A' ΔΕΣΜΗ 1999
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
A' ΔΕΣΜΗ 1999
1. α) Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση παρουσιάζει στο εσωτερικό σημείο του διαστήματος
τοπικό ακρότατο και είναι παραγωγίσιμη στο τότε .
β) Δίνεται συνάρτηση δυο φορές παραγωγίσιμη η οποία σε σημείο παρουσιάζει τοπικό ακρότατο το
και ικανοποιεί τη σχέση για κάθε .
i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι κυρτή στο .
ii) Να αποδείξετε ότι είναι για κάθε .
2. α) Έστω ο μιγαδικός αριθμός
i) Να αποδείξετε ότι στο μιγαδικό επίπεδο ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που είναι τέτοια ώστε είναι κύκλος.
Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου αυτού.
ii) Έστω η αρχή των αξόνων του μιγαδικού επιπέδου και είναι οι δυο εφαπτόμενες που άγονται από το προς τον παραπάνω κύκλο.
Να βρείτε τις συντεταγμένες των δυο σημείων επαφής .
β) Έστω δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα και έστω κύκλος με κέντρο και ακτίνα .
Θεωρούμε τα ενδεχόμενα :
το σημείο είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου
το σημείο είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου
Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων και .
3. α) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι και η γωνία των διανυσμάτων και είναι .
Αν είναι το μέσο της πλευράς τότε
i) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος
ii) Να αποδείξετε ότι η προβολή του διανύσματος πάνω στο διάνυσμα είναι το διάνυσμα
β) Έστω πίνακες των οποίων τα στοιχεία είναι πραγματικοί αριθμοί.
Έστω ότι ισχύει όπου είναι ο μοναδιαίος πίνακας και είναι ο μηδενικός πίνακας.
Να αποδείξετε ότι :
i) 1. Ο πίνακας έχει αντίστροφο
2.
ii) ο είναι άρτιος.
4. α) Δίνεται η συνάρτηση
i) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
ii) Έστω η συνάρτηση
1. Να αποδείξετε ότι για κάθε και .
2. Να υπολογίσετε το
β) Έστω συνεχής συνάρτηση που ικανοποιεί τη σχέση για κάθε
Να αποδείξετε ότι
i)
ii) Η είναι γνησίως αύξουσα στο .
τοπικό ακρότατο και είναι παραγωγίσιμη στο τότε .
β) Δίνεται συνάρτηση δυο φορές παραγωγίσιμη η οποία σε σημείο παρουσιάζει τοπικό ακρότατο το
και ικανοποιεί τη σχέση για κάθε .
i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι κυρτή στο .
ii) Να αποδείξετε ότι είναι για κάθε .
2. α) Έστω ο μιγαδικός αριθμός
i) Να αποδείξετε ότι στο μιγαδικό επίπεδο ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που είναι τέτοια ώστε είναι κύκλος.
Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου αυτού.
ii) Έστω η αρχή των αξόνων του μιγαδικού επιπέδου και είναι οι δυο εφαπτόμενες που άγονται από το προς τον παραπάνω κύκλο.
Να βρείτε τις συντεταγμένες των δυο σημείων επαφής .
β) Έστω δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα και έστω κύκλος με κέντρο και ακτίνα .
Θεωρούμε τα ενδεχόμενα :
το σημείο είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου
το σημείο είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου
Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων και .
3. α) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι και η γωνία των διανυσμάτων και είναι .
Αν είναι το μέσο της πλευράς τότε
i) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος
ii) Να αποδείξετε ότι η προβολή του διανύσματος πάνω στο διάνυσμα είναι το διάνυσμα
β) Έστω πίνακες των οποίων τα στοιχεία είναι πραγματικοί αριθμοί.
Έστω ότι ισχύει όπου είναι ο μοναδιαίος πίνακας και είναι ο μηδενικός πίνακας.
Να αποδείξετε ότι :
i) 1. Ο πίνακας έχει αντίστροφο
2.
ii) ο είναι άρτιος.
4. α) Δίνεται η συνάρτηση
i) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
ii) Έστω η συνάρτηση
1. Να αποδείξετε ότι για κάθε και .
2. Να υπολογίσετε το
β) Έστω συνεχής συνάρτηση που ικανοποιεί τη σχέση για κάθε
Να αποδείξετε ότι
i)
ii) Η είναι γνησίως αύξουσα στο .
-
- Δημοσιεύσεις: 1753
- Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm
Re: A' ΔΕΣΜΗ 1999
ΠΕΡΙΤΤΑ
τελευταία επεξεργασία από orestisgotsis σε Δευ Φεβ 26, 2024 1:33 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: A' ΔΕΣΜΗ 1999
α)Θεώρημα στο σχολικό βιβλίοparmenides51 έγραψε:1. α) Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση παρουσιάζει στο εσωτερικό σημείο του διαστήματος
τοπικό ακρότατο και είναι παραγωγίσιμη στο τότε .
β) Δίνεται συνάρτηση δυο φορές παραγωγίσιμη η οποία σε σημείο παρουσιάζει τοπικό ακρότατο το
και ικανοποιεί τη σχέση για κάθε .
i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι κυρτή στο .
ii) Να αποδείξετε ότι είναι για κάθε .
βi)Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με
Η είναι παραγωγίσιμη στο ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με
Επομένως, η είναι κυρτή στο
βii)Επειδή η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε σημείο το
και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, έπεται ότι
Έτσι, είναι και και αφού η είναι γνησίως αύξουσα έχουμε
Άρα, η είναι γνησίως φθίνουσα στο , γνησίως αύξουσα στο και
Από τις σχέσεις είναι
Παπαπέτρος Ευάγγελος
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: A' ΔΕΣΜΗ 1999
2. α) Έστω ο μιγαδικός αριθμός
i) Να αποδείξετε ότι στο μιγαδικό επίπεδο ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που είναι τέτοια ώστε είναι κύκλος.
Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου αυτού.
ii) Έστω η αρχή των αξόνων του μιγαδικού επιπέδου και είναι οι δυο εφαπτόμενες που άγονται από το προς τον παραπάνω κύκλο.
Να βρείτε τις συντεταγμένες των δυο σημείων επαφής .
β) Έστω δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα και έστω κύκλος με κέντρο και ακτίνα .
Θεωρούμε τα ενδεχόμενα :
το σημείο είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου
το σημείο είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου
Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων και .
Λύση
α) i) Αντικαθιστούμε και έχουμε :
δηλαδή κύκλος με και ακτίνα .
ii) Έστω η εφαπτομένη του κύκλου. Τότε ισχύει :
.
Λύνοντας το σύστημα των με τον κύκλο έχουμε .
β) To είναι εσωτερικό σημείο αν και μόνο αν
άρα και το είναι εξωτερικό σημείο αν και μόνο αν
άρα . Έτσι, .
O δειγματικός χώρος αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα άρα .
i) Να αποδείξετε ότι στο μιγαδικό επίπεδο ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που είναι τέτοια ώστε είναι κύκλος.
Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου αυτού.
ii) Έστω η αρχή των αξόνων του μιγαδικού επιπέδου και είναι οι δυο εφαπτόμενες που άγονται από το προς τον παραπάνω κύκλο.
Να βρείτε τις συντεταγμένες των δυο σημείων επαφής .
β) Έστω δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα και έστω κύκλος με κέντρο και ακτίνα .
Θεωρούμε τα ενδεχόμενα :
το σημείο είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου
το σημείο είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου
Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων και .
Λύση
α) i) Αντικαθιστούμε και έχουμε :
δηλαδή κύκλος με και ακτίνα .
ii) Έστω η εφαπτομένη του κύκλου. Τότε ισχύει :
.
Λύνοντας το σύστημα των με τον κύκλο έχουμε .
β) To είναι εσωτερικό σημείο αν και μόνο αν
άρα και το είναι εξωτερικό σημείο αν και μόνο αν
άρα . Έτσι, .
O δειγματικός χώρος αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα άρα .
- Συνημμένα
-
- thema.png (10.97 KiB) Προβλήθηκε 2850 φορές
Γιώργος
Re: A' ΔΕΣΜΗ 1999
parmenides51 έγραψε:3. α) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι και η γωνία των διανυσμάτων και είναι .
Αν είναι το μέσο της πλευράς τότε
i) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος
ii) Να αποδείξετε ότι η προβολή του διανύσματος πάνω στο διάνυσμα είναι το διάνυσμα
β) Έστω πίνακες των οποίων τα στοιχεία είναι πραγματικοί αριθμοί.
Έστω ότι ισχύει όπου είναι ο μοναδιαίος πίνακας και είναι ο μηδενικός πίνακας.
Να αποδείξετε ότι :
i) 1. Ο πίνακας έχει αντίστροφο
2.
ii) ο είναι άρτιος.
α) i.
ii. Είναι με
Όμως
β) i) 1. Είναι
Άρα ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος με
2. Όμως είναι:
Άρα
Έτσι
ii.
Όμως (*)
(*) Αν τότε άτοπο
Ηλίας Καμπελής
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες