Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Γεωμετρία))

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1515
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Γεωμετρία))

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Μάιος 22, 2022 10:04 pm

Παρακάτω μπορείτε να βρείτε τα θέματα 23-30 των φετινών εισαγωγικών εξετάσεων της Κορέας στα μαθηματικά, για την ενότητα γεωμετρία. Τα θέματα 23-28 είναι πολλαπλής επολογής και στα 29-30 ζητείτε μόνο η τελική απάντηση.


23. Έστω P σημείο συμμετρικό του σημείου A(2,1,3) ως προς το επίπεδο xy και Q συμμετρικό του A ως προς το επίπεδο yz. Πόσο είναι το μήκος του τμήματος PQ; [2 μόρια]


24. Πόσο είναι το μήκος του τμήματος που ορίζουν οι κορυφές της υπερβολής \dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{6} =1 με μία από τις εστίες της να είναι το σημείο (3\sqrt{2}, 0); (όπου a θετικός αριθμός) [3 μόρια]


25. Αν \theta είναι η οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες \dfrac{x+1}{2} =y-3 και x-2=\dfrac{y-5}{3} στο καρτεσιανό επίπεδο, πόσο ισούται το \cos \theta; [3 μόρια]


26. Έστω A σημείο της έλλειψης \dfrac{x^2}{64}+\dfrac{y^2}{16} =1 με εστίες τα σημεία F, F^{\prime}, που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο. Έστω C κύκλος που εφάπτεται των τμημάτων AF, AF^{\prime} και έχει το κέντρο του στον άξονα y με αρνητική τεταγμένη. Αν το κέντρο του C είναι το σημείο B και το τετράπλευρο AFBF^{\prime} έχει εμβαδόν 72, πόσο είναι το μήκος της ακτίνας του C; [3 μόρια]
Screen Shot 2022-05-22 at 21.41.22.png
Screen Shot 2022-05-22 at 21.41.22.png (31.07 KiB) Προβλήθηκε 494 φορές

27. Δίνεται ο κύβος ABCD-EFGH, όπως φαίνεται στο σχήμα, με μήκος ακμής 4. Αν M είναι το μέσο της ακμής AD, πόσο είναι το εμβαδόν του τριγώνου MEG; [3 μόρια]
Screen Shot 2022-05-22 at 21.45.28.png
Screen Shot 2022-05-22 at 21.45.28.png (22.17 KiB) Προβλήθηκε 494 φορές

28. Έστω F_{1} η εστία της παραβολής (y-a)^2=4px, όπου a,p θετικοί αριθμοί και F_{2} η εστία της παραβολής y^2=-4x. Αν P,Q είναι τα σημεία τομής του τμήματος F_{1}F_{2} με τις παραπάνω παραβολές, F_{1}F_{2}=3, PQ=1, πόσο ισούται η τιμή της έκφρασης a^2+p^2; [4 μόρια]
Screen Shot 2022-05-22 at 21.51.23.png
Screen Shot 2022-05-22 at 21.51.23.png (24.32 KiB) Προβλήθηκε 494 φορές

29. Στο καρτεσιανό επίπεδο δίνεται το παραλληλόγραμμο OACB με OA=\sqrt{2}, OB=2\sqrt{2}, \cos (\angle AOB) =\frac{1}{4} και σημείο P, που ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες:

α) \overrightarrow{OP} =s \cdot \overrightarrow{OA}+t \cdot \overrightarrow{OB} (0 \leq s \leq 1, 0 \leq t \leq 1)

b) \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OB} +\overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{BC} =2

Για το σημείο X που κινείται σε κύκλο, κέντρου O, που διέρχεται από το σημείο A ας είναι M,m η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της έκφρασης |3 \overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OX}|. Αν M \cdot m = a\sqrt{6}+b, ποιά η τιμή της έκφρασης a^2+b^2; (όπου a,b θετικοί ρητοί αριθμοί) [4 μόρια]
Screen Shot 2022-05-22 at 22.02.48.png
Screen Shot 2022-05-22 at 22.02.48.png (12.55 KiB) Προβλήθηκε 494 φορές

30. Στον καρτεσιανό χώρο δίνεται σφαίρα με εξίσωση S: (x-2)^2+(y-\sqrt{5})^2+(z-5)^2 =25 κέντρου C(2, \sqrt{5},5) που διέρχεται από το σημείο P(0,0,1). Έστω Q_{1}, R_{1} οι ορθογώνιες προβολές των σημείων Q,P στο επίπεδο xy, με το σημείο Q να κινείται σε κύκλο που είναι η τομή του επιπέδου OPC με την σφαίρα S και το σημείο R να κινείται στην σφαίρα S. Το εμβαδόν της ορθογώνιας προβολής στο επίπεδο PQR του τριγώνου OQ_{1}R_{1}, για τα σημεία Q,P που μεγιστοποιούν το εμβαδόν του τριγώνου OQ_{1}R_{1}, είναι \frac{q}{p} \sqrt{6}. Ποια είναι η τιμή της έκφρασης p+q;

(Όπου O η αρχή των αξόνων, τα σημεία O, Q_{1}, R_{1} είναι μη συνευθειακά και p,q πρώτοι μεταξύ τους φυσικοί αριθμοί.)

Screen Shot 2022-05-29 at 14.13.05.png
Screen Shot 2022-05-29 at 14.13.05.png (27.08 KiB) Προβλήθηκε 183 φορές
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Κυρ Μάιος 29, 2022 2:28 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11550
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Γεωμετρία))

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μάιος 23, 2022 10:15 am

Al.Koutsouridis έγραψε:
Κυρ Μάιος 22, 2022 10:04 pm
Παρακάτω μπορείτε να βρείτε τα θέματα 23-30 των φετινών εισαγωγικών εξετάσεων της Κορέας στα μαθηματικά, για την ενότητα γεωμετρία. Τα θέματα 23-28 είναι πολλαπλής επολογής και στα 29-30 ζητείτε μόνο η τελική απάντηση.

27. Δίνεται ο κύβος ABCD-EFGH, όπως φαίνεται στο σχήμα, με μήκος ακμής 4. Αν M είναι το μέσο της ακμής AD, πόσο είναι το εμβαδόν του τριγώνου MEG; [3 μόρια]
Κορεατικές 2022.27.png
Κορεατικές 2022.27.png (17.65 KiB) Προβλήθηκε 425 φορές
Με Πυθαγόρειο βρίσκω \displaystyle ME = 2\sqrt 5 ,EG = GD = 4\sqrt 2 ,AG = 4\sqrt 3 .

Θεώρημα διαμέσων στο AGD, \displaystyle 48 + 32 = 2G{M^2} + 8 \Leftrightarrow GM = 6

Με τον τύπο του Ήρωνα τώρα, παίρνω \boxed{(MEG)=12}


Άβαταρ μέλους
Maria-Eleni Nikolaou
Δημοσιεύσεις: 25
Εγγραφή: Δευ Σεπ 27, 2021 8:14 pm

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Γεωμετρία))

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Maria-Eleni Nikolaou » Τετ Μάιος 25, 2022 7:46 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Κυρ Μάιος 22, 2022 10:04 pm
24. Πόσο είναι το μήκος του τμήματος που ορίζουν οι κορυφές της υπερβολής \dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{6} =1 με μία από τις εστίες της να είναι το σημείο (3\sqrt{2}, 0); (όπου a θετικός αριθμός) [3 μόρια]
Από Μαθηματικά Προσανατολισμού Β' Λυκείου γνωρίζουμε:
Η εξίσωση της υπερβολής με εστίες στον άξονα x'x είναι: \dfrac{x^{2}}{\alpha ^{2}}-\dfrac{y^{2}}{\beta^{2} }=1, όπου \beta =\sqrt{\gamma ^{2}-\alpha ^{2}}
Επίσης, E(\gamma ,0) και E'(-\gamma ,0) οι συντεταγμένες των εστιών.

Άρα: \beta =\sqrt{6} και \gamma =3\sqrt{2}

Οπότε: \alpha ^{2}=\gamma ^{2}-\beta ^{2}\Rightarrow \alpha ^{2}=18-6\Leftrightarrow \alpha =2\sqrt{3}

Επομένως, A'A=2\alpha=4\sqrt{3}


Ο Θεός μπορεί να μην παίζει ζάρια με το σύμπαν, αλλά κάτι περίεργο συμβαίνει με τους πρώτους αριθμούς ~ Paul Erdős
Άβαταρ μέλους
Maria-Eleni Nikolaou
Δημοσιεύσεις: 25
Εγγραφή: Δευ Σεπ 27, 2021 8:14 pm

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Γεωμετρία))

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Maria-Eleni Nikolaou » Τετ Μάιος 25, 2022 8:38 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Κυρ Μάιος 22, 2022 10:04 pm
25. Αν \theta είναι η οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες \dfrac{x+1}{2} =y-3 και x-2=\dfrac{y-5}{3} στο καρτεσιανό επίπεδο, πόσο ισούται το \cos \theta; [3 μόρια]
25) Κορεάτικες εισαγωγικές εξετάσεις.png
25) Κορεάτικες εισαγωγικές εξετάσεις.png (12.99 KiB) Προβλήθηκε 325 φορές
Ομοίως γνωρίζουμε:
Η ευθεία με εξίσωση Ax +By+\Gamma =0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα \vec{\delta }=(B,-A)
Έχουμε, \varepsilon _{1}:\dfrac{x+1}{2}=y-3\Leftrightarrow x-2y+7=0 και \varepsilon _{2}:x-2=\dfrac{y-5}{3}\Leftrightarrow 3x-y-1=0
Οπότε έχουμε τα αντίστοιχα διανύσματα: \vec{\delta _{1}}=(-2,-1) και \vec{\delta _{2}}=(-1,-3)
Ισχύει: \vec{\delta _{1}}\cdot \vec{\delta _{2}}=\left | \vec{\delta _{1}} \right |\cdot \left | \vec{\delta _{2}} \right |\cdot \cos \vartheta
Όμως είναι: \vec{\delta _{1}}\cdot \vec{\delta _{2}}=2+3=5
Για τα μέτρα των διανυσμάτων είναι: \left |\vec{\delta _{1}} \right |=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5} και \left |\vec{\delta _{2}} \right |=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}
Επομένως, \cos \vartheta =\dfrac{\vec{\delta _{1}}\cdot \vec{\delta _{2}}}{\left |\vec{\delta _{1}} \right |\cdot \left |\vec{\delta _{2}} \right |} =\dfrac{5}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \vartheta =45^{\circ}


Ο Θεός μπορεί να μην παίζει ζάρια με το σύμπαν, αλλά κάτι περίεργο συμβαίνει με τους πρώτους αριθμούς ~ Paul Erdős
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1515
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Γεωμετρία))

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τετ Μάιος 25, 2022 9:45 pm

έγραψε:
Κυρ Μάιος 22, 2022 10:04 pm

27. Δίνεται ο κύβος ABCD-EFGH, όπως φαίνεται στο σχήμα, με μήκος ακμής 4. Αν M είναι το μέσο της ακμής AD, πόσο είναι το εμβαδόν του τριγώνου MEG; [3 μόρια]

Screen Shot 2022-05-22 at 21.45.28.png
Στην προσπάθεια να μειώσει κανείς τις απαιτούμενες πράξεις για να βρει το αποτέλεσμα θα μπορούσαμε να παρατηρήσουμε ότι το ύψος του τριγώνου MEG που αντιστοιχεί στην κορυφή M, είναι ίσο με την υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου με την μία κάθετη πλευρά να είναι ίση με την ακμή του κύβου και την άλλη με το υποτετραπλάσιο της διαγωνίου της έδρας του. Οπότε το μήκος αυτόυ του ύψους θα είναι ίσο με:

\sqrt{  4^2 +(\sqrt{2})^2} = \sqrt{18} και το εμβαδόν του τριγώνου MEG ίσο με

(MEG) = \dfrac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} = 12
Screen Shot 2022-05-24 at 22.07.40.png
Screen Shot 2022-05-24 at 22.07.40.png (53.28 KiB) Προβλήθηκε 300 φορές


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1515
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Γεωμετρία))

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τετ Μάιος 25, 2022 10:04 pm

έγραψε:
Κυρ Μάιος 22, 2022 10:04 pm

25. Αν \theta είναι η οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες \dfrac{x+1}{2} =y-3 και x-2=\dfrac{y-5}{3} στο καρτεσιανό επίπεδο, πόσο ισούται το \cos \theta; [3 μόρια]
Η γωνία μεταξύ των ευθειών δεν αλλάζει αν τις μετατοπίσουμε παράλληλα. Οπότε εξετάζουμε τις αντίστοιχες παράλληλες τους που διέρχονται από την αρχή των αξόνων. Σχεδιάζοντάς τες σε ορθοκανονικό σύστημα παρατηρούμε ότι σχηματίζεται ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο (αρκεί να "μετρήσουμε" τα τετραγωνάκια). Οπότε η γωνία μεταξύ τους είναι 45^0 και το ζητούμενο συνημίτονο ίσο με \sqrt{2}/2.

korean_2022_geo_25.png
korean_2022_geo_25.png (14.91 KiB) Προβλήθηκε 292 φορές


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1515
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Γεωμετρία))

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Μάιος 30, 2022 11:38 am

Να ευχαριστήσω τους Maria-Eleni και κ.Γιώργο για τις λύσεις τους. Από την πλευρά μου να σημειώσω ότι πρόσθεσα και το θέμα 30 στην αρχική ανάρτηση. Με είχε μπερδέψει αρχικά η μετάφρασή του και το είχα παραλείψει. Σαν σχόλιο, η μετάφραση δίνει σαν τίτλο "Ενότητα γεωμετρία" παρόλα αυτά τα θέματα είναι περισσότερο αυτό που θα λέγαμε αναλυτική γεωμετρία. Ωστόσο οι κλασικές γεωμετρικές γνώσεις και η εποπτεία γεωμετρικού σχήματος βοηθούν στο να λυθούν οι ασκήσεις πιο γρήγορα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης