A' ΔΕΣΜΗ 1985
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
A' ΔΕΣΜΗ 1985
1. α) Έστω μια ευθεία που σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων έχει εξίσωση με .
Έστω είναι ένα σημείο εκτός της ευθείας αυτής.
Να αποδειχθεί ότι η απόσταση του σημείου από την ευθεία ισούται με
β) Θεωρούμε δυο ευθείες που σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων έχουν εξίσωση και αντίστοιχα
(όπου είναι πραγματικοί αριθμοί). Να προσδιορίσετε για ποια ζεύγη τιμών των οι δύο ευθείες είναι παράλληλες
και έχουν απόσταση μεταξύ τους .
2. Δίνεται το σύστημα
α) Να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις.
β) Να βρεθούν όλες οι λύσεις του συστήματος για την περίπτωση που το ισούται με την μικρότερη από τις τιμές που βρήκατε στο ερώτημα (α) .
3. α) Έστω μια ακολουθία . Αν υπάρχουν δυο ακολουθίες και με κοινό όριο, τέτοιες ώστε για κάθε
( ένας συγκεκριμένος φυσικός) να είναι τότε και η έχει το ίδιο όριο.
β) Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας .
4. α) Έστω ότι μια συνάρτηση είναι δυο φορές παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα και ότι στο σημείο είναι .
Αν , τότε το είναι τοπικό ελάχιστο της .
β) Δίνεται η συνάρτηση με , .
Έστω είναι τα σημεία στα οποία η παρουσιάζει τοπικά ακρότατα και το σημείο στο οποίο παρουσιάζει καμπή.
Να αποδειχθεί ότι τα σημεία του επιπέδου είναι συνευθειακά.
Έστω είναι ένα σημείο εκτός της ευθείας αυτής.
Να αποδειχθεί ότι η απόσταση του σημείου από την ευθεία ισούται με
β) Θεωρούμε δυο ευθείες που σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων έχουν εξίσωση και αντίστοιχα
(όπου είναι πραγματικοί αριθμοί). Να προσδιορίσετε για ποια ζεύγη τιμών των οι δύο ευθείες είναι παράλληλες
και έχουν απόσταση μεταξύ τους .
2. Δίνεται το σύστημα
α) Να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις.
β) Να βρεθούν όλες οι λύσεις του συστήματος για την περίπτωση που το ισούται με την μικρότερη από τις τιμές που βρήκατε στο ερώτημα (α) .
3. α) Έστω μια ακολουθία . Αν υπάρχουν δυο ακολουθίες και με κοινό όριο, τέτοιες ώστε για κάθε
( ένας συγκεκριμένος φυσικός) να είναι τότε και η έχει το ίδιο όριο.
β) Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας .
4. α) Έστω ότι μια συνάρτηση είναι δυο φορές παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα και ότι στο σημείο είναι .
Αν , τότε το είναι τοπικό ελάχιστο της .
β) Δίνεται η συνάρτηση με , .
Έστω είναι τα σημεία στα οποία η παρουσιάζει τοπικά ακρότατα και το σημείο στο οποίο παρουσιάζει καμπή.
Να αποδειχθεί ότι τα σημεία του επιπέδου είναι συνευθειακά.
Re: A' ΔΕΣΜΗ 1985
α) Το σύστημα είναι ομογενές. Για να έχει και μη μηδενικές λύσεις πρέπει:parmenides51 έγραψε: 2. Δίνεται το σύστημα
α) Να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις.
β) Να βρεθούν όλες οι λύσεις του συστήματος για την περίπτωση που το ισούται με την μικρότερη από τις τιμές που βρήκατε στο ερώτημα (α) .
β) Με το σύστημα γίνεται:
Με τη βοήθεια του επαυξημένου πίνακα έχουμε:
Άρα και το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής
Ηλίας Καμπελής
Re: A' ΔΕΣΜΗ 1985
Καλησπέρα.parmenides51 έγραψε:
2. Δίνεται το σύστημα
α) Να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις.
β) Να βρεθούν όλες οι λύσεις του συστήματος για την περίπτωση που το ισούται με την μικρότερη από τις τιμές που βρήκατε στο ερώτημα (α) .
α)Το παραπάνω σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις, αν και μόνο αν η ορίζουσα του πίνακα των συντελεστών των αγνώστων ισούται με μηδέν.
Η ορίζουσα αυτή, που θα δίνεται ως συνάρτηση του , είναι η ακόλουθη.
Αφαιρώντας από την δεύτερη γραμμή, τέσσερις φορές την πρώτη, και, από την τρίτη γραμμή, πέντε φορές την πρώτη, έχουμε ότι
Συνεπώς, το παραπάνω σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις, αν και μόνο αν , απ' όπου έχουμε
β)Για το σύστημα γράφεται
Ο πίνακας των συντελεστών των αγνώστων του συστήματος αυτού είναι ο
Εκτελώντας τις ίδιες γραμμοπράξεις, με αυτές, στον υπολογισμό της ορίζουσας , έχουμε ότι
Το σύστημα είναι ομογενές, και σύμφωνα με την μέθοδο απαλοιφής του Gauss, είναι ισοδύναμο με το
το οποίο έχει ως γενική λύση την
Αν και με πρόλαβε ο κύριος Καμπελής, το αφήνω για τον κόπο
Παπαπέτρος Ευάγγελος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 679
- Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
- Τοποθεσία: Σπάρτη
- Επικοινωνία:
Re: A' ΔΕΣΜΗ 1985
α) Θεωρίαparmenides51 έγραψε:3. α) Έστω μια ακολουθία Αν υπάρχουν δυο ακολουθίες και με κοινό όριο, τέτοιες ώστε για κάθε
ένας συγκεκριμένος φυσικός) να είναι τότε και η έχει το ίδιο όριο.
β) Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας
β)
1ος τρόπος: Για κάθε είναι:
Άρα
Όμως οπότε και
2ος τρόπος: Είναι
Η ακολουθία έχει οπότε υπάρχει ώστε
για κάθε να είναι
Επομένως, οπότε και
3ος τρόπος: Είναι Άρα και
Έχουμε
Τότε
Επομένως,
Στράτης Αντωνέας
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: A' ΔΕΣΜΗ 1985
(α) Θεωρίαparmenides51 έγραψε:1. α) Έστω μια ευθεία που σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων έχει εξίσωση με .
Έστω είναι ένα σημείο εκτός της ευθείας αυτής.
Να αποδειχθεί ότι η απόσταση του σημείου από την ευθεία ισούται με
β) Θεωρούμε δυο ευθείες που σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων έχουν εξίσωση και αντίστοιχα
(όπου είναι πραγματικοί αριθμοί). Να προσδιορίσετε για ποια ζεύγη τιμών των οι δύο ευθείες είναι παράλληλες
και έχουν απόσταση μεταξύ τους .
.
(β) Αν είναι , τότε οι ευθείες δεν είναι παράλληλες, αφού η μία είναι οριζόντια και η άλλη κατακόρυφη. Άρα πρέπει
Τότε η κλίση της πρώτης ευθείας είναι και της δεύτερης
Για να είναι παράλληλες οι ευθείες, πρέπει
ή
Στο μεταξύ, θεωρούμε το σημείο το οποίο προφανώς ανήκει στην πρώτη ευθεία. Άρα θα έχουμε:
, (ΣΧΕΣΗ 1)
1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: . Τότε από την (σχέση 1) έχουμε:
, ή
2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: . Τότε ομοίως βρίσκουμε ότι: , ή
Άρα:
- Christos75
- Δημοσιεύσεις: 422
- Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
- Τοποθεσία: Athens
- Επικοινωνία:
Re: A' ΔΕΣΜΗ 1985
4. α) Έστω ότι μια συνάρτηση είναι δυο φορές παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα και ότι στο σημείο είναι .
Αν , τότε το είναι τοπικό ελάχιστο της .
β) Δίνεται η συνάρτηση με , .
Έστω είναι τα σημεία στα οποία η παρουσιάζει τοπικά ακρότατα και το σημείο στο οποίο παρουσιάζει καμπή.
Να αποδειχθεί ότι τα σημεία του επιπέδου είναι συνευθειακά.
Λύση
α) Θεωρία
β)
Μας δίνεται η συνάρτηση:
Η παραπάνω συνάρτηση γράφεται ισοδυνάμως:
Βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο της εν λόγω συνάρτησης:
Θα δούμε που μηδενίζεται συνάρτηση αυτή.
Βρίσκουμε και την δεύτερη παράγωγο της αρχικής συνάρτησης:
Σύμφωνα με την θεωρία στο α) ερώτημα έχουμε ότι: , άρα το είναι τοπικό μέγιστο.
Ομοίως και για το αφού
'Αρα
.
Επίσης πρέπει να δούμε που μηδενίζεται η δεύτερη παράγωγος, αυτό συμβαίνει για :
Επίσης παρατηρούμε ότι αλλάζει πρόσημο πριν και μετά την τιμή που μηδενίζεται η δεύτερη παράγωγος, συνεπώς το είναι σημείο καμπής.
Κατά συνέπεια,
Θέλουμε τώρα να αποδείξουμε ότι τα είναι συνευθειακά.
Αρκεί να αποδείξουμε ότι τα προαναφερθέντα σημεία δεν συνιστούν τρίγωνο, δηλαδή αρκεί .
Πράγματι,
Άρα συνευθειακά.
Αν , τότε το είναι τοπικό ελάχιστο της .
β) Δίνεται η συνάρτηση με , .
Έστω είναι τα σημεία στα οποία η παρουσιάζει τοπικά ακρότατα και το σημείο στο οποίο παρουσιάζει καμπή.
Να αποδειχθεί ότι τα σημεία του επιπέδου είναι συνευθειακά.
Λύση
α) Θεωρία
β)
Μας δίνεται η συνάρτηση:
Η παραπάνω συνάρτηση γράφεται ισοδυνάμως:
Βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο της εν λόγω συνάρτησης:
Θα δούμε που μηδενίζεται συνάρτηση αυτή.
Βρίσκουμε και την δεύτερη παράγωγο της αρχικής συνάρτησης:
Σύμφωνα με την θεωρία στο α) ερώτημα έχουμε ότι: , άρα το είναι τοπικό μέγιστο.
Ομοίως και για το αφού
'Αρα
.
Επίσης πρέπει να δούμε που μηδενίζεται η δεύτερη παράγωγος, αυτό συμβαίνει για :
Επίσης παρατηρούμε ότι αλλάζει πρόσημο πριν και μετά την τιμή που μηδενίζεται η δεύτερη παράγωγος, συνεπώς το είναι σημείο καμπής.
Κατά συνέπεια,
Θέλουμε τώρα να αποδείξουμε ότι τα είναι συνευθειακά.
Αρκεί να αποδείξουμε ότι τα προαναφερθέντα σημεία δεν συνιστούν τρίγωνο, δηλαδή αρκεί .
Πράγματι,
Άρα συνευθειακά.
Χρήστος Λοΐζος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες