Λάθη Τράπεζας Θεμάτων Άλγεβρας Α΄ Λυκείου

#1

Αγαπητοί φίλοι, σε αυτή τη συζήτηση ας συγκεντρώσουμε τυχόν παρατηρήσεις για λάθη, παραλείψεις ή προτάσεις συμπλήρωσης που αφορούν τα θέματα Άλγεβρας της Τράπεζα Θεμάτων της Α΄ Λυκείου, όπως αυτά έχουν αναρτηθεί τον Οκτώβριο του 2014.

Οι παρεμβάσεις που κάναμε σε "πραγματικό χρόνο" τον Μάιο του 2014, νομίζω ότι ήταν καταλυτικές για την άμεση απόσυρση των λανθασμένων θεμάτων. Πράγματι σε πολλά σχολεία αποφύγαμε την πιθανότητα να κληρωθεί λανθασμένο θέμα, με ότι αυτό συνεπάγεται.

Προτείνω να συνεχίσουμε την ίδια παρέμβαση και τώρα, με πιο ήρεμους και νηφάλιους ρυθμούς.
Θα πρότεινα να αποφύγουμε εδώ το σχολιασμό π.χ. αν τα θέματα είναι κατά την κρίση μας "καλά" ή "όχι". Ας μείνουμε μόνο στον εντοπισμό και την επισήμανση μαθηματικών λαθών.

Επίσης προτείνω τη συγκέντρωση των παρατηρήσεών μας και την υποβολή τους στους αρμόδιους, για να γίνουν οι διορθώσεις (αν δεν έχουν εν τω μεταξύ εντοπιστεί από τις επιτροπές της Τράπεζας Θεμάτων).

(Ίδιο θέμα ανοίγω και στο φάκελο της Γεωμετρίας)

#2

Ας ξεκινήσω το θέμα παρουσιάζοντας δύο λάθη που επεσήμανα στς θέματα των ΕΠΑΛ και Εσπερινών στα δύο μοναδικά (!) προβλήματα που περιέχουν οι συλλογές αυτές:

1ο ΘΕΜΑ

: 28-102014 Τράπεζα Θεμάτων 1.jpg (36.54 KiB) Προβλήθηκε 4962 φορές

Άλγεβρα Α Ημερησίου ΕΠΑΛ EI_A_ALG_2_5764
Άλγεβρα Α Εσπερινού ΕΠΑΛ EE_A_ALG_2_5765
Άλγεβρα Α Εσπερινού Λυκείου GE_A_ALG_2_5763

Η απάντηση σ' αυτήν την άσκηση προϋποθέτει το γεγονός ο μαθητής να επιλέγει τυχαία χρώμα τετραδίου και στυλό. Αν αυτό δεν αναφερθεί, δεν μπορεί να δοθεί απάντηση, εφ' όσον η επιλογή χρώματος δεν γίνεται τυχαία, αλλά με βάση τις προσωπικές προτιμήσεις του αγοραστή.

Όταν επενδύουμε ένα μαθηματικό πρόβλημα με ένα πραγματικό σενάριο, πρέπει να λαβαίνουμε υπόψη τις συνθήκες που ισχύουν στον "πραγματικό κόσμο".

2ο ΘΕΜΑ

Σε μια σχολική εκδρομή δόθηκαν στους μαθητές να έχουν μαζί τους για το πρόγευμά τους ένα φαγώσιμο προϊόν και ένας χυμός. Οι μαθητές είχαν να διαλέξουν μεταξύ των παρακάτω.
Από φαγώσιμα: τυρόπιτα (Τ) ή σπανακόπιτα (Σ) ή κρουασάν (Κ).
Από χυμούς: πορτοκαλάδα (Π) ή λεμονάδα (Λ).
Κάθε μαθητής διάλεξε ένα φαγώσιμο και έναν χυμό. Για παράδειγμα ένας μαθητής μπορεί να διαλέξει ΣΛ, δηλαδή σπανακόπιτα και λεμονάδα.
α) i) Πόσα είναι τα δυνατά προγεύματα που μπορεί να διαλέξει κανείς; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 10)
ii) Πόσα είναι τα προγεύματα στα οποία ένας μαθητής τρώει κρουασάν; (Μονάδες 5)
β) Ένας μαθητής επιλέγει ένα πρόγευμα. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου
Α: Ο μαθητής επιλέγει κρουασάν. (Μονάδες 10)

Άλγεβρα Α Ημερησίου ΕΠΑΛ EI_A_ALG_2_5760
Άλγεβρα Α Εσπερινού ΕΠΑΛ EE_A_ALG_2_5761
Άλγεβρα Α Εσπερινού Λυκείου GE_A_ALG_2_5759

Την ίδια παρατήρηση, που κάνω τώρα, είχα κάνει σε σχετική δημοσίευση τις 28 Μαΐου 2014 (σελ. 4, 13η δημοσίευση και σελ. 5, 2η δημοσίευση), αλλά δεν είδα να διορθώνεται ή να αποσύρεται.

Ας εξηγήσω την άποψή μου πιο αναλυτικά:
Ο κλασικός νόμος των Πιθανοτήτων ισχύει όταν έχουμε εξασφαλίσει ότι τα ενδεχόμενα ενός πεπερασμένου δειγματικού χώρου είναι ισοπίθανα. Αλλιώς χρησιμοποιούμε τον αξιωματικό ορισμό των πιθανοτήτων.
Όταν, λοιπόν, στην εκφώνηση αναφέρεται "ένας μαθητής επιλέγει ένα πρόγευμα", τότε κάθε συνδιασμός προγεύματος δεν έχει ίδιες πιθανότητες να τύχει της επιλογής του, γιατί απλούστατα, ο (συγκεκριμένος) μαθητής επιλέγει με βάση το τι τραβά η όρεξη του, οπότε η άσηση δεν έχει απάντηση.

Μάλιστα, στην παραπάνω ανάρτηση, είχα γράψει, επηρεασμένος από την φόρτιση των ημερών:

(…) Για να το κάνω πιο λιανά: Όταν μπαίνεις σε ένα εστιατόριο όλα τα είδη του μενού έχουν ίσες πιθανότητες να τα επιλέξεις;
Ή όλες οι κοπέλες σε ένα πάρτυ έχουν ίσες πιθανότητες να τραβήξουν το ενδιαφέρον ενός αγοριού;
Ή ακόμα πιο κοντά στο ερώτημα της άσκησης:
Ένα φαρμακείο πούλησε σήμερα δέκα κουτιά Depon, πέντε κουτιά χάπια για την πίεση, δυο σιρόπια για το βήχα και τρία πακέτα αντισυλληπτικά. Ο Μήτσος που ψώνισε σήμερα από το εν λόγω φαρμακείο έχει $15 \%$ πιθανότητες να πήρε αντισυλληπτικά;

Το θέμα δεν αποσύρθηκε σε αντίθεση με δεκάδες άλλα θέματα, τα οποία διαγράφησαν από την Τράπεζα, μετά την επισήμανση των λαθών, που έγιναν με αναρτήσεις στο mathematica.gr και σε άλλους διαδικτυακούς χώρους, γεγονός που αποδεικνύει ότι οι επιτροπές έδειξαν ευαισθησία στην επισήμανση των λαθών κι αντέδρασαν άμεσα, προς τιμήν τους!
Να υποθέσω ότι αυτό το θέμα οι θεματοδότες το θεωρούν σωστό ή απλά επειδή απευθύνεται σε μαθητές ΕΠΑΛ κι Εσπερινών δεν κρίνεται άξιο λόγου να ασχοληθούν μαζί του;

nikolaos p. · #3

Γιώργο, συνήθως λύνοντας τέτοιες ασκήσεις στην τάξη θεωρούμε εξ ορισμού οτι τα γεγονότα είναι ισοπίθανα οπότε δεν νομίζω οτι τίθεται θέμα μή ορθότητας. Εξάλλου πιστεύω οτι οι συγγραφείς ασκήσεων, για να αποφύγουν τα συνηθισμένα ζάρια, νομίσματα κλπ, προσπαθούν να βάλουν και κάποια πιό "καθημερινά" θέματα στις ασκήσεις. Τέτοιες ασκήσεις υπάρχουν και στο σχολικό βιβλίο της Α Λυκείου και οι ίδιες υπήρχαν για τόσα χρόνια στο βιβλίο των Μαθηματικών και Στοιχείων Στατιστικής (Μαθηματικά Γεν. Παιδείας Γ' Λυκείου) και δεν τέθηκε ποτέ θέμα.
Οπωσδήποτε, αν θέλουμε να είμαστε αυστηροί με την ορθότητα των εκφωνήσεων στις ασκήσεις, θα έπρεπε να αναφέρεται ρητά οτι τα ενδεχόμενα των διαφόρων επιλογών είναι ισοπίθανα. Παρόλα αυτά στην καθημερινή μας πρακτική όλοι, εκπαιδευτικοί και μαθητές τα εκλαμβάνουμε ως ισοπίθανα και δεν νομίζω να υπάρχει μαθητής που θα "παραπλανηθεί" και θα θεωρήσει οτι δεν είναι.
Παραμένει βέβαια ο κίνδυνος να υπάρξουν κάποιοι οι οποίοι μπορεί εκ των υστέρων να θέσουν θέμα, π.χ. κάποιος γονέας, εάν το παιδί του δεν γράψει κλπ. οπότε, για το λόγο αυτό και μόνο θα έπρεπε να προσεχθεί το θέμα.

#4

nikolaos p. έγραψε:Γιώργο, συνήθως λύνοντας τέτοιες ασκήσεις στην τάξη θεωρούμε εξ ορισμού οτι τα γεγονότα είναι ισοπίθανα οπότε δεν νομίζω οτι τίθεται θέμα μή ορθότητας. Εξάλλου πιστεύω οτι οι συγγραφείς ασκήσεων, για να αποφύγουν τα συνηθισμένα ζάρια, νομίσματα κλπ, προσπαθούν να βάλουν και κάποια πιό "καθημερινά" θέματα στις ασκήσεις. Τέτοιες ασκήσεις υπάρχουν και στο σχολικό βιβλίο της Α Λυκείου και οι ίδιες υπήρχαν για τόσα χρόνια στο βιβλίο των Μαθηματικών και Στοιχείων Στατιστικής (Μαθηματικά Γεν. Παιδείας Γ' Λυκείου) και δεν τέθηκε ποτέ θέμα.

Αγαπητέ Νίκο, ίσως να μην διατύπωσα σαφώς την άποψή μου, αν και προσπάθησα.

Δεν αναφέρομαι στις ασκήσεις που λες ότι υπάρχουν στα σχολικά βιβλία. Συμφωνώ και αποδέχομαι τη σιωπηλή συμφωνία να είναι τα ενδεχόμενα ισοπίθανα.

Εδώ είναι άλλο το θέμα.
Όταν μιλάμε για την επιλογή που κάνει ένα συγκεκριμένο άτομο από ένα μενού ή έναν κατάλογο ΔΕΝ μπορούμε να θεωρήσουμε τα ενδεχόμενα ισοπίθανα!

Ας δώσω ένα ακόμα παράδειγμα (με τυχαία δεδομένα, μην έχουμε παρεξηγήσεις...):
Φέτος το $55\%$ των πολιτών που κάνει φορολογική δήλωση θα πληρώσει φόρο ως 1.000

ευρώ, το $5 \%$ πάνω από 1.000

ευρώ, το $28 \%$ θα έχει επιστροφή και το $12 \%$ έχει μηδενικό φόρο.
α) Αν επιλέξουμε τυχαία ένα φορολογούμενο, ποια η πιθανότητα να έχει επιστροφή;
Ασφαλώς, απαντάμε p = 0,28

.
β) Ποια η πιθανότητα ο κ. ...Τάδε να έχει επιστροφή φόρου;
Εδώ τι θα πούμε; Ότι οι φόροι ή οι επιστροφές μοιράζονται τυχαία, άρα έχει κι αυτός $28 \%$ πιθανότητα να πάρει επιστροφή κι ας δήλωσε 200.000

ευρώ εισόδημα;

Οι ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ δεν προσωποποιούνται! Αυτό ήθελα να πω.

Δες και ένα άρθρο στο ΑΠΟΛΛΩΝΙΟ τεύχος 1 (ΕΔΩ), όπου στις σελίδες 36-37 κάνω μια σχετική αναφορά.

#5

Ξεκινώντας την επεξεργασία των νέων θεμάτων Άλγεβρας, παραξενεύτηκα από την προχειρότητα της διατύπωσης της πρώτης άσκησης:

GI_A_ALG_2_480

Ένα μικρό γήπεδο μπάσκετ έχει δέκα σειρές καθισμάτων και κάθε σειρά έχει $\displaystyle {\rm{\kappa }}$ καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη. Η $\displaystyle {{\rm{7}}_{\rm{\eta }}}$ σειρά έχει

καθίσματα και το πλήθος των καθισμάτων του σταδίου είναι 300

.
α) Αποτελούν τα καθίσματα του γηπέδου όρους αριθμητικής προόδου; Να αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας. (Μονάδες 12)
β) Πόσα καθίσματα έχει κάθε σειρά; (Μονάδες 13)

Η λύση της είναι ΕΔΩ

Προσέξτε την εκφώνηση: "Αποτελούν τα καθίσματα του γηπέδου όρους αριθμητικής προόδου;"
Απάντηση: Όχι! Οι αριθμοί των καθισμάτων κάθε σειράς κι όχι τα καθίσματα αποτελούν όρους αριθμητικής προόδου.
Πιστεύω, πρέπει να διορθωθεί λεκτικά η εκφώνηση.

Ακόμα, στο (β) ζητά να γραφούν και οι δέκα όροι της προόδου. Δεν υπάρχει λόγος. Πιστεύω ότι οι γνώσεις του μαθητή ελέγχονται καλύτερα αν ζητηθεί π.χ. ο τέταρτος όρος, παρά να τον βάλουμε να ανεβαίνει κατά

από το

ως το

.

#6

GI_A_ALG_4_13082

Δίνεται το τριώνυμο: $\displaystyle{{x^2} - (a + 1)x + 4 + a,x \in R}$
α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι:
$\Delta=(a-1)^2-16$ . (Μονάδες

)

β) Να βρείτε για ποιες τιμές του

το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές και άνισες.
(Μονάδες

)

γ) Αν το τριώνυμο έχει ρίζες x_1, x_2,

τότε:
i) Nα εκφράσετε το άθροισμα S=x_1+x_2

συναρτήσει του

και να βρείτε την τιμή του γινομένου P=x_1x_2

των ριζών του. (Μονάδες

)

ii) Nα αποδείξετε ότι: $\displaystyle{d({x_1},1) \cdot d({x_2},1) = 4}$ (Μονάδες

)

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Νομίζω ότι η διατύπωση του (γi) ερωτήματος έπρεπε να είναι: "Nα εκφράσετε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών του συναρτήσει του ".
Έτσι όπως είναι διατυπωμένο, μπορεί να μπερδέψει του μαθητές και να νομίζουν ότι πρέπει να βρουν συγκεκριμένη τιμή στο γινόμενο των ριζών.

#7

GI_A_ALG_4_13084 και GI_A_ALG_4_13085

Όπως θα δείτε λεπτομερέστερα ΕΔΩ, οι εκφωνήσεις πρέπει να διορθωθούν ώστε να είναι σαφείς οι συνεπαγωγές που (υποθέτω ότι) θέλουν να ζητήσουν οι θεματοδότες:

Στο GI_A_ALG_4_13085 η διατύπωση

ii) να δείξετε ότι: $\displaystyle g\left( \alpha \right) \cdot g\left( {\rm{\beta }} \right) > 0$ όταν $\displaystyle \alpha ,\;\beta \in \left( { - 1,\;1} \right) \cup \left( {1,\;2} \right)$ .

θεωρώ ότι οδηγεί το μαθητή στο να βρει όλες τις τιμές των $\displaystyle \alpha ,\;\beta$ για τις οποίες ισχύει η ανισότητα $\displaystyle \left( {\alpha + 1} \right)\left( {\alpha - 2} \right)\left( {\beta + 1} \right)\left( {\beta - 2} \right) > 0$ , κάτι που το βρίσκω αρκετά δύσκολο για μαθητές Α΄ Λυκείου, και να τις ταυτίσει με το σύνολο που δίνεται, οδηγώντας τον σε αδιέξοδο, αφού αυτό δεν ισχύει.

Αν ήθελαν οι θεματοδότες να ζητήσουν απλώς τη συνεπαγωγή

$\displaystyle \alpha ,\;\beta \in \left( { - 1,\;1} \right) \cup \left( {1,\;2} \right) \Rightarrow g\left( \alpha \right) \cdot g\left( \beta \right) > 0$ ,

κάτι πολύ λογικότερο για το παρόν θέμα, θα έπρεπε να το διατυπώσουν σαφέστερα:

ii) αν $\displaystyle \alpha ,\;\beta \in \left( { - 1,\;1} \right) \cup \left( {1,\;2} \right)$ , να δείξετε ότι: $\displaystyle g\left( \alpha \right) \cdot g\left( {\rm{\beta }} \right) > 0$ .

Ομοίως, στο 4_13084, η διατύπωση

να δείξετε ότι: $\displaystyle g\left( {\alpha + 3} \right) > g\left( \alpha \right)$ όταν $\displaystyle \alpha \in \left( { - 1,\;1} \right) \cup \left( {1,\;2} \right)$ .

πρέπει να γίνει

αν $\displaystyle \alpha \in \left( { - 1,\;1} \right) \cup \left( {1,\;2} \right)$ να δείξετε ότι: $\displaystyle g\left( {\alpha + 3} \right) > g\left( \alpha \right)$ ,

εφόσον το $\displaystyle \left( { - 1,\;1} \right) \cup \left( {1,\;2} \right)$ είναι υποσύνολο του συνόλου αληθείας της ανισότητας.

Επιπλέον εδώ, ζητείται η εύρεση περιορισμών για να ορίζεται η σύνθετη συνάρτηση. Κάτι που προσεγγίζει περισσότερο την ύλη της Γ΄ Λυκείου παρά της Α΄ Λυκείου.

makisman · #8

Το 4_13085 θεωρώ ότι έχει κι άλλο πρόβλημα,

Η συνάρτηση

έχει δεδομένο πεδίο ορισμού ,οπότε τα κ,λ μπορούν να πάρουν οποιαδήποτε τιμή ωστε να ικανοποιείται η συνθήκη $\kappa ^2-4\lambda < 0$ .

Antonis_A · #9

Για την 4_13085

ερώτημα α)
Το πεδίο ορισμού δεν μας δίνει τις ρίζες του παρανομαστή. Η συνεπαγωγή αυτή είναι λανθασμένη, μου δημιουργείται απορία γιατί την λύνετε.

κ.Ρίζο, δεν είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη ότι μηδενίζεται ο παρανομαστής στα x=-2,1

Έχει δίκιο ο Μάκης.

β) για το:

για k=1, l=-2

:

οπότε για κάθε $x \in (-1,1) \cup (1,2)$
x+1>0, x-2<0

άρα

#10

Antonis_A έγραψε:Για την 4_13085

ερώτημα α)
Το πεδίο ορισμού δεν μας δίνει τις ρίζες του παρανομαστή. Η συνεπαγωγή αυτή είναι λανθασμένη, μου δημιουργείται απορία γιατί την λύνετε.

κ.Ρίζο, δεν είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη ότι μηδενίζεται ο παρανομαστής στα
Έχει δίκιο ο Μάκης.

Αγαπητοί Μakisman και Αντώνη, σας ευχαριστώ για την παρέμβαση. Συμπλήρωσα τα σχόλια μου με τις υποδείξεις σας.

Λάθη Τράπεζας Θεμάτων Άλγεβρας Α΄ Λυκείου

Λάθη Τράπεζας Θεμάτων Άλγεβρας Α΄ Λυκείου

Re: Λάθη Τράπεζας Θεμάτων Άλγεβρας Α΄ Λυκείου

Re: Λάθη Τράπεζας Θεμάτων Άλγεβρας Α΄ Λυκείου

Re: Λάθη Τράπεζας Θεμάτων Άλγεβρας Α΄ Λυκείου

Re: Λάθη Τράπεζας Θεμάτων Άλγεβρας Α΄ Λυκείου

Re: Λάθη Τράπεζας Θεμάτων Άλγεβρας Α΄ Λυκείου

Re: Λάθη Τράπεζας Θεμάτων Άλγεβρας Α΄ Λυκείου

Re: Λάθη Τράπεζας Θεμάτων Άλγεβρας Α΄ Λυκείου

Re: Λάθη Τράπεζας Θεμάτων Άλγεβρας Α΄ Λυκείου

Re: Λάθη Τράπεζας Θεμάτων Άλγεβρας Α΄ Λυκείου

Μέλη σε σύνδεση