Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2021
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1784
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2021
Θέματα της εισαγωγικού τύπου ολυμπιάδας του Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας για το 2021.
1. Έστω το άθροισμα των πρώτων όρων αύξουσας αριθμητικής προόδου που αποτελείται από ακέραιους αριθμούς. Είναι γνωστό ότι και . Υποδείξτε όλες τις δυνατές τιμές του .
2. Θεωρούμε όλα τα δυνατά τετράεδρα στα οποία , και . Κάθε τέτοιο τετράεδρο είναι εγγεγραμμένο σε κύλινδρο έτσι, ώστε όλες οι κορυφές του να βρίσκονται στην παράπλευρη επιφάνεια και η ακμή να είναι παράλληλη προς τον άξονα του κυλίνδρου. Διαλέγουμε το τετράεδρο, για το οποίο η ακτίνα της βάσης του κυλίνδρου είναι η ελάχιστη εξ αυτών που προκύπτουν. Ποιές τιμές μπορεί να πάρει το μήκος της ακμής σε ένα τέτοιο τετράεδρο;
3. Έστω το σχήμα του καρτεσιανού επιπέδου, που αποτελείται από όλα τα σημεία τέτοια, ώστε να υπάρχει ζεύγος πραγματικών αριθμών για τα οποία ικανοποιείται το σύστημα των ανισώσεων
Να βρείτε το εμβαδόν του σχήματος .
4. Να βρείτε το πλήθος των τριάδων θετικών ακέραιων αριθμών, που ικανοποιούν το σύστημα των εξισώσεων
5. Δίνονται οι αριθμοί , και . Για ποιές τιμές του δυο από αυτούς τους αριθμούς είναι ίση μεταξύ τους και ο τρίτος κατά μικρότερος αυτών;
6. Το οξυγώνιο τριγωνο είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο κέντρου . Ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία και , τέμνει το τμήμα στο σημείο . Οι εφαπτομένες προς τον από τα σημεία και , τέμνονται στο σημείο . Το τμήμα τέμνει την πλευρά στο σημείο . Είναι γνωστό, ότι τα εμβαδά των τριγώνων και είναι ίσα με και αντίστοιχα.
α) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου .
β) Έστω ότι επιπλέον ισχύει . Να βρείτε το μήκος της πλευράς .
Μερικά προβλήματα, άλλης έκδοσης των θεμάτων:
4. Να λύσετε την εξίσωση
.
5. Να βρείτε όλες τις τιμές του για τις οποίες η ανίσωση
ικανοποιείται για οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου .
1. Έστω το άθροισμα των πρώτων όρων αύξουσας αριθμητικής προόδου που αποτελείται από ακέραιους αριθμούς. Είναι γνωστό ότι και . Υποδείξτε όλες τις δυνατές τιμές του .
2. Θεωρούμε όλα τα δυνατά τετράεδρα στα οποία , και . Κάθε τέτοιο τετράεδρο είναι εγγεγραμμένο σε κύλινδρο έτσι, ώστε όλες οι κορυφές του να βρίσκονται στην παράπλευρη επιφάνεια και η ακμή να είναι παράλληλη προς τον άξονα του κυλίνδρου. Διαλέγουμε το τετράεδρο, για το οποίο η ακτίνα της βάσης του κυλίνδρου είναι η ελάχιστη εξ αυτών που προκύπτουν. Ποιές τιμές μπορεί να πάρει το μήκος της ακμής σε ένα τέτοιο τετράεδρο;
3. Έστω το σχήμα του καρτεσιανού επιπέδου, που αποτελείται από όλα τα σημεία τέτοια, ώστε να υπάρχει ζεύγος πραγματικών αριθμών για τα οποία ικανοποιείται το σύστημα των ανισώσεων
Να βρείτε το εμβαδόν του σχήματος .
4. Να βρείτε το πλήθος των τριάδων θετικών ακέραιων αριθμών, που ικανοποιούν το σύστημα των εξισώσεων
5. Δίνονται οι αριθμοί , και . Για ποιές τιμές του δυο από αυτούς τους αριθμούς είναι ίση μεταξύ τους και ο τρίτος κατά μικρότερος αυτών;
6. Το οξυγώνιο τριγωνο είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο κέντρου . Ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία και , τέμνει το τμήμα στο σημείο . Οι εφαπτομένες προς τον από τα σημεία και , τέμνονται στο σημείο . Το τμήμα τέμνει την πλευρά στο σημείο . Είναι γνωστό, ότι τα εμβαδά των τριγώνων και είναι ίσα με και αντίστοιχα.
α) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου .
β) Έστω ότι επιπλέον ισχύει . Να βρείτε το μήκος της πλευράς .
Μερικά προβλήματα, άλλης έκδοσης των θεμάτων:
4. Να λύσετε την εξίσωση
.
5. Να βρείτε όλες τις τιμές του για τις οποίες η ανίσωση
ικανοποιείται για οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου .
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2021
Μια σκέψη στο 5)
Περιορισμοί και
Παρατηρώ ότι
Ξαναγραφοντας το σαν
Επειδή Θέλουμε να είναι οι δυο ίσοι και ο άλλος μικρότερος κατά 1 θα ισχύει
Από την τελευταία προκύπτει
Συνεπώς θα ισχύει
Παρόμοια εργαζόμαστε για τα L και Ν και οι αριθμοί είναι oι (2,1,2)
Περιορισμοί και
Παρατηρώ ότι
Ξαναγραφοντας το σαν
Επειδή Θέλουμε να είναι οι δυο ίσοι και ο άλλος μικρότερος κατά 1 θα ισχύει
Από την τελευταία προκύπτει
Συνεπώς θα ισχύει
Παρόμοια εργαζόμαστε για τα L και Ν και οι αριθμοί είναι oι (2,1,2)
Re: Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2021
α) Η προφανής παραλληλία των , δίνει : , δηλαδή : .Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 22, 2022 4:23 pm
6. Το οξυγώνιο τριγωνο είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο κέντρου . Ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία και , τέμνει το τμήμα στο σημείο . Οι εφαπτομένες προς τον από τα σημεία και , τέμνονται στο σημείο . Το τμήμα τέμνει την πλευρά στο σημείο . Είναι γνωστό, ότι τα εμβαδά των τριγώνων και είναι ίσα με και αντίστοιχα.
α) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου .
β) Έστω ότι επιπλέον ισχύει . Να βρείτε το μήκος της πλευράς .
β) Τεμνόμενες χορδές , δίνουν , δηλαδή : ,
βρίσκουμε : , και τελικά : .
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Κυρ Ιαν 23, 2022 8:30 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2021
1.H διαφορά ω θετικός ακέραιος.
.
Πολλ/ζοντας επί -1 την τελευταία και προσθέτοντας κατά μέλη με την προηγούμενη ανισότητα προκύπτει
Για ω=1 από τις προηγούμενες ανισότητες:
Αποκλείοντας το -3 δέχομαι τα υπόλοιπα.
.
Πολλ/ζοντας επί -1 την τελευταία και προσθέτοντας κατά μέλη με την προηγούμενη ανισότητα προκύπτει
Για ω=1 από τις προηγούμενες ανισότητες:
Αποκλείοντας το -3 δέχομαι τα υπόλοιπα.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1784
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2021
Μια παρατήρηση εδώ, επειδή ακριβώς έχουμε συνεπαγωγές, οι τιμές που βρίσκουμε θα πρέπει να τις επαληθεύσουμε. Για παράδειγμα η τιμή δεν επαληθεύει τις συνθήκες του προβλήματος.
Re: Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2021
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 22, 2022 4:23 pmΘέματα της εισαγωγικού τύπου ολυμπιάδας του Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας για το 2021.
6. Το οξυγώνιο τριγωνο είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο κέντρου . Ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία και , τέμνει το τμήμα στο σημείο . Οι εφαπτομένες προς τον από τα σημεία και , τέμνονται στο σημείο . Το τμήμα τέμνει την πλευρά στο σημείο . Είναι γνωστό, ότι τα εμβαδά των τριγώνων και είναι ίσα με και αντίστοιχα.
α) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου .
β) Έστω ότι επιπλέον ισχύει . Να βρείτε το μήκος της πλευράς .
Τα σημεία ανήκουν στον ίδιο κύκλο ( διαμέτρου ) και η είναι διχοτόμος στο .
Αν θέσω και λόγω του Θ. διχοτόμου αν .
Όμως όλες οι κίτρινες γωνίες είναι ίσες με . Συνεπώς .
α)Αν το ύψος από το στην είναι : .
β) Στο ισοσκελές τρίγωνο γνωρίζουμε το εμβαδόν του , Φέρνω το ύψος του . Επειδή : .
Από το Π. Θ. στο έχω : . Στο και έτσι :
οπότε από Θ. συνημίτονου στο έχω:
και άρα :
.
Re: Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2021
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 22, 2022 4:23 pmΘέματα της εισαγωγικού τύπου ολυμπιάδας του Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας για το 2021.
3. Έστω το σχήμα του καρτεσιανού επιπέδου, που αποτελείται από όλα τα σημεία τέτοια, ώστε να υπάρχει ζεύγος πραγματικών αριθμών για τα οποία ικανοποιείται το σύστημα των ανισώσεων
Να βρείτε το εμβαδόν του σχήματος .
Μια στοιχειώδης σχεδιαστική προσέγγιση του θέματος - δεν ξέρω αν μπορούμε να το εξηγήσουμε ευκολότερα ή καλύτερα.
Ελπίζω να μην έχω λανθασμένες πράξεις.... Τα σημεία κινούνται στην κοινή περιοχή, έστω , των κύκλων
Σχεδιάζουμε τους κύκλους
Θεωρούμε τους κύκλους με κέντρα τα , τα οποία κινούνται στην και έχουν ακτίνες ίσες με .
Αυτοί εφάπτονται στους κύκλους όταν τα , κινούνται στα τόξα , και περικλείουν τα σημεία τα οποία ικανοποιούν τις δοσμένες ανισότητες.
Το ζητούμενο σχήμα είναι αυτό που περικλείεται από τις κόκκινες γραμμές.
Για τον υπολογισμό του εμβαδού, βρίσκουμε ότι η γωνία είναι και έτσι θα είναι
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες