Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2022

Al.Koutsouridis · #1

Θέματα της (τύπου εισαγωγικών εξετάσεων) ολυμπιάδας του Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας για το 2022.

1. Οι γωνίες $\alpha$ και $\beta$ ικανοποιούν τις εξισώσεις

$\sin (2\alpha +2\beta)= -\dfrac{1}{\sqrt{5}} , \quad \sin (2\alpha +4\beta)+ \sin 2\alpha= -\dfrac{4}{5}$ .

Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές της έκφρασης $\tan \alpha$ , αν είναι γνωστό, ότι ορίζεται και ότι αυτές οι τιμές είναι τουλάχιστον τρεις.

2. Να λύσετε το σύστημα των εξισώσεων

$\left\{\begin{matrix} x-2y = \sqrt{xy-x-2y+2} \\ x^2+9y^2-4x-18y=12 \end{matrix}\right.$ .

3. Να λύσετε την ανίσωση

$5^{\log_{12} (x^2+18x)} +x^2 \geq |x^2+18x|^{\log_{12} 13} -18x$ .

4. Οι κύκλοι $\Omega$ και $\omega$ εφάπτονται εσωτερικά στο σημείο

. Το τμήμα

είναι διάμετρος του μεγαλύτερου κύκλου $\Omega$ και η χορδή

του κύκλου $\Omega$ εφάπτεται του $\omega$ στο σημείο

. Η ακτίνα

επανατέμνει τον $\Omega$ στο σημείο

. Η ευθεία, που διέρχεται από το σημείο

και είναι κάθετη προς την

, επανατέμνει τον $\Omega$ στο σημείο

. Να βρείτε τις ακτίνες των κύκλων, την γωνία AFE

και το εμβαδόν του τριγώνου AEF

, αν

.

5. Η συνάρτηση

ορίζεται στο σύνολο των θετικών ρητών αριθμών. Είναι γνωστό ότι για οποιουσδήποτε αριθμούς

και

αυτού του συνόλου ικανοποιείται η ισότητα f(ab) = f(a)+f(b)

και επιπλέον f(p) = [p/4]

για οποιονδήποτε πρώτο αριθμό

(με

συμβολίζουμε τον μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό, που δεν υπερβαίνει το

). Να βρείτε το πλήθος των ζευγών θετικών ακέραιων (x,y)

τέτοιων, ώστε $1 \leq x \leq 24$ , $1 \leq y \leq 24$ και f(x/y) < 0

.

6. Να βρείτε όλα τα ζεύγη αριθμών (a,b)

τέτοια, ώστε η ανισότητα

$\dfrac{12x+11}{4x+3} \leq ax+b \leq -8x^2-30x-17$

να ικανοποιείται για όλα τα

του διαστήματος $\left [-\dfrac{11}{3}, -\dfrac{3}{4} \right )$ .

7. Δίνεται πυραμίδα ABCD

, η κορυφή

της οποίας βρίκεται στην ίδια σφαίρα με τα μέσα όλων των ακμών της, εκτός της ακμής

. Είναι γνωστό ότι AB=1, BD=2, CD=3

. Να βρείτε το μήκος της ακμής

. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή της ακτίνας της περιγεγραμμένης σφαίρας γύρο από την δοθείσα πυραμίδα;

mick7 · #2

Για το 3)
Η 1η εξίσωση γράφεται (x^2-4x+4)+9(y^2-2y+1)=25

και συνεπώς (x-2)^2+9(y-1)^2=25

Θέτοντας

το συστημα γραφεται

$k-2m=\sqrt{km}$ (1)

k^2+9m^2=25

(2)

H (1) μετα απο ύψωση στο τετράγωνο γίνεται k^2+4m^2-4km=km

Απαλείφοντας (δεν τις γραφω ολες τις πράξεις) καταλήγουμε στην 2m^4-7m^2+5=0

Aπο οπού παίρνουμε $m^2=1,m^2=\frac{5}{2}$

και αντίστοιχα $k^2=16,k^2=\frac{5}{2}$

Tελικα παίρνω ζευγάρια λύσεων x=6,y=2

και $x=2-\sqrt{\frac{5}{2}},y=1-\sqrt{\frac{5}{2}}$

#3

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 22, 2022 2:16 pm
Θέματα της (τύπου εισαγωγικών εξετάσεων) ολυμπιάδας του Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας για το 2022.

4. Οι κύκλοι $\Omega$ και $\omega$ εφάπτονται εσωτερικά στο σημείο . Το τμήμα είναι διάμετρος του μεγαλύτερου κύκλου $\Omega$ και η χορδή του κύκλου $\Omega$ εφάπτεται του $\omega$ στο σημείο . Η ακτίνα επανατέμνει τον $\Omega$ στο σημείο . Η ευθεία, που διέρχεται από το σημείο και είναι κάθετη προς την , επανατέμνει τον $\Omega$ στο σημείο . Να βρείτε τις ακτίνες των κύκλων, την γωνία και το εμβαδόν του τριγώνου , αν .

Έστω

οι ακτίνες του $\omega$ και του $\Omega$ αντίστοιχα. $\displaystyle DK||AC \Leftrightarrow \frac{{17}}{8} = \frac{{2R - r}}{r} \Leftrightarrow$ $\boxed{r = \frac{{16R}}{{25}}}$ (1)

: Φυστέχ 2022.4.png (22.09 KiB) Προβλήθηκε 377 φορές

$B{D^2} = B{K^2} - {r^2} \Leftrightarrow 289 = {(2R - r)^2} - {r^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{R = \frac{{85}}{6}}$ και $\boxed{r = \frac{{136}}{{15}}}$

Με Πυθαγόρειο βρίσκω $\displaystyle AC = \frac{{40}}{3}$ και στη συνέχεια $\displaystyle AD = \frac{{8\sqrt {34} }}{3}.$ Η γωνία $AFE=\omega$ δεν μπορεί να

υπολογισθεί, αλλά μπορούμε να βρούμε ένα τριγωνομετρικό αριθμό της. Πράγματι, επειδή η

είναι μεσοκάθετη

της

και

οι

τριχοτομούν τη γωνία CAF,

οπότε όλες οι μπλε γωνίες είναι ίσες με $\theta.$

$\displaystyle \tan \theta = \frac{8}{{40/3}} = \frac{3}{5} \Rightarrow \tan \omega = \tan (90^\circ - \theta ) = \frac{5}{3}$

$\displaystyle AD \cdot DE = 8 \cdot 17 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {34} }}{3}DE = 17 \Leftrightarrow DE = \frac{{3\sqrt {34} }}{2}$ και $\boxed{AE = \frac{{25\sqrt {34} }}{6}}$

$\displaystyle (AEF) = \frac{1}{2}A{E^2}\sin 2\theta = \frac{1}{2}\left( {\frac{{25\sqrt {34} }}{6}} \right)\frac{{25}}{{2R}} \Leftrightarrow ...$ $\boxed{(AEF)=\frac{3125}{12}}$

#4

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 22, 2022 2:16 pm
Θέματα της (τύπου εισαγωγικών εξετάσεων) ολυμπιάδας του Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας για το 2022.

2. Να λύσετε το σύστημα των εξισώσεων

$\left\{\begin{matrix} x-2y = \sqrt{xy-x-2y+2} \\ x^2+9y^2-4x-18y=12 \end{matrix}\right.$ .

Το σύστημα γράφεται $\displaystyle \left\{ \begin{gathered} x - 2y = \sqrt {(x - 2)(y - 1)} \hfill \\ {(x - 2)^2} + 9{(y - 1)^2} = 25 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Θέτω x-2=a, y-1=b

και έχω: $\displaystyle \left\{ \begin{gathered} a - 2b = \sqrt {ab} ,a \geqslant 2b \hfill \\ {a^2} + 9{b^2} = 25 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {(a - 2b)^2} = ab \hfill \\ {a^2} + 9{b^2} = 25 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Η πρώτη εξίσωση δίνει a=b

ή

και αντικαθιστώντας στη δεύτερη

$\displaystyle \bullet$ για $\displaystyle a = b,$ προκύπτει $\displaystyle a = b = \pm \frac{{\sqrt {10} }}{2}.$ Από αυτές μόνο η $\displaystyle - \frac{{\sqrt {10} }}{2}$ επαληθεύει, οπότε $\boxed{x = \frac{{4 - \sqrt {10} }}{2},y = \frac{{2 - \sqrt {10} }}{2}}$

$\displaystyle \bullet$ για $\displaystyle a = 4b,$ προκύπτει $\displaystyle b = \pm 1,$ όπου μόνο η b=1

επαληθεύει, οπότε $\boxed{x=6, y=2}$

#5

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 22, 2022 2:16 pm

5. Η συνάρτηση ορίζεται στο σύνολο των θετικών ρητών αριθμών. Είναι γνωστό ότι για οποιουσδήποτε αριθμούς και αυτού του συνόλου ικανοποιείται η ισότητα και επιπλέον για οποιονδήποτε πρώτο αριθμό (με συμβολίζουμε τον μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό, που δεν υπερβαίνει το ). Να βρείτε το πλήθος των ζευγών θετικών ακέραιων τέτοιων, ώστε $1 \leq x \leq 24$ , $1 \leq y \leq 24$ και .

Μάλλον με πολύ περιπτωσιολογία και κοποιαστικές πράξεις, γι' αυτό κάνω μόνο τα κύρια βήματα. Δεν νομίζω να υπάρχει κάτι ιδιαίτερα πιο οικονομικό:

Βρίσκουμε πρώτα τις τιμές των f(n)

για τους φυσικούς $1,\,2,\,...\,,\, 24$ . Για τους πρώτους πάμε από τον ορισμό. Θα βρούμε $f(2) =f(3)=0,\, f(5)=f(7)=1,\, f(11)=2,\, f(13)=3,\, f(17)=f(19)=4,\, f(23)=5$ .

Επίσης f(1)=f(1)+f(1)

, οπότε

.

Για τους σύνθετους χρησιμοποιούμε τον δοθέντα τύπο. Π.χ. f(4)=f(2)+f(2)=0+0=0

.

Όμοια οι μη μηδενικοί είναι $f(10)=f(2)+f(5)=1,\, f(14)=f(15)=1,\, f(20)=f(21)=1, \, f(22)=2$ (οι υπόλοιποι είναι

).

Τέλος $f\left ( \dfrac {m}{n}\right ) = f(m)-f(n)$ από όπου με σάρωση όλων των περιπτώσεων βρίσκουμε τα αρνητικά $f\left ( \dfrac {m}{n}\right ),\, 1\le m\le 24,\, 1\le n \le 24$ . Για παράδειγμα $f\left ( \dfrac {5}{13}\right )= f(5)-f(13)=1-3<0$ . Όμοια τα οπόλοιπα. Γλιτώνουμε κόπο αν αγνοήσουμε τα $m,\,n$ με f(m)=0

ή

γιατί το συμπέρασμα είναι άμεσο.

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 23, 2022 11:20 pm

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 22, 2022 2:16 pm

5. Η συνάρτηση ορίζεται στο σύνολο των θετικών ρητών αριθμών. Είναι γνωστό ότι για οποιουσδήποτε αριθμούς και αυτού του συνόλου ικανοποιείται η ισότητα και επιπλέον για οποιονδήποτε πρώτο αριθμό (με συμβολίζουμε τον μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό, που δεν υπερβαίνει το ). Να βρείτε το πλήθος των ζευγών θετικών ακέραιων τέτοιων, ώστε $1 \leq x \leq 24$ , $1 \leq y \leq 24$ και .

Μάλλον με πολύ περιπτωσιολογία και κοποιαστικές πράξεις, γι' αυτό κάνω μόνο τα κύρια βήματα. Δεν νομίζω να υπάρχει κάτι ιδιαίτερα πιο οικονομικό:

Βρίσκουμε πρώτα τις τιμές των για τους φυσικούς $1,\,2,\,...\,,\, 24$ . Για τους πρώτους πάμε από τον ορισμό. Θα βρούμε $f(2) =f(3)=0,\, f(5)=f(7)=1,\, f(11)=2,\, f(13)=3,\, f(17)=f(19)=4,\, f(23)=5$ .

Επίσης , οπότε .

Για τους σύνθετους χρησιμοποιούμε τον δοθέντα τύπο. Π.χ. .

Όμοια οι μη μηδενικοί είναι $f(10)=f(2)+f(5)=1,\, f(14)=f(15)=1,\, f(20)=f(21)=1, \, f(22)=2$ (οι υπόλοιποι είναι ).

Τέλος $f\left ( \dfrac {m}{n}\right ) = f(m)-f(n)$ από όπου με σάρωση όλων των περιπτώσεων βρίσκουμε τα αρνητικά $f\left ( \dfrac {m}{n}\right ),\, 1\le m\le 24,\, 1\le n \le 24$ . Για παράδειγμα $f\left ( \dfrac {5}{13}\right )= f(5)-f(13)=1-3<0$ . Όμοια τα οπόλοιπα. Γλιτώνουμε κόπο αν αγνοήσουμε τα $m,\,n$ με ή γιατί το συμπέρασμα είναι άμεσο.

Επανέρχομαι σε αυτή την άσκηση, με καλύτερο συλλογισμό.

α) Βρίσκουμε όπως πριν τις τιμές των f(n)

για $1\le n\le 24$ . Βλέπε παραπάνω.

β) Μετράμε από το α) και βλέπουμε ότι έχουμε έντεκα αριθμούς με f(n)=0

, επτά με

, δύο με

, έναν με f(n)=3

, δύο με

και έναν με f(n)=5

γ) Εύκολα βρίσκουμε πόσα από τα $f \left (\dfrac {m}{n} \right)=0$ . Aυτά είναι όσα ζεύγη έχουν f(m)=f(n)

που από το β) είναι σε πλήθος ${\color {red} 11\times 11+7\times 7+2\times 2+1\times 1+2\times 2+1\times1}$ .

δ) Τώρα οι υπόλοιποι έχουν φυσικά $f \left (\dfrac {m}{n} \right)\ne 0$ αλλά (εδώ είναι η ουσιαστική βελτίωση) ακριβώς οι μισοί από αυτούς έχουν
$f \left (\dfrac {m}{n} \right)> 0$ και οι άλλοι μισοί $f \left (\dfrac {m}{n} \right)< 0$ διότι για κάθε έναν με $f \left (\dfrac {x}{y} \right)> 0$ παρατηρούμε ότι ο $f \left (\dfrac {y}{x} \right)$ ως αντίθετος του προηγούμενο, είναι αρνητικός. Συνεπώς τα ζεύγη με $f \left (\dfrac {y}{x} \right) <0$ είναι $\dfrac {1}{2} (24\times 24- 11\times 11-7\times 7-2\times 2-1\times 1-2\times 2-1\times1) = 198$ .

Σχόλιο: Η διαφορά με την προηγούμενη λύση είναι ότι τώρα μετράμε τα ζεύγη με $f \left (\dfrac {m}{n} \right)<0$ χωρίς να συγκρίνουμε τα $f(m),\, f(n)$ .

mick7 · #7

Mια λύση για το 1)

Έχουμε τις εξισώσεις

(1) $sin(2a+2b)=\frac{-1}{\sqrt{5}}$

και

(2) $sin(2a+4b)+sin(2a)=-\frac{4}{5}$

Aπο τον γνωστό τύπο $sin(A)+sin(B)=2sin(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2})$ για την (2) προκύπτει ότι

(3) $2sin(2a+2b)cos(2b)=-\frac{4}{5}$

Mεσω της (1) βρισκουμε

$cos(2b)=\frac{2}{\sqrt{5}}$

και

$sin(2b)=\pm\frac{1}{\sqrt{5}}$

Αναπτύσσοντας την (1) και αντικαθιστώντας τα γνωστά καταλήγουμε στην

$5sin^{2}2a+4sin(2a)=0$

Απο οπού

βρίσκουμε

και

$sin2a=-\frac{4}{5}$

όπου μετα απο πράξεις καταλήγουμε στην

$(1-cos^{2}a)(cos^{2}a)=\frac{4}{25}$

και $cos^2{a}=\frac{1}{5}$ , $cos^2{a}=\frac{4}{5}$

Επειδή

$tga=\frac{sina}{cosa}=\frac{sinacosa}{cos^2{a}}$

βρίσκουμε ότι tga=-2

, $tga=-\frac{1}{2}$

Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2022

Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2022

Re: Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2022

Re: Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2022

Re: Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2022

Re: Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2022

Re: Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2022

Re: Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2022

Μέλη σε σύνδεση