ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#281

ΘΕΜΑ 4804

Έστω κύκλος με κέντρο

και διάμετρο $K\Lambda=2\rho$ .Έστω

σημείο του κύκλου ώστε η ακτίνα

να είναι κάθετη στην $K\Lambda$ .Φέρουμε τις χορδές $AB=A\Gamma =\rho$

και έστω $\Delta ,E$ τα σημεία τομής των προεκτάσεων των $AB,A\Gamma$ αντίστοιχα με την ευθεία $K\Lambda$ .Να αποδείξετε ότι:

α) Η γωνία $BA\Gamma$ είναι 120^0

. (Μονάδες 7)

β) Τα σημεία

και $\Gamma$ είναι μέσα των $A\Delta$ και

αντίστοιχα. (Μονάδες 9)

γ) $K\Gamma =\Lambda B$ (Μονάδες 9)

Λύση

α) Τα τρίγωνα $OAB,OA\Gamma$ είναι ισόπλευρα, διότι οι πλευρές τους είναι ίσες με $\rho$ .Επομένως καθεμιά από την γωνίες $OAB,OA\Gamma$ είναι ίση με ${{60}^{0}}$ .

Άρα η γωνία $BA\Gamma$ είναι ίση με ${{120}^{o}}$ .

β) Είναι $\overset{\wedge }{\mathop{\Delta }}\,={{30}^{o}}$ και $\overset{\wedge }{\mathop{BO\Delta }}\,={{30}^{o}}$ .Άρα το τρίγωνο $BO\Delta$ είναι ισοσκελές, οπότε $B\Delta =BO=BA=\rho$ .Επομένως , το

είναι μέσο του $A\Delta$ .

Όμοια το $\Gamma$ είναι μέσο του

.

: 2014-6-12 4-4804 geometry.PNG (12.74 KiB) Προβλήθηκε 5468 φορές

γ) Είναι $B\Delta =E\Gamma =\rho$ .Επιπλέον είναι $O\Delta =OE$ διότι στο ισοσκελές τρίγωνο $A\Delta E$ το

είναι ύψος.Έτσι $OK=O\Lambda =\rho$ , οπότε είναι $K\Delta =\Lambda E=\lambda$ .Επομένως $\Delta \Lambda =EK=2\rho +\lambda$ .

Άρα τα τρίγωνα $B\Delta \Lambda ,\Gamma EK$ είναι ίσα, αφού επιπλέον είναι $\overset{\wedge }{\mathop{\Delta }}\,=\overset{\wedge }{\mathop{E=}}\,{{30}^{o}}$ . Άρα $B\Lambda =K\Gamma$ .

Μπάμπης
(+ το αρχείο για το Χρήστο)

#282

4765

Σε τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ οι διχοτόμοι των γωνιών $\displaystyle{\widehat{\rm B},\widehat\Gamma }$ τέμνονται στο $\displaystyle{\Delta }$ . Η εξωτερική
διχοτόμος της $\displaystyle{\widehat {\rm B}}$ τέμνει την προέκταση της $\displaystyle{\Gamma \Delta }$ στο $\displaystyle{{\rm E}}$ . Δίνεται ότι $\displaystyle{\widehat {{\rm A}{\rm B}{\rm E}} = {70^0} = 2\widehat {\Gamma {\rm E}{\rm B}}}$
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ . (Μονάδες 8)
β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο $\displaystyle{{\rm A}\Gamma {\rm B}{\rm E}}$ είναι τραπέζιο. (Μονάδες 9)
γ) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $\displaystyle{\Gamma {\rm B}{\rm E}}$ είναι ισοσκελές (Μονάδες 8)

: 4765.png (19.46 KiB) Προβλήθηκε 5333 φορές

Λύση

α) Από το τρίγωνο $\displaystyle{BEH}$ και από τα δεδομένα έχουμε ότι $\displaystyle{{\widehat{\rm{{\rm B}}}_1} = {70^0},\widehat{\rm E} = {35^0}}$
, οπότε $\displaystyle{{\widehat H_1} = {75^0}}$ .
Επειδή $\displaystyle{ZB \bot BE}$ (διχοτόμοι εφεξής παραπληρωματικών γωνιών , έχουμε ότι :
$\displaystyle{{\widehat B_2} = {90^0} - {70^0} = {20^0},}$ οπότε και $\displaystyle{{\widehat B_3} = {20^0} \Rightarrow \displaystyle{\widehat{\rm B} = {40^0}}$ .
Τώρα από το τρίγωνο $\displaystyle{{\rm{\Gamma {\rm E}{\rm B}}}}$ , έχουμε ότι :
$\displaystyle{{\widehat{\rm{\Gamma }}_{\rm{2}}} = {180^0} - {35^0} - {110^0} = {35^0} \Rightarrow \widehat\Gamma = 2{\widehat\Gamma _1} = {70^0}.}$
Τέλος από το $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , έχουμε ότι : $\displaystyle{\widehat{\rm A} = {180^0} - {70^0} - {40^0} = {70^0}}$

β) Επειδή $\displaystyle{\widehat{{\rm A}\Gamma {\rm B}} + \widehat{\Gamma {\rm B}{\rm E}} = {70^0} + {110^0} = {180^0} \Rightarrow \Gamma {\rm A}//{\rm B}{\rm E}}$
Ακόμα : Το $\displaystyle{{\rm B}\Gamma {\rm E}}$ είναι ισοσκελές , αφού $\displaystyle{{\widehat\Gamma _2} = \widehat{\rm E} = {35^0}}$ , οπότε $\displaystyle{\Gamma {\rm B} = {\rm B}{\rm E}}$ .
Άρα , αν το τετράπλευρο ήταν παραλληλόγραμμο , θα ήταν τελικά ρόμβος .
Τότε όμως θα είχαμε $\displaystyle{{\rm B}{\rm A} \bot \Gamma {\rm E}}$ , άτοπο , αφού $\displaystyle{{\widehat{\rm H}_1} = {75^0}}$ .
Άρα το τετράπλευρο έχει ένα μόνο ζεύγος πλευρές παράλληλες και επομένως είναι τραπέζιο .

γ) Απαντήθηκε στο (β)

hlkampel · #283

Άσκηση 4753

Δίνεται κύκλος με κέντρο ${\rm O}$ και ακτίνα $\rho$ . Έστω σημείο ${\rm A}$ εξωτερικό του κύκλου και τα εφαπτόμενα τμήματα ${\rm A}{\rm B}$ και ${\rm A}\Gamma$ ώστε να ισχύει $\widehat {{\rm B}{\rm A}\Gamma } = 60^\circ$ . Έστω ότι η εφαπτόμενη του κύκλου στο $\Delta$ τέμνει τις ${\rm A}{\rm B}$ και ${\rm A}\Gamma$ στα ${\rm E}$ και ${\rm H}$ αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο ${\rm A}{\rm B}{\rm O}\Gamma$ είναι εγγράψιμο με ${\rm O}{\rm A} = 2{\rm O}{\rm B}$ .
β) Το τρίγωνο ${\rm A}{\rm E}{\rm H}$ είναι ισόπλευρο.
γ) $2{\rm Z}{\rm B} = {\rm A}{\rm Z}$
δ) Το τετράπλευρο ${\rm E}{\rm H}{\rm B}\Gamma$ είναι ισοσκελές τραπέζιο.

Λύση

α) Είναι $\widehat {{\rm A}{\rm B}{\rm O}} + \widehat {{\rm A}\Gamma {\rm O}} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ οπότε το ${\rm A}{\rm B}{\rm O}\Gamma$ είναι εγγράψιμο.

Η διακεντρική ευθεία ${\rm O}{\rm A}$ είναι και διχοτόμος της $\widehat {{\rm B}{\rm A}\Gamma }$ , οπότε $\widehat {{\rm O}{\rm A}{\rm B}} = 30^\circ$ .
Το ορθογώνιο τρίγωνο ${\rm O}{\rm A}{\rm B}$ έχει μια οξεία γωνία $30^\circ$ οπότε:
${\rm O}{\rm B} = \dfrac{{{\rm O}{\rm A}}}{2} \Rightarrow {\rm O}{\rm A} = 2{\rm O}{\rm B}$

β) Είναι ${\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma$ ως εφαπτόμενα τμήματα και $\widehat {{\rm B}{\rm A}\Gamma } = 60^\circ$ .
Άρα το τρίγωνο ${\rm A}{\rm E}{\rm H}$ είναι ισόπλευρο ως ισοσκελές με μια γωνία $60^\circ$ .

γ) Είναι ${\rm O}\Delta \bot {\rm Z}\Delta$ ως ακτίνα στο σημείο επαφής.
${\rm Z}{\rm B} = {\rm Z}\Delta \;\left( 1 \right)$ ως εφαπτόμενα τμήματα.
Το ορθογώνιο τρίγωνο ${\rm A}\Delta {\rm Z}$ έχει $\widehat {{\rm O}{\rm A}{\rm B}} = 30^\circ$ έτσι:
${\rm Z}\Delta = \dfrac{{{\rm A}{\rm Z}}}{2}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} {\rm Z}{\rm B} = \dfrac{{{\rm A}{\rm Z}}}{2} \Rightarrow 2{\rm Z}{\rm B} = {\rm A}{\rm Z}$

δ) Επειδή η ${\rm O}{\rm A}$ είναι ${\rm O}{\rm A} \bot {\rm B}\Gamma$ . Όμως και ${\rm O}{\rm A} \bot {\rm E}{\rm Z}$ , άρα ${\rm B}\Gamma //{\rm E}{\rm Z}\;\left( 2 \right)$

Το τρίγωνο ${\rm A}{\rm E}{\rm Z}$ είναι ισοσκελές αφού το τμήμα ${\rm A}\Delta$ είναι διχοτόμος και ύψος, έτσι:

${\rm A}{\rm E} = {\rm A}{\rm Z} \Rightarrow {\rm A}\Gamma - \Gamma {\rm E} = {\rm A}{\rm B} - {\rm B}{\rm Z}\mathop \Rightarrow \limits^{{\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma } \Gamma {\rm E} = {\rm B}{\rm Z}\;\left( 2 \right)$

Από τις σχέσεις $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ συμπεραίνουμε ότι το ${\rm E}{\rm H}{\rm B}\Gamma$ είναι ισοσκελές τραπέζιο αφού τα ${\rm B}{\rm Z},\Gamma {\rm E}$ τέμνονται στο ${\rm A}$ .

pana1333 · #284

xr.tsif έγραψε:με βάση ένα αρχείο που έχω άλυτες από την ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ θέμα 4ο είναι οι ασκήσεις
3702,3711,3739,4588,4753,4765,4804

Έχουν κάποιες διαγραφεί;

Δεν έχει διαγραφεί καμία.

Συνάδελφοι προσοχή μην κάνουμε διπλή δουλειά
Εδώ viewtopic.php?f=142&t=44444&start=100 βρίσκονται οι

4753 exdx

3702 από κάτω Γιώργος Ρίζος (προτείνει να αποσυρθεί)

4765 gavrilos

Έπειτα

4804 christos Nviewtopic.php?f=142&t=44444&start=140 (προτείνει να αποσυρθεί)

4588 Λέκκας Γιώργος viewtopic.php?f=142&t=44444&start=240#p210229

3711 Γιώργος ρίζος (στην ίδια δημοσίευση μετά την άσκηση 3719) viewtopic.php?f=142&t=44435&start=20#p209199

#285

pana1333 έγραψε:.....................

Έπειτα

4804 christos Nviewtopic.php?f=142&t=44444&start=140 (προτείνει να αποσυρθεί)

..................

Λοιπόν, θα προσθέσουμε εμείς στην υπόθεση το $KL=2\rho$ .Κρίμα να πάει χαμένη η άσκηση. Ας την αποσύρουν εκείνοι, εμείς θα την έχουμε σωστή για το αρχείο μας.

Μπ.

#286

Ένα σχόλιο - απορία για πολλές από τις Ασκήσεις της τράπεζας

Με αφορμή την 4765 που βρίσκεται παραπάνω

Έχουν καταλάβει οι θεματοδότες ότι το ισοσκελές τραπέζιο

έχει μόνο δυο πλευρές παράλληλες ;

nik21 · #287

Δυστυχώς, το "μόνο 2 πλευρές παράλληλες" δεν εξετάζεται ούτε σε κάποια βοηθήματα και πάνω απ'όλα ΟΥΤΕ στο σχολικό βιβλίο (βλ. για παράδειγμα άσκηση 6 αποδεικτικές, σελ. 115 τι λύση δίνει)

ΥΓ. Επειδή έχω παλιά έκδοση λυσαριού, ελπίζω να έχει πλέον διορθωθεί.

#288

Ανανεώθηκαν τα αρχεία εδώ
http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... ew&idev=10
και ανέβασα και το 3ο τεύχος.
ΜΕΝΟΥΝ ΟΙ ΤΥΧΟΝ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ.

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ · #289

KAΛΗΣΠΕΡΑ. Δεν μπορώ να βρώ τις ασκήσεις 3954, 3702, 3711. Έχουν λυθεί; Ας βοηθήσει κάποιος συνάδελφος. Ευχαριστώ

#290

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ έγραψε:KAΛΗΣΠΕΡΑ. Δεν μπορώ να βρώ τις ασκήσεις 3954, 3702, 3711. Έχουν λυθεί; Ας βοηθήσει κάποιος συνάδελφος. Ευχαριστώ

3954

pana1333 · #291

Καλημέρα....για 3702, 3711 δες λίγο παραπάνω.......

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ · #292

pana1333 έγραψε:Καλημέρα....για 3702, 3711 δες λίγο παραπάνω.......

Eυχαριστώ πολύ

#293

Μετά την πολύ καλή δουλειά που έκανε ο Γιώργος (Λέκκας),
βάλαμε σε σειρά αρίθμησης τις ασκήσεις καιτις χωρίσαμε σε 4 φυλλάδια
για πιο εύκολη εύρεση.
Κάποιες αβλεψίες έχουν διορθωθεί και εδώ είμαστε για τις υπόλοιπες.
http://www.mathematica.gr/index.php?ind=downloads
άφησα μέσα την 4762 γιατί μου άρεσε.

KostasZK · #294

Στο θέμα 4_5904 λέει:
"Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι θέσεις στο χάρτη πέντε χωριών A,B,Γ, Δ και E και οι δρόμοι που τα συνδέουν.
Το χωριό E ισαπέχει από τα χωριά B, Γ και επίσης από τα χωριά A και Δ"
Πώς βγαίνει το συμπέρασμα ότι οι ΑΕΔ και ΒΕΓ είναι ευθείες;

Από τη λύση του 4_6875 ας σβηστεί το σχόλιο για το σημείο Ρ, γιατί ο ρόλος του δεν είναι να μπερδεύει, ούτε τυπογραφικό, ούτε κακή υπόδειξη.
Το ΑΚΔΡ είναι τετράγωνο και το ερώτημα β βγαίνει και με σύγκριση των ορθογωνίων τριγώνων ΔΡΕ, ΔΚΒ.

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Μέλη σε σύνδεση