A' ΔΕΣΜΗ 1998

parmenides51 · #1

1. α) i) Αν ο μιγαδικός αριθμός $\displaystyle{{{z}_{0}}}$ είναι ρίζα της πολυωνυμικής εξίσωσης $\displaystyle{\alpha_{\nu} x^{\nu}+\alpha_{\nu -1} x^{\nu -1}+... +\alpha_{1} x+\alpha_{0}=0}$
με $\displaystyle{\alpha_{0},\alpha_{1},...,\alpha_{\nu}}$ πραγματικούς αριθμούς και $\displaystyle{\alpha_{\nu}\ne 0}$ , να αποδείξετε ότι και ο συζυγής του $\displaystyle{{{\overline{z}}_{0}}}$ είναι ρίζα της εξίσωσης αυτής.
ii) Αν η πολυωνυμική εξίσωση $\displaystyle{{x^{2}}+\beta x+\gamma =0}$ όπου $\displaystyle{ \beta ,\gamma}$ πραγματικοί αριθμοί έχει ως ρίζα το μιγαδικό $\displaystyle{2-3i }$ να βρείτε τα $\displaystyle{\beta ,\gamma}$
καθώς και την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $\displaystyle{f(x)=x^{2}}+\beta x+\gamma}$ στο σημείο $\displaystyle{A(1,f(1))}$
όταν το $\displaystyle{x}$ μεταβάλλεται στο σύνολο των πραγματικών αριθμών $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .
β) Η συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}}$ ικανοποιεί τη σχέση $\displaystyle{f(f(x))+{{f}^{3}}(x)=2x+3\,\,,x\in \mathbb{R}}$
i) Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι '' $\displaystyle{1\, - \, 1}$ '' .
ii) Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{f(2{{x}^{3}}+x)=f(4-x)\,\,,x\in \mathbb{R}}$ .

2. α) Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός $\displaystyle{{z}_{0}}$ με $\displaystyle{Im{{z}_{0}}<999}$ και το σύνολο $\displaystyle{A}$ των μιγαδικών αριθμών $\displaystyle{z}$ με $\displaystyle{z\ne {{z}_{0}}$ και $\displaystyle{z\ne \overline{z_0}}$
που ικανοποιούν τη σχέση $\displaystyle{\frac{1}{\left| z-{{z}_{0}} \right|}+\frac{1}{\left| z-{{{\overline{z}}}_{0}} \right|}=\frac{1998}{\left| z-{{z}_{0}} \right|\,\left| z-{{{\overline{z}}}_{0}} \right|}}$
Να βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή απόσταση που μπορούν να απέχουν μεταξύ τους οι εικόνες δυο μιγαδικών αριθμών του συνόλου $\displaystyle{A}$ .
Ποιοι είναι αυτοί οι μιγαδικοί αριθμοί; Να εξετάσετε την περίπτωση $\displaystyle{{{z}_{0}}={{\overline{z}}_{0}}}$ .
β) Ένας γεωργός προσθέτει $\displaystyle{x}$ μονάδες λιπάσματος σε μια αγροτική καλλιέργεια και συλλέγει $\displaystyle{g(x)}$ μονάδες του παραγόμενου προϊόντος.
Αν $\displaystyle{g(x)={{M}_{0}}+M(1-{e}^{-\mu x})\,\,,x\ge 0}$ όπου $\displaystyle{{{M}_{0}}}$ , $\displaystyle{M}$ και $\displaystyle{ \mu}$ είναι θετικές σταθερές να εκφράσετε το ρυθμό μεταβολής του παραγόμενου προϊόντος
ως συνάρτηση της $\displaystyle{g(x)}$ . Ποια είναι η σημασία της σταθεράς $\displaystyle{{{M}_{0}}}$ ;

3. α) Δίνεται ο $\displaystyle{\nu \, x \, \nu}$ πίνακας $\displaystyle{A}$ με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς για τον οποίο ισχύει: $\displaystyle{{{A}^{2}}-2{{(\lambda-2)}^{2}}A+\mathbb{I}=\mathbb{O}}$
όπου $\displaystyle{ \mathbb{I}}$ είναι ο μοναδιαίος $\displaystyle{\nu \, x \, \nu}$ πίνακας και $\displaystyle{\lambda}$ πραγματικός αριθμός. Να δείξετε ότι ο πίνακας $\displaystyle{ A+\mathbb{I}}$ είναι αντιστρέψιμος για κάθε $\displaystyle{\lambda}$ .
β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle{(x+1)\left|A+x \mathbb{I} \right|+(x-1)\left| A-x \mathbb{I} \right|=1-x^2}}$ όπου $\displaystyle{A}$ είναι ο πίνακας του ερωτήματος (α)
και $\displaystyle{x}$ πραγματικός αριθμός έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ανοικτό διάστημα $\displaystyle{(-1,1)}$ .
Με $\displaystyle{\left|A+x \mathbb{I} \right|,\left| A-x \mathbb{I} \right|}$ συμβολίζουμε την ορίζουσα του πίνακα $\displaystyle{A+x \mathbb{I} }$ και $\displaystyle{A-x \mathbb{I} }$ αντίστοιχα.
γ) Δίνεται ο δειγματικός χώρος $\displaystyle{\Omega =\left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8 \right\}}$ με πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων που ικανοποιούν τις σχέσεις
$\displaystyle{2P(1)=2P(3)=2P(5)=2P(7)=3P(2)=3P(4)=3P(6)=3P(8)}$
και το ενδεχόμενο $\displaystyle{B=\left\{\lambda \in \Omega }\left| }$ το σύστημα $\displaystyle{AX= {\color{red}X}}$ έχει τουλάχιστον δυο λύσεις $\displaystyle{ \}}$
όπου $\displaystyle{X}$ ένας $\displaystyle{\nu \, x \, 1}$ άγνωστος πίνακας και $\displaystyle{A}$ ο πίνακας του ερωτήματος (α).
Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου $\displaystyle{B}$ .
δ) Δίνεται το τριώνυμο $\displaystyle{f(x)={{x}^{2}}+\gamma x+ 4}$ όπου ο συντελεστής $\displaystyle{ \gamma}$ επιλέγεται τυχαία από το δειγματικό χώρο $\displaystyle{\Omega}$ του ερωτήματος (γ) .
Αν $\displaystyle{\Gamma =\left\{\gamma }\in \Omega }\left| }$ η εξίσωση $\displaystyle{f(x)=0}$ έχει πραγματικές ρίζες $\displaystyle{ \}}$
Να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχομένου $\displaystyle{\Gamma}$ και να δείξετε ότι τα ενδεχόμενα $\displaystyle{B}$ του ερωτήματος (γ) και $\displaystyle{\Gamma}$ είναι ασυμβίβαστα .

4. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}}$ για την οποία ισχύουν $\displaystyle{f(x)>0,x>0}$ και $\displaystyle{{f}'(x)+2xf(x)=0,\,\,x>0}$
και η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{A(1,1)}$
α) Να δείξετε ότι η παράγωγος της $\displaystyle{f }$ είναι συνεχής στο ανοικτό διάστημα $\displaystyle{(0,+\infty )}$ και να βρείτε τη συνάρτηση $\displaystyle{f}$ .
β) Να δείξετε ότι $\displaystyle{\frac{x-1}{2{{x}}^{2}}}f(x)<\int_{1}^{x}{\frac{f(t)}{2{{t}^{2}}}dt<\frac{x-1}{2},x>1}}$
γ) Να βρείτε τη συνάρτηση $\displaystyle{F(x)=\int_{1}^{x}{\left( 1+\frac{1}{2{{t}^{2}}} \right)f(t)dt,x>1}}$
δ) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{2e\int_{1}^{x}{{{e}^{-{{t}^{2}}}}dt<1}}$ για κάθε $\displaystyle{x>1}$ .

edit
έγινε μια διόρθωση στο 3γ. ευχαριστώ για την διόρθωση τον Christos75

Σ. Διονύσης · #2

parmenides51 έγραψε: 4. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}}$ για την οποία ισχύουν $\displaystyle{f(x)>0,x>0}$ και $\displaystyle{{f}'(x)+2xf(x)=0,\,\,x>0}$
και η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{A(1,1)}$
α) Να δείξετε ότι η παράγωγος της $\displaystyle{f }$ είναι συνεχής στο ανοικτό διάστημα $\displaystyle{(0,+\infty )}$ και να βρείτε τη συνάρτηση $\displaystyle{f}$ .
β) Να δείξετε ότι $\displaystyle{\frac{x-1}{2{{x}}^{2}}}f(x)<\int_{1}^{x}{\frac{f(t)}{2{{t}^{2}}}dt<\frac{x-1}{2},x>1}}$
γ) Να βρείτε τη συνάρτηση $\displaystyle{F(x)=\int_{1}^{x}{\left( 1+\frac{1}{2{{t}^{2}}} \right)f(t)dt,x>1}}$
δ) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{2e\int_{1}^{x}{{{e}^{-{{t}^{2}}}}dt<1}}$ για κάθε $\displaystyle{x>1}$ .

α)1ος τρόπος:

$\displaystyle{f'(x)+2xf(x)=0\Leftrightarrow e^{x^{2}}f'(x)+2xe^{x^{2}}f(x)=0\Leftrightarrow \left(e^{x^{2}}f(x)\right)'=0\Leftrightarrow e^{x^{2}}f(x)=c \; , \; c\in\mathbb{R}}$

Για $\displaystyle{x=1\rightarrow c=e}$ .Άρα:

$\displaystyle{f(x)=e^{1-x^2}} \; , \; x\in(0,+\infty)}$

Από όπου άμεσα έπεται ότι $\displaystyle{f(x)>0}$ και ότι η

είναι συνεχής.

2ος τρόπος:(Χρησιμοποιώντας όλα τα δεδομένα)

$\displaystyle{f'(x)=-2xf(x)\mathop \Leftrightarrow^{f(x)>0} \left(\ln(f(x))\right)'=\left(-x^2\right)'\Leftrightarrow f(x)=e^{1-x^2}} \; , \; x\in(0,+\infty)}$

β)Αρχικά: $\displaystyle{f'(x)=-2xe^{1-x^2}<0}$ και άρα η

είναι γνήσιως φθίνουσα.Έχουμε:

$\displaystyle{1<t<x\Leftrightarrow 1<t^2<x^2\Leftrightarrow \frac{1}{2x^2}<\frac{1}{2t^2}<\frac{1}{2} \; \; \color{red}(1)}$

και

$\displaystyle{1<t<x\mathop\Leftrightarrow^{f:\searrow} f(x)<f(t)<1\mathop\Leftrightarrow^{ \color{red}(1)\color{black}} \frac{1}{2x^2}f(x)<\frac{1}{2t^2}f(t)<\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{f(x)}{2x^2}\int_{1}^{x}1dt<\int_{1}^{x}\frac{f(t)}{2t^2}dt<\int_{1}^{x}\frac{1}{2}dt\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow\frac{x-1}{2{{x}}^{2}}}f(x)<\int_{1}^{x}{\frac{f(t)}{2{{t}^{2}}}dt<\frac{x-1}{2},x>1}}$

γ)Η $\displaystyle{F(x)}$ γράφεται και ως εξής:

$\displaystyle{F(x)=\int_{1}^{x}\left(\frac{2t^2 f(t)}{2t^2}+\frac{f(t)}{2t^2}\right)dt\Leftrightarrow F(x)=\int_{1}^{x}\left(-\frac{1}{2t}f'(t)-f(t)\left(\frac{1}{2t}\right)'\right)dt\Leftrightarrow F(x)=\int_{1}^{x}\left(-\frac{f(t)}{2t}\right)'dt\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow F(x)=\frac{1}{2}-\frac{e^{1-x^2}}{2x} \; , \; x>1}$

δ)Όπως υποσχέθηκα στον κύριο Παρμενίδη μια λύση με ευθεία απόδειξη χωρίς τη χρήση των προηγούμενων ερωτημάτων

Ζητάμε να δείξουμε τη σχέση για x>1

.Άρα έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{1<t}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 2<2t}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 2e^{1-t^2}<2te^{1-t^2}}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 2e\int_{1}^{x}e^{-t^2}dt<\int_{1}^{x}2te^{1-t^2}dt}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 2e\int_{1}^{x}e^{-t^2}dt<-\int_{1}^{x}-2te^{1-t^2}dt}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 2e\int_{1}^{x}e^{-t^2}dt<-\int_{1}^{x}\left(e^{1-t^2}\right)'dt = 1 - e^{1-x^2}<1$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 2e\int_{1}^{x}e^{-t^2}dt<1 \; , \; \forall x>1}$

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

Γιώργος Απόκης · #4

1. α) i) Αν ο μιγαδικός αριθμός $\displaystyle{{{z}_{0}}}$ είναι ρίζα της πολυωνυμικής εξίσωσης $\displaystyle{\alpha_{\nu} x^{\nu}+\alpha_{\nu -1} x^{\nu -1}+... +\alpha_{1} x+\alpha_{0}=0}$
με $\displaystyle{\alpha_{0},\alpha_{1},...,\alpha_{\nu}}$ πραγματικούς αριθμούς και $\displaystyle{\alpha_{\nu}\ne 0}$ , να αποδείξετε ότι και ο συζυγής του $\displaystyle{{{\overline{z}}_{0}}}$ είναι ρίζα της εξίσωσης αυτής.
ii) Αν η πολυωνυμική εξίσωση $\displaystyle{{x^{2}}+\beta x+\gamma =0}$ όπου $\displaystyle{ \beta ,\gamma}$ πραγματικοί αριθμοί έχει ως ρίζα το μιγαδικό $\displaystyle{2-3i }$ να βρείτε τα $\displaystyle{\beta ,\gamma}$
καθώς και την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $\displaystyle{f(x)=x^{2}}+\beta x+\gamma}$ στο σημείο $\displaystyle{A(1,f(1))}$
όταν το $\displaystyle{x}$ μεταβάλλεται στο σύνολο των πραγματικών αριθμών $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .
β) Η συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}}$ ικανοποιεί τη σχέση $\displaystyle{f(f(x))+{{f}^{3}}(x)=2x+3\,\,,x\in \mathbb{R}}$
i) Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι '' $\displaystyle{1\, - \, 1}$ '' .
ii) Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{f(2{{x}^{3}}+x)=f(4-x)\,\,,x\in \mathbb{R}}$ .

Λύση

α) i) Θεωρία

ii) Aφού $\displaystyle{x_1=2-3i}$ έχουμε : $\displaystyle{x_2=2+3i}$ . Από τους τύπους Vietta έχουμε : $\displaystyle{\begin{cases} x_1+x_2=-\beta\\x_1x_2=\gamma \end{cases}}\Leftrightarrow \begin{cases} \beta=-4\\\gamma=13 \end{cases}}}$ .

Έχουμε $\displaystyle{f(x)=x^2-4x+13,~f'(x)=2x-4}$ άρα η εφαπτομένη θα έχει εξίσωση : $\displaystyle{y-f(1)=f'(1)(x-1)\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{ y-10=-2(x-1)\Leftrightarrow y=-2x+12}$ .

β) i) Έστω $\displaystyle{x_1,x_2\in \mathbb R}$ με $\displaystyle{f(x_1)=f(x_2)}$ . Τότε έχουμε : $\displaystyle{f(f(x_1))=f(f(x_2))}$ και $\displaystyle{f^3(x_1)=f^3(x_2)}$ .

Προσθέτουμε κατά μέλη : $\displaystyle{f(f(x_1))+f^3(x_1)=f(f(x_2))+f^3(x_2)\Rightarrow 2x_1+3=2x_2+3\Rightarrow x_1=x_2}$ .

Άρα η $\displaystyle{f}$ είναι $\displaystyle{"1-1"}$ .

ii) Αφού η $\displaystyle{f}$ είναι $\displaystyle{"1-1"}$ η εξίσωση γίνεται : $\displaystyle{2x^3+x=4-x\Leftrightarrow 2x^3+2x-4=0\Leftrightarrow x^3+x-1-1=0\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{(x^3-1)+(x-1)=0\Leftrightarrow (x-1)(x^2+x+2)=0}$ . Το τριώνυμο έχει $\displaystyle{\Delta=-7<0}$ άρα $\displaystyle{x=1}$ .

Christos75 · #5

parmenides51 έγραψε: 2. α) Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός $\displaystyle{{z}_{0}}$ με $\displaystyle{Im{{z}_{0}}<999}$ και το σύνολο $\displaystyle{A}$ των μιγαδικών αριθμών $\displaystyle{z}$ με $\displaystyle{z\ne {{z}_{0}}$ και $\displaystyle{z\ne \overline{z_0}}$
που ικανοποιούν τη σχέση $\displaystyle{\frac{1}{\left| z-{{z}_{0}} \right|}+\frac{1}{\left| z-{{{\overline{z}}}_{0}} \right|}=\frac{1998}{\left| z-{{z}_{0}} \right|\,\left| z-{{{\overline{z}}}_{0}} \right|}}$
Να βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή απόσταση που μπορούν να απέχουν μεταξύ τους οι εικόνες δυο μιγαδικών αριθμών του συνόλου $\displaystyle{A}$ .
Ποιοι είναι αυτοί οι μιγαδικοί αριθμοί; Να εξετάσετε την περίπτωση $\displaystyle{{{z}_{0}}={{\overline{z}}_{0}}}$ .
β) Ένας γεωργός προσθέτει $\displaystyle{x}$ μονάδες λιπάσματος σε μια αγροτική καλλιέργεια και συλλέγει $\displaystyle{g(x)}$ μονάδες του παραγόμενου προϊόντος.
Αν $\displaystyle{g(x)={{M}_{0}}+M(1-{e}^{-\mu x})\,\,,x\ge 0}$ όπου $\displaystyle{{{M}_{0}}}$ , $\displaystyle{M}$ και $\displaystyle{ \mu}$ είναι θετικές σταθερές να εκφράσετε το ρυθμό μεταβολής του παραγόμενου προϊόντος
ως συνάρτηση της $\displaystyle{g(x)}$ . Ποια είναι η σημασία της σταθεράς $\displaystyle{{{M}_{0}}}$ ;

Λύση

α) Μας δίνεται η σχέση $\displaystyle{\displaystyle{\frac{1}{\left| z-{{z}_{0}} \right|}+\frac{1}{\left| z-{{{\overline{z}}}_{0}} \right|}=\frac{1998}{\left| z-{{z}_{0}} \right|\,\left| z-{{{\overline{z}}}_{0}} \right|}}}$

με δεδομένους τους περιορισμούς πολλαπλασιάζω την άνωθεν σχέση με το γινόμενο $\displaystyle{\mid z-z_{0}\mid . \mid z-\overline z_{0}\mid\neq 0}$ και τελικά προκύπει η σχέση

$\displaystyle{\mid z-z_{0}\mid + \mid z-\overline z_{0}\mid = 1998 (1)}$ συνεπώς ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που διαγράφουν οι μιγαδικοί αριθμοί της δοσμένης σχέσης

είναι έλλειψη και η μεγαλύτερη δυνατή απόσταση είναι $\displaystyle{(A'A)=2\alpha =1998 \Rightarrow \alpha =999}$ οι μιγαδικοί αριθμοί αυτοί είναι:

$\displaystyle{z_{0}=x_{0}+999i \wedge \overline z_{0}=x_{0}-999i}$

Τώρα στην περίπτωση που $\displaystyle{z_{0}=\overline z_{0}}$ η (1)

γίνεται $\displaystyle{2\mid z-z_{0}\mid = 1998\Leftrightarrow \mid z-z_{0}\mid =999}$

που σημαίνει ότι η (1)

τότε διαγράφει εξίσωση κύκλου με κέντρο και ακτίνα $\displaystyle{K(x_{0},y_{0}), \rho =999}$ με $\displaystyle{y_{0}<999}$

β) Έχουμε ότι g(x)

είναι οι μονάδες του παραγόμενου προϊόντος που δίνονται από τον τύπο: $\displaystyle{g(x) = M_{0}+M(1-e^{-\mu x})=M_{0}+M-Me^{-\mu x}}$

Ο ρυθμός μεταβολής του παραγόμενου προϊόντος δίνεται απο την παράγωγο της

, δηλαδή:

$\displaystyle{g'(x) =(M_{0}+M-Me^{-\mu x})'=0+0+(Me^{-\mu x})'=M\mu e^{-\mu x}\Rightarrow g'(x)=M\mu e^{-\mu x}, x\in [0,+\infty )}$

Τώρα για να δείξουμε αυτό μου μας ζητάει έχουμε $\displaystyle{g(x) = M_{0}+M-Me^{-\mu x}\Leftrightarrow Me^{-\mu x} = M_{0}+M -g(x)}$

Άρα τελικά $\displaystyle{g'(x)= \mu (M_{0}+M-g(x))}$ που είναι τελικά και η ζητούμενη σχέση.

Αν θέσουμε τώρα στην αρχικά δοσμένη σχέση την τιμή $\displaystyle{x=0}$ θα έχουμε τελικά ότι $\displaystyle{g(0)= M_{0}+M(1-e^{0})= M_{0}}$

Δηλαδή η τιμή αυτή του $M_{0}$ μας δείχνει τις μονάδες του προϊόντος που θα πάρουμε πριν προσθέσουμε ακόμα λίπασμα.

Christos75 · #6

parmenides51 έγραψε: 3. α) Δίνεται ο $\displaystyle{\nu \, x \, \nu}$ πίνακας $\displaystyle{A}$ με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς για τον οποίο ισχύει: $\displaystyle{{{A}^{2}}-2{{(\lambda-2)}^{2}}A+\mathbb{I}=\mathbb{O}}$
όπου $\displaystyle{ \mathbb{I}}$ είναι ο μοναδιαίος $\displaystyle{\nu \, x \, \nu}$ πίνακας και $\displaystyle{\lambda}$ πραγματικός αριθμός. Να δείξετε ότι ο πίνακας $\displaystyle{ A+\mathbb{I}}$ είναι αντιστρέψιμος για κάθε $\displaystyle{\lambda}$ .
β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle{(x+1)\left|A+x \mathbb{I} \right|+(x-1)\left| A-x \mathbb{I} \right|=1-x^2}}$ όπου $\displaystyle{A}$ είναι ο πίνακας του ερωτήματος (α)
και $\displaystyle{x}$ πραγματικός αριθμός έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ανοικτό διάστημα $\displaystyle{(-1,1)}$ .
Με $\displaystyle{\left|A+x \mathbb{I} \right|,\left| A-x \mathbb{I} \right|}$ συμβολίζουμε την ορίζουσα του πίνακα $\displaystyle{A+x \mathbb{I} }$ και $\displaystyle{A-x \mathbb{I} }$ αντίστοιχα.
γ) Δίνεται ο δειγματικός χώρος $\displaystyle{\Omega =\left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8 \right\}}$ με πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων που ικανοποιούν τις σχέσεις
$\displaystyle{2P(1)=2P(3)=2P(5)=2P(7)=3P(2)=3P(4)=3P(6)=3P(8)}$
και το ενδεχόμενο $\displaystyle{B=\left\{\lambda \in \Omega }\left| }$ το σύστημα $\displaystyle{AX= {\color{red}X}}$ έχει τουλάχιστον δυο λύσεις $\displaystyle{ \}}$
όπου $\displaystyle{X}$ ένας $\displaystyle{\nu \, x \, 1}$ άγνωστος πίνακας και $\displaystyle{A}$ ο πίνακας του ερωτήματος (α).
Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου $\displaystyle{B}$ .
δ) Δίνεται το τριώνυμο $\displaystyle{f(x)={{x}^{2}}+\gamma x+ 4}$ όπου ο συντελεστής $\displaystyle{ \gamma}$ επιλέγεται τυχαία από το δειγματικό χώρο $\displaystyle{\Omega}$ του ερωτήματος (γ) .
Αν $\displaystyle{\Gamma =\left\{\gamma }\in \Omega }\left| }$ η εξίσωση $\displaystyle{f(x)=0}$ έχει πραγματικές ρίζες $\displaystyle{ \}}$
Να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχομένου $\displaystyle{\Gamma}$ και να δείξετε ότι τα ενδεχόμενα $\displaystyle{B}$ του ερωτήματος (γ) και $\displaystyle{\Gamma}$ είναι ασυμβίβαστα .

Λύση

α)
Μας δίνεται η σχέση $\displaystyle{A^{2}-2(\lambda -2)^2A+\mathbb{I}=\mathbb{O} (1)}$

Θέτω $\displaystyle{A+\mathbb{I}=X\Leftrightarrow A=X-\mathbb{I}}$ και αντικαθιστώ στην (1)

$\displaystyle{(X-\mathbb{I})^2-2(\lambda -2)^{2}(X-\mathbb{I})+\mathbb{I}=\mathbb{O}\Leftrightarrow (X-\mathbb{I})^2-2(X-\mathbb{I})^2+(\lambda -2)^{2}\mathbb{I}+\mathbb{I}=\mathbb{O}}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow (X-\mathbb{I})^2-2(\lambda -2)^{2}X=-2(\lambda -2)^{2}\mathbb{I}-\mathbb{I}\Leftrightarrow X^{2}-2X\mathbb{I}+\mathbb{I}^{2}-2(\lambda -2)^{2}X=-2(\lambda -2)^{2}\mathbb{I}-\mathbb{I}}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow X^{2}-(2\mathbb{I}+2(\lambda -2)^2\mathbb{I})X=-[2(\lambda -2)^{2}+1].\mathbb{I}\Leftrightarrow X[X-(2\mathbb{I}-2(\lambda -2)^{2}\mathbb{I})]=-[2(\lambda -2)^{2}+1].\mathbb{I} (2)}$

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{2(\lambda -2)^{2}+1\neq 0 \forall \lambda \in \mathbb{R}}$

Συνεπώς η (2)

γίνεται

$\displaystyle{X.\frac{(-1)}{1+2(\lambda -2)^{2}}.[X-(2\mathbb{I}-2(\lambda -2)^{2}\mathbb{I})]=\mathbb{I}}$

Δηλαδή τελικά έχουμε $\displaystyle{(A+\mathbb{I})^{-1}=-\frac{1}{1+2(\lambda -2)^{2}}.(A-\mathbb{I}+2(\lambda -2)^{2}\mathbb{I})}$ συνεπώς

για κάθε $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}}$ ο ζητούμενος πίνακας είναι αντιστρέψιμος.

β)
Έστω η εξίσωση $\displaystyle{(x+1)\mid A+x\mathbb{I}\mid + (x-1)\mid A-x\mathbb{I}\mid-1+x^{2}=0}$

Θεωρώ συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=(x+1)\mid A+x\mathbb{I}\mid + (x-1)\mid A-x\mathbb{I}\mid-1+x^{2}, x\in \mathbb{R}}$

Η συνάρτηση

είναι συνεχής στο διάστημα [-1,1]

ως πολυωνυμική και επιπλέον

$\displaystyle{g(-1)=(-1+1)\mid A+(-1)\mathbb{I}\mid + (-1-1)\mid A+\mathbb{I}\mid-1+(-1)^{2}=-2 \mid A+\mathbb{I} \mid\Leftrightarrow g(-1)= -2 \mid A+\mathbb{I} \mid}$

και

$\displaystyle{g(1)=(1+1)\mid A+(1)\mathbb{I}\mid + (1-1)\mid A+\mathbb{I}\mid-1+(+1)^{2}=2 \mid A+\mathbb{I} \mid\Leftrightarrow g(1)= 2 \mid A+\mathbb{I} \mid}$

Οπότε $\displaystyle{g(-1).g(1)=-4 \mid A+\mathbb{I} \mid^2 <0}$ αφού από το ερώτημα α) $\displaystyle{\mid A+\mathbb{I} \mid \neq 0}$ και ο εν λόγω πίνακας είναι αντιστρέψιμος.

Συνεπώς ικανοποιούνται οι προυποθέσεις του θεωρήματος Bolzano και έχουμε ότι $\displaystyle{\exists \xi\in (-1,1):g(\xi)=0}$

γ)
Έχουμε τον δειγματικό χώρο $\displaystyle{\Omega =\left \{ 1,2,3,4,5,6,7,8\left. \right \} \right.}$ και επίσης ισχύουν τα εξής

$\displaystyle{2P(1)=2P(3)=2P(5)=2P(7)=3P(2)=3P(4)=3P(6)=3P(8)}$ και θέτω $\displaystyle{2P(1)=2P(3)=2P(5)=2P(7)=3P(2)=3P(4)=3P(6)=3P(8)=\kappa }$

Οπότε, από τον αξιωματικό ορισμό της πιθανότητας έχουμε ότι

$\displaystyle{P(\Omega)=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)+P(7)+P(8)$

$\displaystyle{\Rightarrow \frac{\kappa }{2}+\frac{\kappa }{3}+\frac{\kappa }{2}+\frac{\kappa }{3}+\frac{\kappa }{2}+\frac{\kappa }{3}+\frac{\kappa }{2}+\frac{\kappa }{3}=8\kappa}$

$\displaystyle{+\frac{4\kappa }{3}\Rightarrow \kappa =\frac{3}{10}}}$

Αναζητούμε το ενδεχόμενο

για το οποίο ισχύει $B=\left \{ \lambda \in \Omega: AX=X \left. \right \} \right.$ με δεδομένο ότι το προαναφερθέν σύστημα έχει

τουλάχιστον δύο λύσεις.

Διευρευνούμε το εν λόγω σύστημα και έχουμε $\displaystyle{AX=X\Leftrightarrow AX-X=\mathbb{O}\Leftrightarrow (A-\mathbb{I})X=\mathbb{O}}$ και εάν θέσω

$\displaystyle{B=A-\mathbb{I}}$ το σύστημά μου θα γίνει $\displaystyle{B.X=\mathbb{O}}$ που είναι ένα $\displaystyle{\nu x\nu}$ ομογενές σύστημα. Σαφώς και το εν λόγω σύστημα

έχει την μηδενική λύση. Για να έχει και μή μηδενικές λύσεις, πρέπει $\displaystyle{\mid B \mid =0}$ δηλαδή $\displaystyle{\mid A-\mathbb{I} \mid =0}$

Εφόσον ο πίνακας

είναι του α) ερωτήματος τότε αντικαθιστώ την ποσότητα που έχω θέσει στην αρχική και έχω

$\displaystyle{B=A-\mathbb{I}\Leftrightarrow A=B+\mathbb{I}}$ και θέτω στην αρχικά δοσμένη, δηλαδή:

$(B+\mathbb{I})^{2}-2(\lambda -2)^{2}(B+\mathbb{I})+\mathbb{I}=\mathbb{O}\Leftrightarrow B^{2}+[2-2(\lambda -2)^2].B=-2\mathbb{I}+2(\lambda -2)^{2}\mathbb{I}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow B.[B+(2-2(\lambda -2)^{2}.\mathbb{I})]=(2(\lambda -2)^{2}-2).\mathbb{I}}$

Εάν τώρα $\displaystyle{2(\lambda -2)^{2}-2\neq 0}$ τότε ο πίνακας

θα ήταν αντιστρέψιμος πράγμα το οποίο είναι ΑΤΟΠΟ αφού $\displaystyle{\mid B \mid=0}$

Συνεπώς $\displaystyle{2(\lambda -2)^{2}-2 = 0\Leftrightarrow (\lambda -2)^{2}=1\Leftrightarrow \lambda =1 \vee \lambda =3}$ και εν τέλει το ενδεχόμενο

είναι:

$\displaystyle{B=\left \{ 1,3\left. \right \} \right.}$ και η πιθανότητα αυτού $\displaystyle{P(B)=P(1)+P(3)=\frac{\kappa }{2}+\frac{\kappa }{2}=\kappa =\frac{3}{10}}$

δ)
Έχουμε την εξίσωση $\displaystyle{f(x)=x^{2}+\gamma x+4, \gamma \in \Omega}$ και το ενδεχόμενο $\displaystyle{\Gamma =\left \{ \gamma \in \Omega :f(x)=0\left. \right \} \right.}$ η εν λόγω εξίσωση να έχει πραγματικές ρίζες.

Για να συμβαίνει αυτό στην δοσμένη δευτεροβάθμια εξίσωση πρέπει :

$\displaystyle{\Delta \geq 0\Leftrightarrow \gamma ^{2} -4.1.4\geq 0\Leftrightarrow \gamma ^{2}-16\geq 0\Leftrightarrow \gamma ^{2}\geq 16 \Leftrightarrow \gamma\geq 4}$

αφού $\displaystyle{\gamma \in \Omega}$ Κατά συνέπεια τ ενδεχόμενο $\Gamma$ είναι:

$\displaystyle{\Gamma=\left \{ 4,5,6,7,8\left. \right \} \right.}$ και συνεπώς η ζητούμενη πιθανότητα δίνεται από τον τύπο:

$\displaystyle{P(\Gamma )=P(4)+P(5)+P(6)+P(7)+P(8)=...=\frac{3}{5}}$

Επίσης αφού $\displaystyle{B\cap \Gamma =\O}$ σημαίνει ότι τα εν λόγω ενδεχόμενα είναι ασυμβίβαστα.

parmenides51 · #7

parmenides51 έγραψε:2. α) Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός $\displaystyle{{z}_{0}}$ με $\displaystyle{Im{{z}_{0}}<999}$ και το σύνολο $\displaystyle{A}$ των μιγαδικών αριθμών $\displaystyle{z}$ με $\displaystyle{z\ne {{z}_{0}}$ και $\displaystyle{z\ne \overline{z_0}}$
που ικανοποιούν τη σχέση $\displaystyle{\frac{1}{\left| z-{{z}_{0}} \right|}+\frac{1}{\left| z-{{{\overline{z}}}_{0}} \right|}=\frac{1998}{\left| z-{{z}_{0}} \right|\,\left| z-{{{\overline{z}}}_{0}} \right|}}$
Να βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή απόσταση που μπορούν να απέχουν μεταξύ τους οι εικόνες δυο μιγαδικών αριθμών του συνόλου $\displaystyle{A}$ .
Ποιοι είναι αυτοί οι μιγαδικοί αριθμοί; Να εξετάσετε την περίπτωση $\displaystyle{{{z}_{0}}={{\overline{z}}_{0}}}$ .

άλλες λύσεις των παραπάνω θεμάτων και σχόλια πάνω σε περιορισμό που λείπει στο 2.α) βρίσκονται εδώ

αναφέρεται οτι αντί για τον περιορισμό $\displaystyle{Im{{z}_{0}}<999}$ έπρεπε να είχαν βάλει $|Im z_{0}|<999$ για να βγεί έλλειψη ή κύκλος

ArgirisM · #8

Εναλλακτική λύση για το 4δ. Ελπίζω να μην μου ξέφυγε τίποτα γιατί την έγραψα βιαστικά.
Είναι: $\displaystyle 2 \int_1^x f(t) \,dt = 2 \int_1^x (1 + \frac{1}{2t^2})f(t) \,dt - 2 \int_1^x \frac{f(t)}{2t^2} \,dt < \frac{x - f(x)}{x} - \frac{(x - 1)f(x)}{x^2} = 1 + \frac{-2xf(x) + f(x)}{x^2} = 1 + \frac{f'(x) + f(x)}{x^2} < 1$
Πράγματι είναι $f'(x) + f(x) < 0 \Longleftrightarrow e^{1 - x^2}(1 - 2x) < 0$ που ισχύει αφού $x > 1 > \frac{1}{2}$ .

A' ΔΕΣΜΗ 1998

A' ΔΕΣΜΗ 1998

Re: A' ΔΕΣΜΗ 1998

Re: A' ΔΕΣΜΗ 1998

Re: A' ΔΕΣΜΗ 1998

Re: A' ΔΕΣΜΗ 1998

Re: A' ΔΕΣΜΗ 1998

Re: A' ΔΕΣΜΗ 1998

Re: A' ΔΕΣΜΗ 1998

Μέλη σε σύνδεση