Α' ΔΕΣΜΗ 1989
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Α' ΔΕΣΜΗ 1989
1. Να λυθεί το σύστημα
2. α) Να αποδειχθεί ότι κάθε ν-οστή ρίζα της μονάδας είναι της μορφής .
β) Να λυθεί η εξίσωση στο σύνολο των μιγαδικών.
3. α) Να αποδειχθεί ότι αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα
και για κάθε είναι τότε η συνάρτηση είναι σταθερή στο .
β) Έστω συναρτήσεις με πεδίο ορισμού ένα διάστημα για τις οποίες υποθέτουμε ότι :
είναι δυο φορές παραγωγίσιμες στο
και
και
Να δειχθεί ότι :
i) Για κάθε όπου
ii) Αν η έχει δυο ρίζες ετερόσημες τότε η έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο κλειστό διάστημα .
4. Δίνεται η συνάρτηση με και πεδίο ορισμού το διάστημα .
α) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο σημείο .
β) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την παραπάνω εφαπτομένη,
τη γραφική παράσταση της και τους θετικούς ημιάξονες .
2. α) Να αποδειχθεί ότι κάθε ν-οστή ρίζα της μονάδας είναι της μορφής .
β) Να λυθεί η εξίσωση στο σύνολο των μιγαδικών.
3. α) Να αποδειχθεί ότι αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα
και για κάθε είναι τότε η συνάρτηση είναι σταθερή στο .
β) Έστω συναρτήσεις με πεδίο ορισμού ένα διάστημα για τις οποίες υποθέτουμε ότι :
είναι δυο φορές παραγωγίσιμες στο
και
και
Να δειχθεί ότι :
i) Για κάθε όπου
ii) Αν η έχει δυο ρίζες ετερόσημες τότε η έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο κλειστό διάστημα .
4. Δίνεται η συνάρτηση με και πεδίο ορισμού το διάστημα .
α) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο σημείο .
β) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την παραπάνω εφαπτομένη,
τη γραφική παράσταση της και τους θετικούς ημιάξονες .
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1989
2. α) Να αποδειχθεί ότι κάθε ν-οστή ρίζα της μονάδας είναι της μορφής .
β) Να λυθεί η εξίσωση στο σύνολο των μιγαδικών.
α) Θεωρία
β)
(διπλή ρίζα )
ή
Για η ισοδυναμεί με την :
οπότε :
απ΄ όπου παίρνουμε τις
(απορρίπτεται) , (απορρίπτεται )
β) Να λυθεί η εξίσωση στο σύνολο των μιγαδικών.
α) Θεωρία
β)
(διπλή ρίζα )
ή
Για η ισοδυναμεί με την :
οπότε :
απ΄ όπου παίρνουμε τις
(απορρίπτεται) , (απορρίπτεται )
Kαλαθάκης Γιώργης
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1989
1. Να λυθεί το σύστημα
το οποίο είναι ομογενές σύστημα
Η ορίζουσα του συστήματος είναι :
Είναι : .
Επομένως :
α) Αν , το σύστημα έχει μοναδική λύση , τη μηδενική .
β) Αν , τότε γίνεται :
, οπότε έχει άπειρες λύσεις , της μορφής :
γ) Αν , γίνεται :
οπότε έχει άπειρες λύσεις της μορφής :
το οποίο είναι ομογενές σύστημα
Η ορίζουσα του συστήματος είναι :
Είναι : .
Επομένως :
α) Αν , το σύστημα έχει μοναδική λύση , τη μηδενική .
β) Αν , τότε γίνεται :
, οπότε έχει άπειρες λύσεις , της μορφής :
γ) Αν , γίνεται :
οπότε έχει άπειρες λύσεις της μορφής :
Kαλαθάκης Γιώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1989
parmenides51 έγραψε:3. α) Να αποδειχθεί ότι αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα
και για κάθε είναι τότε η συνάρτηση είναι σταθερή στο .
β) Έστω συναρτήσεις με πεδίο ορισμού ένα διάστημα για τις οποίες υποθέτουμε ότι :
είναι δυο φορές παραγωγίσιμες στο
και
και
Να δειχθεί ότι :
i) Για κάθε όπου
ii) Αν η έχει δυο ρίζες ετερόσημες τότε η έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο κλειστό διάστημα .
(α) Θεωρία
(β) (i) Έχουμε: , για κάθε . Άρα και άρα
, για κάθε . Για , έχουμε
Συνεπώς , για κάθε
(ii) Eίναι και , όπου
Αν είναι , τότε θα είναι και και άρα , δηλαδή η έχει ρίζες τις
Aν είναι , τότε . Άρα από το θεώρημα Bolzano, έχουμε ότι
η , έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα .
Tελικά δείξαμε ότι η , έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα .
- Christos75
- Δημοσιεύσεις: 422
- Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
- Τοποθεσία: Athens
- Επικοινωνία:
Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1989
Για να δούμε και το τελευταίο θεματάκι των δεσμών εκείνης της χρονιάς μιας και αυτό μου έλαχε...parmenides51 έγραψε:
4. Δίνεται η συνάρτηση με και πεδίο ορισμού το διάστημα .
α) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο σημείο .
β) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την παραπάνω εφαπτομένη,
τη γραφική παράσταση της και τους θετικούς ημιάξονες .
α)
Για την συνάρτηση η οποία είναι συνεχής, έχουμε:
Για την εφαπτομένη της συνάρτησης έχουμε: σχέση
Πάμε να βρούμε την
Οπότε,
Επίσης:
Συνεπώς θα έχουμε:
όπου είναι και η ζητούμενη εξίσωση ευθείας.
β)
Το ζητούμενο εμβαδόν προκύπτει εάν από το εμβαδόν του τριγώνου αφαιρέσουμε το εμβαδόν της συνάρτησης , δηλαδή:
όπου και είναι τα σημεία τομής της εφαπτομένης με τον άξονα και αντιστοίχως.
Οπότε τελικά έχουμε:
τελευταία επεξεργασία από Christos75 σε Πέμ Ιουν 27, 2013 3:27 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Χρήστος Λοΐζος
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1989
Ας το δούμε και απλούστερα:parmenides51 έγραψε:1. Να λυθεί το σύστημα
Με πρόσθεση των δύο τελευταίων εξισώσεων, βρίσκουμε
Τότε, οι εξισώσεις του συστήματος γίνονται
Με αντικατάσταση της πρώτης στη δεύτερη προκύπτει
Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση την
Αν το σύστημα έχει φανερά την απειρία λύσεων
Αν το σύστημα έχει φανερά την απειρία λύσεων
Μάγκος Θάνος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες