Δ' ΔΕΣΜΗ 1983

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Δ' ΔΕΣΜΗ 1983

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τρί Ιουν 11, 2013 4:01 pm

Συνεχίζω να προτείνω για να έχουμε λυμένες στο μέλλον στο :logo: τις ασκήσεις από τα παλιότερα θέματα των εξετάσεων,
όλα τα θέματα συγκεντρώνονται στο Ευρετήριο Θεμάτων Πανελλαδικών Εξετάσεων.


1. α) Να αποδειχθεί ότι η τετμημένη καθώς και η τεταγμένη του αθροίσματος \vec{\alpha }+\vec{\beta } δυο διανυσμάτων \vec{\alpha },\vec{\beta } ισούται με το άθροισμα των τετμημένων και αντίστοιχα των τεταγμένων των διανυσμάτων \vec{\alpha },\vec{\beta }.
β) Να βρεθεί η εξίσωση ευθείας \displaystyle{(\varepsilon)} που διέρχεται από το σημείο \displaystyle{M(1,-1)} και είναι παράλληλη προς την ευθεία με εξίσωση 5x-9y+12=0.



2. α) Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε μια θέση {{x}_{0}} του πεδίου ορισμού της ;
β) Να εξετάσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις με τύπους
i) \displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} 
\displaystyle\frac{4x^2-9x+2}{x-2} &, x\in\mathbb{R}-\{2\} \\  
7 &  , x=2 
\end{matrix}\right}} στη θέση {{x}_{0}}=2
ii) \displaystyle{g(x)=\left\{\begin{matrix} 
x &, x\ge 0 \\  
\displaystyle\frac{1}{x} &  , x<0 
\end{matrix}\right}} στη θέση {{x}_{0}}=0


3. α) Δίνεται συνάρτηση \displaystyle{f} ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής ({{x}_{0}}-\varepsilon ,{{x}_{0}}+\varepsilon ).
i) Να αναφέρετε τι λέγεται παράγωγος της συνάρτησης \displaystyle{f} στο σημείο {{x}_{0}}
ii) Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας της εφαπτομένης σε ένα σημείο M({{x}_{0}},f({{x}_{0}})) της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης με τύπο y=f(x).
β) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που εφάπτεται στο σημείο \displaystyle{(1,1)} της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τύπο y={{x}^{3}}.



4. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f(x)={{x}^{2}}-\left| x \right|-2 . Να γίνει μελέτη και πρόχειρη γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής.


Άβαταρ μέλους
Christos75
Δημοσιεύσεις: 421
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
Τοποθεσία: Athens
Επικοινωνία:

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1983

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos75 » Τετ Ιουν 12, 2013 12:20 am

1.
α) Να αποδειχθεί ότι η τετμημένη καθώς και η τεταγμένη του αθροίσματος \vec{\alpha }+\vec{\beta } δυο διανυσμάτων \vec{\alpha },\vec{\beta } ισούται με το άθροισμα των τετμημένων και αντίστοιχα των τεταγμένων των διανυσμάτων \vec{\alpha },\vec{\beta }.
β) Να βρεθεί η εξίσωση ευθείας \displaystyle{(\varepsilon)} που διέρχεται από το σημείο \displaystyle{M(1,-1)} και είναι παράλληλη προς την ευθεία με εξίσωση 5x-9y+12=0.



α) Είναι θεωρία.

β) Η ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση (\eta ): y-y_{m}=k(x-x_{m}) όπου k ο συντελεστής διεύθυνσης αυτής. Κατά συνέπεια,
αφού η ζητούμενη ευθεία είναι παράλληλα στην δοσμένη τότε k=\frac{5}{9} .
Oπότε, η ζητούμενη ευθεία είναι: y-(-1)=\frac{5}{9}(x-1) ή y+1=\frac{5}{9}(x-1) ή τελικά : (\eta ):  5x-9y-14=0


Χρήστος Λοΐζος
Άβαταρ μέλους
Christos75
Δημοσιεύσεις: 421
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
Τοποθεσία: Athens
Επικοινωνία:

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1983

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos75 » Τετ Ιουν 12, 2013 12:52 am

3. α) Δίνεται συνάρτηση \displaystyle{f} ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής ({{x}_{0}}-\varepsilon ,{{x}_{0}}+\varepsilon ).
i) Να αναφέρετε τι λέγεται παράγωγος της συνάρτησης \displaystyle{f} στο σημείο {{x}_{0}}
ii) Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας της εφαπτομένης σε ένα σημείο M({{x}_{0}},f({{x}_{0}})) της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης με τύπο y=f(x).
β) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που εφάπτεται στο σημείο \displaystyle{(1,1)} της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τύπο y={{x}^{3}}.


i) Θεωρία.

ii) Η εξίσωση εφαπτομένης σ'ενα σημείο της M(x_{0},y_{0}) γραφικής παράστασης f δίνεται από τον τύπο: y-f(x_{0})=f'(x_{0})(x-x_{0}).

iii) Σύμφωνα με τη παραπάνω θεωρία του ερωτήματος ii) έχουμε για την εξίσωση εφαπτομένης της f(x)=x^{3} :

y-f(1)=f'(1)(x-1) δηλαδή: y-1=3.1^{2}(x-1) και ύστερα από πράξεις προκύπτει ότι η ζητούμενη εξίσωση είναι: (\varepsilon) 3x-y-2=0

Εννοείται ότι f'(x)=(x^{3})'=3x^{2}.


Χρήστος Λοΐζος
Άβαταρ μέλους
Christos75
Δημοσιεύσεις: 421
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
Τοποθεσία: Athens
Επικοινωνία:

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1983

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos75 » Τετ Ιουν 12, 2013 1:39 am

2. α) Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε μια θέση {{x}_{0}} του πεδίου ορισμού της ;
β) Να εξετάσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις με τύπους
i) \displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} 
\displaystyle\frac{4x^2-9x+2}{x-2} &, x\in\mathbb{R}-\{2\} \\  
7 &  , x=2 
\end{matrix}\right}} στη θέση {{x}_{0}}=2
ii) \displaystyle{g(x)=\left\{\begin{matrix} 
x &, x\ge 0 \\  
\displaystyle\frac{1}{x} &  , x<0 
\end{matrix}\right}} στη θέση {{x}_{0}}=0


Θε μελετήσουμε την συνέχεια σε καθεμία από τις δοσμένες συναρτήσεις.
Αρχικά για την συνάρτηση f θα έχουμε:

Για κάθε x\in \mathbb{R}-\left \{ 2 \right \} θα έχουμε
\displaystyle{f(x)=\frac{4x^{2}-9x+2}{x-2}}. Στο τριώνυμο που βρίσκεται στον αριθμητή υπολογίζουμε την διακρίνουσα: D=b^{2}-4ac=(-9)^{2}-4.4.2=81-32=49>0
Συνεπώς: x_{1}=\frac{1}{4} και x_{2}=2. Άρα το η f γίνεται τελικά παραγοντοποιώντας το τριώνυμο: \displaystyle{f(x)=\frac{4(x-\frac{1}{4})(x-2)}{x-2}}
Δηλαδή : \displaystyle{f(x)=4(x-\frac{1}{4})}
Άρα: \lim f(x)=\lim4(x-\frac{1}{4})=7=f(2) καθώς x\rightarrow 2
Συνεπώς, η f είναι συνεχής συνάρτηση αφού στο υπόλοιπο διάστημα είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων.

Εξετάζουμε τώρα την συνάρτηση g με πιθανό σημείο ασυνέχειας το 0.

\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)= \lim_{x\rightarrow 0^{+}}(x)=0=f(0)
\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)= \lim_{x\rightarrow 0^{-}}(\frac{1}{x})=apeiro \neq f(0)

Άρα λοιπόν ισχύει: \lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)\neq  \lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x) οπότε, η g δεν είναι συνεχής στο 0.


Χρήστος Λοΐζος
orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1322
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1983

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Τρί Ιουν 25, 2013 4:55 pm

parmenides51 έγραψε:4. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f(x)={{x}^{2}}-\left| x \right|-2 . Να γίνει μελέτη και πρόχειρη γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής.
Είναι \displaystyle{f(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   {{x}^{2}}-x-2, & x\ge 0  \\ 
   {} & {}  \\ 
   {{x}^{2}}+x-2 & x\le 0  \\ 
\end{matrix} \right.}, με \displaystyle{f} συνεχή στο \displaystyle{\mathbb{R}} (πράξεις συνεχών) και

\displaystyle{\left( {f}'(x)=0,\,\,\,x>0 \right)\Leftrightarrow \left( 2x-1=0,\,\,\,x>0 \right)\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}}

Είναι \displaystyle{\left( {f}'(x)>0,\,\,\,x>0 \right)\Leftrightarrow x>\frac{1}{2}}, άρα η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο \displaystyle{\left[ 0,\,\,\frac{1}{2} \right]}

και γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{\left[ \frac{1}{2},\,\,+\infty  \right)} παρουσιάζοντας τοπικό μέγιστο το \displaystyle{f\left( 0 \right)=-2} και ελάχιστο το \displaystyle{f\left( \frac{1}{2} \right)=-\frac{9}{4}} στο \displaystyle{\left[ 0,\,\,+\infty  \right)}.

Για \displaystyle{x<0\Rightarrow {f}'(x)=2x+1\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,{f}'(x)=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}}, οπότε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο \displaystyle{\left( -\infty ,\,\,-\frac{1}{2} \right]} και γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{\left[ -\frac{1}{2},\,\,0 \right]} παρουσιάζοντας τοπικό μέγιστο το \displaystyle{f\left( 0 \right)=-2}, ενώ στο \displaystyle{-\frac{1}{2}} έχει ελάχιστο το \displaystyle{f\left( -\frac{1}{2} \right)=-\frac{9}{4}} στο \displaystyle{\left( -\infty ,\,\,0 \right]}.

Παρατηρούμε ότι έχει ελάχιστη τιμή στο πεδίο ορισμού της τον αριθμό \displaystyle{-\frac{9}{4}}.

Είναι για \displaystyle{x<0,\,\,\,\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{x\left( x+1 \right)}{x}=x+1\Rightarrow \underset{x\to {{0}^{\,-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=1}, ενώ για

\displaystyle{x>0,\,\,\,\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{x\left( x-1 \right)}{x}=x-1\Rightarrow \underset{x\to {{0}^{\,+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=-1}, άρα η συνάρτηση δεν παραγωγίζεται στο μηδέν.

Επίσης \displaystyle{{{f}'}'(x)=2,\,\,\,x\in \left( -\infty ,\,\,0 \right)\cup \left( 0,\,\,+\infty  \right)\Rightarrow f} κυρτή σε κάθε ένα από τα \displaystyle{\left( -\infty ,\,\,0 \right],\,\,\,\left[ 0,\,\,+\infty  \right)}.

Ακόμη για \displaystyle{x<0\Rightarrow f(x)=x\left( x+1-\frac{2}{x} \right)\Rightarrow \underset{x\to -\,\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty } και \displaystyle{x>0\Rightarrow f(x)=x\left( x-1-\frac{2}{x} \right)\Rightarrow \underset{x\to +\,\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty }.

Ασύμπτωτες: Επειδή η συνάρτηση είναι δευτέρου βαθμού σε κάθε ένα από τα \displaystyle{\left( -\infty ,\,\,0 \right],\,\,\,\left[ 0,\,\,+\infty  \right)}, δεν έχει ασύμπτωτες στα \displaystyle{-\infty ,\,\,\,+\infty }.

Μετά από τα παραπάνω έχουμε την ακόλουθη γραφική παράσταση:
4o(Δ)1983.PNG
4o(Δ)1983.PNG (9.25 KiB) Προβλήθηκε 1192 φορές
Ευχαριστώ τον κύριο Παρμενίδη που μου υπενθύμισε την παράλειψη των ασύμπτωτων.


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1983

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Δευ Ιούλ 01, 2013 12:06 am

parmenides51 έγραψε:4. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f(x)={{x}^{2}}-\left| x \right|-2 . Να γίνει μελέτη και πρόχειρη γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής.
διαφορετικά

f(x)={{x}^{2}}-\left| x \right|-2==\left\{\begin{matrix} 
x^2-x-2 & , x\ge 0 \\  
x^2-(-x)-2 & , x <0 
\end{matrix}\right}=\left\{\begin{matrix} 
x^2-x-2 & , x\ge 0 \\  
x^2+x-2 & , x <0 
\end{matrix}\right}}

οπότε σχεδιάζουμε δυο παραβολές,
μια για μη αρνητικές τιμές του \displaystyle{x}, την \displaystyle{y_1=x^2-x-2} στο \displaystyle{[0,+\infty)}
μια για αρνητικές τιμές του \displaystyle{x}, την \displaystyle{y_2=x^2-x-2} στο \displaystyle{(-\infty,0)} (προφανώς στο μηδέν οι παραβολές τέμνονται)
η ένωση των δυο αυτών γραφικών παραστάσεων είναι η ζητούμενη γραφική παράσταση


Απάντηση

Επιστροφή σε “Δ' Δέσμη”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες