Η δεκάδα 1062-1088

perpant · #1

ΑΣΚΗΣΗ 1062
ΕΚΦΩΝΗΣΗ

α) Να βρείτε για ποιες πραγματικές τιμές του $\displaystyle{y}$ ισχύει: $\displaystyle{\left| {y - 3} \right| < 1}$

β) Αν $\displaystyle{x,y}$ είναι τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, με $\displaystyle{1 < x < 3}$ και $\displaystyle{2 < y < 4}$ , τότε να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή του εμβαδού $\displaystyle{E}$ του ορθογωνίου.

Προτεινόμενη λύση:

α) Έχουμε $\displaystyle{\left| {y - 3} \right| < 1 \Leftrightarrow - 1 < y - 3 < 1 \Leftrightarrow - 1 + 3 < y - 3 + 3 < 1 + 3 \Leftrightarrow 2 < y < 4}$

β) Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι το γινόμενο των διαστάσεών του. Οπότε $\displaystyle{E = xy}$ .

Επειδή $\displaystyle{1 < x < 3}$ και $\displaystyle{2 < y < 4}$ και όλα τα μέλη είναι θετικά, πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις δύο σχέσεις έχουμε:

$\displaystyle{1 \cdot 2 < xy < 3 \cdot 4 \Leftrightarrow 2 < E < 12}$ .

perpant · #2

ΑΣΚΗΣΗ 1064

ΕΚΦΩΝΗΣΗ

Δίνεται αριθμητική πρόοδος $\displaystyle{\left( {{\alpha _\nu }} \right)}$ για την οποία ισχύει ότι: $\displaystyle{{\alpha _1} = 19}$ και $\displaystyle{{\alpha _{10}} - {\alpha _6} = 24}$ .

α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά της προόδου είναι $\displaystyle{\omega = 6}$

β) Να βρείτε τον $\displaystyle{{\alpha _{20}}}$

γ) Να βρείτε το άθροισμα των $\displaystyle{20}$ πρώτων όρων της προόδου.

Προτεινόμενη λύση

α) Εφαρμόζουμε τον τύπο του νιοστού όρου $\displaystyle{{\alpha _\nu } = {\alpha _1} + \left( {\nu - 1} \right)\omega }$ διαδοχικά για $\displaystyle{\nu = 10}$ και $\displaystyle{\nu = 6}$ .

• Για $\displaystyle{\nu = 10}$ παίρνουμε: $\displaystyle{{\alpha _{10}} = {\alpha _1} + \left( {10 - 1} \right)\omega \Leftrightarrow {\alpha _{10}} = 19 + 9\omega }$

• Για $\displaystyle{\nu = 6}$ παίρνουμε: $\displaystyle{{\alpha _6} = {\alpha _1} + \left( {6 - 1} \right)\omega \Leftrightarrow {\alpha _6} = 19 + 5\omega }$

Οπότε η σχέση $\displaystyle{{\alpha _{10}} - {\alpha _6} = 24}$ γράφεται:

$\displaystyle{{\alpha _{10}} - {\alpha _6} = 24 \Leftrightarrow 19 + 9\omega - \left( {19 + 5\omega } \right) = 24 \Leftrightarrow }$ $\displaystyle{19 + 9\omega - 19 - 5\omega = 24 \Leftrightarrow 4\omega = 24 \Leftrightarrow \omega = 6}$

β) Ο τύπος του νιοστού όρου για $\displaystyle{{\alpha _1} = 19}$ και $\displaystyle{\omega = 6}$ γίνεται:

$\displaystyle{{\alpha _\nu } = {\alpha _1} + \left( {\nu - 1} \right)\omega \Leftrightarrow {\alpha _\nu } = 19 + \left( {\nu - 1} \right)6}$ . Συνεπώς για $\displaystyle{\nu = 20}$ έχουμε:

$\displaystyle{{\alpha _{20}} = 19 + \left( {20 - 1} \right)6 = 19 + 19 \cdot 6 = 19\left( {1 + 6} \right) = 19 \cdot 7 \Leftrightarrow {\alpha _{20}} = 133}$ .

γ) Στον τύπο $\displaystyle{{S_\nu } = \frac{\nu }{2}\left( {2{\alpha _1} + \left( {\nu - 1} \right)\omega } \right)}$ για $\displaystyle{\nu = 20}$ έχουμε:

$\displaystyle{{S_{20}} = \frac{{20}}{2}\left( {2 \cdot 19 + \left( {20 - 1} \right)6} \right) = 10\left( {2 \cdot 19 + 19 \cdot 6} \right) = 10\left( {8 \cdot 19} \right) \Leftrightarrow {S_{20}} = 1520}$

perpant · #3

ΑΣΚΗΣΗ 1067

ΕΚΦΩΝΗΣΗ

Δίνεται η παράσταση: $\displaystyle{K = \frac{{{x^2} - 4x + 4}}{{2{x^2} - 3x - 2}}}$

α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο $\displaystyle{2{x^2} - 3x - 2}$ .

β) Για ποιες τιμές του ορίζεται η παράσταση $\displaystyle{K}$ ;

γ) Να απλοποιήσετε την παράσταση $\displaystyle{K}$ .

Προτεινόμενη λύση

α) Η διακρίνουσα του τριωνύμου $\displaystyle{2{x^2} - 3x - 2}$ είναι: $\displaystyle{\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4 \cdot 2 \cdot \left( { - 2} \right) = 9 + 16 = 25 > 0}$ και συνεπώς το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες, τις:

$\displaystyle{{x_{1,2}} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) \pm \sqrt {25} }}{{2 \cdot 2}} = \frac{{3 \pm 5}}{4} = \left\{ \begin{array}{l} {x_1} = \frac{{3 + 5}}{4} = 2\\ {x_2} = \frac{{3 - 5}}{4} = - \frac{1}{2} \end{array} \right.}$ .

Τότε το τριώνυμο παραγοντοποιείται ως εξής: $\displaystyle{2\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right) = 2\left( {x - 2} \right)\left( {x + \frac{1}{2}} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {2x + 1} \right)}$

β) Η παράσταση $\displaystyle{K}$ ορίζεται για εκείνα τα $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ για τα οποία ο παρονομαστής της παραμένει διάφορος του μηδενός. Οι ρίζες του παρονομαστή, είναι οι ρίζες του τριωνύμου του πρώτου ερωτήματος, δηλαδή οι $\displaystyle{{x_1} = 2}$ και $\displaystyle{{x_2} = - \frac{1}{2}}$ .

Συνεπώς η παράσταση $\displaystyle{K}$ ορίζεται για κάθε $\displaystyle{x \in \left( { - \infty , - \frac{1}{2}} \right) \cup \left( { - \frac{1}{2},2} \right) \cup \left( {2, + \infty } \right)}$ .

γ) Η παράσταση θα απλοποιηθεί, παραγοντοποιώντας αριθμητή και παρονομαστή. Λόγω και του πρώτου ερωτήματος, έχουμε:

$\displaystyle{K = \frac{{{x^2} - 4x + 4}}{{2{x^2} - 3x - 2}} = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {2x + 1} \right)}} = \frac{{x - 2}}{{2x + 1}}}$

perpant · #4

ΑΣΚΗΣΗ 1070

ΕΚΦΩΝΗΣΗ

Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$ με $\displaystyle{\beta \ne 0}$ και $\displaystyle{\delta \ne \gamma }$ ώστε να ισχύουν:

$\displaystyle{\frac{{\alpha + \beta }}{\beta } = 4}$ και $\displaystyle{\frac{\gamma }{{\delta - \gamma }} = \frac{1}{4}}$ .

α) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\alpha = 3\beta }$ και $\displaystyle{\delta = 5\gamma }$ .

β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης:

$\displaystyle{\Pi = \frac{{\alpha \gamma + \beta \gamma }}{{\beta \delta - \beta \gamma }}}$

Προτεινόμενη λύση

α) Από τις δοθείσες έχουμε: $\displaystyle{\frac{{\alpha + \beta }}{\beta } = 4 \Leftrightarrow \alpha + \beta = 4\beta \Leftrightarrow \alpha = 3\beta }$ και $\displaystyle{\frac{\gamma }{{\delta - \gamma }} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 4\gamma = \delta - \gamma \Leftrightarrow \delta = 5\gamma }$ .

β) Έχουμε $\displaystyle{\Pi = \frac{{\alpha \gamma + \beta \gamma }}{{\beta \delta - \beta \gamma }} = \frac{{\gamma \left( {\alpha + \beta } \right)}}{{\beta \left( {\delta - \gamma } \right)}}\mathop = \limits^{\left( \alpha \right)} = \frac{{\gamma \left( {3\beta + \beta } \right)}}{{\beta \left( {5\gamma - \gamma } \right)}} = \frac{{4\beta \gamma }}{{4\beta \gamma }} = 1}$ .

perpant · #5

ΑΣΚΗΣΗ 1074

α) Να βρείτε για ποιες πραγματικές τιμές του $\displaystyle{y}$ ισχύει: $\displaystyle{\left| {y - 3} \right| < 1}$ .

β) Αν $\displaystyle{x,y}$ είναι τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, με $\displaystyle{1 < x < 3}$ και $\displaystyle{2 < y < 4}$ , τότε να αποδείξετε ότι $\displaystyle{6 < \Pi < 14}$ , όπου $\displaystyle{\Pi }$ είναι η περίμετρος του ορθογωνίου.

Προτεινόμενη λύση

α) Έχουμε $\displaystyle{\left| {y - 3} \right| < 1 \Leftrightarrow - 1 < y - 3 < 1 \Leftrightarrow - 1 + 3 < y - 3 + 3 < 1 + 3 \Leftrightarrow 2 < y < 4}$

β) Η περίμετρος ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι με διαστάσεις $\displaystyle{x,y}$ είναι $\displaystyle{\Pi = 2x + 2y = 2\left( {x + y} \right)}$ .

Τότε από τις σχέσεις που δόθηκαν για τις διαστάσεις, έχουμε: $\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} 1 < x < 3\\ 2 < y < 4 \end{array} \right.\mathop \Rightarrow \limits^ \oplus 3 < x + y < 7 \Rightarrow 2 \cdot 3 < 2\left( {x + y} \right) < 2 \cdot 7 \Rightarrow 6 < \Pi < 14}$

perpant · #6

ΑΣΚΗΣΗ 1077

α) Να λύσετε την ανίσωση: $\displaystyle{\left| {x - 5} \right| < 4}$ .

β) Αν κάποιος αριθμός $\displaystyle{\alpha }$ επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{\frac{1}{9} < \frac{1}{\alpha } < 1}$

Προτεινόμενη λύση

α) Έχουμε:
$\displaystyle{\begin{array}{l} \left| {x - 5} \right| < 4 \Leftrightarrow \\ - 4 < x - 5 < 4 \Leftrightarrow \\ - 4 + 5 < x - 5 + 5 < 4 + 5 \Leftrightarrow \\ 1 < x < 9 \end{array}}$

β) Αφού ο $\displaystyle{\alpha }$ επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση ισχύει: $\displaystyle{1 < \alpha < 9}$ .

Οπότε αφού τα μέλη είναι θετικά, αντιστρέφοντας και αλλάζοντας φορά στην ανίσωση παίρνουμε: $\displaystyle{1 < \alpha < 9 \Leftrightarrow 1 > \frac{1}{\alpha } > \frac{1}{9} \Leftrightarrow \frac{1}{9} < \frac{1}{\alpha } < 1}$

perpant · #7

ΑΣΚΗΣΗ 1080

ΕΚΦΩΝΗΣΗ

Έστω $\displaystyle{x,y}$ πραγματικοί αριθμοί ώστε να ισχύει: $\displaystyle{\frac{{4x + 5y}}{{x - 4y}} = - 2}$ .

α) Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{y = 2x}$ .

β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
$\displaystyle{A = \frac{{2{x^2} + 3{y^2} + xy}}{{xy}}}$

Προτεινόμενη λύση

α) Αρχικά πρέπει $\displaystyle{x - 4y \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 4y}$ . Τότε:

$\displaystyle{\begin{array}{l} \frac{{4x + 5y}}{{x - 4y}} = - 2 \Leftrightarrow 4x + 5y = - 2\left( {x - 4y} \right) \Leftrightarrow \\ 4x + 5y = - 2x + 8y \Leftrightarrow 8y - 5y = 4x + 2x \Leftrightarrow \\ 3y = 6x \Leftrightarrow y = 2x \end{array}}$

β) Χρησιμοποιώντας το πρώτο ερώτημα βρίσκουμε:

$\displaystyle{\begin{array}{l} A = \frac{{2{x^2} + 3{y^2} + xy}}{{xy}}\mathop = \limits^{y = 2x} \frac{{2{x^2} + 3{{\left( {2x} \right)}^2} + x \cdot 2x}}{{x \cdot 2x}} = \\ \frac{{2{x^2} + 12{x^2} + 2{x^2}}}{{2{x^2}}} = \frac{{16{x^2}}}{{2{x^2}}} = 8 \end{array}}$

perpant · #8

ΑΣΚΗΣΗ 1082

ΕΚΦΩΝΗΣΗ

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{{x + 2}}{{{x^2} - x - 6}}}$ .

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ .

β) Να δείξετε ότι: $\displaystyle{f\left( 2 \right) + f\left( 4 \right) = 0}$ .

Προτεινόμενη λύση

α) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ αποτελείται από εκείνα τα $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ για τα οποία ο παρονομαστής παραμένει διάφορος του μηδενός. Βρίσκουμε λοιπόν για ποια $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$

μηδενίζεται ο παρονομαστής. Έχουμε λοιπόν να λύσουμε την εξίσωση $\displaystyle{{x^2} - x - 6 = 0}$ . Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι $\displaystyle{\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 6} \right) = 25 > 0}$ και συνεπώς

το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες, τις:

$\displaystyle{{x_{1,2}} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) \pm \sqrt {25} }}{2} = \frac{{1 \pm 5}}{2} = \left\{ \begin{array}{l} {x_1} = \frac{{1 + 5}}{2} = 3\\ {x_2} = \frac{{1 - 5}}{2} = - 2 \end{array} \right.}$ . Συνεπώς το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{f}$ είναι το $\displaystyle{A=\mathbb{R}-\left\{ -2,3 \right\}}$ .

β) Για τα $\displaystyle{x \ne - 2,3}$ η συνάρτηση απλοποιείται και γράφεται: $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{{x + 2}}{{{x^2} - x - 6}} = \frac{{x + 2}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{{x - 3}}}$ . Τότε $\displaystyle{f\left( 2 \right) + f\left( 4 \right) = \frac{1}{{2 - 3}} + \frac{1}{{4 - 3}} = - 1 + 1 = 0}$ .

perpant · #9

ΑΣΚΗΣΗ 1086

ΕΚΦΩΝΗΣΗ

Οι αριθμοί $\displaystyle{A = 1}$ , $\displaystyle{B = x + 4}$ , $\displaystyle{\Gamma = x + 8}$ είναι, με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου $\displaystyle{\left( {{\alpha _\nu }} \right)}$ .

α) Να βρείτε την τιμή του $\displaystyle{x}$ .

β) Αν $\displaystyle{x = 1}$ και ο αριθμός $\displaystyle{A}$ είναι ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου $\displaystyle{\left( {{\alpha _\nu }} \right)}$ ,

i) να υπολογίσετε τη διαφορά $\displaystyle{\omega }$ .

ii) να υπολογίσετε τον εικοστό όρο της αριθμητικής προόδου.

Προτεινόμενη λύση

α) Οι αριθμοί $\displaystyle{{\rm A},{\rm B},\Gamma }$ αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου και συνεπώς ο $\displaystyle{{\rm B}}$ είναι ο αριθμητικός μέσος των $\displaystyle{{\rm A}}$ και $\displaystyle{\Gamma }$ . Ισχύει λοιπόν:

$\displaystyle{\begin{array}{l} {\rm B} = \frac{{{\rm A} + \Gamma }}{2} \Leftrightarrow 2{\rm B} = {\rm A} + \Gamma \Leftrightarrow \\ 2\left( {x + 4} \right) = 1 + x + 8 \Leftrightarrow \\ 2x + 8 = x + 9 \Leftrightarrow x = 1 \end{array}}$

β) Για $\displaystyle{x = 1}$ οι τρεις αριθμοί είναι οι $\displaystyle{A = 1}$ , $\displaystyle{B = 5}$ και $\displaystyle{\Gamma = 9}$ .

i) Η διαφορά της προόδου είναι $\displaystyle{\omega = {\rm B} - {\rm A} = 5 - 1 = 4}$ .

ii) Με $\displaystyle{{\alpha _1} = {\rm A} = 1}$ και $\displaystyle{\omega = 4}$ , ο νιοστός όρος δίνεται από τον τύπο $\displaystyle{{\alpha _\nu } = {\alpha _1} + \left( {\nu - 1} \right)\omega = 1 + \left( {\nu - 1} \right)4 = 1 + 4\nu - 4 \Leftrightarrow }$ $\displaystyle{{\alpha _\nu } = 4\nu - 3}$ . Οπότε για $\displaystyle{\nu = 20}$ έχουμε

ότι: $\displaystyle{{\alpha _{20}} = 4 \cdot 20 - 3 = 77}$ .

perpant · #10

ΑΣΚΗΣΗ 1088

ΕΚΦΩΝΗΣΗ

α) Αν οι αριθμοί $\displaystyle{4 - x\,\,,\,\,x\,\,,\,\,2}$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να προσδιορίσετε τον αριθμό $\displaystyle{x}$ .

β) Αν οι αριθμοί $\displaystyle{4 - x\,\,,\,\,x\,\,,\,\,2}$ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να προσδιορίσετε τον αριθμό $\displaystyle{x}$ .

γ) Να βρεθεί ο αριθμός $\displaystyle{x}$ ώστε οι αριθμοί $\displaystyle{4 - x\,\,,\,\,x\,\,,\,\,2}$ να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής και γεωμετρικής προόδου.

Προτεινόμενη λύση

α) Οι αριθμοί $\displaystyle{4 - x\,\,,\,\,x\,\,,\,\,2}$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, και συνεπώς ο $\displaystyle{x}$ είναι ο αριθμητικός μέσος των $\displaystyle{4 - x}$ και $\displaystyle{2}$ . Έχουμε λοιπόν:

$\displaystyle{x = \frac{{4 - x + 2}}{2} \Leftrightarrow 2x = 6 - x \Leftrightarrow 3x = 6 \Leftrightarrow x = 2}$ .

β) Οι αριθμοί $\displaystyle{4 - x\,\,,\,\,x\,\,,\,\,2}$ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και συνεπώς ισχύει: $\displaystyle{{x^2} = \left( {4 - x} \right)2 \Leftrightarrow {x^2} = - 2x + 8 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 8 = 0}$ . Το τριώνυμο έχει

διακρίνουσα $\displaystyle{\Delta = {2^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 8} \right) = 36 > 0}$ και συνεπώς έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες, τις:

$\displaystyle{{x_{1,2}} = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {36} }}{2} = \frac{{ - 2 \pm 6}}{2} = \left\{ \begin{array}{l} {x_1} = \frac{{ - 2 + 6}}{2} = 2\\ {x_2} = \frac{{ - 2 - 6}}{2} = - 4 \end{array} \right.}$

γ) Λόγω των δύο πρώτων ερωτημάτων έχουμε ότι:

• Οι αριθμοί $\displaystyle{4 - x\,\,,\,\,x\,\,,\,\,2}$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου για $\displaystyle{x = 2}$ , ενώ

• είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου για $\displaystyle{x = 2}$ και $\displaystyle{x = - 4}$ .

Επαλήθευση:

Για $\displaystyle{x = 2}$ οι τρεις αριθμοί είναι οι $\displaystyle{2,2,2}$ και αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου με διαφορά $\displaystyle{\omega = 0}$ και γεωμετρικής με λόγο $\displaystyle{\lambda = 1}$ .

Η δεκάδα 1062-1088

Η δεκάδα 1062-1088

Re: Η δεκάδα 1062-1088

Re: Η δεκάδα 1062-1088

Re: Η δεκάδα 1062-1088

Re: Η δεκάδα 1062-1088

Re: Η δεκάδα 1062-1088

Re: Η δεκάδα 1062-1088

Re: Η δεκάδα 1062-1088

Re: Η δεκάδα 1062-1088

Re: Η δεκάδα 1062-1088

Μέλη σε σύνδεση