Α' ΔΕΣΜΗ 1986

parmenides51 · #1

1. α) Θεωρούμε τρία διανύσματα $\vec{\alpha },\vec{\beta },\vec{\gamma }$ που ανήκουν στο $\displaystyle{E}$ . Να δώσετε τους παρακάτω ορισμούς:
i) Πότε τα διανύσματα $\vec{\alpha },\vec{\beta },\vec{\gamma }$ λέγονται γραμμικώς εξαρτημένα;
ii) Πότε τα διανύσματα $\vec{\alpha },\vec{\beta },\vec{\gamma }$ λέγονται γραμμικώς ανεξάρτητα;
β) Να αποδείξετε ότι αν τα διανύσματα $\vec{\alpha },\vec{\beta },\vec{\gamma }$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα τότε επίσης και τα διανύσματα
$\displaystyle{\vec{u}=3\vec{\alpha }-\vec{\beta }+2\vec{\gamma } , \vec{v}=2\vec{\alpha }-2\vec{\beta }+3\vec{\gamma }, \vec{w}=-2\vec{\alpha }+\vec{\beta }+2\vec{\gamma }}$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.

2.α) i) Να δώσετε τον ορισμό του μέτρου ενός μιγαδικού.
ii) Έστω οι μη μηδενικοί αριθμοί ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ . Να αποδείξετε ότι $\left| {{z}_{1}}\cdot {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|\cdot \left| {{z}_{2}} \right|$
β) Έστω ότι $\displaystyle{z=(2x-3)+(2y-1)i}$ με $\displaystyle{x,y\in \mathbb{R}}$
Να αποδείξετε ότι στο μιγαδικό επίπεδο ο γεωμετρικός τόπος των σημείων $\displaystyle{(x,y)}$ που είναι τέτοια ώστε $\left| 2z-1+3i \right|=3$ είναι κύκλος.
Στη συνέχεια να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου του κύκλου αυτού και την ακτίνα του.

3.α) Έστω ότι η συνάρτηση f ορίζεται σε ένα διάστημα Δ και έστω ${{x}_{0}}\in \Delta$ . Να δώσετε τους παρακάτω ορισμούς:
i) Πότε η συνάρτηση f λέγεται συνεχής στο ${{x}_{0}}$
ii) Πότε η συνάρτηση f λέγεται συνεχής από δεξιά στο ${{x}_{0}}$
iii) Πότε η συνάρτηση f λέγεται συνεχής από αριστερά στο ${{x}_{0}}$
β) Να προσδιορίσετε τα $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ ώστε η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $\displaystyle{f(x)=\begin{cases} 3\alpha {{e}^{x+1}}+x & \alpha \nu \,\,x\le -1 \\ 2{{x}^{2}}-\alpha x+3\beta x & \alpha \nu \,\,-1<x<0 \\ \beta \eta \mu x+\alpha \sigma \upsilon \nu x+1 &\alpha \nu \,\, 0\le x \end{cases}}$
να είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ .

4. α) Να αποδείξετε το παρακάτω θεώρημα:
''Έστω ότι μια συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοιχτό διάστημα $\displaystyle{(\alpha ,\beta)}$ και ότι στο σημείο ${{x}_{0}}\in (\alpha ,\beta )$ είναι ${f}'({{x}_{0}})=0$ .
Η $\displaystyle{f}$ παρουσιάζει στο ${{x}_{0}}$ τοπικό μέγιστο αν : $\displaystyle{\forall x\in (\alpha ,{{x}_{0}}],\,\,{f}'(x)\ge 0}$ και $\displaystyle{\forall x\in [{{x}_{0}},\beta ),\,\,\,{f}'(x)\le 0}$ .''
β) Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με τύπο $\displaystyle{f(x)=\left(\alpha -\frac{2}{3}\right){{x}^{3}}-\left(\alpha +\frac{1}{2}\right){{x}^{2}}-10x+7,\,\,\forall x\in \mathbb{R}}$
Να βρείτε το $\alpha \in \mathbb{R}$ ώστε η $\displaystyle{f}$ να παρουσιάζει καμπή στο ${{x}_{0}}=\frac{3}{2}$ .
Μετά για την τιμή αυτή του $\displaystyle{\alpha }$ να σχηματίσετε τον πίνακα μεταβολής της $\displaystyle{f}$ .

#2

parmenides51 έγραψε:1. α) Θεωρούμε τρία διανύσματα $\vec{\alpha },\vec{\beta },\vec{\gamma }$ που ανήκουν στο $\displaystyle{E}$ . Να δώσετε τους παρακάτω ορισμούς:
i) Πότε τα διανύσματα $\vec{\alpha },\vec{\beta },\vec{\gamma }$ λέγονται γραμμικώς εξαρτημένα;
ii) Πότε τα διανύσματα $\vec{\alpha },\vec{\beta },\vec{\gamma }$ λέγονται γραμμικώς ανεξάρτητα;
β) Να αποδείξετε ότι αν τα διανύσματα $\vec{\alpha },\vec{\beta },\vec{\gamma }$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα τότε επίσης και τα διανύσματα
$\displaystyle{\vec{u}=3\vec{\alpha }-\vec{\beta }+2\vec{\gamma } , \vec{v}=2\vec{\alpha }-2\vec{\beta }+3\vec{\gamma }, \vec{w}=-2\vec{\alpha }+\vec{\beta }+2\vec{\gamma }}$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.

(a) ΘΕΩΡΙΑ

(β) Έστω $\displaystyle{k,m,n \in R}$ με $\displaystyle{k\vec{u}+m\vec{v}+n\vec{w}=\vec{0} \Rightarrow }$

$\displaystyle{k(3\vec{a}-\vec{\beta}+2\vec{\gamma})+m(2\vec{a}-2\vec{\beta}+3\vec{\gamma})+n(-2\vec{a}+\vec{\beta}+2\vec{\gamma})=\vec{0}\Rightarrow}$

$\displaystyle{(3k+2m-2n)\vec{a}+(-k-2m+n)\vec{\beta}+(2k+3m+2n)\vec{\gamma}=\vec{0}\Rightarrow}$

$\displaystyle{3k+2m-2n=0}$

$\displaystyle{-k-2m+n=0}$

$\displaystyle{2k+3m+2n=0}$

(διότι τα $\displaystyle{\vec{a} , \vec{\beta} , \vec{\gamma}}$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα)

Το σύστημα αυτό είναι ομογενές $\displaystyle{3x3}$ και η ορίζουσα των συντελλεστών των αγνώστων, είναι $\displaystyle{D=-15\neq 0}$

Συνεπώς έχει μόνο την λύση $\displaystyle{k=m=n=0}$ και άρα τα $\displaystyle{\vec{u} , \vec{v} , \vec{w}}$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα.

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #4

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #5

ΠΕΡΙΤΤΑ

Α' ΔΕΣΜΗ 1986

Α' ΔΕΣΜΗ 1986

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1986

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1986

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1986

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1986

Μέλη σε σύνδεση