Δ' ΔΕΣΜΗ 1984
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Δ' ΔΕΣΜΗ 1984
1. Θεωρούμε τους πίνακες και ονομάζουμε τον πρώτο και το δεύτερο.
α) Να αποδείξετε ότι ισχύει όπου ο πίνακας
β) Να λύσετε την εξίσωση ()
2. α) Έστω το σύστημα () : με τους πραγματικούς αριθμούς.
Να αποδείξετε ότι αν ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος τότε το σύστημα έχει μία μόνο λύση.
β) Να λύσετε (και να διερευνήσετε) το σύστημα όπου πραγματικός αριθμός.
3. Έστω η πραγματική συνάρτηση της πραγματικής μεταβλητής με
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο των τιμών της
β) Να εξετάσετε την ως προς την μονοτονία σε καθένα από τα διαστήματα και
4. α) Έστω μια πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού της ένα υποσύνολο του ,
που περιέχει ένα ανοικτό διάστημα με και έστω ένα από τα άκρα του διαστήματος .
Τι εννοούμε όταν λέμε ότι η συνάρτηση f έχει όριο στο το και τι όταν λέμε ότι η συνάρτηση έχει όριο στο το ;
β) Έστω η πραγματική συνάρτηση της πραγματικής μεταβλητής με να βρείτε το .
α) Να αποδείξετε ότι ισχύει όπου ο πίνακας
β) Να λύσετε την εξίσωση ()
2. α) Έστω το σύστημα () : με τους πραγματικούς αριθμούς.
Να αποδείξετε ότι αν ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος τότε το σύστημα έχει μία μόνο λύση.
β) Να λύσετε (και να διερευνήσετε) το σύστημα όπου πραγματικός αριθμός.
3. Έστω η πραγματική συνάρτηση της πραγματικής μεταβλητής με
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο των τιμών της
β) Να εξετάσετε την ως προς την μονοτονία σε καθένα από τα διαστήματα και
4. α) Έστω μια πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού της ένα υποσύνολο του ,
που περιέχει ένα ανοικτό διάστημα με και έστω ένα από τα άκρα του διαστήματος .
Τι εννοούμε όταν λέμε ότι η συνάρτηση f έχει όριο στο το και τι όταν λέμε ότι η συνάρτηση έχει όριο στο το ;
β) Έστω η πραγματική συνάρτηση της πραγματικής μεταβλητής με να βρείτε το .
- Σ. Διονύσης
- Δημοσιεύσεις: 190
- Εγγραφή: Τρί Φεβ 19, 2013 5:17 pm
- Τοποθεσία: Milky Way,Orion Arm, Solar System, 3rd Planet(Earth)
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1984
1. Θεωρούμε τους πίνακες και ονομάζουμε τον πρώτο και το δεύτερο.
α) Να αποδείξετε ότι ισχύει όπου ο πίνακας
β) Να λύσετε την εξίσωση
α)
Έχουμε:
β)Αρκεί να λύσουμε την:
ή την:
Επομένως πρέπει:
,
My System:
Case:CoolerMaster HAF-X
CPU:i7-2600k @5.0GHz @1.43v
RAM:Corsair Dominator GT 32GB 2133MHz
GPU:ATI RADEON HD6990 4GB @950MHz @1450MHz
Mobo:GIGABYTE Z68X-UD7-B3
SSD:Corsair Force GS 240GB
HDD:WD Caviar Black 2TB
CPU cooler:CoolerMaster V10
Headphones:V-moda M100
Audio interface:RME Babyface
Case:CoolerMaster HAF-X
CPU:i7-2600k @5.0GHz @1.43v
RAM:Corsair Dominator GT 32GB 2133MHz
GPU:ATI RADEON HD6990 4GB @950MHz @1450MHz
Mobo:GIGABYTE Z68X-UD7-B3
SSD:Corsair Force GS 240GB
HDD:WD Caviar Black 2TB
CPU cooler:CoolerMaster V10
Headphones:V-moda M100
Audio interface:RME Babyface
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1984
Λύσηparmenides51 έγραψε:
3. Έστω η πραγματική συνάρτηση της πραγματικής μεταβλητής με
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο των τιμών της
β) Να εξετάσετε την ως προς την μονοτονία σε καθένα από τα διαστήματα και
α)Είναι
Για το σύνολο τιμών μπορούμε να εργαστούμε με δύο τρόπους
Πρώτος τρόπος
Για κάθε είναι
Παρατηρούμε ότι και, επί πλέον, ότι
Από τα παραπάνω έχουμε ότι
, όπου
Συνεπώς,
Δεύτερος τρόπος
Έστω .Τότε, υπάρχει τέτοιο,
ώστε , οπότε,
Έτσι,
Αντίστροφα τώρα, έστω
i)
Τότε, για το ισχύει , γεγονός που
αποδεικνύει ότι
ii)
Τότε, για το ισχύει , γεγονός που
αποδεικνύει ότι
Επομένως
Οι σχέσεις δίνουν
β)Έχει απαντηθεί στον πρώτο τρόπο του ερωτήματος α)
Παπαπέτρος Ευάγγελος
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1984
Βέβαια, ο συντομότερος τρόπος να βρεθεί το σύνολο τιμών είναι ο εξής:
Η συνάρτηση είναι φανερά περιττή στο πεδίο ορισμού της. Ας δουλέψουμε λοιπόν στο
Από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ είναι
και η ισότητα ισχύει για
Επίσης η συνάρτηση είναι συνεχής στο και άρα το
Τελικά, λόγω περιττότητας, το σύνολο τιμών είναι το
Η συνάρτηση είναι φανερά περιττή στο πεδίο ορισμού της. Ας δουλέψουμε λοιπόν στο
Από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ είναι
και η ισότητα ισχύει για
Επίσης η συνάρτηση είναι συνεχής στο και άρα το
Τελικά, λόγω περιττότητας, το σύνολο τιμών είναι το
Μάγκος Θάνος
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1984
α)Θεωρίαparmenides51 έγραψε:4. α) Έστω μια πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού της ένα υποσύνολο του ,
που περιέχει ένα ανοικτό διάστημα με και έστω ένα από τα άκρα του διαστήματος .
Τι εννοούμε όταν λέμε ότι η συνάρτηση f έχει όριο στο το και τι όταν λέμε ότι η συνάρτηση έχει όριο στο το ;
β) Έστω η πραγματική συνάρτηση της πραγματικής μεταβλητής με να βρείτε το .
β)Αφού έχουμε .
Συνεπώς .
Γιώργος Γαβριλόπουλος
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1984
α) θεωρίαparmenides51 έγραψε:2. α) Έστω το σύστημα () : με τους πραγματικούς αριθμούς.
Να αποδείξετε ότι αν ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος τότε το σύστημα έχει μία μόνο λύση.
β) Να λύσετε (και να διερευνήσετε) το σύστημα όπου πραγματικός αριθμός.
β)
Αν και , το σύστημα έχει μοναδική λύση
Για είναι , άρα το σύστημα γίνεται
οπότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις, όλα τα σημεία της ευθείας
δηλαδή έχει λύσεις με
Για είναι , άρα το σύστημα είναι αδύνατο
edit
διορθώθηκε η περίπτωση που έβγαινε αόριστο το σύστημα
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες