Α' ΔΕΣΜΗ 1988
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Α' ΔΕΣΜΗ 1988
1. α) Να λυθεί το σύστημα
β) Να δείξετε ότι το σύνολο εφοδιασμένο με την συνήθη πράξη
του πολλαπλασιασμού κλασμάτων στο είναι πολλαπλασιαστική ομάδα.
2. α) Να αποδείξετε ότι κάθε ακολουθία αύξουσα και φραγμένη άνω είναι συγκλίνουσα
β) Να βρείτε το όριο της ακολουθίας με και .
3. α) Θεωρούμε συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα .
Να αποδείξετε ότι αν η είναι παραγωγίσιμη στο και τότε και
η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και είναι .
β) Δίνεται η συνάρτηση με
i) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της συνάρτησης .
ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης τον άξονα
και τις ευθείες με εξισώσεις .
4. α) i) Να δώσετε τον ορισμό της παραβολής.
ii) Δίνεται η παραβολή και η ευθεία με εξίσωση .
Να αποδείξετε ότι η ευθεία και η παραβολή έχουν ένα διπλό κοινό σημείο αν και μόνο αν .
β) Δίνεται η παραβολή με εξίσωση .
i) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής που είναι κάθετη στην ευθεία με εξίσωση .
ii) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων της παραβολής τις οποίες φέρνουμε από το σημείο .
β) Να δείξετε ότι το σύνολο εφοδιασμένο με την συνήθη πράξη
του πολλαπλασιασμού κλασμάτων στο είναι πολλαπλασιαστική ομάδα.
2. α) Να αποδείξετε ότι κάθε ακολουθία αύξουσα και φραγμένη άνω είναι συγκλίνουσα
β) Να βρείτε το όριο της ακολουθίας με και .
3. α) Θεωρούμε συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα .
Να αποδείξετε ότι αν η είναι παραγωγίσιμη στο και τότε και
η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και είναι .
β) Δίνεται η συνάρτηση με
i) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της συνάρτησης .
ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης τον άξονα
και τις ευθείες με εξισώσεις .
4. α) i) Να δώσετε τον ορισμό της παραβολής.
ii) Δίνεται η παραβολή και η ευθεία με εξίσωση .
Να αποδείξετε ότι η ευθεία και η παραβολή έχουν ένα διπλό κοινό σημείο αν και μόνο αν .
β) Δίνεται η παραβολή με εξίσωση .
i) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής που είναι κάθετη στην ευθεία με εξίσωση .
ii) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων της παραβολής τις οποίες φέρνουμε από το σημείο .
- Christos75
- Δημοσιεύσεις: 422
- Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
- Τοποθεσία: Athens
- Επικοινωνία:
Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1988
parmenides51 έγραψε:
4. α) i) Να δώσετε τον ορισμό της παραβολής.
ii) Δίνεται η παραβολή και η ευθεία με εξίσωση .
Να αποδείξετε ότι η ευθεία και η παραβολή έχουν ένα διπλό κοινό σημείο αν και μόνο αν .
β) Δίνεται η παραβολή με εξίσωση .
i) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής που είναι κάθετη στην ευθεία με εξίσωση .
ii) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων της παραβολής τις οποίες φέρνουμε από το σημείο .
Μιας και δεν έχει ξεκινήσει κανείς, ας ξεκινήσω εγώ την επίλυση της άνωθεν άσκησης.
Α.
i) Θεωρία
ii) Έχουμε την παραβολή και την ευθεία:
Για να έχουν διπλό σημείο η παραπάνω και η ευθεία, πρέπει το σύστημα που θα προκύψει να έχει διπλή λύση ή διπλή ρίζα.
Δηλαδή προκύπτει το σύστημα: θα επιλύσουμε το μη γραμμικό αυτό σύστημα με την μέθοδο της αντικατάστασης, δηλαδή:
Η σχέση παρατηρούμε ότι είναι τριώνυμο ως προς και αφού θέλουμε το εν λόγω τριώνυμο να έχει διπλή λύση, τότε απαιτούμε:
και έτσι αποδείξαμε το ζητούμενο.
Β. Μας δίνεται η παραβολή : από όπου παίρνουμε:
Μας ζητείται να βρούμε την ευθεία που είναι κάθετη στη δοσμένη:
Έστω ζητούμενη και αφού
Άρα η ζητούμενη ευθεία είναι: αν εφαρμόσουμε το προηγούμενο ερώτημα
Συνεπώς, η ζητούμενη είναι: .
ii) Έστω το κοινό σημείο της ζητούμενης ευθείας με την κωνική. Από θεωρία γνωρίζουμε ότι όταν έχουμε το σημείο επαφής η εξίσωση εφαπτομένης δίνεται από τον τύπο:
Επίσης: .
Μην ξεχνάμε ότι
Από όπου παίρνοντας την Διακρίνουσα στο παραπάνω τριώνυμο έχουμε τις λύσεις:
αντιθκαθιστώντας στην τις παραπάνω τιμές στην παραβολή έχουμε:
Άρα, Οπότε προκύπτουν δύο ευθείες που είναι οι ζητούμενες:
Επίσης η ευθεία: δεν αποτελεί λύση του προβλήματός μας.
τελευταία επεξεργασία από Christos75 σε Παρ Ιουν 21, 2013 1:55 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Χρήστος Λοΐζος
- Christos75
- Δημοσιεύσεις: 422
- Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
- Τοποθεσία: Athens
- Επικοινωνία:
Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1988
parmenides51 έγραψε:
3. α) Θεωρούμε συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα .
Να αποδείξετε ότι αν η είναι παραγωγίσιμη στο και τότε και
η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και είναι .
β) Δίνεται η συνάρτηση με
i) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της συνάρτησης .
ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης τον άξονα
και τις ευθείες με εξισώσεις .
Πάμε να δούμε και το 3ο ζήτημα.
Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου
Β.
i) Μας δίνεται η συνάρτηση: με τύπο: , το πεδίο ορισμού της εν λόγω συνάρτησης είναι:
Μας ζητείται να βρούμε τα διαστήματα μονοτονίας της.
Βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο αυτής: με την βοήθεια και του ερωτήματος Α, πάντα με .
Θα βρούμε πρωτίστως τα σημεία μηδενισμού της πρώτης παραγώγου:
Επίσης:
Με παρόμοιο τρόπο βρίσκουμε ότι :
Αφού το πρόσημο της συνάρτησης αλλάζει εκατέρωθεν των σημείων και σημαίνει ότι τα σημεία αυτά είναι τοπικά ακρότατα σύμφωνα με το θεώρημα της πρώτης παραγώγου.
Συνεπώς η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα : και γνησίως φθίνουσα στο:
και. Οπότε, το σημείο είναι τοπικό μέγιστο και είναι τοπικό ελάχιστο.
ii) Το ζητούμενο εμβαδόν είναι:
Η συνάρτηση είναι θετική στο διάστημα αφού συνεπώς είναι: στο .
.
τελευταία επεξεργασία από Christos75 σε Κυρ Ιουν 23, 2013 4:46 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Χρήστος Λοΐζος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1988
parmenides51 έγραψε:1. α) Να λυθεί το σύστημα
β) Να δείξετε ότι το σύνολο εφοδιασμένο με την συνήθη πράξη
του πολλαπλασιασμού κλασμάτων στο είναι πολλαπλασιαστική ομάδα.
(α) Ένας από τους τρόπους που μπορούμε να λύσουμε το σύστημα, είναι ο εξής:
Θεωρούμε το σύστημα ():
Έχουμε: , ,
1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: . Tότε το σύστημα (), Έχει την λύση:
. Για να είναι δεκτή η λύση αυτή, πρέπει να επαληθεύει και την
άλλη εξίσωση του δοσμένου συστηματος. Δηλαδή πρέπει:
, (αφού είναι ).
Συνεπώς μια λύση του δοσμένου συστήματος είναι η
2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: . Τότε το δοσμένο σύστημα είναι ισοδύναμο με την εξίσωση , η οποία έχει άπειρες
λύσεις: , με
Tελικά το σύνολο λύσεων του συστήματος είναι:
(β) Αρχικά είναι , διότι π.χ , (αφού .
τη συνέχεια θα δείξουμε ότι το είναι κλειστό ως προς την πράξη του πολλαπλασιασμού:
Έστω λοιπόν Τότε υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί και , ώστε:
και . Άρα:
,
όπου . Άρα
Η αντιμεταθετική ιδιότητα καθώς και η προσεταιριστική, προφανώς ισχύουν, αφού η πράξη είναι ο γνωστός
πολλαπλασιασμός.
Επίσης, πάλι αφού η πράξη είναι ο γνωστός πολλαπλασισμός, το ουδέτερο στοιχείο είναι το .
Aπομένει τέλος, να δείξουμε ότι για κάθε , υπάρχει , τέτοιο ώστε
'Εχουμε λοιπόν ότι . Άρα υπάρχουν , ώστε
Tότεν ,
όπου . Άρα και αφού , έχουμε ότι
Aπό τα ανωτέρω, συμπεραίνουμε ότι η δομή είναι αβελιανή ομάδα
- Christos75
- Δημοσιεύσεις: 422
- Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
- Τοποθεσία: Athens
- Επικοινωνία:
Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1988
Πάμε να δούμε και το δεύτερο θέμα.parmenides51 έγραψε:
2. α) Να αποδείξετε ότι κάθε ακολουθία αύξουσα και φραγμένη άνω είναι συγκλίνουσα
β) Να βρείτε το όριο της ακολουθίας με και .
α) Θεωρία Σχολικού βιβλίου της...«εποχής».
β) Μας δίνεται η ακολουθία με αναδρομικό τύπο: και
Αρχικά γνωρίζουμε ότι : από τον αναδρομικό τύπο της ακολουθίας και για προκύπτει:
Με τον ίδιο τρόπο προκύπτει: . Επίσης ισχύει: .
Εικάζουμε ότι :.
Με την μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής έχω:
Για έχω που ισχύει.
Έστω ότι ο αρχικός μας συλλογισμός ισχύει για δηλαδή:
Θα δείξουμε ότι ισχύει για δηλαδή: .
Πράγματι, ισχύει ότι:
οπότε από την προηγούμενη υπόθεση έχουμε:
Συνεπώς, που σημαίνει ότι η ακολουθία: είναι γνησίως αύξουσα.
Επίσης: , δηλαδή:
Συνεπώς, που σημαίνει ότι η εν λόγω ακολουθία είναι φραγμένη άνω. Οπότε σύμφωνα με το α) ερώτημα του ζητήματος συγκλίνει.
Θα υπολογίσουμε τώρα το όριό της. Είναι: οπότε
Θέτω: , Άρα με
.
Συνεπώς, με λύσεις : , αυτή που ικανοποιεί τον περιορισμό είναι: .
Άρα, που είναι και το ζητούμενο.
Χρήστος Λοΐζος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 679
- Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
- Τοποθεσία: Σπάρτη
- Επικοινωνία:
Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1988
Μία παρατήρηση στο Θέμα 3.β)
Έστω Το σημείο είναι κέντρο συμμετρίας της αν και μόνο αν:
i) Για κάθε είναι και
ii) για κάθε
Το σημείο είναι κέντρο συμμετρίας της με και αφού:
Για κάθε είναι και
Για είναι
Το συμμετρικό του σημείου ως προς το είναι το
Στο πρώτο σημείο έχουμε τ. ελάχιστο, ενώ στο δεύτερο τ. μέγιστο.
Έστω Το σημείο είναι κέντρο συμμετρίας της αν και μόνο αν:
i) Για κάθε είναι και
ii) για κάθε
Το σημείο είναι κέντρο συμμετρίας της με και αφού:
Για κάθε είναι και
Για είναι
Το συμμετρικό του σημείου ως προς το είναι το
Στο πρώτο σημείο έχουμε τ. ελάχιστο, ενώ στο δεύτερο τ. μέγιστο.
Στράτης Αντωνέας
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες