Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex
Συντονιστής: stranton
-
- Δημοσιεύσεις: 311
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 26, 2011 2:10 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex
4912
Θεωρούμε τις συναρτήσεις και , με και .
α) Για , να προσδιορίσετε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και .
β) Να βρείτε για ποιες τιμές του οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και τέμνονται σε δύο σημεία .
γ) Για , να εξετάσετε αν οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και είναι ομόσημες ή ετερόσημες .
Ενδεικτικές απαντήσεις :
α) Για , ο τύπος της συνάρτησης είναι . Τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και είναι οι λύσεις του συστήματος : και (1).
Επομένως από το σύστημα παίρνουμε (2) .
Οπότε για σε μια από τις δύο εξισώσεις του συστήματος (1) έχω ,
ενώ για σε μια από τις δύο εξισώσεις του συστήματος (1) έχω . Άρα τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και είναι τα και .
β) Για να τέμνονται σε δύο σημεία οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και θα πρέπει το σύστημα : και (1) να έχει δύο λύσεις .
Επομένως από το σύστημα παίρνουμε (2) .
Πρέπει για την δευτεροβάθμια εξίσωση που προέκυψε να έχω :
γ) Για .
Όμως στην δευτεροβάθμια εξίσωση είναι (όπου , το γινόμενο των ριζών της δευτεροβάθμιας εξίσωσης).
Επειδή οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και είναι ετερόσημες .
Θεωρούμε τις συναρτήσεις και , με και .
α) Για , να προσδιορίσετε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και .
β) Να βρείτε για ποιες τιμές του οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και τέμνονται σε δύο σημεία .
γ) Για , να εξετάσετε αν οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και είναι ομόσημες ή ετερόσημες .
Ενδεικτικές απαντήσεις :
α) Για , ο τύπος της συνάρτησης είναι . Τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και είναι οι λύσεις του συστήματος : και (1).
Επομένως από το σύστημα παίρνουμε (2) .
Οπότε για σε μια από τις δύο εξισώσεις του συστήματος (1) έχω ,
ενώ για σε μια από τις δύο εξισώσεις του συστήματος (1) έχω . Άρα τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και είναι τα και .
β) Για να τέμνονται σε δύο σημεία οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και θα πρέπει το σύστημα : και (1) να έχει δύο λύσεις .
Επομένως από το σύστημα παίρνουμε (2) .
Πρέπει για την δευτεροβάθμια εξίσωση που προέκυψε να έχω :
γ) Για .
Όμως στην δευτεροβάθμια εξίσωση είναι (όπου , το γινόμενο των ριζών της δευτεροβάθμιας εξίσωσης).
Επειδή οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και είναι ετερόσημες .
-
- Δημοσιεύσεις: 311
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 26, 2011 2:10 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex
4925
Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι και , ακέραιος με .
α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά της προόδου είναι αριθμός περιττός .
β) Αν επιπλέον ο πρώτος όρος της είναι , τότε :
i) Να βρείτε τον αριθμό και να αποδείξετε ότι .
ii) Να εξετάσετε αν ο αριθμός είναι όρος της προόδου .
Ενδεικτικές απαντήσεις :
α) Γνωρίζω ότι η διαφορά μιας αριθμητικής προόδου δίνεται από την σχέση .
Οπότε έχω , άρα περιττός αριθμός.
β) Είναι (1) και (2) .
Από τις σχέσεις (1),(2) με έχω .
Άρα , άρα δεκτή , αφού , περιττός και , απορρίπτεται αφού .
Για είναι .
γ) Για να βρούμε αν υπάρχει όρος της προόδου είναι ίσος με 1017 αρκεί να εξετάσουμε αν υπάρχει ώστε .
Οπότε για και έχουμε .
Άρα υπάρχει όρος που είναι ίσος με 1017 και είναι ο .
Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι και , ακέραιος με .
α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά της προόδου είναι αριθμός περιττός .
β) Αν επιπλέον ο πρώτος όρος της είναι , τότε :
i) Να βρείτε τον αριθμό και να αποδείξετε ότι .
ii) Να εξετάσετε αν ο αριθμός είναι όρος της προόδου .
Ενδεικτικές απαντήσεις :
α) Γνωρίζω ότι η διαφορά μιας αριθμητικής προόδου δίνεται από την σχέση .
Οπότε έχω , άρα περιττός αριθμός.
β) Είναι (1) και (2) .
Από τις σχέσεις (1),(2) με έχω .
Άρα , άρα δεκτή , αφού , περιττός και , απορρίπτεται αφού .
Για είναι .
γ) Για να βρούμε αν υπάρχει όρος της προόδου είναι ίσος με 1017 αρκεί να εξετάσουμε αν υπάρχει ώστε .
Οπότε για και έχουμε .
Άρα υπάρχει όρος που είναι ίσος με 1017 και είναι ο .
-
- Δημοσιεύσεις: 311
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 26, 2011 2:10 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex
4946
α) Να λύσετε την ανίσωση .
β) Να απεικονίσετε το σύνολο των λύσεων της ανίσωσης αυτής πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών και να ερμηνεύσετε το αποτέλεσμα , με βάση την γεωμετρική σημασία της παράστασης
γ) Να βρείτε όλους τους ακέραιους αριθμούς που ικανοποιούν την ανίσωση .
δ) Να βρείτε το πλήθος των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν την ανίσωση .
Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας .
Ενδεικτικές απαντήσεις :
α) .
β) Η γεωμετρική ερμηνεία της παράστασης είναι η απόσταση του πραγματικού αριθμού από τον αριθμό 3 .
Άρα αναζητάμε τους πραγματικούς αριθμούς οι οποίοι απέχουν από τον αριθμό 3 απόσταση μικρότερη ή ίση από 5 . γ) Η λύση της ανίσωσης , από α) ερώτημα μου δίνει .
Επομένως οι ακέραιοι αριθμοί που ικανοποιούν την ανίσωση είναι οι .
δ)
Άρα που ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό και
Οπότε , επομένως το πλήθος των ακεραίων είναι .
α) Να λύσετε την ανίσωση .
β) Να απεικονίσετε το σύνολο των λύσεων της ανίσωσης αυτής πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών και να ερμηνεύσετε το αποτέλεσμα , με βάση την γεωμετρική σημασία της παράστασης
γ) Να βρείτε όλους τους ακέραιους αριθμούς που ικανοποιούν την ανίσωση .
δ) Να βρείτε το πλήθος των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν την ανίσωση .
Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας .
Ενδεικτικές απαντήσεις :
α) .
β) Η γεωμετρική ερμηνεία της παράστασης είναι η απόσταση του πραγματικού αριθμού από τον αριθμό 3 .
Άρα αναζητάμε τους πραγματικούς αριθμούς οι οποίοι απέχουν από τον αριθμό 3 απόσταση μικρότερη ή ίση από 5 . γ) Η λύση της ανίσωσης , από α) ερώτημα μου δίνει .
Επομένως οι ακέραιοι αριθμοί που ικανοποιούν την ανίσωση είναι οι .
δ)
Άρα που ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό και
Οπότε , επομένως το πλήθος των ακεραίων είναι .
τελευταία επεξεργασία από Θεοδωρος Παγωνης σε Τετ Μάιος 28, 2014 10:07 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 311
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 26, 2011 2:10 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex
4952
α) Θεωρούμε την εξίσωση , με παράμετρο .
i) Να βρείτε για ποιες τιμές του η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες .
ii) Να βρείτε την τιμή του ώστε η εξίσωση να έχει διπλή ρίζα , την οποία και να προσδιορίσετε .
β) Δίνεται το τριώνυμο , .
i) Να αποδείξετε ότι , για κάθε .
ii) Να λύσετε την ανίσωση .
Ενδεικτικές απαντήσεις :
α) i) Η δοθείσα εξίσωση ισοδύναμα γίνεται (1) . Άρα για να έχει η δοθείσα εξίσωση δυο ρίζες πραγματικές και άνισες πρέπει η (1) να έχει θετική διακρίνουσα .
Οπότε έχω : .
ii) Για να έχει η δοθείσα εξίσωση διπλή ρίζα η (1) να έχει διακρίνουσα ίση με το μηδέν.
Οπότε έχω : .
Για η (1) γίνεται , ηδιπλή ρίζα της εξίσωσης .
β) i) Είναι .
Οπότε έχω
(β τρόπος : να λύσω την ανίσωση και να βρω .
ii) Επειδή , για κάθε η ανίσωση ορίζεται για κάθε , οπότε έχω :
.
α) Θεωρούμε την εξίσωση , με παράμετρο .
i) Να βρείτε για ποιες τιμές του η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες .
ii) Να βρείτε την τιμή του ώστε η εξίσωση να έχει διπλή ρίζα , την οποία και να προσδιορίσετε .
β) Δίνεται το τριώνυμο , .
i) Να αποδείξετε ότι , για κάθε .
ii) Να λύσετε την ανίσωση .
Ενδεικτικές απαντήσεις :
α) i) Η δοθείσα εξίσωση ισοδύναμα γίνεται (1) . Άρα για να έχει η δοθείσα εξίσωση δυο ρίζες πραγματικές και άνισες πρέπει η (1) να έχει θετική διακρίνουσα .
Οπότε έχω : .
ii) Για να έχει η δοθείσα εξίσωση διπλή ρίζα η (1) να έχει διακρίνουσα ίση με το μηδέν.
Οπότε έχω : .
Για η (1) γίνεται , ηδιπλή ρίζα της εξίσωσης .
β) i) Είναι .
Οπότε έχω
(β τρόπος : να λύσω την ανίσωση και να βρω .
ii) Επειδή , για κάθε η ανίσωση ορίζεται για κάθε , οπότε έχω :
.
-
- Δημοσιεύσεις: 311
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 26, 2011 2:10 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex
4957
Δίνεται το τριώνυμο , .
α) Να βρείτε την διακρίνουσα του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε .
β) Αν , είναι οι ρίζες του τριωνύμου , να εκφράσετε το άθροισμα συναρτήσει του και να βρείτε την τιμή του γινομένου των ριζών .
γ) Αν , το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές ; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας .
δ) Για κάθε , αν , είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου , να αποδείξετε ότι .
Ενδεικτικές απαντήσεις :
α) Είναι
, για κάθε , οπότε το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές .
β) και
γ) Για είναι και , οπότε έχει ρίζες θετικές .
δ) Για είναι ,επειδή , ισοδύναμα έχω
, που ισχύει για κάθε .
Δίνεται το τριώνυμο , .
α) Να βρείτε την διακρίνουσα του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε .
β) Αν , είναι οι ρίζες του τριωνύμου , να εκφράσετε το άθροισμα συναρτήσει του και να βρείτε την τιμή του γινομένου των ριζών .
γ) Αν , το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές ; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας .
δ) Για κάθε , αν , είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου , να αποδείξετε ότι .
Ενδεικτικές απαντήσεις :
α) Είναι
, για κάθε , οπότε το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές .
β) και
γ) Για είναι και , οπότε έχει ρίζες θετικές .
δ) Για είναι ,επειδή , ισοδύναμα έχω
, που ισχύει για κάθε .
-
- Δημοσιεύσεις: 311
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 26, 2011 2:10 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex
4962
Δίνεται το τριώνυμο , .
α) Να βρείτε την διακρίνουσα του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε .
β) Αν , είναι οι ρίζες του τριωνύμου , να εκφράσετε το άθροισμα συναρτήσει του και να βρείτε την τιμή του γινομένου των ριζών .
γ) Αν , το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές ; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας .
δ) Αν και , είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου , τότε να συγκρίνεται τους αριθμούς και 1 .
Ενδεικτικές απαντήσεις :
Παρατήρηση : είναι ακριβώς η ίδια άσκηση με την 4957. Αλλάζει μόνο η διατύπωση του δ) ερωτήματος . Οπότε copy paste οι απαντήσεις των τριών πρώτων ερωτημάτων (Θα μπορούσε και το δ) ερώτημα να γίνει copy paste…)
α) Είναι
, για κάθε , οπότε το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές .
β) και
γ) Για είναι και , οπότε έχει ρίζες θετικές .
δ) Βρίσκω το πρόσημο της διαφοράς των αριθμών και 1
Είναι , για κάθε .Επομένως .
Δίνεται το τριώνυμο , .
α) Να βρείτε την διακρίνουσα του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε .
β) Αν , είναι οι ρίζες του τριωνύμου , να εκφράσετε το άθροισμα συναρτήσει του και να βρείτε την τιμή του γινομένου των ριζών .
γ) Αν , το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές ; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας .
δ) Αν και , είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου , τότε να συγκρίνεται τους αριθμούς και 1 .
Ενδεικτικές απαντήσεις :
Παρατήρηση : είναι ακριβώς η ίδια άσκηση με την 4957. Αλλάζει μόνο η διατύπωση του δ) ερωτήματος . Οπότε copy paste οι απαντήσεις των τριών πρώτων ερωτημάτων (Θα μπορούσε και το δ) ερώτημα να γίνει copy paste…)
α) Είναι
, για κάθε , οπότε το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές .
β) και
γ) Για είναι και , οπότε έχει ρίζες θετικές .
δ) Βρίσκω το πρόσημο της διαφοράς των αριθμών και 1
Είναι , για κάθε .Επομένως .
-
- Δημοσιεύσεις: 311
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 26, 2011 2:10 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex
4965
Δίνεται το τριώνυμο , .
α) Να βρείτε την διακρίνουσα του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε .
β) Αν , είναι οι ρίζες του τριωνύμου , να εκφράσετε το άθροισμα συναρτήσει του και να βρείτε την τιμή του γινομένου των ριζών .
γ) Αν , το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές ; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας .
δ) Αν και , με είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου , τότε να βρείτε το πρόσημο του γινομένου , όπου είναι αριθμοί τέτοιοι ώστε .
Ενδεικτικές απαντήσεις :
Παρατήρηση ΞΑΝΑ : είναι ακριβώς η ίδια άσκηση με την 4957. Αλλάζει μόνο το δ) ερώτημα . Οπότε copy paste οι απαντήσεις των τριών πρώτων ερωτημάτων.
α) Είναι
, για κάθε , οπότε το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές .
β) και
γ) Για είναι και , οπότε έχει ρίζες θετικές .
δ) Έστω
Επειδή και , θετικές ρίζες , ο πίνακας προσήμου του τριωνύμου είναι ο παρακάτω .
Εύκολα διαπιστώνουμε ότι , και επομένως
Δίνεται το τριώνυμο , .
α) Να βρείτε την διακρίνουσα του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε .
β) Αν , είναι οι ρίζες του τριωνύμου , να εκφράσετε το άθροισμα συναρτήσει του και να βρείτε την τιμή του γινομένου των ριζών .
γ) Αν , το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές ; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας .
δ) Αν και , με είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου , τότε να βρείτε το πρόσημο του γινομένου , όπου είναι αριθμοί τέτοιοι ώστε .
Ενδεικτικές απαντήσεις :
Παρατήρηση ΞΑΝΑ : είναι ακριβώς η ίδια άσκηση με την 4957. Αλλάζει μόνο το δ) ερώτημα . Οπότε copy paste οι απαντήσεις των τριών πρώτων ερωτημάτων.
α) Είναι
, για κάθε , οπότε το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές .
β) και
γ) Για είναι και , οπότε έχει ρίζες θετικές .
δ) Έστω
Επειδή και , θετικές ρίζες , ο πίνακας προσήμου του τριωνύμου είναι ο παρακάτω .
Εύκολα διαπιστώνουμε ότι , και επομένως
- Συνημμένα
-
- 4965.jpg (7.11 KiB) Προβλήθηκε 5173 φορές
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex
7958
α) Να λύσετε την ανίσωση: (Μονάδες 10)
β) Δίνονται δύο αριθμοί οι οποίοι είναι λύσεις της ανίσωσης
και ικανοποιούν επιπλέον τη σχέση:
i) Να δείξετε ότι το είναι μεταξύ των (Μονάδες 8)
ii) Να δείξετε ότι : (Μονάδες 7)
Λύση
α) Η
Είναι , οπότε :
Αφού
β)
ι) Για τους γνωρίζουμε ότι : , επομένως οι αριθμοί είναι ετερόσημοι , άρα :
ή
ιι) Επειδή οι αποτελούν λύσεις της θα ανήκουν στο σύνολο
και επειδή ισχύει η , δεν βρίσκονται συγχρόνως στο ίδιο διάστημα .
Επειδή , η μεταξύ τους απόσταση δεν μπορεί να είναι μικρότερη του , που
σημαίνει ότι
β΄τρόπος
Επειδή , μπορούμε να υποθέσουμε ότι .
Τότε όμως επειδή οι αποτελούν λύσεις της θα ανήκουν στο σύνολο
Επομένως , οπότε και με πρόσθεση κατά μέλη :
, αφού
α) Να λύσετε την ανίσωση: (Μονάδες 10)
β) Δίνονται δύο αριθμοί οι οποίοι είναι λύσεις της ανίσωσης
και ικανοποιούν επιπλέον τη σχέση:
i) Να δείξετε ότι το είναι μεταξύ των (Μονάδες 8)
ii) Να δείξετε ότι : (Μονάδες 7)
Λύση
α) Η
Είναι , οπότε :
Αφού
β)
ι) Για τους γνωρίζουμε ότι : , επομένως οι αριθμοί είναι ετερόσημοι , άρα :
ή
ιι) Επειδή οι αποτελούν λύσεις της θα ανήκουν στο σύνολο
και επειδή ισχύει η , δεν βρίσκονται συγχρόνως στο ίδιο διάστημα .
Επειδή , η μεταξύ τους απόσταση δεν μπορεί να είναι μικρότερη του , που
σημαίνει ότι
β΄τρόπος
Επειδή , μπορούμε να υποθέσουμε ότι .
Τότε όμως επειδή οι αποτελούν λύσεις της θα ανήκουν στο σύνολο
Επομένως , οπότε και με πρόσθεση κατά μέλη :
, αφού
Kαλαθάκης Γιώργης
- Πρωτοπαπάς Λευτέρης
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 2937
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
- Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex
Διαπιστώνω ότι έχει γίνει λάθος στα θέματα που είχα χρεωθεί να ετοιμάσω.
Όπως έγραψα και εδώ
viewtopic.php?f=107&t=40612&start=200
ετοίμασα τα 4551-4859,
τα οποία έχω στείλει ήση στον Σπύρο.
Όπως έγραψα και εδώ
viewtopic.php?f=107&t=40612&start=200
ετοίμασα τα 4551-4859,
τα οποία έχω στείλει ήση στον Σπύρο.
Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
- Πρωτοπαπάς Λευτέρης
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 2937
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
- Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex
6226
Η εξίσωση
έχει διακρίνουσα
,
οπότε έχει πραγματικές ρίζες.
Αν είναι οι ρίζες θα έχουμε ότι:
και
.
Αφού τα εκφράζουν μήκη, ισχύει ότι ,
άρα ,
αφού το ελλιπές τριώνυμο
έχει διακρίνουσα
και ρίζες .
α) i) Για έχουμε:
.
ii) Για έχουμε:
.
β) Για έχουμε:
, η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική.
γ) Για έχουμε: .
Αν η εξίσωση γίνεται: ,
δηλαδή η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα, άρα ,
οπότε το ορθογώνιο είναι τετράγωνο.
Η εξίσωση
έχει διακρίνουσα
,
οπότε έχει πραγματικές ρίζες.
Αν είναι οι ρίζες θα έχουμε ότι:
και
.
Αφού τα εκφράζουν μήκη, ισχύει ότι ,
άρα ,
αφού το ελλιπές τριώνυμο
έχει διακρίνουσα
και ρίζες .
α) i) Για έχουμε:
.
ii) Για έχουμε:
.
β) Για έχουμε:
, η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική.
γ) Για έχουμε: .
Αν η εξίσωση γίνεται: ,
δηλαδή η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα, άρα ,
οπότε το ορθογώνιο είναι τετράγωνο.
Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
- Πρωτοπαπάς Λευτέρης
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 2937
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
- Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex
6227
α) Το τριώνυμο
έχει διακρίνουσα
και ρίζες .
Συνεπώς: .
β) Θεωρούμε τη συνάρτηση με , οπότε .
Όμως και , για κάθε ,
άρα .
γ) Έχουμε ότι .
Επίσης , αφού .
α) Το τριώνυμο
έχει διακρίνουσα
και ρίζες .
Συνεπώς: .
β) Θεωρούμε τη συνάρτηση με , οπότε .
Όμως και , για κάθε ,
άρα .
γ) Έχουμε ότι .
Επίσης , αφού .
Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
- Πρωτοπαπάς Λευτέρης
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 2937
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
- Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex
6228
α) Έχουμε ότι και
Τότε το εμβαδό του ορθογωνίου τριγώνου είναι ,
άρα .
β) Για έχουμε:
, η οποία ισχύει, άρα και η αρχική.
γ) Για έχουμε:
.
Για έχουμε , οπότε το ορθογώνιο τρίγωνο είναι και ισοσκελές.
edit: Διορθώθηκε μια ισοδυναμία που δεν έβγαινε σωστά.
α) Έχουμε ότι και
Τότε το εμβαδό του ορθογωνίου τριγώνου είναι ,
άρα .
β) Για έχουμε:
, η οποία ισχύει, άρα και η αρχική.
γ) Για έχουμε:
.
Για έχουμε , οπότε το ορθογώνιο τρίγωνο είναι και ισοσκελές.
edit: Διορθώθηκε μια ισοδυναμία που δεν έβγαινε σωστά.
τελευταία επεξεργασία από Πρωτοπαπάς Λευτέρης σε Τετ Μάιος 28, 2014 1:23 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
- Πρωτοπαπάς Λευτέρης
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 2937
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
- Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex
6231
α) Έχουμε ότι:
και
.
Πρέπει:
.
Το ζητούμενο εμβαδό είναι
.
β) Για έχουμε:
, η οποία ισχύει, άρα και η αρχική.
γ) Αναζητούμε έτσι ώστε:
,
δηλαδή όταν το βρίσκεται στο μέσο της πλευράς
και ισχύει
.
Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο
, έχουμε ότι:
.
α) Έχουμε ότι:
και
.
Πρέπει:
.
Το ζητούμενο εμβαδό είναι
.
β) Για έχουμε:
, η οποία ισχύει, άρα και η αρχική.
γ) Αναζητούμε έτσι ώστε:
,
δηλαδή όταν το βρίσκεται στο μέσο της πλευράς
και ισχύει
.
Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο
, έχουμε ότι:
.
τελευταία επεξεργασία από nsmavrogiannis σε Σάβ Μάιος 31, 2014 2:20 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Διόθωση Κώδικα LaTeX
Λόγος: Διόθωση Κώδικα LaTeX
Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
- Πρωτοπαπάς Λευτέρης
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 2937
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
- Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex
6678
α) Αφού μήκη και εμβαδό, έχουμε ότι .
Για το εμβαδό του ορθογωνίου έχουμε ότι: .
Αφού οι αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ισχύει
.
Από τις βρίσκουμε ότι: , λόγω της .
β) i) Από το (α) ερώτημα έχουμε ότι .
Γνωρίζουμε ότι μια δευτεροβάθμια εξίσωση με ρίζες είναι η
, όπου .
Συνεπώς για έχουμε
και η αντίστοιχη δευτεροβάθμια εξίσωση είναι η .
ii) Τα μήκη είναι οι ρίζες της εξίσωσης ,
που έχει ρίζες ,
δηλαδή ή
.
α) Αφού μήκη και εμβαδό, έχουμε ότι .
Για το εμβαδό του ορθογωνίου έχουμε ότι: .
Αφού οι αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ισχύει
.
Από τις βρίσκουμε ότι: , λόγω της .
β) i) Από το (α) ερώτημα έχουμε ότι .
Γνωρίζουμε ότι μια δευτεροβάθμια εξίσωση με ρίζες είναι η
, όπου .
Συνεπώς για έχουμε
και η αντίστοιχη δευτεροβάθμια εξίσωση είναι η .
ii) Τα μήκη είναι οι ρίζες της εξίσωσης ,
που έχει ρίζες ,
δηλαδή ή
.
Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
- Πρωτοπαπάς Λευτέρης
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 2937
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
- Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex
6859
α) Οι αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, αν και μόνο αν
.
Η διαφορά της προόδου είναι .
β) Οι αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, αν και μόνο αν
.
Η λόγος της προόδου είναι .
γ) i) Η είναι αριθμητική πρόοδος με και , οπότε:
.
ii) Η είναι γεωμετρική πρόοδος με και , οπότε:
.
Αναζητούμε έτσι ώστε: , οπότε
, αφού η ρίζα (απορρίπτεται).
α) Οι αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, αν και μόνο αν
.
Η διαφορά της προόδου είναι .
β) Οι αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, αν και μόνο αν
.
Η λόγος της προόδου είναι .
γ) i) Η είναι αριθμητική πρόοδος με και , οπότε:
.
ii) Η είναι γεωμετρική πρόοδος με και , οπότε:
.
Αναζητούμε έτσι ώστε: , οπότε
, αφού η ρίζα (απορρίπτεται).
Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
- Πρωτοπαπάς Λευτέρης
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 2937
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
- Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex
7263
α) Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα .
Το τριώνυμο έχει πραγματικές ρίζες, όταν
.
β) i) Αν είναι οι ρίζες του τριωνύμου , έχουμε ότι:
.
ii) Έχουμε ότι: , οπότε και , άρα το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες (), που είναι και ομόσημες ().
Επίσης αφού , προκύπτει ότι οι ρίζες είναι θετικές.
γ) i) Έστω η συνάρτηση με .
Τότε:
Η εξίσωση αυτή έχει τέσσερις διαφορετικές και πραγματικές ρίζες, όταν η εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές και θετικές ρίζες, οπότε αρκεί να ισχύει .
ii) Για έχουμε ότι .
Ισχύει
, η οποία ισχύει άρα και η αρχική.
Συνεπώς για , χρησιμοποιώντας το (γ.i) η εξίσωση έχει τέσσερις διαφορετικές και πραγματικές ρίζες.
α) Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα .
Το τριώνυμο έχει πραγματικές ρίζες, όταν
.
β) i) Αν είναι οι ρίζες του τριωνύμου , έχουμε ότι:
.
ii) Έχουμε ότι: , οπότε και , άρα το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες (), που είναι και ομόσημες ().
Επίσης αφού , προκύπτει ότι οι ρίζες είναι θετικές.
γ) i) Έστω η συνάρτηση με .
Τότε:
Η εξίσωση αυτή έχει τέσσερις διαφορετικές και πραγματικές ρίζες, όταν η εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές και θετικές ρίζες, οπότε αρκεί να ισχύει .
ii) Για έχουμε ότι .
Ισχύει
, η οποία ισχύει άρα και η αρχική.
Συνεπώς για , χρησιμοποιώντας το (γ.i) η εξίσωση έχει τέσσερις διαφορετικές και πραγματικές ρίζες.
Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
- Πρωτοπαπάς Λευτέρης
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 2937
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
- Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex
7502
Έστω με
.
Έστω με
.
α) Αναζητούμε .
έτσι ώστε:
Συνεπώς η συγκεκριμένη γυναίκα είχε ύψος .
β) Για τον άντρα ύψους , έχουμε:
,
οπότε είναι πολύ πιθανό το μηριαίο οστό μήκους να ανήκει στον άνδρα με ύψος περίπου .
γ) Αναζητούμε
έτσι ώστε:
.
Συνεπώς όταν ένας άνδρας και μια γυναίκα έχουν ύψος 250 cm θα έχουν μηριαίο οστό ίδιου μήκους. Σημειωτέον ότι κάτι τέτοιο στην πραγματικότητα είναι απίθανο!!!
Έστω με
.
Έστω με
.
α) Αναζητούμε .
έτσι ώστε:
Συνεπώς η συγκεκριμένη γυναίκα είχε ύψος .
β) Για τον άντρα ύψους , έχουμε:
,
οπότε είναι πολύ πιθανό το μηριαίο οστό μήκους να ανήκει στον άνδρα με ύψος περίπου .
γ) Αναζητούμε
έτσι ώστε:
.
Συνεπώς όταν ένας άνδρας και μια γυναίκα έχουν ύψος 250 cm θα έχουν μηριαίο οστό ίδιου μήκους. Σημειωτέον ότι κάτι τέτοιο στην πραγματικότητα είναι απίθανο!!!
Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
- Πρωτοπαπάς Λευτέρης
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 2937
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
- Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex
7503
α) Οι αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, αν και μόνο αν ισχύει
.
β) i) Αν οι τρεις διαδοχικοί όροι είναι οι , οπότε η διαφορά της προόδου είναι .
ii) Επίσης αφού και αν είναι η αριθμητική πρόοδος με , έχουμε .
Συνεπώς:
.
iii) To άθροισμα των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου, είναι:
.
Συνεπώς:
.
α) Οι αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, αν και μόνο αν ισχύει
.
β) i) Αν οι τρεις διαδοχικοί όροι είναι οι , οπότε η διαφορά της προόδου είναι .
ii) Επίσης αφού και αν είναι η αριθμητική πρόοδος με , έχουμε .
Συνεπώς:
.
iii) To άθροισμα των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου, είναι:
.
Συνεπώς:
.
Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
- Πρωτοπαπάς Λευτέρης
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 2937
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
- Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex
7504
α) Αν είναι η αριθμητική πρόοδος με διαφορά και πρώτο όρο .
Συνεπώς:
.
β) .
γ) To άθροισμα των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου, είναι:
.
Συνεπώς:
.
α) Αν είναι η αριθμητική πρόοδος με διαφορά και πρώτο όρο .
Συνεπώς:
.
β) .
γ) To άθροισμα των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου, είναι:
.
Συνεπώς:
.
τελευταία επεξεργασία από Πρωτοπαπάς Λευτέρης σε Πέμ Ιουν 05, 2014 9:44 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
- Πρωτοπαπάς Λευτέρης
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 2937
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
- Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex
7507
α) Αναζητώ έτσι ώστε:
,
δηλαδή οι γραφικές παραστάσεις των έχουν μοναδικό κοινό σημείο το , αφού .
β) Αναζητούμε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης:
.
Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα
.
i) Αν , τότε , οπότε η εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες, δηλαδή οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων έχουν δύο κοινά σημεία.
ii) Αν , τότε , οπότε η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες, δηλαδή οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων δεν έχουν δύο κοινά σημεία.
α) Αναζητώ έτσι ώστε:
,
δηλαδή οι γραφικές παραστάσεις των έχουν μοναδικό κοινό σημείο το , αφού .
β) Αναζητούμε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης:
.
Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα
.
i) Αν , τότε , οπότε η εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες, δηλαδή οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων έχουν δύο κοινά σημεία.
ii) Αν , τότε , οπότε η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες, δηλαδή οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων δεν έχουν δύο κοινά σημεία.
Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες