Η δεκάδα 1062-1088
Συντονιστής: stranton
Η δεκάδα 1062-1088
ΑΣΚΗΣΗ 1062
ΕΚΦΩΝΗΣΗ
α) Να βρείτε για ποιες πραγματικές τιμές του ισχύει:
β) Αν είναι τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, με και , τότε να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή του εμβαδού του ορθογωνίου.
Προτεινόμενη λύση:
α) Έχουμε
β) Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι το γινόμενο των διαστάσεών του. Οπότε .
Επειδή και και όλα τα μέλη είναι θετικά, πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις δύο σχέσεις έχουμε:
.
ΕΚΦΩΝΗΣΗ
α) Να βρείτε για ποιες πραγματικές τιμές του ισχύει:
β) Αν είναι τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, με και , τότε να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή του εμβαδού του ορθογωνίου.
Προτεινόμενη λύση:
α) Έχουμε
β) Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι το γινόμενο των διαστάσεών του. Οπότε .
Επειδή και και όλα τα μέλη είναι θετικά, πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις δύο σχέσεις έχουμε:
.
Παντούλας Περικλής
Re: Η δεκάδα 1062-1088
ΑΣΚΗΣΗ 1064
ΕΚΦΩΝΗΣΗ
Δίνεται αριθμητική πρόοδος για την οποία ισχύει ότι: και .
α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά της προόδου είναι
β) Να βρείτε τον
γ) Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων όρων της προόδου.
Προτεινόμενη λύση
α) Εφαρμόζουμε τον τύπο του νιοστού όρου διαδοχικά για και .
• Για παίρνουμε:
• Για παίρνουμε:
Οπότε η σχέση γράφεται:
β) Ο τύπος του νιοστού όρου για και γίνεται:
. Συνεπώς για έχουμε:
.
γ) Στον τύπο για έχουμε:
ΕΚΦΩΝΗΣΗ
Δίνεται αριθμητική πρόοδος για την οποία ισχύει ότι: και .
α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά της προόδου είναι
β) Να βρείτε τον
γ) Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων όρων της προόδου.
Προτεινόμενη λύση
α) Εφαρμόζουμε τον τύπο του νιοστού όρου διαδοχικά για και .
• Για παίρνουμε:
• Για παίρνουμε:
Οπότε η σχέση γράφεται:
β) Ο τύπος του νιοστού όρου για και γίνεται:
. Συνεπώς για έχουμε:
.
γ) Στον τύπο για έχουμε:
Παντούλας Περικλής
Re: Η δεκάδα 1062-1088
ΑΣΚΗΣΗ 1067
ΕΚΦΩΝΗΣΗ
Δίνεται η παράσταση:
α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο .
β) Για ποιες τιμές του ορίζεται η παράσταση ;
γ) Να απλοποιήσετε την παράσταση .
Προτεινόμενη λύση
α) Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι: και συνεπώς το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες, τις:
.
Τότε το τριώνυμο παραγοντοποιείται ως εξής:
β) Η παράσταση ορίζεται για εκείνα τα για τα οποία ο παρονομαστής της παραμένει διάφορος του μηδενός. Οι ρίζες του παρονομαστή, είναι οι ρίζες του τριωνύμου του πρώτου ερωτήματος, δηλαδή οι και .
Συνεπώς η παράσταση ορίζεται για κάθε .
γ) Η παράσταση θα απλοποιηθεί, παραγοντοποιώντας αριθμητή και παρονομαστή. Λόγω και του πρώτου ερωτήματος, έχουμε:
ΕΚΦΩΝΗΣΗ
Δίνεται η παράσταση:
α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο .
β) Για ποιες τιμές του ορίζεται η παράσταση ;
γ) Να απλοποιήσετε την παράσταση .
Προτεινόμενη λύση
α) Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι: και συνεπώς το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες, τις:
.
Τότε το τριώνυμο παραγοντοποιείται ως εξής:
β) Η παράσταση ορίζεται για εκείνα τα για τα οποία ο παρονομαστής της παραμένει διάφορος του μηδενός. Οι ρίζες του παρονομαστή, είναι οι ρίζες του τριωνύμου του πρώτου ερωτήματος, δηλαδή οι και .
Συνεπώς η παράσταση ορίζεται για κάθε .
γ) Η παράσταση θα απλοποιηθεί, παραγοντοποιώντας αριθμητή και παρονομαστή. Λόγω και του πρώτου ερωτήματος, έχουμε:
τελευταία επεξεργασία από perpant σε Τρί Μάιος 27, 2014 1:16 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Παντούλας Περικλής
Re: Η δεκάδα 1062-1088
ΑΣΚΗΣΗ 1070
ΕΚΦΩΝΗΣΗ
Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί με και ώστε να ισχύουν:
και .
α) Να αποδείξετε ότι και .
β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης:
Προτεινόμενη λύση
α) Από τις δοθείσες έχουμε: και .
β) Έχουμε .
ΕΚΦΩΝΗΣΗ
Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί με και ώστε να ισχύουν:
και .
α) Να αποδείξετε ότι και .
β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης:
Προτεινόμενη λύση
α) Από τις δοθείσες έχουμε: και .
β) Έχουμε .
Παντούλας Περικλής
Re: Η δεκάδα 1062-1088
ΑΣΚΗΣΗ 1074
α) Να βρείτε για ποιες πραγματικές τιμές του ισχύει: .
β) Αν είναι τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, με και , τότε να αποδείξετε ότι , όπου είναι η περίμετρος του ορθογωνίου.
Προτεινόμενη λύση
α) Έχουμε
β) Η περίμετρος ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι με διαστάσεις είναι .
Τότε από τις σχέσεις που δόθηκαν για τις διαστάσεις, έχουμε:
α) Να βρείτε για ποιες πραγματικές τιμές του ισχύει: .
β) Αν είναι τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, με και , τότε να αποδείξετε ότι , όπου είναι η περίμετρος του ορθογωνίου.
Προτεινόμενη λύση
α) Έχουμε
β) Η περίμετρος ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι με διαστάσεις είναι .
Τότε από τις σχέσεις που δόθηκαν για τις διαστάσεις, έχουμε:
Παντούλας Περικλής
Re: Η δεκάδα 1062-1088
ΑΣΚΗΣΗ 1077
α) Να λύσετε την ανίσωση: .
β) Αν κάποιος αριθμός επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι:
Προτεινόμενη λύση
α) Έχουμε:
β) Αφού ο επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση ισχύει: .
Οπότε αφού τα μέλη είναι θετικά, αντιστρέφοντας και αλλάζοντας φορά στην ανίσωση παίρνουμε:
α) Να λύσετε την ανίσωση: .
β) Αν κάποιος αριθμός επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι:
Προτεινόμενη λύση
α) Έχουμε:
β) Αφού ο επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση ισχύει: .
Οπότε αφού τα μέλη είναι θετικά, αντιστρέφοντας και αλλάζοντας φορά στην ανίσωση παίρνουμε:
Παντούλας Περικλής
Re: Η δεκάδα 1062-1088
ΑΣΚΗΣΗ 1080
ΕΚΦΩΝΗΣΗ
Έστω πραγματικοί αριθμοί ώστε να ισχύει: .
α) Να αποδείξετε ότι: .
β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
Προτεινόμενη λύση
α) Αρχικά πρέπει . Τότε:
β) Χρησιμοποιώντας το πρώτο ερώτημα βρίσκουμε:
ΕΚΦΩΝΗΣΗ
Έστω πραγματικοί αριθμοί ώστε να ισχύει: .
α) Να αποδείξετε ότι: .
β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
Προτεινόμενη λύση
α) Αρχικά πρέπει . Τότε:
β) Χρησιμοποιώντας το πρώτο ερώτημα βρίσκουμε:
Παντούλας Περικλής
Re: Η δεκάδα 1062-1088
ΑΣΚΗΣΗ 1082
ΕΚΦΩΝΗΣΗ
Δίνεται η συνάρτηση .
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης .
β) Να δείξετε ότι: .
Προτεινόμενη λύση
α) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αποτελείται από εκείνα τα για τα οποία ο παρονομαστής παραμένει διάφορος του μηδενός. Βρίσκουμε λοιπόν για ποια
μηδενίζεται ο παρονομαστής. Έχουμε λοιπόν να λύσουμε την εξίσωση . Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι και συνεπώς
το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες, τις:
. Συνεπώς το πεδίο ορισμού της είναι το .
β) Για τα η συνάρτηση απλοποιείται και γράφεται: . Τότε .
ΕΚΦΩΝΗΣΗ
Δίνεται η συνάρτηση .
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης .
β) Να δείξετε ότι: .
Προτεινόμενη λύση
α) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αποτελείται από εκείνα τα για τα οποία ο παρονομαστής παραμένει διάφορος του μηδενός. Βρίσκουμε λοιπόν για ποια
μηδενίζεται ο παρονομαστής. Έχουμε λοιπόν να λύσουμε την εξίσωση . Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι και συνεπώς
το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες, τις:
. Συνεπώς το πεδίο ορισμού της είναι το .
β) Για τα η συνάρτηση απλοποιείται και γράφεται: . Τότε .
Παντούλας Περικλής
Re: Η δεκάδα 1062-1088
ΑΣΚΗΣΗ 1086
ΕΚΦΩΝΗΣΗ
Οι αριθμοί , , είναι, με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου .
α) Να βρείτε την τιμή του .
β) Αν και ο αριθμός είναι ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου ,
i) να υπολογίσετε τη διαφορά .
ii) να υπολογίσετε τον εικοστό όρο της αριθμητικής προόδου.
Προτεινόμενη λύση
α) Οι αριθμοί αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου και συνεπώς ο είναι ο αριθμητικός μέσος των και . Ισχύει λοιπόν:
β) Για οι τρεις αριθμοί είναι οι , και .
i) Η διαφορά της προόδου είναι .
ii) Με και , ο νιοστός όρος δίνεται από τον τύπο . Οπότε για έχουμε
ότι: .
ΕΚΦΩΝΗΣΗ
Οι αριθμοί , , είναι, με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου .
α) Να βρείτε την τιμή του .
β) Αν και ο αριθμός είναι ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου ,
i) να υπολογίσετε τη διαφορά .
ii) να υπολογίσετε τον εικοστό όρο της αριθμητικής προόδου.
Προτεινόμενη λύση
α) Οι αριθμοί αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου και συνεπώς ο είναι ο αριθμητικός μέσος των και . Ισχύει λοιπόν:
β) Για οι τρεις αριθμοί είναι οι , και .
i) Η διαφορά της προόδου είναι .
ii) Με και , ο νιοστός όρος δίνεται από τον τύπο . Οπότε για έχουμε
ότι: .
Παντούλας Περικλής
Re: Η δεκάδα 1062-1088
ΑΣΚΗΣΗ 1088
ΕΚΦΩΝΗΣΗ
α) Αν οι αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να προσδιορίσετε τον αριθμό .
β) Αν οι αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να προσδιορίσετε τον αριθμό .
γ) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε οι αριθμοί να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής και γεωμετρικής προόδου.
Προτεινόμενη λύση
α) Οι αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, και συνεπώς ο είναι ο αριθμητικός μέσος των και . Έχουμε λοιπόν:
.
β) Οι αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και συνεπώς ισχύει: . Το τριώνυμο έχει
διακρίνουσα και συνεπώς έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες, τις:
γ) Λόγω των δύο πρώτων ερωτημάτων έχουμε ότι:
• Οι αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου για , ενώ
• είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου για και .
Επαλήθευση:
Για οι τρεις αριθμοί είναι οι και αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου με διαφορά και γεωμετρικής με λόγο .
ΕΚΦΩΝΗΣΗ
α) Αν οι αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να προσδιορίσετε τον αριθμό .
β) Αν οι αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να προσδιορίσετε τον αριθμό .
γ) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε οι αριθμοί να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής και γεωμετρικής προόδου.
Προτεινόμενη λύση
α) Οι αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, και συνεπώς ο είναι ο αριθμητικός μέσος των και . Έχουμε λοιπόν:
.
β) Οι αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και συνεπώς ισχύει: . Το τριώνυμο έχει
διακρίνουσα και συνεπώς έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες, τις:
γ) Λόγω των δύο πρώτων ερωτημάτων έχουμε ότι:
• Οι αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου για , ενώ
• είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου για και .
Επαλήθευση:
Για οι τρεις αριθμοί είναι οι και αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου με διαφορά και γεωμετρικής με λόγο .
Παντούλας Περικλής
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες