystyle{\lambda\in \mathbb{R}} αν είναι γνωστό ότι \displaystyle{\lim_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x}=1}
ii) Για την τιμή του \displaystyle{\lambda} που βρήκατε παραπάνω να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle{I=\int_{0}^{1}{\frac{x}{{{f}^{2}}(x)}}dx}.
{{\alpha }_{i}}) Είναι \displaystyle{f(x)=\int\limits_{0}^{x}{xg(t)dt}-\int\limits_{0}^{x}{tg(t)dt}=x\int\limits_{0}^{x}{g(t)dt}-\int\limits_{0}^{x}{tg(t)dt}}. Όμως \displaystyle{g(t),\,\,tg(t)} συνεχής και \displaystyle{{f}'(x)=(x{)}'\int\limits_{0}^{x}{g(t)dt}+x{{\left( \int\limits_{0}^{x}{g(t)dt} \right)}^{\prime }}-{{\left( \int\limits_{0}^{x}{tg(t)dt} \right)}^{\prime }}=\int\limits_{0}^{x}{g(t)dt}+xg(x)-xg(x)=\int\limits_{0}^{x}{g(t)dt}}, άρα \displaystyle{{f}''(x)={{\left( \int\limits_{0}^{x}{g(t)dt} \right)}^{\prime }}=g(x)}.

Αν \displaystyle{g(x)\ne 0} λόγω της συνέχειάς της θα διατηρεί πρόσημο, δηλαδή \displaystyle{g(x)>0} για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}} ή \displaystyle{g(x)<0} για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}}, οπότε \displaystyle{{f}''(x)>0} για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}}

ή \displaystyle{{f}''(x)<0} για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}}, δηλαδή η \displaystyle{{{C}_{f}}} στρέφει τα κοίλα πάνω ή κάτω αντίστοιχα στο \displaystyle{\mathbb{R}}.

{{\alpha }_{ii}}) Για \displaystyle{x\ge 0} είναι \displaystyle{f(x)=g(x)\Leftrightarrow 2x-1=\sqrt{x}\,\,\overset{\sqrt{x}=u}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\,\,2{{u}^{2}}-u-1=0\,\,\overset{u\ge 0}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\,\,u=1\Leftrightarrow x=1}.

Για \displaystyle{x\in \left[ 0,1 \right]\Rightarrow g(x)-f(x)=\sqrt{x}-2{{\sqrt{x}}^{2}}+1=\sqrt{x}-{{\sqrt{x}}^{2}}-{{\sqrt{x}}^{2}}+1=\left( \text{1}-\sqrt{x} \right)\left( \text{2}\sqrt{x}+\text{1} \right)\ge 0},

άρα \displaystyle{E=\int\limits_{0}^{1}{\left( g(x)-f(x) \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( \sqrt{x}-2x+1 \right)dx}=\left[ \frac{2}{3}\sqrt{{{x}^{3}}}-{{x}^{2}}+x \right]_{\,0}^{\,1}=\frac{2}{3}}τ.μ.

{{\beta }_{i}}) Για \displaystyle{x>0\Rightarrow \frac{f(x)}{x}=\frac{x\cdot \left( \sqrt{\frac{1}{{{x}^{2}}}+1}+\lambda  \right)}{x}=\sqrt{\frac{1}{{{x}^{2}}}+1}+\lambda \Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{\frac{1}{{{x}^{2}}}+1}+\lambda  \right)=1+\lambda }

και επειδή \displaystyle{\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}=1\Rightarrow 1+\lambda =1\Rightarrow \lambda =0}.

{{\beta }_{ii}}) Τότε \displaystyle{f(x)=\sqrt{1+{{x}^{2}}}\Rightarrow I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{1+{{x}^{2}}}}dx=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}}{1+{{x}^{2}}}dx}=\frac{1}{2}\left[ \ln \left( 1+{{x}^{2}} \right) \right]_{\,0}^{\,1}=\frac{\ln 2}{2}}.


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1322
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1996

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Τρί Ιούλ 02, 2013 1:10 pm

parmenides51 έγραψε:4. α) i) Δίνεται ο πίνακας \displaystyle{X=\left[ \begin{matrix} 
   \alpha  & \beta   \\ 
   \beta & \alpha   \\ 
	\end{matrix} \right]} όπου \displaystyle{\alpha  , \beta} είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με \displaystyle{\alpha  + \beta=1} .
Να αποδειχθεί ότι \displaystyle{{{X}^{2}}=\left[ \begin{matrix} 
 \gamma & \delta   \\ 
	   \delta & \gamma   \\ 
	\end{matrix} \right]} όπου \displaystyle{\gamma , \delta} είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με \displaystyle{\gamma + \delta   =1}.
ii) Έστω ότι \displaystyle{ \Omega} είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και \displaystyle{A,B} ενδεχόμενα του \displaystyle{ \Omega}
Θεωρούμε του πίνακες \displaystyle{{\color{red}Y}=\left[ \begin{matrix} 
   P(A) & P({A}')  \\ 
	   P({A}') & P(A)  \\ 
	\end{matrix} \right]} και \displaystyle{{{Y}^{2}}=\left[ \begin{matrix} 
	   P(B) & P({B}')  \\ 
	   P({B}') & P(B)  \\ 
	\end{matrix} \right]} όπου \displaystyle{A',B' } το συμπληρωματικά σύνολα των \displaystyle{A,B} αντίστοιχα.
Αν \displaystyle{P({B}')=\frac{4}{9}} και \displaystyle{P(A)<P({A}')} τότε να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων \displaystyle{A} και \displaystyle{A'}.
β) Έστω ότι \displaystyle{f(t)} είναι η ποσότητα ενός αντιβιοτικού που έχει απορροφηθεί από το ανθρώπινο σώμα κατά τη χρονική στιγμή \displaystyle{t} όπου \displaystyle{t\ge 0}
και \displaystyle{f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}} είναι πραγματική συνάρτηση με \displaystyle{f(\sqrt{t})=1-{{2}^{\displaystyle-\frac{\sqrt{t}}{499}}}}
Να βρεθεί η χρονική στιγμή \displaystyle{t_1} κατά την οποία ο ρυθμός απορρόφησης του αντιβιοτικού από το ανθρώπινο σώμα είναι ίσος
με το \displaystyle{\frac{1}{16}} του ρυθμού απορρόφησης κατά τη χρονική στιγμή \displaystyle{t_0=0}.
{{\alpha }_{i}}) Από τον ορισμό του γινομένου πινάκων έχουμε: \displaystyle{{{X}^{2}}=\left[ \begin{matrix} 
   \alpha  & \beta   \\ 
   \beta  & \alpha   \\ 
\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} 
   \alpha  & \beta   \\ 
   \beta  & \alpha   \\ 
\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 
   {{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}} & 2\alpha \beta   \\ 
   2\alpha \beta  & {{\beta }^{2}}+{{\alpha }^{2}}  \\ 
\end{matrix} \right]\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\mu \varepsilon \,\,\,\gamma ={{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}},\,\,\delta =2\alpha \beta \Rightarrow }

\displaystyle{\Rightarrow {{X}^{2}}=\left[ \begin{matrix} 
   \gamma  & \delta   \\ 
   \delta  & \gamma   \\ 
\end{matrix} \right],\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,\gamma +\delta ={{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}}+2\alpha \beta ={{\left( \alpha +\beta  \right)}^{2}}=1,\,\,\,\gamma >0,\,\,\delta >0}.

{{\alpha }_{ii}}) Αν \displaystyle{P\left( A \right)=0\Rightarrow P\left( {{A}'} \right)=1}, ενώ αν \displaystyle{P\left( {{A}'} \right)=0\Rightarrow P\left( A \right)=1}. Αν τα προηγούμενα δεν ισχύουν,

τότε \displaystyle{P\left( A \right)>0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,P\left( {{A}'} \right)>0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,P\left( A \right)+P\left( {{A}'} \right)=1}.

Από το \displaystyle{{{\alpha }_{i}})} για \displaystyle{P\left( A \right)=\alpha ,\,\,\,P\left( {{A}'} \right)=\beta \Rightarrow P\left( B \right)={{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}}={{\alpha }^{2}}+{{\left( 1-\alpha  \right)}^{2}}=2{{\alpha }^{2}}-2\alpha +1\Rightarrow }

\displaystyle{\Rightarrow 2{{\alpha }^{2}}-2\alpha +1=\frac{5}{9}\Rightarrow \left( \alpha =\frac{2}{3}\,\,\,\vee \,\,\,\alpha =\frac{1}{3} \right),\,\,\,\left[ P\left( {{B}'} \right)=\frac{4}{9}\Rightarrow P\left( B \right)=\frac{5}{9} \right]} και από \displaystyle{P(A)<P({A}')\Rightarrow P\left( A \right)=\frac{1}{3}\Rightarrow P\left( {{A}'} \right)=\frac{2}{3}}.

\beta ) Έστω \displaystyle{\sqrt{t}=x\ge 0\Rightarrow f(x)=1-{{2}^{-\frac{x}{499}}}\Rightarrow {f}'(x)=-{{2}^{-\frac{x}{499}}}\cdot \ln 2{{\left( -\frac{x}{499} \right)}^{\prime }}=\frac{\ln 2}{499}\cdot {{2}^{-\frac{x}{499}}}\Rightarrow }

\displaystyle{\Rightarrow {f}'(0)=\frac{\ln 2}{499}}, οπότε \displaystyle{{f}'({{t}_{1}})=\frac{1}{16}{f}'(0)\Leftrightarrow \frac{\ln 2}{499}\cdot {{2}^{-\frac{{{t}_{1}}}{499}}}=\frac{1}{16}\cdot \frac{\ln 2}{499}\Leftrightarrow {{2}^{-\frac{{{t}_{1}}}{499}}}={{2}^{-4}}\Leftrightarrow \frac{{{t}_{1}}}{499}=4\Leftrightarrow {{t}_{1}}=1996}.


Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 945
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1996

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Τρί Ιούλ 02, 2013 5:27 pm

parmenides51 έγραψε:1. α) Έστω \displaystyle{\alpha , \beta , \gamma \in \mathbb{R}} με \displaystyle{ \alpha < \beta<\gamma} και \displaystyle{A=\left[ \begin{matrix} 
   1 & \alpha & \alpha ^{2}  \\ 
	   1 & \beta & \beta ^{2}  \\ 
	   1 & \gamma  & \gamma ^{2}  \\ 
	\end{matrix} \right]}. Θεωρούμε το \displaystyle{3 \, x \, 3} γραμμικό σύστημα \displaystyle{AX=B} όπου \displaystyle{X=\left[ \begin{matrix} 
	x \\ 
	  y  \\ 
	   z \\ 
	\end{matrix} \right]}
με αγνώστους \displaystyle{x,y,z \in \mathbb{R}} .Έστω \displaystyle{D} η ορίζουσα του πίνακα \displaystyle{A} και \displaystyle{D_x,D_y,D_z} οι ορίζουσες που προκύπτουν από την \displaystyle{D}
αν αντικαταστήσουμε την \displaystyle{1} η , \displaystyle{2} η και \displaystyle{3} η στήλη αντίστοιχα με τη στήλη των σταθερών όρων του συστήματος.
Έστω ότι \displaystyle{{{D}_{x}}^{2}+{{D}_{y}}^{2}+{{D}_{z}}^{2}+2{{D}^{2}}=2D({{D}_{x}}-{{D}_{y}})} .
Να λυθεί το σύστημα \displaystyle{AX=B} .
β) Δίνεται ο πίνακας \displaystyle{A=\left[ \begin{matrix} 
   3 & 1 & 0  \\ 
   2 & 3 & 2  \\ 
	   0 & 1 & 3  \\ 
\end{matrix} \right]} και το πολυώνυμο \displaystyle{f(x)=-{{x}^{2}}+3x+1}
i) Να βρεθούν οι τιμές του \displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}} έτσι ώστε \displaystyle{\left| A-\lambda \mathbb{I}\right|=0} όπου \displaystyle{\mathbb{I}} ο μοναδιαίος πίνακας.
ii) Αν \displaystyle{B} συμβολίζει τον πίνακα \displaystyle{\left( f(3)-1 \right){{\left( A-\mathbb{I} \right)}^{2}}+A-f(1)\mathbb{I}} , να αποδείξετε ότι υπάρχει μη μηδενικός πίνακας \displaystyle{X=\left[ \begin{matrix} 
	   x  \\ 
	  y  \\ 
	  z \\ 
\end{matrix} \right]}
τέτοιος ώστε \displaystyle{BX=\mathbb{O} } όπου \displaystyle{\mathbb{O}} ο μηδενικός πίνακας.
α) D = \left| A \right| \Leftrightarrow D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
1&\alpha &{{\alpha ^2}}\\ 
1&\beta &{{\beta ^2}}\\ 
1&\gamma &{{\gamma ^2}} 
\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
\beta &{{\beta ^2}}\\ 
\gamma &{{\gamma ^2}} 
\end{array}} \right| - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
\alpha &{{\alpha ^2}}\\ 
\gamma &{{\gamma ^2}} 
\end{array}} \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
\alpha &{{\alpha ^2}}\\ 
\beta &{{\beta ^2}} 
\end{array}} \right| =

\beta {\gamma ^2} - {\beta ^2}\gamma  - \alpha {\gamma ^2} + {\alpha ^2}\gamma  + \alpha {\beta ^2} - {\alpha ^2}\beta  =

\beta \gamma \left( {\gamma  - \beta } \right) - \alpha \left( {\gamma  - \beta } \right)\left( {\gamma  + \beta } \right) + {\alpha ^2}\left( {\gamma  - \beta } \right) =

\left( {\gamma  - \beta } \right)\left( {\beta \gamma  - \alpha \gamma  - \alpha \beta  + {\alpha ^2}} \right) = \left( {\gamma  - \beta } \right)\left[ {\gamma \left( {\beta  - \alpha } \right) - \alpha \left( {\beta  - \alpha } \right)} \right] =

\left( {\gamma  - \beta } \right)\left( {\beta  - \alpha } \right)\left( {\gamma  - \alpha } \right) \ne 0 αφού \alpha  < \beta  < \gamma

Έτσι D \ne 0 , οπότε το σύστημα έχει μοναδική λύση την: \displaystyle\left( {x,y,z} \right) = \left( {\frac{{{D_x}}}{D},\frac{{{D_y}}}{D},\frac{{{D_z}}}{D}} \right) (1)

\displaystyle{D_x^2 + D_y^2 + D_z^2 + 2{D^2} - 2D{D_x} + 2D{D_y} = 0 \Leftrightarrow {\left( {{D_x} - D} \right)^2} + {\left( {{D_y} + D} \right)^2} + D_z^2 = 0 \Leftrightarrow }

{D_x} = D\;\kappa \alpha \iota \;{D_y} =  - D\;\;\kappa \alpha \iota \;\;{D_z} = 0

Από τη σχέση (1) συμπεραίνουμε ότι η μοναδική λύση του συστήματος είναι \left( {x,y,z} \right) = \left( {1, - 1,0} \right)

β) i) A - \lambda I = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
3&1&0\\ 
2&3&2\\ 
0&1&3 
\end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
\lambda &0&0\\ 
0&\lambda &0\\ 
0&0&\lambda  
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{3 - \lambda }&1&0\\ 
2&{3 - \lambda }&2\\ 
0&1&{3 - \lambda } 
\end{array}} \right]

Έτσι \left| {A - \lambda I} \right| = 0 \Leftrightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
{3 - \lambda }&1&0\\ 
2&{3 - \lambda }&2\\ 
0&1&{3 - \lambda } 
\end{array}} \right| = 0 \Leftrightarrow

\left( {3 - \lambda } \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
{3 - \lambda }&2\\ 
1&{3 - \lambda } 
\end{array}} \right| - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
2&2\\ 
0&{3 - \lambda } 
\end{array}} \right| = 0 \Leftrightarrow


\left( {3 - \lambda } \right)\left[ {{{\left( {3 - \lambda } \right)}^2} - 2} \right] - 2\left( {3 - \lambda } \right) = 0 \Leftrightarrow

\left( {3 - \lambda } \right)\left( {{\lambda ^2} - 6\lambda  + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \lambda  = 3\;\dot \eta \;\lambda  = 1\;\dot \eta \;\lambda  = 5


ii. Είναι f\left( 3 \right) = 1 και f\left( 1 \right) = 3 (2)

B = \left( {f\left( 3 \right) - 1} \right){\left( {A - I} \right)^2} + A - f\left( 1 \right)I\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\left( 3 \right)} B = A - 3I \Rightarrow\left| B \right| = \left| {A - 3I} \right|\mathop  \Rightarrow \limits^{\beta i} \left| B \right| = 0

Άρα το ομογενές σύστημα BX = O έχει και μη μηδενικές λύσεις, αφού D = \left| B \right| = 0, δηλαδή υπάρχει και μη μηδενικός πίνακας X με BX = O


Ηλίας Καμπελής
Απάντηση

Επιστροφή σε “Δ' Δέσμη”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης