Απαντήσεις:ΘΕΜΑ 503
α) Να λύσετε την ανίσωση:(Μονάδες 9)
β) Να λύσετε την ανίσωση:. (Μονάδες 9)
γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτημάτων (α) και (β) με χρήση του άξονα των πραγματικών αριθμών και να τις γράψετε με τη μορφή διαστήματος.(Μονάδες 7)
α)
β)
γ)
Βρίσκουμε με παράσταση των διαστημάτων των προηγούμενων ερωτημάτων στον άξονα των πραγματικών αριθμών:
- Καταγραφή.PNG (6.08 KiB) Προβλήθηκε 4075 φορές
και στην συνέχεια γράφουμε τις κοινές λύσεις με την μορφή διαστήματος
.
Απαντήσεις:ΘΕΜΑ 504
α) Αν, να αποδειχθεί ότι:
(Μονάδες 15)
β) Αν.(Μονάδες 10)
α)
, το οποίο ισχύει πάντα.
β)
Αν
τότε
συνεπώς:
το οποίο ισχύει όπως δείξαμε στο προηγούμενο ερώτημα.
Απαντήσεις:ΘΕΜΑ 505
α) Να λύσετε την εξίσωση:(Μονάδες 9)
β) Να λύσετε την ανίσωση:(Μονάδες 9)
γ) Είναι οι λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήματος και λύσεις της ανίσωσηςτου (β) ερωτήματος; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7)
α)
β)
γ)
Επειδή
η λύση
της εξίσωσης του ερωτήματος α) δεν περιέχεται στο σύνολο των λύσεων της ανίσωσης του ερωτήματος β).
Απαντήσεις:ΘΕΜΑ 506
Ανκαι
, να βρείτε μεταξύ ποιών ορίων βρίσκεται η τιμή καθεμιάςαπό τις παρακάτω παραστάσεις:
α)(Μονάδες 5)
β)(Μονάδες 10)
γ)(Μονάδες 10)
α)
β)
γ)
Απαντήσεις:ΘΕΜΑ 507
Δίνεται η εξίσωση:
, με παράμετρο(1)
α) Επιλέγοντας τρείς διαφορετικές πραγματικές τιμές για το, να γράψετε τρείς εξισώσεις.(Μονάδες 6)
β) Να προσδιορίσετε τις τιμές του
γ) Να βρείτε την τιμή του
α) Διαδοχικά για
έχουμε: 
β) Για να έχουμε μοναδική λύση αρκεί:
γ) Η τιμή
πρέπει να επαληθεύει την εξίσωση:
Απαντήσεις:ΘΕΜΑ 508
α) Να βρείτε το άθροισμα τωνπρώτων διαδοχικών θετικών ακεραίων
(Μονάδες 12)
β) Να βρείτε πόσους από τους πρώτους διαδοχικούς θετικούς ακέραιους πρέπει ναχρησιμοποιήσουμε για να πάρουμε άθροισμα τον αριθμό 45.(Μονάδες 13)
α) Πρόκειται για αριθμητική πρόοδο με γενικό όρο
όπου 
και διαφορά 
, άρα το άθροισμα βρίσκεται από τον τύπο:
![\displaystyle{
S_v = \frac{v}{2}\left[ {2a_1 + \left( {v - 1} \right)\omega } \right] = \frac{v}{2}\left[ {2 + v - 1} \right] = \frac{v}{2}\left( {v + 1} \right)
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/95f341081607ce4f21f3f0f8b415b016.png "\displaystyle{
S_v = \frac{v}{2}\left[ {2a_1 + \left( {v - 1} \right)\omega } \right] = \frac{v}{2}\left[ {2 + v - 1} \right] = \frac{v}{2}\left( {v + 1} \right)
}")
β) Αρκεί να λύσουμε την εξίσωση:
Απαντήσεις:ΘΕΜΑ 509
α) Αν, να αποδειχθεί ότι:
(1)(Μονάδες 15)
β) Πότε ισχύει η ισότητα στην (1); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.(Μονάδες 10)
α) Για
το παραπάνω ισχύει πάντα.
β)
Απαντήσεις:ΘΕΜΑ 510
Δίνεται η συνάρτηση
, με:
α) Να γράψετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησηςσε μορφή διαστήματος.(Μονάδες 8)
β) Να υπολογίσετε τις τιμέςκαι
. (Μονάδες 8)
γ) Να λύσετε την εξίσωση. (Μονάδες 9)
α) Βρίσκουμε την ένωση των διαστημάτων που ορίζονται ο κλάδοι της συνάρτησης, έτσι έχουμε:
β) Με κατάλληλη επιλογή κάθε κλάδου:
γ) Λύνουμε την εξίσωση για κάθε κλάδο, στην συνέχεια επαληθεύουμε τις λύσεις.
η οποία απορρίπτεται.
Απαντήσεις:ΘΕΜΑ 936
Δίνεται η παράσταση:
α) Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Α; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.(Μονάδες 12)
β) Να αποδείξετε ότι η παράσταση Α είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του x.(Μονάδες 13)
α) Η παράσταση ορίζεται αν :
,
άρα ορίζεται για εκείνα τα
τα οποία βρίσκονται στο διάστημα 
.
β)
Απαντήσεις:ΘΕΜΑ 938
α) Να δείξετε ότι:(Μονάδες 12)
β) Να συγκρίνετε τους αριθμούς
και(Μονάδες 13)
![\displaystyle{
\sqrt[3]{{30}}
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/1ad49de0ca6855bfb049e9dd818b11fa.png "\displaystyle{
\sqrt[3]{{30}}
}")
α) Έχουμε:
![\displaystyle{
3 < \sqrt[3]{{30}} < 4 \Leftrightarrow 3^3 < \sqrt[3]{{30}}^3 < 4^3 \Leftrightarrow 27 < 30 < 64
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/bff8866e00af4fd1e4ab88f223ccf85e.png "\displaystyle{
3 < \sqrt[3]{{30}} < 4 \Leftrightarrow 3^3 < \sqrt[3]{{30}}^3 < 4^3 \Leftrightarrow 27 < 30 < 64
}")
το οποίο ισχύει.
β) Από το πρώτο ερώτημα έχουμε :
![\displaystyle{
3 < \sqrt[3]{{30}} < 4 \Leftrightarrow - 4 < - \sqrt[3]{{30}} < - 3 \Leftrightarrow 6 - 4 < 6 - \sqrt[3]{{30}} < 6 - 3 \Leftrightarrow 2 < 6 - \sqrt[3]{{30}} < 3
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/92f23f2e6bfa176c8ce39c382256a586.png "\displaystyle{
3 < \sqrt[3]{{30}} < 4 \Leftrightarrow - 4 < - \sqrt[3]{{30}} < - 3 \Leftrightarrow 6 - 4 < 6 - \sqrt[3]{{30}} < 6 - 3 \Leftrightarrow 2 < 6 - \sqrt[3]{{30}} < 3
}")
ενώ
, άρα
![\displaystyle{
2 < 6 - \sqrt[3]{{30}} < 3 < \sqrt[3]{{30}} < 4 \Rightarrow 6 - \sqrt[3]{{30}} < \sqrt[3]{{30}}
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/e9108c5375e60ae86705c63d0a5cfb39.png "\displaystyle{
2 < 6 - \sqrt[3]{{30}} < 3 < \sqrt[3]{{30}} < 4 \Rightarrow 6 - \sqrt[3]{{30}} < \sqrt[3]{{30}}
}")
