Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2021

Al.Koutsouridis · #1

Θα προσπαθήσω να μεταφράσω μερικά θέματα των περσινών κορεατικών εισαγωγικών εξετάσεων συμπληρώνοντας σταδιακά αυτή την δημοσίευση. Τα παρακάτω είναι θέματα της ομάδας Α ("γενικής παιδείας" θα λέγαμε). Τα θέματα 1-21 είναι πολλάπλής επιλογής μεταξύ πέντε επιλογών. Στα 22-30 ζητείται μόνο η τελική απάντηση.

4. Για τα δυο ενδεχόμενα A,B

για τα οποία ισχύει

$\displaystyle{P(B|A)=\dfrac{1}{4}, \quad P(A|B)=\dfrac{1}{3}, \quad P(A)+P(B)=\dfrac{7}{10}}$

Ποιά η τιμή του $\displaystyle{P(A\cap B)}$ ;

6. Θεωρώντας ότι $\overline{X}$ είναι η μέση τιμή τυχαίου δείγματος μεγέθους

από πληθυσμό που ακολουθεί την κανονική κατανομή N(20, 5^2)

, ποιά η τιμή του $E(\overline{X})+\sigma (\overline{X})$ ;

8. Πόσο ισούται το εμβαδόν που περικλείεται από την καμπύλη $y=e^{2x}$ , των άξονα των

και τις δυο ευθείες $x=\ln \dfrac{1}{2}$ , $x= \ln 2$ ;

9. Δίνονται

κάρτες με τα γράμματα A,B,C,D

και

κάρτες με τα ψηφία 1,2,3

και

γραμμένα σε αυτές. Αν και οι

κάρτες, από μια φορά η κάθε μία, τοποθετηθούν στην σειρά κατά τυχαίο τρόπο, ποιά η πιθανότητα κάρτα με ψηφίο να τοποθετηθεί δίπλα στην κάρτα με το γράμμα

;

10. Δίνεται τρίγωνο ABC

με $\angle A= \dfrac{\pi}{3}$ και AB:AC=3:1

. Ποιό είναι το μήκος της πλευράς

αν η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ABC

είναι ίση με

;

11. Ποιά η τιμή του $\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{\dfrac{3n}{3n+k}}}$ ;

14. Έστω $AB_{1}C_{1}D_{1}$ ορθογώνιο με $AB_{1}=2$ και $AD_{1}=4$ όπως στο σχήμα. Έστω $E_{1}$ σημείο του $AD_{1}$ που το διαιρεί σε λόγο 3:1

και $F_{1}$ εσωτερικό σημείο του $AB_{1}C_{1}D_{1}$ για το οποίο $F_{1}E_{1}=F_{1}C_{1}$ και $\angle E_{1}F_{1}C_{1} = \dfrac{\pi}{2}$ . Σχεδιάζουμε το τρίγωνο $E_{1}F_{1}C_{1}$ , σκιαγραφούμε το τετράπλευρο $E_{1}F_{1}C_{1}D_{1}$ και έστω $R_{1}$ το σχήμα που προκύπτει.

Στο σχήμα $R_{1}$ σχεδιάζουμε το ορθογώνιο $AB_{2}C_{2}D_{2}$ , $AB_{2}:AD_{2}=1:2$ με κορυφές το σημείο $B_{2}$ στο τμήμα $AB_{1}$ , το σημείο $C_{2}$ στο τμήμα $E_{1}F_{1}$ , το σημείο $D_{2}$ στο τμήμα $AF_{1}$ και το σημείο

. Έστω $R_{2}$ το σχήμα που προκύπτει σχεδιάζοντας το τρίγωνο $E_{2}F_{2}C_{2}$ στο ορθογώνιο $AB_{2}C_{2}D_{2}$ και σκιαγράφοντας το τετράπλευρο $E_{2}F_{2}C_{2}D_{2}$ όπως στο σχήμα $R_{1}$ .

Συνεχίζοντας την διαδικασία, ας είναι $S_{n}$ το εμβαδόν του σκιαγραφημένου τμήματος του σχήματος $R_{n}$ . Ποιά είναι η τιμή του $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} S_{n}}$ ;

: korean_2021_a_14.png (34.83 KiB) Προβλήθηκε 1130 φορές

18. Για τον πραγματικό αριθμό

έστω η συνάρτηση f(x)

με

$\displaystyle{f(x)=\lim_{n \to \infty} \dfrac{(a-2)x^{2n+1}+2x}{3x^{2n}+1}}$

Ποιό είναι το άθροισμα των τιμών του

για τις οποίες $(f \circ f)(1)=\dfrac{5}{4}$ ;

20. Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\pi \sin 2\pi x$ και έστω g(x)

συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο των πραγματικών αριθμών και σύνολο τιμών το σύνολο $\{0,1 \}$ . Αν ο φυσικός αριθμός

ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες, ποιά η τιμή του;

Η συνάρτηση h(x)=f(nx)g(x)

είναι συνεχής στο σύνολο των πραγματικών αριθμών και

$\displaystyle{\int_{-1}^{1} h(x)dx =2 , \quad \quad \int_{-1}^{1} xh(x)dx= -\dfrac{1}{32}}$

21. Δίνεται η ακολουθία $\{a_{n} \}$ με $0< a_{1} < 1$ και για όλους τους φυσικούς αριθμούς

ικανοποιεί τις συνθήκες:

α) $\displaystyle{a_{2n} = a_{2} \times a_{n}+1}$
β) $\displaystyle{a_{2n+1} = a_{2} \times a_{n}-2}$

αν $a_{8}-a_{15}=63$ , ποιά η τιμή του $\dfrac{a_{8}}{a_{1}}$ ;

22. Στην ανάπτυξη του $\displaystyle{\left ( x+\dfrac{3}{x^2} \right )^5}$ , να βρείτε τον συντελεστή του x^2

.

27. Να βρείτε το πλήθος των φυσικών αριθμών

, ώστε η παράσταση

$\displaystyle{\log_{4} 2n^2 -\dfrac{1}{2} \log_{2} \sqrt{n}}$

ναι είναι μικρότερη ή ίση του

.

28. Έστω f(x)

συνάρτηση που δίνεται από τον τύπο f(x)=(x-a)(x-b)^2

, όπου

σταθερές. Έστω $g^{-1}(x)$ η αντίστροφη συνάρτηση της g(x) = x^3+x+1

. Να βρείτε την τιμή f(8)

, αν η σύνθετη συνάρτηση $h(x) = \left (f \circ g^{-1}\right) (x)$ ικανοποιεί τις συνθήκες:

α) η συνάρτηση (x-1) |h(x)|

είναι παραγωγίσιμη για όλους τους πραγματικούς αριθμούς
β) $h^{\prime}(3)=2$

30. Η συνάρτηση $g(x)=f(\sin^2 \pi x)$ με πεδίο ορισμού το σύνολο των πραγματικών αριθμών, όπου f(x)

κυβικό πολυώνυμο με μεγιστοβάθμιο συντελεστή ίσο με

, ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες

α) Για 0<x<1

το πλήθος των

στα οποία η g(x)

μεγιστοποιείται (τοπικά μέγιστα) είναι ίσο με

και όλες οι τιμές της στα τοπικά μέγιστα είναι ίσες.

β) Η μέγιστη τιμή της g(x)

είναι ίση με $\dfrac{1}{2}$ και η ελάχιστη

.

Να βρείτε την τιμή της παράστασης a^2+b^2

, αν $f(2)=a+b\sqrt{2}$ (όπου a,b

ρητοί αριθμοί).

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 18, 2021 11:51 pm
28. Έστω συνάρτηση που δίνεται από τον τύπο , όπου σταθερές. Έστω $g^{-1}(x)$ η αντίστροφη συνάρτηση της . Να βρείτε την τιμή , αν η σύνθετη συνάρτηση $h(x) = \left (f \circ g^{-1}\right) (x)$ ικανοποιεί τις συνθήκες:

α) η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη για όλους τους πραγματικούς αριθμούς
β) $h^{\prime}(3)=2$

Θέτοντας όπου

το

η δοθείσα γίνεται h(g(x))= f(x)

, δηλαδή $h(x^3+x+1) = (x-a)(x-b)^2 ,\, (*)$ .

Από την υπόθεση α) με x^3+x+1

στην θέση του

έχουμε ότι η (x^3+x)|h(x^3+x+1)|

είναι παντού παραγωγίσιμη. Οπότε από την (*)

έχουμε ότι η (x^3+x)|x-a|(x-b)^2

είναι παντού παραγωγίσιμη. Διαιρώντας με το (x^2+1)(x-b)^2

, συμβαίνει το ίδιο με την p(x)=x|x-a|

.

Εξετάζοντας τα πλευρικά όρια στο x=a

του ορίου $\displaystyle{\lim_{x\to a} \dfrac {p(x)-p(a)}{x-a} }$ (που εξ υποθέσεως υπάρχουν και είναι ίσα), έπεται a=-a

και άρα

. H

τώρα γράφεται

h(x^3+x+1) = x(x-b)^2

Παραγωγίζοντας έπεται (3x^2+1) h'(x^3+x+1)=(x-b)^2+2x(x-b)

. Για

έπεται

που με χρήση της β) δίνει 8=(1-b)^2+2(1-b)

. Λύνοντας την δευτεροβάθμια είναι b=5

ή

αλλά κρατάμε την πρώτη αφού a<b

.

Τελικά f(x)=x(x-5)^2

, και λοιπά.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 18, 2021 11:51 pm

22. Στην ανάπτυξη του $\displaystyle{\left ( x+\dfrac{3}{x^2} \right )^5}$ , να βρείτε τον συντελεστή του .

Για να θυμηθούμε το διώνυμο του Newton...

$\displaystyle\left ( x+\frac{3}{x^{2}} \right )^{5}=x^{5}+\binom{5}{1}x^{4}\frac{3}{x^{2}}+\binom{5}{2}x^{3}\left ( \frac{3}{x^{3}} \right )^{2}+\binom{5}{3}x^{2}\left ( \frac{3}{x^{2}} \right )^{3}+5x\left ( \frac{3}{x^{2}} \right )^{4}+\left ( \frac{3}{x^{2}} \right )^{5}$

και μετά τις πράξεις και τις απλοποιήσεις καταλήγουμε

$\displaystyle\left ( x+\frac{3}{x^{2}} \right )^{5}=x^{5}+15x^{2}+\frac{90}{x}+\frac{270}{x^{4}}+\frac{405}{x^{7}}+\frac{243}{x^{10}}$

O συντελεστής του x^2

είναι ίσος με

.

Manolis Petrakis · #4

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 18, 2021 11:51 pm

10. Δίνεται τρίγωνο με $\angle A= \dfrac{\pi}{3}$ και . Ποιό είναι το μήκος της πλευράς αν η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου είναι ίση με ;

Μία λύση για το 10.
Με νόμο ημιτόνων στο ABC

έχουμε $BC=2R \cdot \sin \dfrac{\pi}{3}=7\sqrt 3$
Τώρα με νόμο συνημιτόνων είναι:
$BC^2=AB^2+AC^2 -2AB\cdot AC \cdot \cos \dfrac{\pi}{3}$
$\Leftrightarrow 147=(3AC)^2+AC^2-3AC^2$
$\Leftrightarrow AC= \sqrt{21}$ .

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #5

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 18, 2021 11:51 pm

4. Για τα δυο ενδεχόμενα για τα οποία ισχύει

$\displaystyle{P(B|A)=\dfrac{1}{4}, \quad P(A|B)=\dfrac{1}{3}, \quad P(A)+P(B)=\dfrac{7}{10}}$

Ποιά η τιμή του $\displaystyle{P(A\cap B)}$ ;

Aς θυμηθούμε τη δεσμευμένη πιθανότητα...

$\displaystyle\quad P(A|B)=\dfrac{1}{3}\Rightarrow\frac{P\left ( A\cap B \right )}{P\left ( B \right )} =\frac{1}{3}\Rightarrow P\left ( A\cap B \right )=\frac{P\left ( B \right )}{3}$

$\displaystyle\quad P(B|A)=\dfrac{1}{4}\Rightarrow\frac{P\left ( A\cap B \right )}{P\left ( A \right )} =\frac{1}{4}\Rightarrow P\left ( A\cap B \right )=\frac{P\left ( A \right )}{4}$

Συνεπώς $\displaystyle\frac{P\left ( B \right )}{3}=\frac{P\left ( A \right )}{4}$ και έτσι $\displaystyle P\left ( B \right )=\frac{3}{4}P\left ( A \right )$

Η δοσμένη ισότητα $\displaystyle P\left ( B \right )+P\left ( A \right )=\frac{7}{10}$ μας δίνει

$\displaystyle\frac{3}{4}P\left ( A \right )+P\left ( A \right )=\frac{7}{10}$ και έτσι $\displaystyle P\left ( A \right )=\frac{4}{10}$

Από την ισότητα $\displaystyle P\left ( A\cap B \right )=\frac{P\left ( A \right )}{4}$ βρίσκεται πλέον εύκολα

$\displaystyle P\left ( A\cap B \right )=\frac{1}{10}$

Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2021

Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2021

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2021

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2021

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2021

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2021

Μέλη σε σύνδεση