Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2021

Al.Koutsouridis · #1

Θέματα της εισαγωγικού τύπου ολυμπιάδας του Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας για το 2021.

1. Έστω

το άθροισμα των πρώτων

όρων αύξουσας αριθμητικής προόδου $a_{1}, a_{2}, \ldots,$ που αποτελείται από ακέραιους αριθμούς. Είναι γνωστό ότι $a_{6}a_{12} > S+1$ και $a_{7}a_{11} < S+17$ . Υποδείξτε όλες τις δυνατές τιμές του $a_{1}$ .

2. Θεωρούμε όλα τα δυνατά τετράεδρα ABCD

στα οποία

,

και

. Κάθε τέτοιο τετράεδρο είναι εγγεγραμμένο σε κύλινδρο έτσι, ώστε όλες οι κορυφές του να βρίσκονται στην παράπλευρη επιφάνεια και η ακμή

να είναι παράλληλη προς τον άξονα του κυλίνδρου. Διαλέγουμε το τετράεδρο, για το οποίο η ακτίνα της βάσης του κυλίνδρου είναι η ελάχιστη εξ αυτών που προκύπτουν. Ποιές τιμές μπορεί να πάρει το μήκος της ακμής

σε ένα τέτοιο τετράεδρο;

3. Έστω

το σχήμα του καρτεσιανού επιπέδου, που αποτελείται από όλα τα σημεία (x,y)

τέτοια, ώστε να υπάρχει ζεύγος πραγματικών αριθμών a,b,

για τα οποία ικανοποιείται το σύστημα των ανισώσεων

$\left\{\begin{matrix} (x-a)^2+(y-b)^2 \leq 2 \quad , \\ a^2+b^2 \leq min \left \{ 2a+2b,2 \right \} \quad . \end{matrix}\right.$

Να βρείτε το εμβαδόν του σχήματος

.

4. Να βρείτε το πλήθος των τριάδων (a,b,c)

θετικών ακέραιων αριθμών, που ικανοποιούν το σύστημα των εξισώσεων

$\left\{\begin{matrix} M.K.\Delta. (a,b,c) =6 , \\ E.K. \Pi. (a,b,c)=2^{15} \cdot 3^{16} \quad . \end{matrix}\right.$

5. Δίνονται οι αριθμοί $\log_{\sqrt{5x-1}} (4x+1)$ , $\log_{4x+1} \left (\dfrac{x}{2}+2 \right )^2$ και $\log_{\frac{x}{2}+2} (5x-1)$ . Για ποιές τιμές του

δυο από αυτούς τους αριθμούς είναι ίση μεταξύ τους και ο τρίτος κατά

μικρότερος αυτών;

6. Το οξυγώνιο τριγωνο ABC

είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο $\omega$ κέντρου

. Ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία A,O

και

, τέμνει το τμήμα

στο σημείο

. Οι εφαπτομένες προς τον $\omega$ από τα σημεία

και

, τέμνονται στο σημείο

. Το τμήμα

τέμνει την πλευρά

στο σημείο

. Είναι γνωστό, ότι τα εμβαδά των τριγώνων APK

και

είναι ίσα με

και

αντίστοιχα.

α) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ABC

.

β) Έστω ότι επιπλέον ισχύει $\angle ABC = arctan \dfrac{7}{5}$ . Να βρείτε το μήκος της πλευράς

.

Μερικά προβλήματα, άλλης έκδοσης των θεμάτων:

4. Να λύσετε την εξίσωση

$\sqrt{2\cos^4 x + 3\sin 4x -2\sin 2x} = -\sin 2x$ .

5. Να βρείτε όλες τις τιμές του

για τις οποίες η ανίσωση

$\displaystyle{4 \log_{x^2+5} \left ( \dfrac{6x}{x-2} \right) + \log_{x^2+5} (x-2)^4 \leq 2^{x-p} +2^{2+p-x}}$

ικανοποιείται για οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου

.

mick7 · #2

Μια σκέψη στο 5)

Περιορισμοί 5x-1>0

και $5x-1\neq1$

Παρατηρώ ότι

$\displaystyle \frac{log(4x+1)}{\frac{1}{2}log(5x-1)}\frac{2log(\frac{x}{2}+2)}{log(4x+1)}\frac{log(5x-1)}{log(\frac{x}{2}+2)}=4$

Ξαναγραφοντας το σαν

$\displaystyle KLN=4$

Επειδή Θέλουμε να είναι οι δυο ίσοι και ο άλλος μικρότερος κατά 1 θα ισχύει

$\displaystyle K^2(K-1)=4$

Από την τελευταία προκύπτει K=2

Συνεπώς θα ισχύει

$\displaystyle K=2\Rightarrow\frac{ln(4x+1)}{\frac{1}{2}log(5x-1)}=2\Rightarrow x=2$

Παρόμοια εργαζόμαστε για τα L και Ν και οι αριθμοί είναι oι (2,1,2)

KARKAR · #3

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 22, 2022 4:23 pm

6. Το οξυγώνιο τριγωνο είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο $\omega$ κέντρου . Ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία και , τέμνει το τμήμα στο σημείο . Οι εφαπτομένες προς τον $\omega$ από τα σημεία και , τέμνονται στο σημείο . Το τμήμα τέμνει την πλευρά στο σημείο . Είναι γνωστό, ότι τα εμβαδά των τριγώνων και είναι ίσα με και αντίστοιχα.

α) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου .

β) Έστω ότι επιπλέον ισχύει $\angle ABC = arctan \dfrac{7}{5}$ . Να βρείτε το μήκος της πλευράς .

: FYSTEX.png (30.98 KiB) Προβλήθηκε 1166 φορές

α) Η προφανής παραλληλία των PK , BA

, δίνει : (BPA)=15

, δηλαδή : (ABC)=25

.

β) Τεμνόμενες χορδές CA , PT

, δίνουν

, δηλαδή : $\dfrac{1}{2}6x\cdot 7x=\dfrac{25}{2}$ ,

βρίσκουμε : $x=\dfrac{5}{\sqrt{42}}$ , και τελικά : $AC=\dfrac{50}{\sqrt{42}}=\dfrac{25}{21}\sqrt{42}$ .

kfd · #4

1.H διαφορά ω θετικός ακέραιος.
$S=10\alpha _{1}+45\omega , \alpha _{6}\cdot \alpha _{12}=\left ( \alpha _{9} -3\omega \right )\left ( \alpha _{9}+3\omega \right )>S+1\Rightarrow \alpha _{9}^{2}-9\omega ^{2}>S+1, \alpha _{7}\cdot \alpha _{11}=\left ( \alpha _{9} -2\omega \right )\left ( \alpha _{9}+2\omega \right )<S+17\Rightarrow \alpha _{9}^{2}-4\omega ^{2}<S+17$ .
Πολλ/ζοντας επί -1 την τελευταία και προσθέτοντας κατά μέλη με την προηγούμενη ανισότητα προκύπτει
$5\omega ^{^{2}}<16\Rightarrow \omega =1.$
Για ω=1 από τις προηγούμενες ανισότητες: $\left ( \alpha _{1}+3 \right )^{2}>0\Rightarrow \alpha _{1}\neq -3, -3-\sqrt{11}<\alpha _{1}<-3+\sqrt{11}\Rightarrow \alpha _{1}=-6,-5,-4,-3,-2,-1,0.$
Αποκλείοντας το -3 δέχομαι τα υπόλοιπα.

Al.Koutsouridis · #5

mick7 έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 23, 2022 9:47 am

Συνεπώς θα ισχύει

$\displaystyle K=2\Rightarrow\frac{ln(4x+1)}{\frac{1}{2}log(5x-1)}=2\Rightarrow x=2$

Παρόμοια εργαζόμαστε για τα L και Ν και οι αριθμοί είναι oι (2,1,2)

Μια παρατήρηση εδώ, επειδή ακριβώς έχουμε συνεπαγωγές, οι τιμές που βρίσκουμε θα πρέπει να τις επαληθεύσουμε. Για παράδειγμα η τιμή x=1

δεν επαληθεύει τις συνθήκες του προβλήματος.

#6

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 22, 2022 4:23 pm
Θέματα της εισαγωγικού τύπου ολυμπιάδας του Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας για το 2021.

6. Το οξυγώνιο τριγωνο είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο $\omega$ κέντρου . Ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία και , τέμνει το τμήμα στο σημείο . Οι εφαπτομένες προς τον $\omega$ από τα σημεία και , τέμνονται στο σημείο . Το τμήμα τέμνει την πλευρά στο σημείο . Είναι γνωστό, ότι τα εμβαδά των τριγώνων και είναι ίσα με και αντίστοιχα.

α) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου .

β) Έστω ότι επιπλέον ισχύει $\angle ABC = arctan \dfrac{7}{5}$ . Να βρείτε το μήκος της πλευράς .

Τα σημεία ανήκουν στον ίδιο κύκλο ( διαμέτρου ) και η είναι διχοτόμος στο $\vartriangle PAC$ .

Αν θέσω $KC = 2x \Rightarrow KA = 3x$ και λόγω του Θ. διχοτόμου αν $PC = 2m\, \Rightarrow PA = 3m$ .

Όμως όλες οι κίτρινες γωνίες είναι ίσες με $\widehat {{B_{}}} = \theta$ . Συνεπώς $AB//PT \Rightarrow PB = PA = 3m$ .

α)Αν το ύψος από το στην είναι : $\dfrac{1}{2}2mh = 10 \Leftrightarrow mh = 10 \Rightarrow \dfrac{1}{2}3mh = 15 \Rightarrow \left( {ABP} \right) = 15\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {ABC} \right) = 25$ .

β) Στο ισοσκελές τρίγωνο γνωρίζουμε το εμβαδόν του $\left( {PAB} \right) = 15$ , $\tan \theta = \dfrac{7}{5}$

: Ολυμπιάδα_Φυστέχ_2021.png (28.89 KiB) Προβλήθηκε 1062 φορές

Φέρνω το ύψος του PN = y

. Επειδή : $\left\{ \begin{gathered} y \cdot AB = 30 \hfill \\ \frac{{2y}}{{AB}} = \frac{7}{5} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} y = \sqrt {21} \hfill \\ AB = \frac{{10\sqrt {21} }}{7} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Από το Π. Θ. στο $\vartriangle NBP$ έχω : $m = \dfrac{{\sqrt {1554} }}{7}$ . Στο $\vartriangle PAC\,,\,\,\widehat {CPA} = 2\theta$ και έτσι :

$\cos 2\theta = \dfrac{{1 - {{\tan }^2}\theta }}{{1 + {{\tan }^2}\theta }} = - \dfrac{{12}}{{37}}$ οπότε από Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle PAC$ έχω:

$A{C^2} = 4{m^2} + 9{m^2} - 2\left( {2m} \right)\left( {3m} \right)\left( { - \dfrac{{12}}{{37}}} \right) = \dfrac{{1250}}{{21}}$ και άρα : $\boxed{AC = \dfrac{{25\sqrt {42} }}{{21}}}$
.

#7

Επαναφορά για το #3

abgd · #8

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 22, 2022 4:23 pm
Θέματα της εισαγωγικού τύπου ολυμπιάδας του Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας για το 2021.

3. Έστω το σχήμα του καρτεσιανού επιπέδου, που αποτελείται από όλα τα σημεία τέτοια, ώστε να υπάρχει ζεύγος πραγματικών αριθμών για τα οποία ικανοποιείται το σύστημα των ανισώσεων

$\left\{\begin{matrix} (x-a)^2+(y-b)^2 \leq 2 \quad , \\ a^2+b^2 \leq min \left \{ 2a+2b,2 \right \} \quad . \end{matrix}\right.$

Να βρείτε το εμβαδόν του σχήματος .

Μια στοιχειώδης σχεδιαστική προσέγγιση του θέματος - δεν ξέρω αν μπορούμε να το εξηγήσουμε ευκολότερα ή καλύτερα.
Ελπίζω να μην έχω λανθασμένες πράξεις....

: Emvadon.png (137.13 KiB) Προβλήθηκε 920 φορές

Τα σημεία

κινούνται στην κοινή περιοχή, έστω P_1

, των κύκλων $\left(O(0,0),\sqrt{2}\right), \ \ \left(K(1,1),\sqrt{2}\right)$
Σχεδιάζουμε τους κύκλους $\left(O(0,0),2\sqrt{2}\right), \ \ \left(K(1,1),2\sqrt{2}\right)$
Θεωρούμε τους κύκλους με κέντρα τα $C_O, \ \ C_K$ , τα οποία κινούνται στην P_1

και έχουν ακτίνες ίσες με $\sqrt{2}$ .
Αυτοί εφάπτονται στους κύκλους $\left(O(0,0),2\sqrt{2}\right), \ \ \left(K(1,1),2\sqrt{2}\right)$ όταν τα $C_O, \ \ C_K$ , κινούνται στα τόξα $AKB, \ \ AOB$ , και περικλείουν τα σημεία τα οποία ικανοποιούν τις δοσμένες ανισότητες.
Το ζητούμενο σχήμα είναι αυτό που περικλείεται από τις κόκκινες γραμμές.
Για τον υπολογισμό του εμβαδού, βρίσκουμε ότι η γωνία AOB

είναι $\frac{2\pi}{3}$ και έτσι θα είναι

$E=2\left[E_{k.t.}\left(DOE\right)-\left(OAB\right)+2E_{k.t.}\left({ADS}\right)\right] = ....= 3\pi-\sqrt{3}$

Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2021

Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2021

Re: Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2021

Re: Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2021

Re: Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2021

Re: Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2021

Re: Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2021

Re: Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2021

Re: Ολυμπιάδα "Φυστέχ" 2021

Μέλη σε σύνδεση