Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2022

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1515
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2022

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Μάιος 22, 2022 2:16 pm

Θέματα της (τύπου εισαγωγικών εξετάσεων) ολυμπιάδας του Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας για το 2022.


1. Οι γωνίες \alpha και \beta ικανοποιούν τις εξισώσεις

\sin (2\alpha +2\beta)= -\dfrac{1}{\sqrt{5}}  , \quad \sin (2\alpha +4\beta)+ \sin 2\alpha= -\dfrac{4}{5} .

Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές της έκφρασης \tan \alpha, αν είναι γνωστό, ότι ορίζεται και ότι αυτές οι τιμές είναι τουλάχιστον τρεις.


2. Να λύσετε το σύστημα των εξισώσεων

\left\{\begin{matrix} 
x-2y = \sqrt{xy-x-2y+2} 
\\  
x^2+9y^2-4x-18y=12 
\end{matrix}\right..


3. Να λύσετε την ανίσωση

5^{\log_{12} (x^2+18x)} +x^2 \geq |x^2+18x|^{\log_{12} 13} -18x.


4. Οι κύκλοι \Omega και \omega εφάπτονται εσωτερικά στο σημείο A. Το τμήμα AB είναι διάμετρος του μεγαλύτερου κύκλου \Omega και η χορδή BC του κύκλου \Omega εφάπτεται του \omega στο σημείο D. Η ακτίνα AD επανατέμνει τον \Omega στο σημείο E. Η ευθεία, που διέρχεται από το σημείο E και είναι κάθετη προς την BC, επανατέμνει τον \Omega στο σημείο F. Να βρείτε τις ακτίνες των κύκλων, την γωνία AFE και το εμβαδόν του τριγώνου AEF, αν CD=8, BD=17.


5. Η συνάρτηση f ορίζεται στο σύνολο των θετικών ρητών αριθμών. Είναι γνωστό ότι για οποιουσδήποτε αριθμούς a και b αυτού του συνόλου ικανοποιείται η ισότητα f(ab) = f(a)+f(b) και επιπλέον f(p) = [p/4] για οποιονδήποτε πρώτο αριθμό p (με [x] συμβολίζουμε τον μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό, που δεν υπερβαίνει το x). Να βρείτε το πλήθος των ζευγών θετικών ακέραιων (x,y) τέτοιων, ώστε 1 \leq x \leq 24, 1 \leq y \leq 24 και f(x/y) < 0.


6. Να βρείτε όλα τα ζεύγη αριθμών (a,b) τέτοια, ώστε η ανισότητα

\dfrac{12x+11}{4x+3} \leq ax+b \leq -8x^2-30x-17

να ικανοποιείται για όλα τα x του διαστήματος \left [-\dfrac{11}{3}, -\dfrac{3}{4} \right ).


7. Δίνεται πυραμίδα ABCD, η κορυφή A της οποίας βρίκεται στην ίδια σφαίρα με τα μέσα όλων των ακμών της, εκτός της ακμής AD. Είναι γνωστό ότι AB=1, BD=2, CD=3. Να βρείτε το μήκος της ακμής BC. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή της ακτίνας της περιγεγραμμένης σφαίρας γύρο από την δοθείσα πυραμίδα;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 779
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2022

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Κυρ Μάιος 22, 2022 5:52 pm

Για το 3)
Η 1η εξίσωση γράφεται (x^2-4x+4)+9(y^2-2y+1)=25 και συνεπώς (x-2)^2+9(y-1)^2=25

Θέτοντας x-2=k,y-1=m το συστημα γραφεται

k-2m=\sqrt{km} (1)

k^2+9m^2=25 (2)

H (1) μετα απο ύψωση στο τετράγωνο γίνεται  k^2+4m^2-4km=km

Απαλείφοντας (δεν τις γραφω ολες τις πράξεις) καταλήγουμε στην 2m^4-7m^2+5=0

Aπο οπού παίρνουμε m^2=1,m^2=\frac{5}{2}

και αντίστοιχα k^2=16,k^2=\frac{5}{2}

Tελικα παίρνω ζευγάρια λύσεων x=6,y=2 και x=2-\sqrt{\frac{5}{2}},y=1-\sqrt{\frac{5}{2}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11543
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2022

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μάιος 23, 2022 11:18 am

Al.Koutsouridis έγραψε:
Κυρ Μάιος 22, 2022 2:16 pm
Θέματα της (τύπου εισαγωγικών εξετάσεων) ολυμπιάδας του Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας για το 2022.

4. Οι κύκλοι \Omega και \omega εφάπτονται εσωτερικά στο σημείο A. Το τμήμα AB είναι διάμετρος του μεγαλύτερου κύκλου \Omega και η χορδή BC του κύκλου \Omega εφάπτεται του \omega στο σημείο D. Η ακτίνα AD επανατέμνει τον \Omega στο σημείο E. Η ευθεία, που διέρχεται από το σημείο E και είναι κάθετη προς την BC, επανατέμνει τον \Omega στο σημείο F. Να βρείτε τις ακτίνες των κύκλων, την γωνία AFE και το εμβαδόν του τριγώνου AEF, αν CD=8, BD=17.
Έστω r,R οι ακτίνες του \omega και του \Omega αντίστοιχα. \displaystyle DK||AC \Leftrightarrow \frac{{17}}{8} = \frac{{2R - r}}{r} \Leftrightarrow \boxed{r = \frac{{16R}}{{25}}} (1)
Φυστέχ 2022.4.png
Φυστέχ 2022.4.png (22.09 KiB) Προβλήθηκε 377 φορές
B{D^2} = B{K^2} - {r^2} \Leftrightarrow 289 = {(2R - r)^2} - {r^2}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} \boxed{R = \frac{{85}}{6}} και \boxed{r = \frac{{136}}{{15}}}

Με Πυθαγόρειο βρίσκω \displaystyle AC = \frac{{40}}{3} και στη συνέχεια \displaystyle AD = \frac{{8\sqrt {34} }}{3}. Η γωνία AFE=\omega δεν μπορεί να

υπολογισθεί, αλλά μπορούμε να βρούμε ένα τριγωνομετρικό αριθμό της. Πράγματι, επειδή η AB είναι μεσοκάθετη

της EF και DK||AC, οιAE, AB τριχοτομούν τη γωνία CAF, οπότε όλες οι μπλε γωνίες είναι ίσες με \theta.

\displaystyle \tan \theta  = \frac{8}{{40/3}} = \frac{3}{5} \Rightarrow \tan \omega  = \tan (90^\circ  - \theta ) = \frac{5}{3}

\displaystyle AD \cdot DE = 8 \cdot 17 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {34} }}{3}DE = 17 \Leftrightarrow DE = \frac{{3\sqrt {34} }}{2} και \boxed{AE = \frac{{25\sqrt {34} }}{6}}

\displaystyle (AEF) = \frac{1}{2}A{E^2}\sin 2\theta  = \frac{1}{2}\left( {\frac{{25\sqrt {34} }}{6}} \right)\frac{{25}}{{2R}} \Leftrightarrow ... \boxed{(AEF)=\frac{3125}{12}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11543
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2022

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μάιος 23, 2022 7:12 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Κυρ Μάιος 22, 2022 2:16 pm
Θέματα της (τύπου εισαγωγικών εξετάσεων) ολυμπιάδας του Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας για το 2022.

2. Να λύσετε το σύστημα των εξισώσεων

\left\{\begin{matrix} 
x-2y = \sqrt{xy-x-2y+2} 
\\  
x^2+9y^2-4x-18y=12 
\end{matrix}\right..
Το σύστημα γράφεται \displaystyle \left\{ \begin{gathered} 
  x - 2y = \sqrt {(x - 2)(y - 1)}  \hfill \\ 
  {(x - 2)^2} + 9{(y - 1)^2} = 25 \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Θέτω x-2=a, y-1=b και έχω: \displaystyle \left\{ \begin{gathered} 
  a - 2b = \sqrt {ab} ,a \geqslant 2b \hfill \\ 
  {a^2} + 9{b^2} = 25 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  {(a - 2b)^2} = ab \hfill \\ 
  {a^2} + 9{b^2} = 25 \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Η πρώτη εξίσωση δίνει a=b ή a=4b και αντικαθιστώντας στη δεύτερη

\displaystyle  \bullet για \displaystyle a = b, προκύπτει \displaystyle a = b =  \pm \frac{{\sqrt {10} }}{2}. Από αυτές μόνο η \displaystyle  - \frac{{\sqrt {10} }}{2} επαληθεύει, οπότε \boxed{x = \frac{{4 - \sqrt {10} }}{2},y = \frac{{2 - \sqrt {10} }}{2}}

\displaystyle  \bullet για \displaystyle a = 4b, προκύπτει \displaystyle b =  \pm 1, όπου μόνο η b=1 επαληθεύει, οπότε \boxed{x=6, y=2}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14444
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2022

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Μάιος 23, 2022 11:20 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Κυρ Μάιος 22, 2022 2:16 pm

5. Η συνάρτηση f ορίζεται στο σύνολο των θετικών ρητών αριθμών. Είναι γνωστό ότι για οποιουσδήποτε αριθμούς a και b αυτού του συνόλου ικανοποιείται η ισότητα f(ab) = f(a)+f(b) και επιπλέον f(p) = [p/4] για οποιονδήποτε πρώτο αριθμό p (με [x] συμβολίζουμε τον μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό, που δεν υπερβαίνει το x). Να βρείτε το πλήθος των ζευγών θετικών ακέραιων (x,y) τέτοιων, ώστε 1 \leq x \leq 24, 1 \leq y \leq 24 και f(x/y) < 0.
Μάλλον με πολύ περιπτωσιολογία και κοποιαστικές πράξεις, γι' αυτό κάνω μόνο τα κύρια βήματα. Δεν νομίζω να υπάρχει κάτι ιδιαίτερα πιο οικονομικό:

Βρίσκουμε πρώτα τις τιμές των f(n) για τους φυσικούς 1,\,2,\,...\,,\, 24. Για τους πρώτους πάμε από τον ορισμό. Θα βρούμε f(2) =f(3)=0,\, f(5)=f(7)=1,\, f(11)=2,\, f(13)=3,\, f(17)=f(19)=4,\, f(23)=5.

Επίσης f(1)=f(1)+f(1), οπότε f(1)=0.

Για τους σύνθετους χρησιμοποιούμε τον δοθέντα τύπο. Π.χ. f(4)=f(2)+f(2)=0+0=0.

Όμοια οι μη μηδενικοί είναι f(10)=f(2)+f(5)=1,\, f(14)=f(15)=1,\, f(20)=f(21)=1, \, f(22)=2 (οι υπόλοιποι είναι 0).

Τέλος f\left ( \dfrac {m}{n}\right ) = f(m)-f(n) από όπου με σάρωση όλων των περιπτώσεων βρίσκουμε τα αρνητικά f\left ( \dfrac {m}{n}\right ),\, 1\le m\le 24,\, 1\le n \le 24. Για παράδειγμα f\left ( \dfrac {5}{13}\right )= f(5)-f(13)=1-3<0. Όμοια τα οπόλοιπα. Γλιτώνουμε κόπο αν αγνοήσουμε τα m,\,n με f(m)=0 ή f(n)=0 γιατί το συμπέρασμα είναι άμεσο.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14444
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2022

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Μάιος 24, 2022 7:21 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Μάιος 23, 2022 11:20 pm
Al.Koutsouridis έγραψε:
Κυρ Μάιος 22, 2022 2:16 pm

5. Η συνάρτηση f ορίζεται στο σύνολο των θετικών ρητών αριθμών. Είναι γνωστό ότι για οποιουσδήποτε αριθμούς a και b αυτού του συνόλου ικανοποιείται η ισότητα f(ab) = f(a)+f(b) και επιπλέον f(p) = [p/4] για οποιονδήποτε πρώτο αριθμό p (με [x] συμβολίζουμε τον μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό, που δεν υπερβαίνει το x). Να βρείτε το πλήθος των ζευγών θετικών ακέραιων (x,y) τέτοιων, ώστε 1 \leq x \leq 24, 1 \leq y \leq 24 και f(x/y) < 0.
Μάλλον με πολύ περιπτωσιολογία και κοποιαστικές πράξεις, γι' αυτό κάνω μόνο τα κύρια βήματα. Δεν νομίζω να υπάρχει κάτι ιδιαίτερα πιο οικονομικό:

Βρίσκουμε πρώτα τις τιμές των f(n) για τους φυσικούς 1,\,2,\,...\,,\, 24. Για τους πρώτους πάμε από τον ορισμό. Θα βρούμε f(2) =f(3)=0,\, f(5)=f(7)=1,\, f(11)=2,\, f(13)=3,\, f(17)=f(19)=4,\, f(23)=5.

Επίσης f(1)=f(1)+f(1), οπότε f(1)=0.

Για τους σύνθετους χρησιμοποιούμε τον δοθέντα τύπο. Π.χ. f(4)=f(2)+f(2)=0+0=0.

Όμοια οι μη μηδενικοί είναι f(10)=f(2)+f(5)=1,\, f(14)=f(15)=1,\, f(20)=f(21)=1, \, f(22)=2 (οι υπόλοιποι είναι 0).

Τέλος f\left ( \dfrac {m}{n}\right ) = f(m)-f(n) από όπου με σάρωση όλων των περιπτώσεων βρίσκουμε τα αρνητικά f\left ( \dfrac {m}{n}\right ),\, 1\le m\le 24,\, 1\le n \le 24. Για παράδειγμα f\left ( \dfrac {5}{13}\right )= f(5)-f(13)=1-3<0. Όμοια τα οπόλοιπα. Γλιτώνουμε κόπο αν αγνοήσουμε τα m,\,n με f(m)=0 ή f(n)=0 γιατί το συμπέρασμα είναι άμεσο.
Επανέρχομαι σε αυτή την άσκηση, με καλύτερο συλλογισμό.

α) Βρίσκουμε όπως πριν τις τιμές των f(n) για 1\le n\le 24. Βλέπε παραπάνω.

β) Μετράμε από το α) και βλέπουμε ότι έχουμε έντεκα αριθμούς με f(n)=0, επτά με f(n)=1, δύο με f(n)=2, έναν με f(n)=3, δύο με f(n)=4 και έναν με f(n)=5

γ) Εύκολα βρίσκουμε πόσα από τα f \left (\dfrac {m}{n} \right)=0. Aυτά είναι όσα ζεύγη έχουν f(m)=f(n) που από το β) είναι σε πλήθος {\color {red} 11\times 11+7\times 7+2\times 2+1\times 1+2\times 2+1\times1}.

δ) Τώρα οι υπόλοιποι έχουν φυσικά f \left (\dfrac {m}{n} \right)\ne 0 αλλά (εδώ είναι η ουσιαστική βελτίωση) ακριβώς οι μισοί από αυτούς έχουν
f \left (\dfrac {m}{n} \right)>  0 και οι άλλοι μισοί f \left (\dfrac {m}{n} \right)<  0 διότι για κάθε έναν με f \left (\dfrac {x}{y} \right)> 0 παρατηρούμε ότι ο f \left (\dfrac {y}{x} \right) ως αντίθετος του προηγούμενο, είναι αρνητικός. Συνεπώς τα ζεύγη με f \left (\dfrac {y}{x} \right) <0 είναι \dfrac {1}{2} (24\times 24- 11\times 11-7\times 7-2\times 2-1\times 1-2\times 2-1\times1) = 198.

Σχόλιο: Η διαφορά με την προηγούμενη λύση είναι ότι τώρα μετράμε τα ζεύγη με f \left (\dfrac {m}{n} \right)<0 χωρίς να συγκρίνουμε τα f(m),\, f(n).


Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 779
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2022

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Σάβ Ιουν 04, 2022 7:25 pm

Mια λύση για το 1)

Έχουμε τις εξισώσεις

(1) sin(2a+2b)=\frac{-1}{\sqrt{5}}

και

(2) sin(2a+4b)+sin(2a)=-\frac{4}{5}

Aπο τον γνωστό τύπο sin(A)+sin(B)=2sin(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2}) για την (2) προκύπτει ότι

(3) 2sin(2a+2b)cos(2b)=-\frac{4}{5}

Mεσω της (1) βρισκουμε

cos(2b)=\frac{2}{\sqrt{5}}

και

sin(2b)=\pm\frac{1}{\sqrt{5}}


Αναπτύσσοντας την (1) και αντικαθιστώντας τα γνωστά καταλήγουμε στην

5sin^{2}2a+4sin(2a)=0

Απο οπού

sin(2a)=0

βρίσκουμε tga=0

και

sin2a=-\frac{4}{5}

όπου μετα απο πράξεις καταλήγουμε στην

(1-cos^{2}a)(cos^{2}a)=\frac{4}{25}


και cos^2{a}=\frac{1}{5} , cos^2{a}=\frac{4}{5}

Επειδή

tga=\frac{sina}{cosa}=\frac{sinacosa}{cos^2{a}}

βρίσκουμε ότι tga=-2 , tga=-\frac{1}{2}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες