Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2018-19 (5)
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2018-19 (5)
(1) Έστω πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές, φυσικός αριθμός και . Να αποδέιξετε ότι αν ισχύει η ταυτότητα , τότε υπάρχει πολυώνυμο τέτοιο, ώστε .
(2) Λέμε ότι η είναι ρητή συνάρτηση αν μπορεί να γραφεί στην μορφή , όπου πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές. Να αποδείξετε ότι αν μια ρητή συνάρτηση ικανοποιεί την ταυτότητα , τότε υπάρχει ρητή συνάρτηση τέτοια, ώστε .
(2) Λέμε ότι η είναι ρητή συνάρτηση αν μπορεί να γραφεί στην μορφή , όπου πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές. Να αποδείξετε ότι αν μια ρητή συνάρτηση ικανοποιεί την ταυτότητα , τότε υπάρχει ρητή συνάρτηση τέτοια, ώστε .
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2018-19 (5)
Λήμμα: Για κάθε φυσικό το εκφράζεται ως πολυώνυμο του .Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Δευ Ιούλ 26, 2021 10:08 pm(1) Έστω πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές, φυσικός αριθμός και . Να αποδέιξετε ότι αν ισχύει η ταυτότητα , τότε υπάρχει πολυώνυμο τέτοιο, ώστε .
(2) Λέμε ότι η είναι ρητή συνάρτηση αν μπορεί να γραφεί στην μορφή , όπου πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές. Να αποδείξετε ότι αν μια ρητή συνάρτηση ικανοποιεί την ταυτότητα , τότε υπάρχει ρητή συνάρτηση τέτοια, ώστε .
Πράγματι ειδικά για έχουμε , που είναι δευτεροβάθμιο πολυώνυμο του .
Με ισχυρή επαγωγή τώρα, υποθέτοντας το ζητούμενο για όλα tα έχουμε για το ότι
,
όπως θέλαμε.
(1). Aν τότε η υπόθεση δίνει
που από το Λήμμα είναι άθροισμα πολυωνύμων του , από όπου το ζητούμενο.
(2). Το (2) είναι βέβαια γενίκευση του (1) και μπορεί να λυθεί με χρήση του. Θα κάνω όμως ανεξάρτητη λύση μια και λύνεται με ουσιαστικά τον ίδιο τρόπο. Υποθέτω ότι το (1) μπήκε για να διευκολύνουν οι εξεταστές τον διαγωνιζόμενο, αλλά μπορούσε και να παραληφθεί.
Έχουμε
Κοιτάμε τώρα τον αριθμητή . Αφού τα είναι πολυώνυμα, έχουμε
που από το Λήμμα είναι πολυώνυμο του .
Όμοια και ο παρονομαστής , και λοιπά.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 13 επισκέπτες