Δ' ΔΕΣΜΗ 1995
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Δ' ΔΕΣΜΗ 1995
1. α) Αν για τους πίνακες ισχύει και ο αντιστρέφεται, να αποδείξετε ότι :
i) Ο πίνακας αντιστρέφεται
ii)
β) Θεωρούμε ένα γραμμικό σύστημα με πραγματικούς συντελεστές και με αγνώστους .
Έστω η ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων του συστήματος και οι ορίζουσες που προκύπτουν από την
αν αντικαταστήσουμε την η , η και η στήλη αντίστοιχα με την στήλη των σταθερών όρων του συστήματος.
Υποθέτουμε ότι , όπου . Να αποδείξετε ότι :
i) Αν το σύστημα έχει την μοναδική λύση τότε
ii) Αν το σύστημα είναι ομογενές τότε έχει και μη μηδενικές λύσεις.
2. α) Δίνεται ο αντιστρέψιμος πίνακας και ο .
Αν να βρεθούν τα .
β) Έστω το σύνολο των ριζών της εξίσωσης
Υποθέτουμε ότι είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης που αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα .
Θεωρούμε το σύστημα όπου
Έστω είναι το ενδεχόμενο το παραπάνω σύστημα να έχει και μη μηδενικές λύσεις .
Να βρεθεί η πιθανότητα .
3. α) i) Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα και τότε
για κάθε αριθμό μεταξύ των και υπάρχει τουλάχιστον ένας τέτοιος ώστε να ισχύει .
ii) Δίνεται η συνάρτηση
1. Αν είναι τοπικά ακρότατα της γραφικής παράστασης της και ,
να αποδείξετε ότι η ευθεία είναι κάθετη στην ευθεία .
2. Αν να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μια λύση στο διάστημα .
β) Δίνεται η συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει για κάθε
και η συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε .
Να αποδείξετε ότι αν η γραφική παράσταση της έχει σημείο καμπής το τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της
στο σημείο είναι παράλληλη στην ευθεία .
4. α) Η αξία μιας μηχανής που εκτυπώνει βιβλία μειώνεται με το χρόνο σύμφωνα με τη συνάρτηση
όπου ένας θετικός αριθμός.
Ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους από την πώληση των βιβλίων που εκτυπώνει η συγκεκριμένη μηχανή δίνεται από τη συνάρτηση
και υποθέτουμε ότι .
Να βρεθεί η χρονική στιγμή κατά την οποία θα πρέπει να πουληθεί η μηχανή έτσι ώστε το συνολικό κέρδος από τα βιβλία που πουλήθηκαν
συν την αξία της μηχανής να γίνεται μέγιστο.
β) Αν όπου και να βρείτε :
i) την
ii) το
edit's
1. διόρθωση τυπογραφικού στην εκφώνηση του 1ου θέματος λόγω , θενξ Ηλία
2. διόρθωση παραγώγου στo 4β.ii) σωστός (πάλι) ο Ορέστης
3. διόρθωση τυπογραφικού στην εκφώνηση του 4β λόγω ,
i) Ο πίνακας αντιστρέφεται
ii)
β) Θεωρούμε ένα γραμμικό σύστημα με πραγματικούς συντελεστές και με αγνώστους .
Έστω η ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων του συστήματος και οι ορίζουσες που προκύπτουν από την
αν αντικαταστήσουμε την η , η και η στήλη αντίστοιχα με την στήλη των σταθερών όρων του συστήματος.
Υποθέτουμε ότι , όπου . Να αποδείξετε ότι :
i) Αν το σύστημα έχει την μοναδική λύση τότε
ii) Αν το σύστημα είναι ομογενές τότε έχει και μη μηδενικές λύσεις.
2. α) Δίνεται ο αντιστρέψιμος πίνακας και ο .
Αν να βρεθούν τα .
β) Έστω το σύνολο των ριζών της εξίσωσης
Υποθέτουμε ότι είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης που αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα .
Θεωρούμε το σύστημα όπου
Έστω είναι το ενδεχόμενο το παραπάνω σύστημα να έχει και μη μηδενικές λύσεις .
Να βρεθεί η πιθανότητα .
3. α) i) Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα και τότε
για κάθε αριθμό μεταξύ των και υπάρχει τουλάχιστον ένας τέτοιος ώστε να ισχύει .
ii) Δίνεται η συνάρτηση
1. Αν είναι τοπικά ακρότατα της γραφικής παράστασης της και ,
να αποδείξετε ότι η ευθεία είναι κάθετη στην ευθεία .
2. Αν να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μια λύση στο διάστημα .
β) Δίνεται η συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει για κάθε
και η συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε .
Να αποδείξετε ότι αν η γραφική παράσταση της έχει σημείο καμπής το τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της
στο σημείο είναι παράλληλη στην ευθεία .
4. α) Η αξία μιας μηχανής που εκτυπώνει βιβλία μειώνεται με το χρόνο σύμφωνα με τη συνάρτηση
όπου ένας θετικός αριθμός.
Ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους από την πώληση των βιβλίων που εκτυπώνει η συγκεκριμένη μηχανή δίνεται από τη συνάρτηση
και υποθέτουμε ότι .
Να βρεθεί η χρονική στιγμή κατά την οποία θα πρέπει να πουληθεί η μηχανή έτσι ώστε το συνολικό κέρδος από τα βιβλία που πουλήθηκαν
συν την αξία της μηχανής να γίνεται μέγιστο.
β) Αν όπου και να βρείτε :
i) την
ii) το
edit's
1. διόρθωση τυπογραφικού στην εκφώνηση του 1ου θέματος λόγω , θενξ Ηλία
2. διόρθωση παραγώγου στo 4β.ii) σωστός (πάλι) ο Ορέστης
3. διόρθωση τυπογραφικού στην εκφώνηση του 4β λόγω ,
τελευταία επεξεργασία από parmenides51 σε Τρί Ιούλ 23, 2013 4:44 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 1753
- Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1995
ΠΕΡΙΤΤΑ
τελευταία επεξεργασία από orestisgotsis σε Δευ Φεβ 26, 2024 1:10 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1995
α) i)parmenides51 έγραψε:1. α) Αν για τους πίνακες ισχύει και ο αντιστρέφεται, να αποδείξετε ότι :
i) Ο πίνακας αντιστρέφεται
ii)
β) Θεωρούμε ένα γραμμικό σύστημα με πραγματικούς συντελεστές και με αγνώστους .
Έστω η ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων του συστήματος και οι ορίζουσες που προκύπτουν από την
αν αντικαταστήσουμε την η , η και η στήλη αντίστοιχα με την στήλη των σταθερών όρων του συστήματος.
Υποθέτουμε ότι , όπου . Να αποδείξετε ότι :
i) Αν το σύστημα έχει την μοναδική λύση τότε
ii) Αν το σύστημα είναι ομογενές τότε έχει και μη μηδενικές λύσεις.
Άρα ο Α αντιστρέφεται και είναι (1)
ii)
β) i) Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση τότε είναι και
ii. Αν το σύστημα είναι ομογενές τότε και η δοσμένη σχέση γίνεται:
αφού
Έτσι, επειδή , το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις.
Ηλίας Καμπελής
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1995
α)parmenides51 έγραψε:2. α) Δίνεται ο αντιστρέψιμος πίνακας και ο .
Αν να βρεθούν τα .
β) Έστω το σύνολο των ριζών της εξίσωσης
Υποθέτουμε ότι είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης που αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα .
Θεωρούμε το σύστημα όπου
Έστω είναι το ενδεχόμενο το παραπάνω σύστημα να έχει και μη μηδενικές λύσεις .
Να βρεθεί η πιθανότητα .
Άρα
και
β)
Άρα
Οπότε
Αφού το σύστημα είναι ομογενές και έχει και μη μηδενικές λύσεις θα ισχύει:
Άρα και
τελευταία επεξεργασία από hlkampel σε Τετ Ιούλ 03, 2013 10:22 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Ηλίας Καμπελής
-
- Δημοσιεύσεις: 1753
- Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες