Δ' ΔΕΣΜΗ 1988

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Δ' ΔΕΣΜΗ 1988

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τετ Ιουν 19, 2013 9:04 pm

1. α) Θεωρούμε το σύστημα \left\{ \begin{matrix} 
	   {{\alpha }_{1}}x+{{\beta }_{1}}y={{\gamma }_{1}} \\  
	  {{\alpha }_{2}}x+{{\beta }_{2}}y={{\gamma }_{2}} \\  
	  {{\alpha }_{3}}x+{{\beta }_{3}}y={{\gamma }_{3}} \\  
	\end{matrix} \right..
Να αποδειχθεί ότι αν το σύστημα είναι συμβιβαστό τότε θα ισχύει \left| \begin{matrix} 
 {{\alpha }_{1}} & {{\beta }_{1}} & {{\gamma }_{1}}  \\ 
   {{\alpha }_{2}} & {{\beta }_{2}} & {{\gamma }_{2}}  \\ 
   {{\alpha }_{3}} & {{\beta }_{3}} & {{\gamma }_{3}}  \\ 
	\end{matrix} \right|=0
β) Να λυθεί το σύστημα \left\{ \begin{matrix} 
	   \,\,\,\,\,x-2y+2z=0 \\  
  \,\,\,\,\,2x-3y+z=0 \\  
	 -3x+2y+6z=0 \\  
	\end{matrix} \right.


2. α) Έστω {{S}_{x}} η τυπική απόκλιση της μεταβλητής \displaystyle{X} ως προς την οποία εξετάζουμε ένα δείγμα.
Να αποδειχθεί ότι η τυπική απόκλιση {{S}_{y }} της μεταβλητής \displaystyle{Y=\alpha X+\beta\,\,, \alpha, \beta \in \mathbb{R}} είναι {{S}_{y}}=\left| \alpha  \right|{{S}_{x}}.
β) Έστω A=\left[ \begin{matrix} 
  x & 2  \\ 
   4 & -1  \\ 
\end{matrix} \right] και \displaystyle{\mathbb{I},\mathbb{O}} ο μοναδιαίος και μηδενικός πίνακας \displaystyle{2x2} αντιστοίχως.
Να προσδιορίσετε την τιμή του \displaystyle{x\in \mathbb{R}} ώστε να είναι {{A}^{2}}+6A-3\mathbb{I}=\mathbb{O}.


3. α) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση \displaystyle{f} με f(x)=\left\{ \begin{matrix} 
  & 3{{x}^{2}}-5x+6,x\le 1 \\  
	 & 2\sqrt{{{x}^{2}}+3},x>1 \\  
	\end{matrix} \right. είναι παραγωγίσιμη στο σημείο {{x}_{0}}=1
β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+1}{x}}dx}


4. α) Έστω \nu \in \mathbb{N} και \displaystyle{\nu>1}. Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{f} με f(x)={{x}^{\nu }}.
Να αποδείξετε ότι {f}'(x)=\nu {{x}^{\nu -1}} για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}}.
β) Έστω η συνάρτηση f με f(x)=3{{x}^{3}}-\alpha {{x}^{2}}+\beta x-3 όπου \displaystyle{\alpha, \beta \in \mathbb{R} }.
Εάν η \displaystyle{f} έχει τοπικά ακρότατα στα {{x}_{1}}=1 και \displaystyle{{{x}_{2}}=-\frac{5}{9}} τότε να βρεθούν οι αριθμοί \displaystyle{\alpha, \beta}.


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1988

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Πέμ Ιουν 20, 2013 9:52 am

2. α) Έστω {{S}_{x}} η τυπική απόκλιση της μεταβλητής \displaystyle{X} ως προς την οποία εξετάζουμε ένα δείγμα.
Να αποδειχθεί ότι η τυπική απόκλιση {{S}_{y }} της μεταβλητής \displaystyle{Y=\alpha X+\beta\,\,, \alpha, \beta \in \mathbb{R}} είναι {{S}_{y}}=\left| \alpha  \right|{{S}_{x}}.
β) Έστω A=\left[ \begin{matrix} 
  x & 2  \\ 
   4 & -1  \\ 
\end{matrix} \right] και \displaystyle{\mathbb{I},\mathbb{O}} ο μοναδιαίος και μηδενικός πίνακας \displaystyle{2x2} αντιστοίχως.
Να προσδιορίσετε την τιμή του \displaystyle{x\in \mathbb{R}} ώστε να είναι {{A}^{2}}+6A-3\mathbb{I}=\mathbb{O}.

α) Θεωρία

β)
\displaystyle{\begin{array}{l} 
 {A^2} + 6A - 3I = \mathbb{O} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   x & 2  \\ 
   4 & { - 1}  \\ 
\end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   x & 2  \\ 
   4 & { - 1}  \\ 
\end{array}} \right] + 6\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   x & 2  \\ 
   4 & { - 1}  \\ 
\end{array}} \right] - 3\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   1 & 0  \\ 
   0 & 1  \\ 
\end{array}} \right] = 0 \Leftrightarrow  \\  
  \\  
 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {{x^2} + 8} & {2x - 2}  \\ 
   {4x - 4} & 9  \\ 
\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {6x} & {12}  \\ 
   {24} & { - 6}  \\ 
\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   { - 3} & 0  \\ 
   0 & { - 3}  \\ 
\end{array}} \right] = 0 \Leftrightarrow  \\  
 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {{x^2} + 6x + 5} & {2x + 10}  \\ 
   {4x + 20} & 0  \\ 
\end{array}} \right] = 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {{x^2} + 6x + 5 = 0}  \\ 
   {2x + 10 = 0}  \\ 
   {4x + 20 = 0}  \\ 
\end{array}} \right.\,\,\, \Leftrightarrow x =  - 5 \\  
 \end{array}}


Kαλαθάκης Γιώργης
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1353
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1988

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Πέμ Ιουν 20, 2013 2:55 pm

parmenides51 έγραψε:

3. α) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση \displaystyle{f} με f(x)=\left\{ \begin{matrix} 
  & 3{{x}^{2}}-5x+6,x\le 1 \\  
	 & 2\sqrt{{{x}^{2}}+3},x>1 \\  
	\end{matrix} \right. είναι παραγωγίσιμη στο σημείο {{x}_{0}}=1
β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+1}{x}}dx}

Λύση

α)Αρχικά παρατηρούμε ότι η \displaystyle{f} είναι συνεχής στο σημείο \displaystyle{x=1} διότι

\displaystyle{\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim_{x\to 1^{-}}\left(3x^2-5x+6\right)=4=f(1)=\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim_{x\to 1^{+}}\left(2\sqrt{x^2+3}\right)=4}

Επομένως, έχει νόημα να εξετάσουμε αν η \displaystyle{f} είναι παραγωγίσιμη στο σημείο \displaystyle{x=1}

Αρκεί να εξετάσουμε αν τα όρια \displaystyle{\lim_{x\to 1^{-}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\,\,,\lim_{x\to 1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}} υπάρχουν στο

\displaystyle{\displaystyle{\mathbb{R}} και είναι ίσα μεταξύ τους.

Αν συμβαίνει αυτό, τότε η \displaystyle{f} είναι παραγωγίσιμη στο σημείο \displaystyle{x=1}

Είναι \displaystyle{f(1)=4}

\displaystyle{\begin{aligned}\lim_{x\to 1^{-}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}&=\lim_{x\to 1^{-}}\frac{3x^2-5x+6-4}{x-1}\\&=\lim_{x\to 1^{-}}\frac{3x^2-5x+2}{x-1}\\&=\lim_{x\to 1^{-}}\frac{3\left(x^2-\frac{5}{3}x+\frac{2}{3}\right)}{x-1}\\&=\lim_{x\to 1^{-}}\frac{3\left[\left(x-\frac{5}{6}\right)^2-\frac{1}{36}\right]}{x-1}\\&=\lim_{x\to 1^{-}}\frac{(3x-2)(x-1)}{x-1}\\&=\lim_{x\to 1^{-}}\left(3x-2\right)\\&=1\end{aligned}}

Για \displaystyle{x>1} είναι,

\displaystyle{\begin{aligned}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}&=\frac{2\sqrt{x^2+3}-4}{x-1}\\&=\frac{\left(2\sqrt{x^2+3}-4\right)\left(2\sqrt{x^2+3}+4\right)}{\left(x-1\right) \left(2\sqrt{x^2+3}+4\right)}\\&=\frac{4x^2+12-16}{\left(x-1\right) \left(2\sqrt{x^2+3}+4\right)}\\&=\frac{4\left(x-1\right) \left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(2\sqrt{x^2+3}+4\right)}\\&=\frac{4\left(x+1\right)}{2\sqrt{x^2+3}+4\right)}\end{aligned}}

Άρα, \displaystyle{\lim_{x\to 1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1^{+}}\frac{4\left(x+1\right)}{2\sqrt{x^2+3}+4\right)}=1}

Συνεπώς, η \displaystyle{f} είναι παραγωγίσιμη στο σημείο \displaystyle{x=1}

β)\displaystyle{\int_{1}^{2}\frac{x^3-5x^2+1}{x}\,dx=\int_{1}^{2}\left(x^2-5x+\frac{1}{x}\right)\,dx=\int_{1}^{2}d\left(\frac{x^3}{3}-\frac{5}{2}x^2+\ln x\right)=\left[\frac{x^3}{3}-\frac{5}{2}x^2+\ln x\right]_{1}^{2}=\ln 2-\frac{31}{6}}


Παπαπέτρος Ευάγγελος
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1353
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1988

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Πέμ Ιουν 20, 2013 3:16 pm

parmenides51 έγραψε:

4. α) Έστω \nu \in \mathbb{N} και \displaystyle{\nu>1}. Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{f} με f(x)={{x}^{\nu }}.
Να αποδείξετε ότι {f}'(x)=\nu {{x}^{\nu -1}} για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}}.
β) Έστω η συνάρτηση f με f(x)=3{{x}^{3}}-\alpha {{x}^{2}}+\beta x-3 όπου \displaystyle{\alpha, \beta \in \mathbb{R} }.
Εάν η \displaystyle{f} έχει τοπικά ακρότατα στα {{x}_{1}}=1 και \displaystyle{{{x}_{2}}=-\frac{5}{9}} τότε να βρεθούν οι αριθμοί \displaystyle{\alpha, \beta}.
α)Για κάθε \displaystyle{x\in\mathbb{R}} είναι

\displaystyle{\begin{aligned}f^\prime(x)&=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{\left(x+h\right)^{\nu}-x^{\nu}}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{\left(x+h-x\right)\left[\left(x+h\right)^{\nu-1}+\left(x+h\right)^{\nu-2}\cdot x+...+x^{\nu-1}\right]}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\left[\left(x+h\right)^{\nu-1}+\left(x+h\right)^{\nu-2}\cdot x+...+x^{\nu-1}\right]\\&=\nu\cdot x^{\nu-1}\end{aligned}}

β)Είναι \displaystyle{D(f)=\mathbb{R}}

Η \displaystyle{f} είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της ως πολυωνυμική, άρα, και στα σημεία \displaystyle{x_1=1\,\,,x_2=-\frac{5}{9}}

Επί, πλέον, η \displaystyle{f} παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία αυτά, οπότε, από το Θεώρημα του Fermat, έχουμε ότι

\displaystyle{f^\prime(x_1)=0=f^\prime(x_2)}

Για κάθε \displaystyle{x\in\mathbb{R}} είναι \displaystyle{f^\prime(x)=9x^2-2\alpha x+\beta}

Η \displaystyle{f^\prime} είναι ένα τριώνυμο με δύο άνισες και πραγματικές ρίζες, άρα, από τους τύπους Vieta παίρνουμε

\displaystyle{x_1+x_2=\frac{2\alpha}{9}} και \displaystyle{x_1\cdot x_2=\frac{\beta}{9}}

Έτσι, \displaystyle{\frac{2\alpha}{9}=\frac{4}{9}\Rightarrow \alpha=2} και \displaystyle{\frac{\beta}{9}=-\frac{5}{9}\Rightarrow \beta =-5}


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1988

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Σάβ Ιουν 22, 2013 5:07 pm

parmenides51 έγραψε:1. α) Θεωρούμε το σύστημα \left\{ \begin{matrix} 
	   {{\alpha }_{1}}x+{{\beta }_{1}}y={{\gamma }_{1}} \\  
	  {{\alpha }_{2}}x+{{\beta }_{2}}y={{\gamma }_{2}} \\  
	  {{\alpha }_{3}}x+{{\beta }_{3}}y={{\gamma }_{3}} \\  
	\end{matrix} \right..
Να αποδειχθεί ότι αν το σύστημα είναι συμβιβαστό τότε θα ισχύει \left| \begin{matrix} 
 {{\alpha }_{1}} & {{\beta }_{1}} & {{\gamma }_{1}}  \\ 
   {{\alpha }_{2}} & {{\beta }_{2}} & {{\gamma }_{2}}  \\ 
   {{\alpha }_{3}} & {{\beta }_{3}} & {{\gamma }_{3}}  \\ 
	\end{matrix} \right|=0
β) Να λυθεί το σύστημα \left\{ \begin{matrix} 
	   \,\,\,\,\,x-2y+2z=0 \\  
  \,\,\,\,\,2x-3y+z=0 \\  
	 -3x+2y+6z=0 \\  
	\end{matrix} \right.
α) θεωρία

β) Προσθέτoντας όλες τις εξισώσεις κατά μέλη προκύπτει \displaystyle{-3y+9z=0 \Leftrightarrow y=3z}

οπότε το σύστημα γίνεται \left\{ \begin{matrix} 
	   \,\,\,\,\,x-6z+2z=0 \\  
  \,\,\,\,\,2x-9z+z=0 \\  
	 -3x+6z+6z=0 \\  
	\end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{  \begin{matrix} 
	   \,\,\,\,\,x=4z \\  
  \,\,\,\,\,2x=8z\\  
	 -3x=-12z \\  
	\end{matrix} \right \Leftrightarrow  x=4z

οπότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής \displaystyle{(x,y,z)=(4z,3z,z)=(4a ,3a,a)} με \displaystyle{a \in \mathbb{R}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Δ' Δέσμη”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης