Δ' ΔΕΣΜΗ 1990

parmenides51 · #1

1. α) Αν $\displaystyle{A}$ είναι πίνακας $\displaystyle{\nu x \nu}$ και υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ με $\gamma \ne 0$ για τους οποίους ισχύει ότι
$\alpha {A^{3}}-\beta A +\gamma \mathbb I ={\mathbb O}$ όπου $\displaystyle{\mathbb I,\mathbb O}$ ο μοναδιαίος και ο μηδενικός πίνακας $\displaystyle{\nu x \nu}$ αντιστοίχως
να αποδείξετε ότι $\displaystyle{A}$ είναι αντιστρέψιμος .
β) Αν $A =\left[ \begin{matrix} 2 & 4 \\ -1 & 3 \\ \end{matrix} \right]$ και $\displaystyle{\mathbb I,\mathbb O}$ ο μοναδιαίος και ο μηδενικός πίνακας $\displaystyle{2x2}$ αντιστοίχως,
να βρείτε όλες τις τριάδες $\displaystyle{(\kappa,\lambda,\mu)}$ πραγματικών αριθμών για τις οποίες ισχύει ότι $\kappa {A }^{2}}+3\lambda A -\mu \mathbb I={\mathbb O}$ .

2. α) Να αποδείξετε ότι :
''Αν οι συναρτήσεις $\displaystyle{f,g}$ είναι ορισμένες στο διάστημα $\displaystyle{\Delta}$ και παραγωγίσιμες στο ${{x}_{0}}\in \Delta$ τότε η $\displaystyle{fg}$ είναι παραγωγίσιμη στο
${{x}_{0}}\in \Delta$ και είναι ${{\left( fg \right)}^{\prime }}({{x}_{0}})={f}'({{x}_{0}})g({{x}_{0}})+f({{x}_{0}}){g}'({{x}_{0}})$ ''.
β) Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{g}$ η οποία είναι ορισμένη στο $\mathbb{R}$ , δυο φορές παραγωγίσιμη σ’ αυτό και ισχύει $\displaystyle{g(-1)=7}$ .
Αν $\displaystyle{f}$ είναι μια συνάρτηση με $f(x)=3{{\left( x-2 \right)}^{2}} g(2x-5)$ να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$
και να υπολογίσετε την {f}''(2)

.

3. Έστω $\displaystyle{\alpha }$ πραγματικός αριθμός και $\displaystyle{f}$ η συνάρτηση με $\displaystyle{f(x)=\frac{{{x}^{4}}}{3}+\frac{2\alpha {{x}^{3}}}{3}+\left( {{\alpha }^{2}}-2\alpha +\frac{5}{2} \right){{x}^{2}}+\left( {{\alpha }^{3}}+7 \right)x-5{{\alpha }^{2}}}$ .
Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ δεν έχει σημεία καμπής.

4. α) Έστω μια συνάρτηση $\displaystyle{f}$ συνεχής στο διάστημα $\displaystyle{\Delta}$ και $\alpha ,\beta \in \Delta$ με $\displaystyle{\alpha <\beta}$ .
Αν $\displaystyle{F}$ είναι μια παράγουσα της $\displaystyle{f }$ στο $\displaystyle{[\alpha ,\beta]}$ τότε να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\int\limits_{\alpha }^{\beta }{f(x)}dx=F(\beta )-F(\alpha )}$ .
β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ με $\displaystyle{f(x)={{x}^{2}}{{e}^{x}}}$
του άξονα {x}'x

και των ευθειών με εξισώσεις $\displaystyle{x=1}$ και $\displaystyle{x=3}$ .

hlkampel · #2

parmenides51 έγραψε:1. α) Αν $\displaystyle{A}$ είναι πίνακας $\displaystyle{\nu x \nu}$ και υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ με $\gamma \ne 0$ για τους οποίους ισχύει ότι
$\alpha {A^{3}}-\beta A +\gamma \mathbb I ={\mathbb O}$ όπου $\displaystyle{\mathbb I,\mathbb O}$ ο μοναδιαίος και ο μηδενικός πίνακας $\displaystyle{\nu x \nu}$ αντιστοίχως
να αποδείξετε ότι $\displaystyle{A}$ είναι αντιστρέψιμος .
β) Αν $A =\left[ \begin{matrix} 2 & 4 \\ -1 & 3 \\ \end{matrix} \right]$ και $\displaystyle{\mathbb I,\mathbb O}$ ο μοναδιαίος και ο μηδενικός πίνακας $\displaystyle{2x2}$ αντιστοίχως,
να βρείτε όλες τις τριάδες $\displaystyle{(\kappa,\lambda,\mu)}$ πραγματικών αριθμών για τις οποίες ισχύει ότι $\kappa {A }^{2}}+3\lambda A -\mu \mathbb I={\mathbb O}$ .

α) $\displaystyle\alpha {{\rm A}^3} - \beta {\rm A} + \gamma {\rm I} = {\rm O} \Rightarrow {\rm A}\left( {\alpha {{\rm A}^2} - \beta } \right) = - \gamma {\rm I} \Rightarrow {\rm A}\left( {\frac{\alpha }{\gamma }{{\rm A}^2} - \frac{\beta }{\gamma }} \right) = {\rm I}$

Άρα ο $\displaystyle{\rm A}$ είναι αντιστρέψιμος με $\displaystyle{{\rm A}^{ - 1}} = \frac{\alpha }{\gamma }{{\rm A}^2} - \frac{\beta }{\gamma }$

β) ${{\rm A}^2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&4\\ { - 1}&3 \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&4\\ { - 1}&3 \end{array}} \right] \Rightarrow {{\rm A}^2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{20}\\ { - 5}&5 \end{array}} \right]$

$\kappa {{\rm A}^2} + 3\lambda {\rm A} - \mu {\rm I} = {\rm O} \Rightarrow \kappa \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{20}\\ { - 5}&5 \end{array}} \right] + 3\lambda \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&4\\ { - 1}&3 \end{array}} \right] - \mu \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right] = {\rm O} \Rightarrow$

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{20\kappa }\\ { - 5\kappa }&{5\kappa } \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {6\lambda }&{12\lambda }\\ { - 3\lambda }&{9\lambda } \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \mu &0\\ 0&\mu \end{array}} \right] = {\rm O} \Rightarrow$

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {6\lambda - \mu }&{20\kappa + 12\lambda }\\ { - 5\kappa - 3\lambda }&{5\kappa + 9\lambda - \mu } \end{array}} \right] = {\rm O} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 6\lambda - \mu = 0\\ - 5\kappa - 3\lambda = 0\\ 20\kappa + 12\lambda = 0\\ 5\kappa + 9\lambda - \mu = 0 \end{array} \right.\mathop \Rightarrow \limits_{:4}^{ \cdot \left( { - 1} \right)} \left\{ \begin{array}{l} 6\lambda - \mu = 0\quad \;\;(1)\\ 5\kappa + 3\lambda = 0\quad (2)\\ 5\kappa + 3\lambda = 0\\ 5\kappa + 9\lambda - \mu = 0\;(3) \end{array} \right.$

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \mu = 6\lambda \;\left( 4 \right)$ και $\displaystyle\left( 2 \right) \Leftrightarrow \kappa = - \frac{3}{5}\lambda \;\left( 5 \right)$

$\left( 3 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 4 \right),\left( 5 \right)} - 3\lambda + 9\lambda - 6\lambda = 0 \Leftrightarrow 0 \cdot \lambda = 0 \Leftrightarrow \lambda \in R$

Άρα $\displaystyle\left( {\kappa ,\lambda ,\mu } \right) = \left( { - \frac{3}{5}\lambda ,\;\lambda ,\;6\lambda } \right),\lambda \in R$

parmenides51 · #3

parmenides51 έγραψε:4. α) Έστω μια συνάρτηση $\displaystyle{f}$ συνεχής στο διάστημα $\displaystyle{\Delta}$ και $\alpha ,\beta \in \Delta$ με $\displaystyle{\alpha <\beta}$ .
Αν $\displaystyle{F}$ είναι μια παράγουσα της $\displaystyle{f }$ στο $\displaystyle{[\alpha ,\beta]}$ τότε να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\int\limits_{\alpha }^{\beta }{f(x)}dx=F(\beta )-F(\alpha )}$ .
β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ με $\displaystyle{f(x)={{x}^{2}}{{e}^{x}}}$
του άξονα και των ευθειών με εξισώσεις $\displaystyle{x=1}$ και $\displaystyle{x=3}$ .

α) θεωρία

β) $\displaystyle{f(x)={{x}^{2}}{{e}^{x}}>0}$ στο $\displaystyle{[1,3]}$ διότι $\displaystyle{{{x}^{2}},{{e}^{x}}>0}$ όταν $\displaystyle{x \in [1,3]}$

οπότε το ζητούμενο εμβαδόν θα ισούται με
$\displaystyle{\int_{1 }^{3 }{|f(x)|}dx=\int_{1 }^{3 }{f(x)}dx=\int\limits_{1 }^{3 }{{{x}^{2}}{{e}^{x}}}dx =\int_{1 }^{3 }{{{x}^{2}}{({e}^{x})'}}dx=[{x}^{2}}{{e}^{x}]_{1}^{3}-\int_{1 }^{3 }{{({x}^{2})'}{{e}^{x}}}dx}$
$\displaystyle{=3^2e^3-1^2e^1-\int_{1 }^{3 }{2x}{{e}^{x}}}dx}=9e^3-e-\int_{1 }^{3 }{2x}{({e}^{x})'}}dx=9e^3-e-\left([2x}{{e}^{x}]_{1}^{3}-\int_{1 }^{3 }{(2x})'{{e}^{x}}}dx\right)}$
$\displaystyle{=9e^3-e-[2x{{e}^{x}]_{1}^{3}+\int_{1 }^{3 }{2}{{e}^{x}}}dx=9e^3-e-(2\cdot 3 e^3-2\cdot 1e^1)+[2{{e}^{x}]_{1}^{3}=}$
$\displaystyle{=9e^3-e-6 e^3+2e+2e^3-2e=9e^3-6 e^3+2e^3-e+2e-2e=5e^3-e=e(5e^2-1)}$

BAGGP93 · #4

parmenides51 έγραψε:

3. Έστω $\displaystyle{\alpha }$ πραγματικός αριθμός και $\displaystyle{f}$ η συνάρτηση με $\displaystyle{f(x)=\frac{{{x}^{4}}}{3}+\frac{2\alpha {{x}^{3}}}{3}+\left( {{\alpha }^{2}}-2\alpha +\frac{5}{2} \right){{x}^{2}}+\left( {{\alpha }^{3}}+7 \right)x-5{{\alpha }^{2}}}$ .
Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ δεν έχει σημεία καμπής.

Η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι ορισμένη, συνεχής και παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ , με

$\displaystyle{f^\prime(x)=\frac{4}{3}\,x^3+2\alpha\,x^2+2\left(\alpha^2-2\alpha+\frac{5}{2}\right)\,x+\left(\alpha^3+7\right)}$

Η συνάρτηση $\displaystyle{f^\prime}$ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ , με

$\displaystyle{f''(x)=4\,x^2+4\alpha\,x+\left(2\alpha^2-4\alpha+5\right)}$

Ας υποθέσουμε ότι η $\displaystyle{f}$ παρουσιάζει καμπή στο σημείο $\displaystyle{A\left(y,f(y)\right)\,\,,y\in\mathbb{R}}$

Τότε, $\displaystyle{f''(y)=0}$ .

Όμως, για $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ έχουμε

$\displaystyle{\begin{aligned}f''(x)=0&\Leftrightarrow 4\,x^2+4\alpha\,x+\left(2\alpha^2-4\alpha+5\right)=0\\&\Leftrightarrow x^2+\alpha\,x+\frac{2\alpha^2-4\alpha+5}{4}=0\\&\Leftrightarrow \left(x+\frac{\alpha}{2}\right)^2=\frac{\alpha^2}{4}-\frac{2\alpha^2-4\alpha+5}{4}\\&\Leftrightarrow \left(x+\frac{\alpha}{2}\right)^2=\left(-\frac{1}{4}\right)\left[\left(\alpha-2\right)^2+1\right]\\&\Leftrightarrow x\in \varnothing \end{aligned}}$

Έτσι, η γραφική παράσταση της δοσμένης συνάρτησης δεν έχει σημεία καμπής

orestisgotsis · #5

ΠΕΡΙΤΤΑ

Δ' ΔΕΣΜΗ 1990

Δ' ΔΕΣΜΗ 1990

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1990

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1990

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1990

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1990

Μέλη σε σύνδεση