Τετράγωνο 3

Φανης Θεοφανιδης · #1

Δίνεται τετράγωνο $AB\Gamma \Delta$ και το τεταρτοκύκλιο με κέντρο το

και ακτίνα

,
στο εσωτερικό του τετραγώνου. Έστω

το σημείο τομής των διαγωνίων του τετραγώνου
και

το σημείο τομής της $A\Gamma$ με το τεταρτοκύκλιο. Αν η $\Delta Z$ τέμνει την $B\Gamma$
στο

, να δείξετε ότι BH=2EZ

.

#2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Δίνεται τετράγωνο $AB\Gamma \Delta$ και το τεταρτοκύκλιο με κέντρο το και ακτίνα ,
στο εσωτερικό του τετραγώνου. Έστω το σημείο τομής των διαγωνίων του τετραγώνου
και το σημείο τομής της $A\Gamma$ με το τεταρτοκύκλιο. Αν η $\Delta Z$ τέμνει την $B\Gamma$
στο , να δείξετε ότι .

Καλησπέρα.

: τετράγωνο 3 Θεοφανίδης.png (20.45 KiB) Προβλήθηκε 3233 φορές

Ας πούμε

το συμμετρικό του

ως προς το

. το τετράπλευρο BZDT

είναι ρόμβος γιατί οι διαγώνιοι του διχοτομούνται .

Το τετράπλευρο ZHBT

είναι τραπέζιο με τις παρά τη μεγάλη βάση του,γωνίες, από $67,5^\circ$ και κατά συνέπεια ισοσκελές .

Θα είναι έτσι BH = TZ = 2EZ

.

Νίκος

KARKAR · #3

Πρόκειται για άλλη διατύπωση αυτής

STOPJOHN · #4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Δίνεται τετράγωνο $AB\Gamma \Delta$ και το τεταρτοκύκλιο με κέντρο το και ακτίνα ,
στο εσωτερικό του τετραγώνου. Έστω το σημείο τομής των διαγωνίων του τετραγώνου
και το σημείο τομής της $A\Gamma$ με το τεταρτοκύκλιο. Αν η $\Delta Z$ τέμνει την $B\Gamma$
στο , να δείξετε ότι .

Καλησπέρα

Eίναι $EZ=a-AE=a-\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{a(2-\sqrt{2}}{2})\Leftrightarrow 2EZ=a(2-\sqrt{2}),(1)$

Από το θεώρημα της διχοτόμου στο τρίγωνο

$B\Delta \Gamma ,\hat{B\Delta H}=\hat{H\Delta \Gamma }=22,5^{0},\dfrac{BH}{H\Gamma }=\dfrac{\Delta B}{\Delta \Gamma }=\sqrt{2}\Leftrightarrow BH=\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}\Leftrightarrow BH=a(2-\sqrt{2}),(2) (1),(2)\Rightarrow BH=2EZ$

Γιάννης

tolis riza · #5

#6

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Δίνεται τετράγωνο $AB\Gamma \Delta$ και το τεταρτοκύκλιο με κέντρο το και ακτίνα ,
στο εσωτερικό του τετραγώνου. Έστω το σημείο τομής των διαγωνίων του τετραγώνου
και το σημείο τομής της $A\Gamma$ με το τεταρτοκύκλιο. Αν η $\Delta Z$ τέμνει την $B\Gamma$
στο , να δείξετε ότι .

Καλησπέρα.

: Τετράγωνο 3..png (12.53 KiB) Προβλήθηκε 3191 φορές

Από τις προφανείς γωνίες του σχήματος, εύκολα διαπιστώνουμε ότι $\boxed{CZ=CH}$

$\displaystyle{BH = a - CH = a - CZ = AZ - CZ = AZ - (EC - EZ) = AZ - EC + EZ = }$

$\displaystyle{AZ - AE + EZ = 2EZ}$

Φανης Θεοφανιδης · #7

Σας ευχαριστώ όλους.

Φέρνω $E\Theta \parallel BH$ . Προφανώς $\Theta$ μέσο του $\Delta H$ .
Άρα $E\Theta =\dfrac{BH}{2}\Rightarrow BH=2E\Theta$ .
Το τρίγωνο $\Theta EZ$ είναι ισοσκελές με $E\Theta =EZ$ .
Συνεπώς BH=2EZ

.

Τετράγωνο 3

Τετράγωνο 3

Re: Τετράγωνο 3

Re: Τετράγωνο 3

Re: Τετράγωνο 3

Re: Τετράγωνο 3

Re: Τετράγωνο 3

Re: Τετράγωνο 3

Μέλη σε σύνδεση