Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2022
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2022
Θέματα της (τύπου εισαγωγικών εξετάσεων) ολυμπιάδας του Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας για το 2022.
1. Οι γωνίες και ικανοποιούν τις εξισώσεις
.
Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές της έκφρασης , αν είναι γνωστό, ότι ορίζεται και ότι αυτές οι τιμές είναι τουλάχιστον τρεις.
2. Να λύσετε το σύστημα των εξισώσεων
.
3. Να λύσετε την ανίσωση
.
4. Οι κύκλοι και εφάπτονται εσωτερικά στο σημείο . Το τμήμα είναι διάμετρος του μεγαλύτερου κύκλου και η χορδή του κύκλου εφάπτεται του στο σημείο . Η ακτίνα επανατέμνει τον στο σημείο . Η ευθεία, που διέρχεται από το σημείο και είναι κάθετη προς την , επανατέμνει τον στο σημείο . Να βρείτε τις ακτίνες των κύκλων, την γωνία και το εμβαδόν του τριγώνου , αν .
5. Η συνάρτηση ορίζεται στο σύνολο των θετικών ρητών αριθμών. Είναι γνωστό ότι για οποιουσδήποτε αριθμούς και αυτού του συνόλου ικανοποιείται η ισότητα και επιπλέον για οποιονδήποτε πρώτο αριθμό (με συμβολίζουμε τον μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό, που δεν υπερβαίνει το ). Να βρείτε το πλήθος των ζευγών θετικών ακέραιων τέτοιων, ώστε , και .
6. Να βρείτε όλα τα ζεύγη αριθμών τέτοια, ώστε η ανισότητα
να ικανοποιείται για όλα τα του διαστήματος .
7. Δίνεται πυραμίδα , η κορυφή της οποίας βρίκεται στην ίδια σφαίρα με τα μέσα όλων των ακμών της, εκτός της ακμής . Είναι γνωστό ότι . Να βρείτε το μήκος της ακμής . Ποια είναι η ελάχιστη τιμή της ακτίνας της περιγεγραμμένης σφαίρας γύρο από την δοθείσα πυραμίδα;
1. Οι γωνίες και ικανοποιούν τις εξισώσεις
.
Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές της έκφρασης , αν είναι γνωστό, ότι ορίζεται και ότι αυτές οι τιμές είναι τουλάχιστον τρεις.
2. Να λύσετε το σύστημα των εξισώσεων
.
3. Να λύσετε την ανίσωση
.
4. Οι κύκλοι και εφάπτονται εσωτερικά στο σημείο . Το τμήμα είναι διάμετρος του μεγαλύτερου κύκλου και η χορδή του κύκλου εφάπτεται του στο σημείο . Η ακτίνα επανατέμνει τον στο σημείο . Η ευθεία, που διέρχεται από το σημείο και είναι κάθετη προς την , επανατέμνει τον στο σημείο . Να βρείτε τις ακτίνες των κύκλων, την γωνία και το εμβαδόν του τριγώνου , αν .
5. Η συνάρτηση ορίζεται στο σύνολο των θετικών ρητών αριθμών. Είναι γνωστό ότι για οποιουσδήποτε αριθμούς και αυτού του συνόλου ικανοποιείται η ισότητα και επιπλέον για οποιονδήποτε πρώτο αριθμό (με συμβολίζουμε τον μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό, που δεν υπερβαίνει το ). Να βρείτε το πλήθος των ζευγών θετικών ακέραιων τέτοιων, ώστε , και .
6. Να βρείτε όλα τα ζεύγη αριθμών τέτοια, ώστε η ανισότητα
να ικανοποιείται για όλα τα του διαστήματος .
7. Δίνεται πυραμίδα , η κορυφή της οποίας βρίκεται στην ίδια σφαίρα με τα μέσα όλων των ακμών της, εκτός της ακμής . Είναι γνωστό ότι . Να βρείτε το μήκος της ακμής . Ποια είναι η ελάχιστη τιμή της ακτίνας της περιγεγραμμένης σφαίρας γύρο από την δοθείσα πυραμίδα;
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2022
Για το 3)
Η 1η εξίσωση γράφεται και συνεπώς
Θέτοντας το συστημα γραφεται
(1)
(2)
H (1) μετα απο ύψωση στο τετράγωνο γίνεται
Απαλείφοντας (δεν τις γραφω ολες τις πράξεις) καταλήγουμε στην
Aπο οπού παίρνουμε
και αντίστοιχα
Tελικα παίρνω ζευγάρια λύσεων και
Η 1η εξίσωση γράφεται και συνεπώς
Θέτοντας το συστημα γραφεται
(1)
(2)
H (1) μετα απο ύψωση στο τετράγωνο γίνεται
Απαλείφοντας (δεν τις γραφω ολες τις πράξεις) καταλήγουμε στην
Aπο οπού παίρνουμε
και αντίστοιχα
Tελικα παίρνω ζευγάρια λύσεων και
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2022
Έστω οι ακτίνες του και του αντίστοιχα. καιAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Μάιος 22, 2022 2:16 pmΘέματα της (τύπου εισαγωγικών εξετάσεων) ολυμπιάδας του Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας για το 2022.
4. Οι κύκλοι και εφάπτονται εσωτερικά στο σημείο . Το τμήμα είναι διάμετρος του μεγαλύτερου κύκλου και η χορδή του κύκλου εφάπτεται του στο σημείο . Η ακτίνα επανατέμνει τον στο σημείο . Η ευθεία, που διέρχεται από το σημείο και είναι κάθετη προς την , επανατέμνει τον στο σημείο . Να βρείτε τις ακτίνες των κύκλων, την γωνία και το εμβαδόν του τριγώνου , αν .
Με Πυθαγόρειο βρίσκω και στη συνέχεια Η γωνία δεν μπορεί να
υπολογισθεί, αλλά μπορούμε να βρούμε ένα τριγωνομετρικό αριθμό της. Πράγματι, επειδή η είναι μεσοκάθετη
της και οι τριχοτομούν τη γωνία οπότε όλες οι μπλε γωνίες είναι ίσες με
και
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2022
Το σύστημα γράφεταιAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Μάιος 22, 2022 2:16 pmΘέματα της (τύπου εισαγωγικών εξετάσεων) ολυμπιάδας του Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας για το 2022.
2. Να λύσετε το σύστημα των εξισώσεων
.
Θέτω και έχω:
Η πρώτη εξίσωση δίνει ή και αντικαθιστώντας στη δεύτερη
για προκύπτει Από αυτές μόνο η επαληθεύει, οπότε
για προκύπτει όπου μόνο η επαληθεύει, οπότε
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2022
Μάλλον με πολύ περιπτωσιολογία και κοποιαστικές πράξεις, γι' αυτό κάνω μόνο τα κύρια βήματα. Δεν νομίζω να υπάρχει κάτι ιδιαίτερα πιο οικονομικό:Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Μάιος 22, 2022 2:16 pm
5. Η συνάρτηση ορίζεται στο σύνολο των θετικών ρητών αριθμών. Είναι γνωστό ότι για οποιουσδήποτε αριθμούς και αυτού του συνόλου ικανοποιείται η ισότητα και επιπλέον για οποιονδήποτε πρώτο αριθμό (με συμβολίζουμε τον μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό, που δεν υπερβαίνει το ). Να βρείτε το πλήθος των ζευγών θετικών ακέραιων τέτοιων, ώστε , και .
Βρίσκουμε πρώτα τις τιμές των για τους φυσικούς . Για τους πρώτους πάμε από τον ορισμό. Θα βρούμε .
Επίσης , οπότε .
Για τους σύνθετους χρησιμοποιούμε τον δοθέντα τύπο. Π.χ. .
Όμοια οι μη μηδενικοί είναι (οι υπόλοιποι είναι ).
Τέλος από όπου με σάρωση όλων των περιπτώσεων βρίσκουμε τα αρνητικά . Για παράδειγμα . Όμοια τα οπόλοιπα. Γλιτώνουμε κόπο αν αγνοήσουμε τα με ή γιατί το συμπέρασμα είναι άμεσο.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2022
Επανέρχομαι σε αυτή την άσκηση, με καλύτερο συλλογισμό.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Δευ Μάιος 23, 2022 11:20 pmΜάλλον με πολύ περιπτωσιολογία και κοποιαστικές πράξεις, γι' αυτό κάνω μόνο τα κύρια βήματα. Δεν νομίζω να υπάρχει κάτι ιδιαίτερα πιο οικονομικό:Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Μάιος 22, 2022 2:16 pm
5. Η συνάρτηση ορίζεται στο σύνολο των θετικών ρητών αριθμών. Είναι γνωστό ότι για οποιουσδήποτε αριθμούς και αυτού του συνόλου ικανοποιείται η ισότητα και επιπλέον για οποιονδήποτε πρώτο αριθμό (με συμβολίζουμε τον μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό, που δεν υπερβαίνει το ). Να βρείτε το πλήθος των ζευγών θετικών ακέραιων τέτοιων, ώστε , και .
Βρίσκουμε πρώτα τις τιμές των για τους φυσικούς . Για τους πρώτους πάμε από τον ορισμό. Θα βρούμε .
Επίσης , οπότε .
Για τους σύνθετους χρησιμοποιούμε τον δοθέντα τύπο. Π.χ. .
Όμοια οι μη μηδενικοί είναι (οι υπόλοιποι είναι ).
Τέλος από όπου με σάρωση όλων των περιπτώσεων βρίσκουμε τα αρνητικά . Για παράδειγμα . Όμοια τα οπόλοιπα. Γλιτώνουμε κόπο αν αγνοήσουμε τα με ή γιατί το συμπέρασμα είναι άμεσο.
α) Βρίσκουμε όπως πριν τις τιμές των για . Βλέπε παραπάνω.
β) Μετράμε από το α) και βλέπουμε ότι έχουμε έντεκα αριθμούς με , επτά με , δύο με , έναν με , δύο με και έναν με
γ) Εύκολα βρίσκουμε πόσα από τα . Aυτά είναι όσα ζεύγη έχουν που από το β) είναι σε πλήθος .
δ) Τώρα οι υπόλοιποι έχουν φυσικά αλλά (εδώ είναι η ουσιαστική βελτίωση) ακριβώς οι μισοί από αυτούς έχουν
και οι άλλοι μισοί διότι για κάθε έναν με παρατηρούμε ότι ο ως αντίθετος του προηγούμενο, είναι αρνητικός. Συνεπώς τα ζεύγη με είναι .
Σχόλιο: Η διαφορά με την προηγούμενη λύση είναι ότι τώρα μετράμε τα ζεύγη με χωρίς να συγκρίνουμε τα .
Re: Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2022
Mια λύση για το 1)
Έχουμε τις εξισώσεις
(1)
και
(2)
Aπο τον γνωστό τύπο για την (2) προκύπτει ότι
(3)
Mεσω της (1) βρισκουμε
και
Αναπτύσσοντας την (1) και αντικαθιστώντας τα γνωστά καταλήγουμε στην
Απο οπού
βρίσκουμε
και
όπου μετα απο πράξεις καταλήγουμε στην
και ,
Επειδή
βρίσκουμε ότι ,
Έχουμε τις εξισώσεις
(1)
και
(2)
Aπο τον γνωστό τύπο για την (2) προκύπτει ότι
(3)
Mεσω της (1) βρισκουμε
και
Αναπτύσσοντας την (1) και αντικαθιστώντας τα γνωστά καταλήγουμε στην
Απο οπού
βρίσκουμε
και
όπου μετα απο πράξεις καταλήγουμε στην
και ,
Επειδή
βρίσκουμε ότι ,
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες