Δ' ΔΕΣΜΗ 1984

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Δ' ΔΕΣΜΗ 1984

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Παρ Ιουν 14, 2013 5:49 pm

1. Θεωρούμε τους πίνακες \displaystyle{\begin{bmatrix} 
\displaystyle \frac{\sigma \upsilon \nu x}{\sqrt{2}} & \displaystyle \frac{\eta \mu x}{\sqrt{2}} \\  
& \\  
 \displaystyle \frac{\eta \mu x}{\sqrt{2}}   & \displaystyle \frac{\sigma \upsilon \nu x}{\sqrt{2}} 
\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 
\displaystyle \frac{\sigma \upsilon \nu x}{\sqrt{2}} & \displaystyle -\frac{\eta \mu x}{\sqrt{2}}  \\  
& \\ 
 \displaystyle -\frac{\eta \mu x}{\sqrt{2}}   & \displaystyle \frac{\sigma \upsilon \nu x}{\sqrt{2}} 
\end{bmatrix}} και ονομάζουμε \displaystyle{H(x)} τον πρώτο και \displaystyle{\Sigma(x)} το δεύτερο.
α) Να αποδείξετε ότι ισχύει {{H}^{2}}(x)+{{\Sigma }^{2}}(x)=I όπου \displaystyle{I} ο πίνακας \displaystyle{I=\begin{bmatrix} 
1 & 0\\  
0 & 1 
\end{bmatrix}}
β) Να λύσετε την εξίσωση \displaystyle{{\Sigma }^{2}}(x)-{{H}^{2}}(x)=\begin{bmatrix} 
0 & 0\\  
0 & 0 
\end{bmatrix}} (\displaystyle{x\in \mathhb{R}})


2. α) Έστω το σύστημα (\displaystyle{\Sigma}) : \displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
{{\alpha }_{1}}x+{{\beta }_{1}}\psi ={{\gamma }_{1}} \\  
{{\alpha }_{2}}x+{{\beta }_{2}}\psi ={{\gamma }_{2}}  
\end{matrix}\right.} με τους {{\alpha }_{1}},{{\beta }_{1}},{{\gamma }_{1}},{{\alpha }_{2}},{{\beta }_{2}},{{\gamma }_{2}} πραγματικούς αριθμούς.
Να αποδείξετε ότι αν ο πίνακας \displaystyle{\begin{bmatrix} 
\alpha_1 & \beta_1\\  
 \alpha_2 & \beta_2  
\end{bmatrix}} είναι αντιστρέψιμος τότε το σύστημα έχει μία μόνο λύση.
β) Να λύσετε (και να διερευνήσετε) το σύστημα \displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
(\lambda +1)x-2(\lambda -1)\psi =3  \\  
x+3\lambda \psi =4\lambda +5   
\end{matrix}\right.} όπου \displaystyle{\lambda} πραγματικός αριθμός.


3. Έστω η πραγματική συνάρτηση \psi της πραγματικής μεταβλητής \displaystyle{x} με \displaystyle{\psi (x)=x+\frac{4}{x}}
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο των τιμών της \psi
β) Να εξετάσετε την \displaystyle{\psi } ως προς την μονοτονία σε καθένα από τα διαστήματα (0,2] και [2,+\infty )


4. α) Έστω μια πραγματική συνάρτηση \displaystyle{f} με πεδίο ορισμού της \displaystyle{A} ένα υποσύνολο του \displaystyle{\mathbb{R}} ,
που περιέχει ένα ανοικτό διάστημα \displaystyle{(\alpha,\beta)} με \displaystyle{\alpha,\beta\in\mathbb{R}} και έστω \displaystyle{{{x}_{0}}} ένα από τα άκρα του διαστήματος \displaystyle{(\alpha,\beta)}.
Τι εννοούμε όταν λέμε ότι η συνάρτηση f έχει όριο στο {{x}_{0}} το +\infty και τι όταν λέμε ότι η συνάρτηση \displaystyle{f} έχει όριο στο {{x}_{0}} το -\infty;
β) Έστω η πραγματική συνάρτηση της πραγματικής μεταβλητής \displaystyle{x} με \displaystyle{\psi (x)=\frac{2x-10}{5-\sqrt{5x}}} να βρείτε το \displaystyle{\lim_{x\to 5}\psi (x)}.


Άβαταρ μέλους
Σ. Διονύσης
Δημοσιεύσεις: 190
Εγγραφή: Τρί Φεβ 19, 2013 5:17 pm
Τοποθεσία: Milky Way,Orion Arm, Solar System, 3rd Planet(Earth)

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1984

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σ. Διονύσης » Παρ Ιουν 14, 2013 6:19 pm

1. Θεωρούμε τους πίνακες \displaystyle{\begin{bmatrix} \displaystyle \frac{\sigma \upsilon \nu x}{\sqrt{2}} & \displaystyle \frac{\eta \mu x}{\sqrt{2}} \\ & \\ \displaystyle \frac{\eta \mu x}{\sqrt{2}} & \displaystyle \frac{\sigma \upsilon \nu x}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \displaystyle \frac{\sigma \upsilon \nu x}{\sqrt{2}} & \displaystyle -\frac{\eta \mu x}{\sqrt{2}} \\ & \\ \displaystyle -\frac{\eta \mu x}{\sqrt{2}} & \displaystyle \frac{\sigma \upsilon \nu x}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}} και ονομάζουμε \displaystyle{H(x)} τον πρώτο και \displaystyle{\Sigma(x)} το δεύτερο.
α) Να αποδείξετε ότι ισχύει {{H}^{2}}(x)+{{\Sigma }^{2}}(x)=I όπου\displaystyle{I} ο πίνακας \displaystyle{I=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}}
β) Να λύσετε την εξίσωση \displaystyle{{\Sigma }^{2}}(x)-{{H}^{2}}(x)=\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}} (\displaystyle{x\in \mathhb{R}})

α)

Έχουμε:


\displaystyle{\frac{1}{2}\begin{bmatrix}\displaystyle{cosx & sinx}\\ & \\ \displaystyle{sinx & cosx}\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}\displaystyle{cosx & sinx}\\ & \\ \displaystyle{sinx & cosx}\end{bmatrix} + \frac{1}{2}\begin{bmatrix}\displaystyle{cosx & -sinx}\\ & \\ \displaystyle{-sinx & cosx}\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}\displaystyle{cosx & -sinx}\\ & \\ \displaystyle{-sinx & cosx}\end{bmatrix}=}


\displaystyle{=\frac{1}{2}\left[\begin{bmatrix}\displaystyle{cosx & sinx}\\ & \\ \displaystyle{sinx & cosx}\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}\displaystyle{cosx & sinx}\\ & \\ \displaystyle{sinx & cosx}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\displaystyle{cosx & -sinx}\\ & \\ \displaystyle{-sinx & cosx}\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}\displaystyle{cosx & -sinx}\\ & \\ \displaystyle{-sinx & cosx}\end{bmatrix}\right]=}


\displaystyle{=\frac{1}{2}\left[\begin{bmatrix}\displaystyle{1 & sin2x}\\ & \\ \displaystyle{sin2x & 1}\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}\displaystyle{1 & -sin2x}\\ & \\ \displaystyle{-sin2x & 1}\end{bmatrix}\right]=}


\displaystyle{=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}\displaystyle{2 & 0}\\ & \\ \displaystyle{0 & 2}\end{bmatrix}=I}

β)Αρκεί να λύσουμε την:

\displaystyle{\Sigma^{2}(x)-H^{2}(x)=\begin{bmatrix}\displaystyle{0 & 0}\\ & \\ \displaystyle{0 & 0}\end{bmatrix}}

ή την:

\displaystyle{H^{2}(x)-\Sigma^{2}(x)=\begin{bmatrix}\displaystyle{0 & 0}\\ & \\ \displaystyle{0 & 0}\end{bmatrix}}


\displaystyle{\frac{1}{2}\left[\begin{bmatrix}\displaystyle{1 & sin2x}\\ & \\ \displaystyle{sin2x & 1}\end{bmatrix}- \begin{bmatrix}\displaystyle{1 & -sin2x}\\ & \\ \displaystyle{-sin2x & 1}\end{bmatrix}\right]=\begin{bmatrix}\displaystyle{0 & 0}\\ & \\ \displaystyle{0 & 0}\end{bmatrix}}


\displaystyle{\begin{bmatrix}\displaystyle{1 & sin2x}\\ & \\ \displaystyle{sin2x & 1}\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}\displaystyle{-1 & sin2x}\\ & \\ \displaystyle{sin2x & -1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\displaystyle{0 & 0}\\ & \\ \displaystyle{0 & 0}\end{bmatrix}}


\displaystyle{\begin{bmatrix}\displaystyle{0 & 2sin2x}\\ & \\ \displaystyle{2sin2x & 0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\displaystyle{0 & 0}\\ & \\ \displaystyle{0 & 0}\end{bmatrix}}

Επομένως πρέπει:

\displaystyle{2sin2x=0\Leftrightarrow x=\frac{k}{2}\cdot \pi} , k\in\mathbb{Z}


My System:
Case:CoolerMaster HAF-X
CPU:i7-2600k @5.0GHz @1.43v
RAM:Corsair Dominator GT 32GB 2133MHz
GPU:ATI RADEON HD6990 4GB @950MHz @1450MHz
Mobo:GIGABYTE Z68X-UD7-B3
SSD:Corsair Force GS 240GB
HDD:WD Caviar Black 2TB
CPU cooler:CoolerMaster V10
Headphones:V-moda M100
Audio interface:RME Babyface
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1395
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1984

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Παρ Ιουν 14, 2013 10:01 pm

parmenides51 έγραψε:

3. Έστω η πραγματική συνάρτηση \psi της πραγματικής μεταβλητής \displaystyle{x} με \displaystyle{\psi (x)=x+\frac{4}{x}}
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο των τιμών της \psi
β) Να εξετάσετε την \displaystyle{\psi } ως προς την μονοτονία σε καθένα από τα διαστήματα (0,2] και [2,+\infty )

Λύση

α)Είναι \displaystyle{D\left(\psi\right)=\mathbb{R}-\left\{0\right\}}

Για το σύνολο τιμών μπορούμε να εργαστούμε με δύο τρόπους

Πρώτος τρόπος

Για κάθε \displaystyle{x\neq 0} είναι

\displaystyle{\psi^\prime(x)=1-\frac{4}{x^2}\,\,,\psi''(x)=\frac{8}{x^3}}

Παρατηρούμε ότι \displaystyle{\psi^\prime(-2)=\psi^\prime(2)=0}\,\,,\psi''(-2)=-1<0\,\,,\psi''(2)=1>0} και, επί πλέον, ότι

\displaystyle{\forall x\in\left(-\infty,-2\right)\cup\left(2,+\infty\right):\psi^\prime(x)>0\,\,\,,\forall x\in\left(-2,0\right)\cup\left(0,2\right):\psi^\prime(x)<0}

Από τα παραπάνω έχουμε ότι

\displaystyle{f\left(D\left(\psi\right)\right)=\left(\lim_{x\to -\infty}\psi(x),\psi(-2)\right]\cup\left(\lim_{x\to 0^{-}}\psi(x),\psi(-2)\right]\left[\psi(2),\lim_{x\to 0^{+}}\psi(x)\right)\cup\left[\psi(2),\lim_{x\to +\infty}\psi(x)\right), όπου

\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}\psi(x)=\lim_{x\to -\infty}\left(x+\frac{4}{x}\right)=-\infty}

\displaystyle{\psi(-2)=-4\,\,,\psi(2)=4}

\displaystyle{\lim_{x\to 0^{-}}\psi(x)=\lim_{x\to 0^{-}}\left(x+\frac{4}{x}\right)=-\infty\,\,\,,\lim_{x\to 0^{+}}\psi(x)=\lim_{x\to 0^{+}}\left(x+\frac{4}{x}\right)=+\infty}

\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}\psi(x)=\lim_{x\to +\infty}\left(x+\frac{4}{x}\right)=+\infty}

Συνεπώς, \displaystyle{f\left(D\left(\psi\right)\right)=\left(-\infty,-4\right]\cup\left(-\infty,-4\right]\cup\left[4,+\infty\right)\cup\left[4,+\infty\right)=\left(-\infty,-4\right]\cup\left[4,+\infty\right)}

Δεύτερος τρόπος

Έστω \displaystyle{y\in f\left(D\left(\psi\right)\right)}.Τότε, υπάρχει \displaystyle{x\in D\left(\psi\right)=\mathbb{R}-\left\{0\right\}} τέτοιο,

ώστε \displaystyle{\psi(x)=y, οπότε,

\displaystyle{x+\frac{4}{x}=y\Rightarrow x^2+4=xy\Rightarrow x^2-xy=-4\Rightarrow \left(x-\frac{y}{2}\right)^2=\frac{y^2}{4}-4\Rightarrow \frac{y^2}{4}\geq 4\Rightarrow y^2\geq 16 \Rightarrow y\in\left(-\infty,-4\right]\cup\left[4,+\infty\right)}

Έτσι, \displaystyle{D\left(\psi\right)\subset \left(-\infty,-4\right]\cup\left[4,+\infty\right)\,\,(I)}

Αντίστροφα τώρα, έστω \displaystyle{z\in\left(-\infty,-4\right]\cup\left[4,+\infty\right)}

i)\displaystyle{z\in\left(-\infty,-4\right]}

Τότε, για το \displaystyle{0>x=\frac{z}{2}-\frac{\sqrt{z^2-16}}{2}\in D\left(\psi\right)} ισχύει \displaystyle{\psi(x)=z}, γεγονός που

αποδεικνύει ότι \displaystyle{z\in f\left(D\left(\psi\right)\right)}

ii)\displaystyle{z\in\left[4,+\infty\right)}

Τότε, για το \displaystyle{0<x=\frac{z}{2}+\frac{\sqrt{z^2-16}}{2}\in D\left(\psi\right)} ισχύει \displaystyle{\psi(x)=z}, γεγονός που

αποδεικνύει ότι \displaystyle{z\in f\left(D\left(\psi\right)\right)}

Επομένως \displaystyle{\left(-\infty,-4\right]\cup\left[4,+\infty\right)\subset f\left(D\left(\psi\right)\right)\,\,(II)}

Οι σχέσεις \displaystyle{(I)\,\,\kappa \alpha \iota\,\, (II)} δίνουν \displaystyle{f\left(D\left(\psi\right)\right)=\left(-\infty,-4\right]\cup\left[4,+\infty\right)}

β)Έχει απαντηθεί στον πρώτο τρόπο του ερωτήματος α)


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6260
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1984

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Παρ Ιουν 14, 2013 10:21 pm

Βέβαια, ο συντομότερος τρόπος να βρεθεί το σύνολο τιμών είναι ο εξής:

Η συνάρτηση είναι φανερά περιττή στο πεδίο ορισμού της. Ας δουλέψουμε λοιπόν στο \displaystyle{(0,+\infty).}

Από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ είναι

\displaystyle{y\geq 2\sqrt{x\cdot \frac{4}{x}}=4} και η ισότητα ισχύει για \displaystyle{x=2.}

Επίσης η συνάρτηση είναι συνεχής στο \displaystyle{(0,+\infty)} και \displaystyle{\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty ,} άρα το

\displaystyle{f(0,+\infty)=[4,+\infty ).}

Τελικά, λόγω περιττότητας, το σύνολο τιμών είναι το

\displaystyle{(-\infty ,-4]\cup [4,+\infty ).}


Μάγκος Θάνος
gavrilos
Δημοσιεύσεις: 1034
Εγγραφή: Παρ Δεκ 07, 2012 4:11 pm

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1984

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gavrilos » Τετ Ιουν 19, 2013 3:59 pm

parmenides51 έγραψε:4. α) Έστω μια πραγματική συνάρτηση \displaystyle{f} με πεδίο ορισμού της \displaystyle{A} ένα υποσύνολο του \displaystyle{\mathbb{R}} ,
που περιέχει ένα ανοικτό διάστημα \displaystyle{(\alpha,\beta)} με \displaystyle{\alpha,\beta\in\mathbb{R}} και έστω \displaystyle{{{x}_{0}}} ένα από τα άκρα του διαστήματος \displaystyle{(\alpha,\beta)}.
Τι εννοούμε όταν λέμε ότι η συνάρτηση f έχει όριο στο {{x}_{0}} το +\infty και τι όταν λέμε ότι η συνάρτηση \displaystyle{f} έχει όριο στο {{x}_{0}} το -\infty;
β) Έστω η πραγματική συνάρτηση της πραγματικής μεταβλητής \displaystyle{x} με \displaystyle{\psi (x)=\frac{2x-10}{5-\sqrt{5x}}} να βρείτε το \displaystyle{\lim_{x\to 5}\psi (x)}.
α)Θεωρία

β)Αφού \displaystyle{x\neq 5} έχουμε \displaystyle{\psi (x)=\frac{2(x-5)}{5-\sqrt{5x}}=\frac{2(x-5)(5+\sqrt{5x})}{25-5x}=\frac{2(x-5)(5+\sqrt{5x})}{-5(x-5)}=\frac{2(5+\sqrt{5x})}{-5}}.

Συνεπώς \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 5} \psi (x)=\lim_{x\rightarrow 5} \frac{2(5+\sqrt{5x})}{-5}=\frac{2\cdot 10}{-5}=-4}.


Αν τα γεγονότα δεν συμφωνούν με τη θεωρία, τότε αλίμονο στα γεγονότα.

Albert Einstein
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1984

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Πέμ Ιουν 20, 2013 10:45 am

parmenides51 έγραψε:2. α) Έστω το σύστημα (\displaystyle{\Sigma}) : \displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
{{\alpha }_{1}}x+{{\beta }_{1}}\psi ={{\gamma }_{1}} \\  
{{\alpha }_{2}}x+{{\beta }_{2}}\psi ={{\gamma }_{2}}  
\end{matrix}\right.} με τους {{\alpha }_{1}},{{\beta }_{1}},{{\gamma }_{1}},{{\alpha }_{2}},{{\beta }_{2}},{{\gamma }_{2}} πραγματικούς αριθμούς.
Να αποδείξετε ότι αν ο πίνακας \displaystyle{\begin{bmatrix} 
\alpha_1 & \beta_1\\  
 \alpha_2 & \beta_2  
\end{bmatrix}} είναι αντιστρέψιμος τότε το σύστημα έχει μία μόνο λύση.
β) Να λύσετε (και να διερευνήσετε) το σύστημα \displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
(\lambda +1)x-2(\lambda -1)\psi =3  \\  
x+3\lambda \psi =4\lambda +5   
\end{matrix}\right.} όπου \displaystyle{\lambda} πραγματικός αριθμός.
α) θεωρία

β) \displaystyle{D=\begin{vmatrix} 
\lambda +1 & -2(\lambda -1)\\  
 1 & 3\lambda  
\end{vmatrix}=3\lambda(\lambda +1)+1\cdot 2(\lambda -1)}
\displaystyle{=3\lambda^2+3\lambda +2\lambda-2=3\lambda^2+5\lambda- 2=(3\lambda-1)(\lambda+2)}}

\displaystyle{D_x=\begin{vmatrix} 
3 & -2(\lambda -1)\\  
 4\lambda+5 & 3\lambda  
\end{vmatrix}=3\cdot 3 \lambda+1 (4\lambda+5 )\cdot 2(\lambda -1)=}
\displaystyle{=9\lambda+8\lambda^2- 8\lambda+10\lambda-10=8\lambda^2+11\lambda-10=(8\lambda-5)(\lambda+2)}}

\displaystyle{D_y=\begin{vmatrix} 
\lambda +1 & 3\\  
 1 & 4\lambda+5  
\end{vmatrix}=(\lambda+1)(4\lambda +5)-1\cdot 3}
\displaystyle{=4\lambda^2+5\lambda+4\lambda+5 -3=4\lambda^2+9\lambda+2=(4\lambda+1)(\lambda+2)}

\displaystyle{\bullet} Αν \displaystyle{D\ne 0 \Leftrightarrow (3\lambda-1)(\lambda+2)\ne 0 \Leftrightarrow \lambda\ne-2} και \displaystyle{\lambda\ne\frac{1}{3}}, το σύστημα έχει μοναδική λύση

\displaystyle{(x,y)=\left(\frac{D_x}{D},\frac{D_y}{D}\right)=\left(\frac{(8\lambda-5)(\lambda+2)}{(3\lambda-1)(\lambda+2)},\frac{(4\lambda+1)(\lambda+2)}{(3\lambda-1)(\lambda+2)}\right)=\left(\frac{8\lambda-5}{3\lambda-1},\frac{4\lambda+1}{3\lambda-1}\right)}


\displaystyle{\bullet} Για \displaystyle{\lambda=-2} είναι \displaystyle{D=0, D_x=D_y=0} , άρα το σύστημα γίνεται

\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
(-2 +1)x-2(-2 -1)y=3  \\  
x+3(-2)y =4(-2) +5   
\end{matrix}\right}\Leftrightarrow } \displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
-x+6y=3  \\  
x-6y =-3   
\end{matrix}\right}\Leftrightarrow x-6y =-3 \Leftrightarrow x=6y-3}

οπότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις, όλα τα σημεία \displaystyle{(x,y)} της ευθείας \displaystyle{x=6y-3}

δηλαδή έχει λύσεις \displaystyle{(x,y)=(6y-3,y)=(6k-3,k)} με \displaystyle{k\in \mathbb{R}}


\displaystyle{\bullet} Για \displaystyle{\lambda=\frac{1}{3}} είναι \displaystyle{D=0, D_x\ne 0} , άρα το σύστημα είναι αδύνατο


edit
διορθώθηκε η περίπτωση που έβγαινε αόριστο το σύστημα


Απάντηση

Επιστροφή σε “Δ' Δέσμη”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες