Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2021
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2021
Θα προσπαθήσω να μεταφράσω μερικά θέματα των περσινών κορεατικών εισαγωγικών εξετάσεων συμπληρώνοντας σταδιακά αυτή την δημοσίευση. Τα παρακάτω είναι θέματα της ομάδας Α ("γενικής παιδείας" θα λέγαμε). Τα θέματα 1-21 είναι πολλάπλής επιλογής μεταξύ πέντε επιλογών. Στα 22-30 ζητείται μόνο η τελική απάντηση.
4. Για τα δυο ενδεχόμενα για τα οποία ισχύει
Ποιά η τιμή του ;
6. Θεωρώντας ότι είναι η μέση τιμή τυχαίου δείγματος μεγέθους από πληθυσμό που ακολουθεί την κανονική κατανομή , ποιά η τιμή του ;
8. Πόσο ισούται το εμβαδόν που περικλείεται από την καμπύλη , των άξονα των και τις δυο ευθείες , ;
9. Δίνονται κάρτες με τα γράμματα και και κάρτες με τα ψηφία και γραμμένα σε αυτές. Αν και οι κάρτες, από μια φορά η κάθε μία, τοποθετηθούν στην σειρά κατά τυχαίο τρόπο, ποιά η πιθανότητα κάρτα με ψηφίο να τοποθετηθεί δίπλα στην κάρτα με το γράμμα ;
10. Δίνεται τρίγωνο με και . Ποιό είναι το μήκος της πλευράς αν η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου είναι ίση με ;
11. Ποιά η τιμή του ;
14. Έστω ορθογώνιο με και όπως στο σχήμα. Έστω σημείο του που το διαιρεί σε λόγο και εσωτερικό σημείο του για το οποίο και . Σχεδιάζουμε το τρίγωνο , σκιαγραφούμε το τετράπλευρο και έστω το σχήμα που προκύπτει.
Στο σχήμα σχεδιάζουμε το ορθογώνιο , με κορυφές το σημείο στο τμήμα , το σημείο στο τμήμα , το σημείο στο τμήμα και το σημείο . Έστω το σχήμα που προκύπτει σχεδιάζοντας το τρίγωνο στο ορθογώνιο και σκιαγράφοντας το τετράπλευρο όπως στο σχήμα .
Συνεχίζοντας την διαδικασία, ας είναι το εμβαδόν του σκιαγραφημένου τμήματος του σχήματος . Ποιά είναι η τιμή του ;
18. Για τον πραγματικό αριθμό έστω η συνάρτηση με
Ποιό είναι το άθροισμα των τιμών του για τις οποίες ;
20. Δίνεται η συνάρτηση και έστω συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο των πραγματικών αριθμών και σύνολο τιμών το σύνολο . Αν ο φυσικός αριθμός ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες, ποιά η τιμή του;
Η συνάρτηση είναι συνεχής στο σύνολο των πραγματικών αριθμών και
21. Δίνεται η ακολουθία με και για όλους τους φυσικούς αριθμούς ικανοποιεί τις συνθήκες:
α)
β)
αν , ποιά η τιμή του ;
22. Στην ανάπτυξη του , να βρείτε τον συντελεστή του .
27. Να βρείτε το πλήθος των φυσικών αριθμών , ώστε η παράσταση
ναι είναι μικρότερη ή ίση του .
28. Έστω συνάρτηση που δίνεται από τον τύπο , όπου σταθερές. Έστω η αντίστροφη συνάρτηση της . Να βρείτε την τιμή , αν η σύνθετη συνάρτηση ικανοποιεί τις συνθήκες:
α) η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη για όλους τους πραγματικούς αριθμούς
β)
30. Η συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο των πραγματικών αριθμών, όπου κυβικό πολυώνυμο με μεγιστοβάθμιο συντελεστή ίσο με , ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες
α) Για το πλήθος των στα οποία η μεγιστοποιείται (τοπικά μέγιστα) είναι ίσο με και όλες οι τιμές της στα τοπικά μέγιστα είναι ίσες.
β) Η μέγιστη τιμή της είναι ίση με και η ελάχιστη .
Να βρείτε την τιμή της παράστασης , αν (όπου ρητοί αριθμοί).
4. Για τα δυο ενδεχόμενα για τα οποία ισχύει
Ποιά η τιμή του ;
6. Θεωρώντας ότι είναι η μέση τιμή τυχαίου δείγματος μεγέθους από πληθυσμό που ακολουθεί την κανονική κατανομή , ποιά η τιμή του ;
8. Πόσο ισούται το εμβαδόν που περικλείεται από την καμπύλη , των άξονα των και τις δυο ευθείες , ;
9. Δίνονται κάρτες με τα γράμματα και και κάρτες με τα ψηφία και γραμμένα σε αυτές. Αν και οι κάρτες, από μια φορά η κάθε μία, τοποθετηθούν στην σειρά κατά τυχαίο τρόπο, ποιά η πιθανότητα κάρτα με ψηφίο να τοποθετηθεί δίπλα στην κάρτα με το γράμμα ;
10. Δίνεται τρίγωνο με και . Ποιό είναι το μήκος της πλευράς αν η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου είναι ίση με ;
11. Ποιά η τιμή του ;
14. Έστω ορθογώνιο με και όπως στο σχήμα. Έστω σημείο του που το διαιρεί σε λόγο και εσωτερικό σημείο του για το οποίο και . Σχεδιάζουμε το τρίγωνο , σκιαγραφούμε το τετράπλευρο και έστω το σχήμα που προκύπτει.
Στο σχήμα σχεδιάζουμε το ορθογώνιο , με κορυφές το σημείο στο τμήμα , το σημείο στο τμήμα , το σημείο στο τμήμα και το σημείο . Έστω το σχήμα που προκύπτει σχεδιάζοντας το τρίγωνο στο ορθογώνιο και σκιαγράφοντας το τετράπλευρο όπως στο σχήμα .
Συνεχίζοντας την διαδικασία, ας είναι το εμβαδόν του σκιαγραφημένου τμήματος του σχήματος . Ποιά είναι η τιμή του ;
18. Για τον πραγματικό αριθμό έστω η συνάρτηση με
Ποιό είναι το άθροισμα των τιμών του για τις οποίες ;
20. Δίνεται η συνάρτηση και έστω συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο των πραγματικών αριθμών και σύνολο τιμών το σύνολο . Αν ο φυσικός αριθμός ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες, ποιά η τιμή του;
Η συνάρτηση είναι συνεχής στο σύνολο των πραγματικών αριθμών και
21. Δίνεται η ακολουθία με και για όλους τους φυσικούς αριθμούς ικανοποιεί τις συνθήκες:
α)
β)
αν , ποιά η τιμή του ;
22. Στην ανάπτυξη του , να βρείτε τον συντελεστή του .
27. Να βρείτε το πλήθος των φυσικών αριθμών , ώστε η παράσταση
ναι είναι μικρότερη ή ίση του .
28. Έστω συνάρτηση που δίνεται από τον τύπο , όπου σταθερές. Έστω η αντίστροφη συνάρτηση της . Να βρείτε την τιμή , αν η σύνθετη συνάρτηση ικανοποιεί τις συνθήκες:
α) η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη για όλους τους πραγματικούς αριθμούς
β)
30. Η συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο των πραγματικών αριθμών, όπου κυβικό πολυώνυμο με μεγιστοβάθμιο συντελεστή ίσο με , ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες
α) Για το πλήθος των στα οποία η μεγιστοποιείται (τοπικά μέγιστα) είναι ίσο με και όλες οι τιμές της στα τοπικά μέγιστα είναι ίσες.
β) Η μέγιστη τιμή της είναι ίση με και η ελάχιστη .
Να βρείτε την τιμή της παράστασης , αν (όπου ρητοί αριθμοί).
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Δευ Ιουν 21, 2021 12:23 pm, έχει επεξεργασθεί 6 φορές συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2021
Θέτοντας όπου το η δοθείσα γίνεται , δηλαδή .Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Ιουν 18, 2021 11:51 pm28. Έστω συνάρτηση που δίνεται από τον τύπο , όπου σταθερές. Έστω η αντίστροφη συνάρτηση της . Να βρείτε την τιμή , αν η σύνθετη συνάρτηση ικανοποιεί τις συνθήκες:
α) η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη για όλους τους πραγματικούς αριθμούς
β)
Από την υπόθεση α) με στην θέση του έχουμε ότι η είναι παντού παραγωγίσιμη. Οπότε από την έχουμε ότι η είναι παντού παραγωγίσιμη. Διαιρώντας με το , συμβαίνει το ίδιο με την .
Εξετάζοντας τα πλευρικά όρια στο του ορίου (που εξ υποθέσεως υπάρχουν και είναι ίσα), έπεται και άρα . H τώρα γράφεται
Παραγωγίζοντας έπεται . Για έπεται που με χρήση της β) δίνει . Λύνοντας την δευτεροβάθμια είναι ή αλλά κρατάμε την πρώτη αφού .
Τελικά , και λοιπά.
-
- Δημοσιεύσεις: 1292
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2021
Για να θυμηθούμε το διώνυμο του Newton...Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Ιουν 18, 2021 11:51 pm
22. Στην ανάπτυξη του , να βρείτε τον συντελεστή του .
και μετά τις πράξεις και τις απλοποιήσεις καταλήγουμε
O συντελεστής του είναι ίσος με .
-
- Δημοσιεύσεις: 204
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2021
Μία λύση για το 10.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Ιουν 18, 2021 11:51 pm
10. Δίνεται τρίγωνο με και . Ποιό είναι το μήκος της πλευράς αν η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου είναι ίση με ;
Με νόμο ημιτόνων στο έχουμε
Τώρα με νόμο συνημιτόνων είναι:
.
-
- Δημοσιεύσεις: 1292
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2021
Aς θυμηθούμε τη δεσμευμένη πιθανότητα...Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Ιουν 18, 2021 11:51 pm
4. Για τα δυο ενδεχόμενα για τα οποία ισχύει
Ποιά η τιμή του ;
Συνεπώς και έτσι
Η δοσμένη ισότητα μας δίνει
και έτσι
Από την ισότητα βρίσκεται πλέον εύκολα
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες