Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2024 (Ενότητα Ανάλυση)

Al.Koutsouridis · #1

Παρακάτω μπορείτε να βρείτε τα θέματα 23-30 των εισαγωγικών εξετάσεων της Κορέας για το 2024 στα μαθηματικά, για την ενότητα ανάλυση. Τα θέματα 23-28 είναι πολλαπλής επολογής και στα 29-30 ζητείτε μόνο η τελική απάντηση.

23. Ποιά είναι η τιμή του $\displaystyle{\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln (1+3x)}{\ln (1+5x)}}$ ; [2 μόρια]

24. Για την παραμετρική καμπύλη $\displaystyle{x =\ln (t^3+1), y=\sin \pi t}$ με παράμετρο t (t >0)

, ποιά η τιμή του $\dfrac{dy}{dx}$ στο σημείο t=1

; [3 μόρια]

25. Δίνονται δυο συναρτήσεις f(x)

και

που ορίζονται και είναι παραγωγίσιμες στο σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών. Η g(x)

είναι η αντίστροφη συνάρτηση της f(x)

και η $g^{\prime}(x)$ είναι συνεχής στο σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών. Αν για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς

ισχύει

$\displaystyle{\int_{1}^{a} \dfrac{1}{g^{\prime}(f(x)) f(x)} dx = 2\ln a + \ln (a+1) -\ln 2}$ και f(1)=8

,

ποια η τιμής της f(2)

; [3 μόρια]

26. Δίνεται ένα τρισδιάτατο σχήμα, όπως φαίνεται στην εικόνα, του οποίου η βάση περικλύεται από την καμπύλη $y=\sqrt{(1-2x)\cos x} \quad \left ( \dfrac{3 \pi}{4} \leq x \leq \dfrac{5 \pi}{4} \right )$ , τον άξονα

και τις δυο ευθείες $x=\dfrac{3 \pi}{4}$ και $x=\dfrac{5 \pi}{4}$ . Αν όλες οι τομές αυτού του σχήματος με επίπεδο κάθετο στον άξονα

είναι τετράγωνα, ποιός είναι ο όγκος του; [3 μόρια]

: korean_2024_analush.png (24.97 KiB) Προβλήθηκε 576 φορές

27. Έστω f(t)

η κλίση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και εφάπτεται της καμπύλης $y=\dfrac{1}{e^x} +e^t$ , για

πραγματικό αριθμό. Ποια η τιμής της $f^{\prime}(a)$ για μια σταθερά

, που ικανοποιεί την σχέση $f(a)=-e\sqrt{e}$ ; [3 μόρια]

28. Η συνάρτηση f(x)

είναι συνεχής στο σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών και επίσης ισχύει $f(x) \geq 0$ , και για x < 0

είναι $f(x)=-4xe^{4x^2}$ . Για όλους τους θετικούς ακέραιους

, ο αριθμός των διαφορετικών ριζών της εξίσωσης f(x)=t

, ως προς

, είναι

. Έστω ότι η μικρότερη από τις δυο ρίζες είναι η g(t)

και η μεγαλύτερη h(t)

. Οι δυο συναρτήσεις g(t)

,

ικανοποιούν την σχέση 2g(t)+h(t)=k

(όπου

μια σταθερά) για όλους τους θετικούς ακέραιους.

Ποιά είναι η τιμή του $\dfrac{f(9)}{f(8)}$ αν $\displaystyle{\int_{0}^{7} f(x)dx = e^4-1}$ ; [4 μόρια]

29. Για τις δυο γεωμετρικές προόδους (ακολουθίες) $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ , των οποίων ο πρώτος όρος και ο λόγος είναι μη μηδενικοί, οι σειρές $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}, \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}}$ αντίστοιχα συγκλίνουν και ισχύει

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}b_{n} = \left (\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \right) \cdot \left ( \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \right)}$ , $\quad$ $\displaystyle{3 \sum_{n=1}^{\infty} |a_{2n}| = 7 \sum_{n=1}^{\infty} |a_{3n}| }$ .

Αν $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{b_{2n-1} +b_{3n+1}}{b_{n}} = S}$ , να βρείτε την τιμή του 120S

. [4 μόρια]

30. Η παράγωγος $f^{\prime}(x)$ της παραγωγίσιμης σε όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών συνάρτησης f(x)

είναι $f^{\prime}(x)=|\sin x|\cos x$ . Για θετικό αριθμό

ας είναι

η εξίσωση της εφαπτόμενης από το σημείο (a, f(a))

προς την καμπύλη y=f(x)

. Όταν απαριθμούμε κατά αύξουσα σειρά από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο τους θετικούς ακέραιους

τέτοιους, ώστε η συνάρτηση $\displaystyle{h(x) = \int_{0}^{x} \{ f(t)-g(t) \} dt}$ να παρουσιάζει μέγιστο ή ελάχιστο (τοπικά) για x=a

, ας είναι a_n

ο

ιοστός. Να βρείτε την τιμή της παράστασης $\dfrac{100}{\pi} \left ( a_{6}-a_{2} \right)$ . [4 μόρια]

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 17, 2023 12:42 pm
Παρακάτω μπορείτε να βρείτε τα θέματα 23-30 των εισαγωγικών εξετάσεων της Κορέας για το 2024 στα μαθηματικά, για την ενότητα ανάλυση. Τα θέματα 23-28 είναι πολλαπλής επολογής και στα 29-30 ζητείτε μόνο η τελική απάντηση.

.................................
26. Δίνεται ένα τρισδιάτατο σχήμα, όπως φαίνεται στην εικόνα, του οποίου η βάση περικλύεται από την καμπύλη $y=\sqrt{(1-2x)\cos x} \quad \left ( \dfrac{3 \pi}{4} \leq x \leq \dfrac{5 \pi}{4} \right )$ , τον άξονα και τις δυο ευθείες $x=\dfrac{3 \pi}{4}$ και $x=\dfrac{5 \pi}{4}$ . Αν όλες οι τομές αυτού του σχήματος με επίπεδο κάθετο στον άξονα είναι τετράγωνα, ποιός είναι ο όγκος του; [3 μόρια]

............................

Αλέξανδρε καλησπέρα....

Αρχικά αναρτώ ένα σχήμα που αφορά το ανωτέρω πρόβλημα με δυο "στιγμιότυπα"

1ο Στιγμιότυπο

: Όγκος Στερεού(Κορ. Εξετ.2024) 1.png (38.09 KiB) Προβλήθηκε 510 φορές

2ο Στιγμιότυπο

: Όγκος Στερεού(Κορ.Εξ.2024) 2.png (38.14 KiB) Προβλήθηκε 510 φορές

Εκείνο που θέλω να σχολιάσω είναι ότι τα ανωτέρω στιγμιότυπα είναι μέρος από το

δυναμικό σχήμα που έκανα το οποίο όμως λόγω προβλήματος του υπολογιστή μου

αδυνατώ. Θα το πράξω αργότερα πιστεύω.

Ακόμα μπορώ να πω ότι η κατασκευή του σχήματος αυτού είναι πιο ενδιαφέρουσα

από τη ζητούμενη λύση.

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

Al.Koutsouridis · #3

KDORTSI έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 17, 2023 7:50 pm

Ακόμα μπορώ να πω ότι η κατασκευή του σχήματος αυτού είναι πιο ενδιαφέρουσα

Καλησπέρα κ. Κώστα,

Αν εννοούμε κατασκευή με λογισμικό (GeoGebra), θα μπορούσαμε να εργαστούμε ως εξής:

Περιγράφουμε παραμετρικά την καμπύλη της συνάρτησης $y=\sqrt{(1-2x)\cos x} \quad \left ( \dfrac{3 \pi}{4} \leq x \leq \dfrac{5 \pi}{4} \right )$ , που βρίσκεται στο επίπεδο

και δίνεται από τα σημεία

$\left ( t, \sqrt{(1-2t)\cos t}, 0 \right)$ $\quad$ $\dfrac{3\pi}{4} \leq t \leq \dfrac{5\pi}{4}$

Κώδικας: Επιλογή όλων

c_y=Curve(t,sqrt((1-2 t) cos(t)),0,t,((3 pi)/(4)),((5 pi)/(4)))

Ομοίως, ορίζεται αντίστοιχη καμπύλη στο επίπεδο

, αφού όλες οι τομές στο σχήμα μας με επίπεδο κάθετο στον άξονα

είναι τετράγωνα. Η καμπύλη στο επίπεδο

δίνεται από τα σημεία

$\left ( t, 0, \sqrt{(1-2t)\cos t} \right)$ $\quad$ $\dfrac{3\pi}{4} \leq t \leq \dfrac{5\pi}{4}$

Κώδικας: Επιλογή όλων

c_z=Curve(t,0,sqrt((1-2 t) cos(t)),t,((3 pi)/(4)),((5 pi)/(4)))

Η κορυφή του τετραγώνου της τομής μας, που δεν βρίσκεται στις παραπάνω δυο καμπύλες και τον άξονα

έχει

συντεταγμένη $z=\sqrt{(1-2t)\cos t}$ , $\dfrac{3\pi}{4} \leq t \leq \dfrac{5\pi}{4}$ . Οπότε η καμπύλη που διατρέχει αυτή η κορυφή περιγράφεται από τα σημεία

$\left ( t, \sqrt{(1-2t)\cos t} , \sqrt{(1-2t)\cos t} \right)$ $\quad$ $\dfrac{3\pi}{4} \leq t \leq \dfrac{5\pi}{4}$

Κώδικας: Επιλογή όλων

c_yz=Curve(t,sqrt((1-2 t) cos(t)),sqrt((1-2 t) cos(t)),t,((3 pi)/(4)),((5 pi)/(4)))

Από το σημείο αυτό μπορούμε να δώσουμε εντολή στο GeoGebra να δημιουργήσει την επιφάνεια που "ενώνει" αυτές τις καμπύλες μεταξύ τους.

Για την επιφάνεια μεταξύ των $c_y, c_{yz}$ θα είναι:

Κώδικας: Επιλογή όλων

surf1=Surface(u x(c_y(t))+(1-u) x(c_yz(t)),u y(c_y(t))+(1-u) y(c_yz(t)),u z(c_y(t))+(1-u) z(c_yz(t)),t,((3 pi)/(4)),((5 pi)/(4)),u,0,1)

Για την επιφάνεια μεταξύ των $c_z, c_{yz}$ θα είναι:

Κώδικας: Επιλογή όλων

surf2=Surface(u x(c_z(t))+(1-u) x(c_yz(t)),u y(c_z(t))+(1-u) y(c_yz(t)),u z(c_z(t))+(1-u) z(c_yz(t)),t,((3 pi)/(4)),((5 pi)/(4)),u,0,1)

: korea_2024_analush.png (410.31 KiB) Προβλήθηκε 370 φορές

#4

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 19, 2023 1:32 am

KDORTSI έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 17, 2023 7:50 pm

Ακόμα μπορώ να πω ότι η κατασκευή του σχήματος αυτού είναι πιο ενδιαφέρουσα

Καλησπέρα κ. Κώστα,

Αν εννοούμε κατασκευή με λογισμικό (GeoGebra), θα μπορούσαμε να εργαστούμε ως εξής:

Περιγράφουμε παραμετρικά την καμπύλη της συνάρτησης ....................

Αλέξανδρε καλησπέρα...

Ναι έτσι, αυτό εννοούσα ως κατασκευή, την ψηφιακή κατασκευή και δούλεψα

όπως κι εσύ τα περιγράφεις. Δεν είναι όμορφες και διδακτικές αυτές οι εικόνες;

Ας συνεχίσουμε τώρα με τον υπολογισμο του όγκου εργαζόμενοι στο

ακόλουθο σχήμα:

: Όγκος Στερεού( Εξετ. Κορ. 2024) 3.png (38.1 KiB) Προβλήθηκε 299 φορές

Ο ζητούμενος όγκος δίνεται από το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{V=\int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}E(x)dx=\int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}(f(x))^2dx=\int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}(1-2x)cosxdx (1)}$

Το ολοκλήρωμα αυτό εύκολα υπολογίζεται με τη μέθοδο των παραγόντων και τελικά βρίσκεται ότι:

$\displaystyle{V=(2\pi-1)\sqrt{2} \approx 7.47 }$

Σημείωση

Θα μπορούσε στην άσκηση αυτή να δοθεί αντί για τετράγωνο κάποιο άλλο επίπεδο σχήμα, όπως για παράδειγμα

ένα τεταρτοκύκλιο. Για παράδειγμα, ὀπως στο ακόλουθο σχήμα:

: Όγκος στερεού( Εξ. Κορ. 2023.png (39.99 KiB) Προβλήθηκε 299 φορές

Τέλος στον ακόλουθο σύνδεσμο μπορεί να δει κανείς και το δυναμικό σχήμα.

https://www.geogebra.org/m/c3acrruq

Κώστας Δόρτσιος

add2math · #5

Για το θέμα 28.
Έχω
$f'\left( x \right) = - 4e^{4x^{2}} - 4x(8x)e^{4x^{2}} = e^{4x^{2}}( - 4 - 32x^{2}) < 0$ για $x\ < \ 0.$ Άρα φθίνουσα στο $( - \infty,0\rbrack$ με σύνολο τιμών $\lbrack 0,\infty)$ . Άρα η μία ρίζα $x_{1}$ της εξίσωσης f(x) = t

είναι στο $( - \infty,0\rbrack$ και η άλλη ρίζα , $x_{2}$ , αναγκαστικά θα είναι στο $(0,\infty)$ . Έχω λοιπόν ότι
$x_{1} < 0 < x_{2}$ ,
$2x_{1} + x_{2} = k \Longrightarrow 0 > x_{1} = \frac{k - x_{2}}{2} \Longrightarrow x_{2} > k$

Έχω ακόμα ότι
$f(x_{1}) = t\ = f(x_{2}) \Longrightarrow f(x_{2}) = f(\frac{k - x_{2}}{2}) = - 4(\frac{k - x_{2}}{2})e^{4{(\frac{k - x_{2}}{2})}^{2}} = 2(x_{2} - k)e^{{(x_{2} - k)}^{2}},x_{2} > k$ .
Άρα $f(x) = 2(x - k)e^{{(x - k)}^{2}},x > k$ αύξουσα στο $(k,\infty)$ με σύνολο τιμών $(0,\infty).$ Άρα η εξίσωση f(x) = t > 0

έχει μια δεύτερη ρίζα στο $(k,\infty).$

Προφανώς, $f\left( x \right) = 0,\ 0 \leq x \leq k$ διότι σε διαφορετική περίπτωση θα είχαμε και τρίτη ρίζα..

Έχω τώρα
$\int_{0}^{7}f\left( x \right)\text{dx} = e^{4} - 1 \Longrightarrow \int_{0}^{k}0dx + \int_{k}^{7}{2(x - k)e^{{(x - k)}^{2}}}\text{dx} = e^{4} - 1$

$\Longrightarrow \left\lbrack e^{{(x - k)}^{2}} \right\rbrack_{k}^{7} = e^{4} - 1 \Longrightarrow e^{{(7 - k)}^{2}} - 1 = e^{4} - 1 \Longrightarrow 7 - k = \pm 2 \Longrightarrow k = 5$ ή k = 9

.

Αν $k = 9,\$ τότε $\int_{0}^{7}f\left( x \right)\text{dx} = \int_{0}^{7}0\text{dx} = 0$ απορρίπτεται.
Άρα $f(x) = 2(x - 5)e^{{(x - 5)}^{2}},x > 5$ και τελικά $\frac{f\left( 9 \right)}{f\left( 8 \right)} = \frac{2(9 - 5)e^{{(9 - 5)}^{2}}}{2(8 - 5)e^{{(8 - 5)}^{2}}} = \boxed{\frac{4}{3}e^{7}}$

: korea28.png (38.04 KiB) Προβλήθηκε 208 φορές

Για το θέμα 29
Έχω προφανώς ‚ $\left| \lambda_{\alpha} \right| < 1$ , $\left| \lambda_{b} \right| < 1$ .
Έστω $c_{n} = a_{n}b_{n} = a_{1}{\lambda_{\alpha}}^{n - 1}b_{1}{\lambda_{b}}^{n - 1} = a_{1}b_{1}\left( \lambda_{\alpha}\lambda_{b} \right)^{n - 1}$ ,
με $\left| \lambda_{\alpha}\lambda_{b} \right| < 1$ , άρα
$\sum_{n = 1}^{\infty}{a_{n}b_{n}} = \left( \sum_{n = 1}^{\infty}a_{n} \right) \cdot \left( \sum_{n = 1}^{\infty}b_{n} \right) \Longrightarrow \frac{a_{1}b_{1}}{1 - \lambda_{\alpha}\lambda_{b}} = \frac{a_{1}}{1 - \lambda_{\alpha}}\frac{b_{1}}{1 - \lambda_{b}} \Longrightarrow 2\lambda_{\alpha}\lambda_{b} = \lambda_{\alpha} + \lambda_{b}(*)$

Ακόμα
$3\sum_{n = 1}^{\infty}\left| a_{2n} \right| = 7\sum_{n = 1}^{\infty}\left| a_{3n} \right| \Longrightarrow 3\frac{\left| a_{2} \right|}{1 - \left| \lambda_{\alpha} \right|^{2}} = 7\frac{\left| a_{3} \right|}{1 - \left| \lambda_{\alpha} \right|^{3}} \Longrightarrow 3\frac{1}{1 - \left| \lambda_{\alpha} \right|^{2}} = 7\frac{\left| \lambda_{\alpha} \right|}{1 - \left| \lambda_{\alpha} \right|^{3}} \Longrightarrow 3 - 3\left| \lambda_{\alpha} \right|^{3} = 7\left| \lambda_{\alpha} \right| - 7\left| \lambda_{\alpha} \right|^{3} \Longrightarrow 4\left| \lambda_{\alpha} \right|^{3} - 7\left| \lambda_{\alpha} \right| + 3 = 0 \Longrightarrow \left( \left| \lambda_{\alpha} \right| - 1 \right)\left( 4\left| \lambda_{\alpha} \right|^{2} + 4\left| \lambda_{\alpha} \right| - 3 \right) = 0 \Longrightarrow \left( \left| \lambda_{\alpha} \right| - 1 \right)\left( 2\left| \lambda_{\alpha} \right| - 1 \right)\left( 2\left| \lambda_{\alpha} \right| + 3 \right) = 0 \Longrightarrow \left| \lambda_{\alpha} \right| = 1$
απορρίπτεται αφού $\left| \lambda_{\alpha} \right| < 1$ ή
$\left| \lambda_{\alpha} \right| = \frac{1}{2} \Longleftrightarrow \lambda_{\alpha} = \pm \frac{1}{2}$ .
Αν $\lambda_{\alpha} = \frac{1}{2}$ , τότε
$\left( * \right) \Longrightarrow \lambda_{b} = \frac{1}{2} + \lambda_{b}$
άτοπο. Άρα $\lambda_{\alpha} = - \frac{1}{2}\$ και
$\left( * \right) \Longrightarrow - \lambda_{b} = - \frac{1}{2} + \lambda_{b} \Longrightarrow \lambda_{b} = \frac{1}{4}$

Άρα
$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{b_{2n - 1} + b_{3n + 1}}{b_{n}} = \sum_{n = 1}^{\infty}{\frac{b_{2n - 1}}{b_{n}} + \frac{b_{3n + 1}}{b_{n}}}$ .

Έστω $d_{n} = \frac{b_{2n - 1}}{b_{n}}$ , τότε
$d_{1} = \frac{b_{1}}{b_{1}} = 1$ ,
$d_{n} = \frac{b_{2n - 1}}{b_{n}} = \frac{b_{1}{\lambda_{b}}^{2n - 2}}{b_{1}{\lambda_{b}}^{n - 1}} = {\lambda_{b}}^{n - 1} \Longrightarrow \lambda_{d} = \lambda_{b} = \frac{1}{4}$ .
Άρα
$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{b_{2n - 1}}{b_{n}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{3}$

Έστω $e_{n} = \frac{b_{3n + 1}}{b_{n}}$ , τότε
$e_{1} = \frac{b_{4}}{b_{1}} = {\lambda_{b}}^{3} = \frac{1}{64}$ ,
$e_{n} = \frac{b_{3n + 1}}{b_{n}} = \frac{b_{1}{\lambda_{b}}^{3n}}{b_{1}{\lambda_{b}}^{n - 1}} = {\lambda_{b}}^{2n + 1} \Longrightarrow \lambda_{e} = {\lambda_{b}}^{2} = \frac{1}{16}$ .
Άρα
$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{b_{3n + 1}}{b_{n}} = \frac{\frac{1}{64}}{1 - \frac{1}{16}} = \frac{1}{60}$

Άρα
$120S = \ 120\left( \frac{4}{3} + \frac{1}{60} \right) = \boxed{162}$

Για το θέμα 30
Έχω
$f{'}\left( x \right) = \left\{ - \begin{matrix} \mathrm{\sin}x\mathrm{\cos}x,\ \ \ x \in (2k\pi,2k\pi + \pi) \\ \mathrm{\sin}x\mathrm{\cos}x,\ \ \ x \in (2k\pi + \pi,2k\pi + 2\pi) \\ 0,\ \ \ \alpha\lambda\lambda \\ \end{matrix} \right.\ = \left\{ \begin{matrix} \frac{\sin 2x}{2},\ \ \ x \in (2k\pi,2k\pi + \pi) \\ - \frac{\sin 2x}{2},\ \ \ x \in (2k\pi + \pi,2k\pi + 2\pi) \\ 0,\ \ \ \alpha\lambda\lambda \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow$
$f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{- \cos 2x}{4} + c,\ \ \ x \in (2k\pi,2k\pi + \pi) \\ \frac{\cos 2x}{4} + c',\ \ \ x \in (2k\pi + \pi,2k\pi + 2\pi) \\ c - \frac{1}{4},\ \ \ \alpha\lambda\lambda \\ \end{matrix} \right.\$
προφανώς η f(x)

είναι συνεχής άρα
$c = c' + \frac{1}{2}$

Η γραφική της παράσταση είναι στην 1η περίοδό της $[0,2\pi]$ για όποιο

έχει την εξής μορφή:

: korea30a.png (27.12 KiB) Προβλήθηκε 208 φορές

Η συνάρτηση $h\left( x \right) = \int_{0}^{x}\{ f\left( t \right) - g\left( t \right)\}\text{dt}$ παρουσιάζει ακρότατο στα σημεία καμπής της $f\left(x \right)$ !

: korea30b.png (50.24 KiB) Προβλήθηκε 208 φορές

Πραγματικά, έστω Γ το σημείο καμπής όπως στο δεύτερο σχήμα. Έστω ένα δεύτερο σημείο Β αριστερά του Γ. Η συνάρτηση $h\left( x \right)$
εκφράζει το προσημασμένο εμβαδόν μεταξύ της καμπύλης της ‚

, της εφαπτομένης στο Β και του άξονα των y. Καθώς το Β πλησιάζει στο σημείο Γ η τιμή της $h\left( x \right)$ διαρκώς αυξάνεται, αφού διαρκώς προστίθενται οι θετικές ποσότητες ‚ ( $\text{\ f}\left( t \right) - g\left( t \right) > 0\$ αφού στο $(0,x_{\Gamma}$ ) η· $\text{\ f}$ είναι κυρτή). Στη συνέχεια, καθώς το Β απομακρύνεται από το Γ , αφού αλλάζει η καμπυλότητα, διαρκώς προτίθενται αρνητικές ποσότητες‚ ( $\text{\ f}\left( t \right) - g\left( t \right) < 0\ ).$ Άρα στο $x_{\Gamma}$ η

παρουσιάζει τοπικό ακρότατο (μέγιστο). Όμοια και για τα άλλα σημεία καμπής.

: korea30c.png (15.71 KiB) Προβλήθηκε 208 φορές

Τα πρώτα 6 σημεία καμπής είναι όπως φαίνεται και στο τρίτο σχήμα τα εξής:
$\displaystyle a_{1} = \frac{\pi}{4},a_{2} = \frac{3\pi}{4},a_{3} = \pi,a_{4} = \frac{5\pi}{4},a_{5} = \frac{7\pi}{4},a_{6} = 2\pi$

Άρα
$\frac{100}{\pi}\left( a_{6} - a_{2} \right) = \frac{100}{\pi}\left( 2\pi - \frac{3\pi}{4} \right) = \boxed{125}$

Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2024 (Ενότητα Ανάλυση)

Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2024 (Ενότητα Ανάλυση)

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2024 (Ενότητα Ανάλυση)

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2024 (Ενότητα Ανάλυση)

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2024 (Ενότητα Ανάλυση)

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2024 (Ενότητα Ανάλυση)

Μέλη σε σύνδεση