A' ΔΕΣΜΗ 1987
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
A' ΔΕΣΜΗ 1987
1. α) i) Έστω τα διανύσματα του επιπέδου . Να αποδειχθεί ότι .
ii) Να αποδειχθεί ότι δυο μη μηδενικά διανύσματα είναι κάθετα αν και μόνο αν το εσωτερικό τους γινόμενο είναι μηδέν.
β) Σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς δίνονται τα σημεία και .
Θεωρούμε την ευθεία με εξίσωση .
Να βρεθεί σημείο της ευθείας τέτοιο ώστε το τρίγωνο να είναι ορθογώνιο στο .
2. α) Αν είναι μια βάση του διανυσματικού χώρου τότε να αποδειχθεί ότι
κάθε διάνυσμα εκφράζεται κατά μοναδικό τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων της βάσης αυτής του .
β) Δίνεται το υποσύνολο του .
Να αποδειχθεί ότι το V είναι διανυσματικός υπόχωρος του και να βρεθεί η διάστασή του.
3.α) Αν ή και για κάθε είναι να αποδειχθεί ότι .
β) Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας με .
4.α) Αν η ορίζεται σε ένα ανοικτό διάστημα παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο
τότε να αποδειχθεί ότι .
β) Δίνεται η συνάρτηση με . Έστω η γραφική παράσταση της συνάρτησης .
Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν τρία σημεία τέτοια ώστε οι εφαπτόμενες της στα να είναι παράλληλες προς τον άξονα .
Να αποδειχθεί ότι το βαρύκεντρο του τριγώνου βρίσκεται πάνω στον άξονα .
ii) Να αποδειχθεί ότι δυο μη μηδενικά διανύσματα είναι κάθετα αν και μόνο αν το εσωτερικό τους γινόμενο είναι μηδέν.
β) Σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς δίνονται τα σημεία και .
Θεωρούμε την ευθεία με εξίσωση .
Να βρεθεί σημείο της ευθείας τέτοιο ώστε το τρίγωνο να είναι ορθογώνιο στο .
2. α) Αν είναι μια βάση του διανυσματικού χώρου τότε να αποδειχθεί ότι
κάθε διάνυσμα εκφράζεται κατά μοναδικό τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων της βάσης αυτής του .
β) Δίνεται το υποσύνολο του .
Να αποδειχθεί ότι το V είναι διανυσματικός υπόχωρος του και να βρεθεί η διάστασή του.
3.α) Αν ή και για κάθε είναι να αποδειχθεί ότι .
β) Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας με .
4.α) Αν η ορίζεται σε ένα ανοικτό διάστημα παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο
τότε να αποδειχθεί ότι .
β) Δίνεται η συνάρτηση με . Έστω η γραφική παράσταση της συνάρτησης .
Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν τρία σημεία τέτοια ώστε οι εφαπτόμενες της στα να είναι παράλληλες προς τον άξονα .
Να αποδειχθεί ότι το βαρύκεντρο του τριγώνου βρίσκεται πάνω στον άξονα .
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: A' ΔΕΣΜΗ 1987
4.α) Αν η ορίζεται σε ένα ανοικτό διάστημα παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο
τότε να αποδειχθεί ότι .
β) Δίνεται η συνάρτηση με . Έστω η γραφική παράσταση της συνάρτησης .
Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν τρία σημεία τέτοια ώστε οι εφαπτόμενες της στα να είναι παράλληλες προς τον άξονα .
Να αποδειχθεί ότι το βαρύκεντρο του τριγώνου βρίσκεται πάνω στον άξονα .
Λύση
α) Θεωρία (Θεώρημα Fermat)
β) Η είναι παραγωγίσιμη στο με
.
Tα σημεία στα οποία οι εφαπτόμενες είναι οριζόντιες έχουν τετμημένες τις λύσεις της εξίσωσης :
Άρα, υπάρχουν τρία σημεία, τα και η τετμημένη του βαρύκεντρου είναι ίση με
άρα το σημείο ανήκει τον άξονα .
τότε να αποδειχθεί ότι .
β) Δίνεται η συνάρτηση με . Έστω η γραφική παράσταση της συνάρτησης .
Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν τρία σημεία τέτοια ώστε οι εφαπτόμενες της στα να είναι παράλληλες προς τον άξονα .
Να αποδειχθεί ότι το βαρύκεντρο του τριγώνου βρίσκεται πάνω στον άξονα .
Λύση
α) Θεωρία (Θεώρημα Fermat)
β) Η είναι παραγωγίσιμη στο με
.
Tα σημεία στα οποία οι εφαπτόμενες είναι οριζόντιες έχουν τετμημένες τις λύσεις της εξίσωσης :
Άρα, υπάρχουν τρία σημεία, τα και η τετμημένη του βαρύκεντρου είναι ίση με
άρα το σημείο ανήκει τον άξονα .
Γιώργος
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: A' ΔΕΣΜΗ 1987
1. α) i) Έστω τα διανύσματα του επιπέδου . Να αποδειχθεί ότι .
ii) Να αποδειχθεί ότι δυο μη μηδενικά διανύσματα είναι κάθετα αν και μόνο αν το εσωτερικό τους γινόμενο είναι μηδέν.
β) Σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς δίνονται τα σημεία και .
Θεωρούμε την ευθεία με εξίσωση .
Να βρεθεί σημείο της ευθείας τέτοιο ώστε το τρίγωνο να είναι ορθογώνιο στο .
Λύση
α) Θεωρία
β) Έστω σημείο της ευθείας. Θεωρούμε τα διανύσματα .
To τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο αν και μόνο αν
άρα έχουμε : .
ii) Να αποδειχθεί ότι δυο μη μηδενικά διανύσματα είναι κάθετα αν και μόνο αν το εσωτερικό τους γινόμενο είναι μηδέν.
β) Σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς δίνονται τα σημεία και .
Θεωρούμε την ευθεία με εξίσωση .
Να βρεθεί σημείο της ευθείας τέτοιο ώστε το τρίγωνο να είναι ορθογώνιο στο .
Λύση
α) Θεωρία
β) Έστω σημείο της ευθείας. Θεωρούμε τα διανύσματα .
To τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο αν και μόνο αν
άρα έχουμε : .
Γιώργος
- Christos75
- Δημοσιεύσεις: 422
- Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
- Τοποθεσία: Athens
- Επικοινωνία:
Re: A' ΔΕΣΜΗ 1987
1. α) i) Έστω τα διανύσματα του επιπέδου . Να αποδειχθεί ότι .
ii) Να αποδειχθεί ότι δυο μη μηδενικά διανύσματα είναι κάθετα αν και μόνο αν το εσωτερικό τους γινόμενο είναι μηδέν.
β) Σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς δίνονται τα σημεία και .
Θεωρούμε την ευθεία με εξίσωση .
Να βρεθεί σημείο της ευθείας τέτοιο ώστε το τρίγωνο να είναι ορθογώνιο στο .
Λύση
Α
i) Θεωρία
ii) Θεωρία
Β
Έχουμε λοιπόν τα σημεία και . Εππίσης μας δίνεται η ευθεία: .
Έστω το ζητούμενο σημείο. Αφού
Επίσης ισχύει:
Ισχύει επίσης οπότε
δηλαδή:
Λύνοντας το μη γραμμικό σύστημα των καταλήγουμε στο τριώνυμο: από όπου παίρνουμε:
και με αντικατάσταση στην παίρνουμε:
Άρα τα ζητούμενα σημεία είναι: .
ii) Να αποδειχθεί ότι δυο μη μηδενικά διανύσματα είναι κάθετα αν και μόνο αν το εσωτερικό τους γινόμενο είναι μηδέν.
β) Σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς δίνονται τα σημεία και .
Θεωρούμε την ευθεία με εξίσωση .
Να βρεθεί σημείο της ευθείας τέτοιο ώστε το τρίγωνο να είναι ορθογώνιο στο .
Λύση
Α
i) Θεωρία
ii) Θεωρία
Β
Έχουμε λοιπόν τα σημεία και . Εππίσης μας δίνεται η ευθεία: .
Έστω το ζητούμενο σημείο. Αφού
Επίσης ισχύει:
Ισχύει επίσης οπότε
δηλαδή:
Λύνοντας το μη γραμμικό σύστημα των καταλήγουμε στο τριώνυμο: από όπου παίρνουμε:
και με αντικατάσταση στην παίρνουμε:
Άρα τα ζητούμενα σημεία είναι: .
Χρήστος Λοΐζος
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: A' ΔΕΣΜΗ 1987
3.α) Αν ή και για κάθε είναι να αποδειχθεί ότι .
β) Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας με .
Λύση
α) Θεωρία
β)Έχουμε:
Eπομένως
β) Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας με .
Λύση
α) Θεωρία
β)Έχουμε:
Eπομένως
Γιώργος
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Re: A' ΔΕΣΜΗ 1987
α) θεωρίαparmenides51 έγραψε:2. α) Αν είναι μια βάση του διανυσματικού χώρου τότε να αποδειχθεί ότι
κάθε διάνυσμα εκφράζεται κατά μοναδικό τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων της βάσης αυτής του .
β) Δίνεται το υποσύνολο του .
Να αποδειχθεί ότι το V είναι διανυσματικός υπόχωρος του και να βρεθεί η διάστασή του.
β) Έστω
με και
όπου
έστω
όπου και
έστω και
οπότε τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και παράγουν τον χώρο ,
άρα αποτελούν βάση του
οπότε ο χώρος έχει διάσταση
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης