Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2006
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2006
Εισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2006 (μια από τις εκδόσεις των θεμάτων)
1. Να βρείτε τις πραγματικές λύσεις του συστήματος των εξισώσεων
2. Να λύσετε την εξίσωση
.
3. Να λύσετε την ανίσωση
.
4. Το τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας και τα σημεία , και είναι τα μέσα των τμημάτων , και αντίστοιχα. Οι κύκλοι , και διέρχονται από τα σημεία και αντίστοιχα, εφάπτονται με τον κύκλο και ο καθένας έχει με το τρίγωνο μοναδικό κοινό σημείο. Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου , αν οι ακτίνες των κύκλων και είναι ίσες με και αντίστοιχα.
5. Για κάθε τιμή της παραμέτρου να βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης στο σύνολο των σημείων τέτοιων, ώστε . Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου για τις οποίες η λαμβάνει την ελάχιστη τιμή της.
6. Δίνεται τετράεδρο και σφαίρα που εφάπτεται των εδρών και στα σημεία και , που σποτελούν βάσεις υψών του τετράεδρου και τέμνει την ακμή στα σημεία και . Είναι γνωστό ότι , , , . Να βρείτε την απόσταση μεταξύ των ακμών και , την ακτίνα του κύκλου που αποτελεί την τομή του επιπέδου με την σφαίρα και τον όγκο του τετράεδρου .
1. Να βρείτε τις πραγματικές λύσεις του συστήματος των εξισώσεων
2. Να λύσετε την εξίσωση
.
3. Να λύσετε την ανίσωση
.
4. Το τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας και τα σημεία , και είναι τα μέσα των τμημάτων , και αντίστοιχα. Οι κύκλοι , και διέρχονται από τα σημεία και αντίστοιχα, εφάπτονται με τον κύκλο και ο καθένας έχει με το τρίγωνο μοναδικό κοινό σημείο. Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου , αν οι ακτίνες των κύκλων και είναι ίσες με και αντίστοιχα.
5. Για κάθε τιμή της παραμέτρου να βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης στο σύνολο των σημείων τέτοιων, ώστε . Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου για τις οποίες η λαμβάνει την ελάχιστη τιμή της.
6. Δίνεται τετράεδρο και σφαίρα που εφάπτεται των εδρών και στα σημεία και , που σποτελούν βάσεις υψών του τετράεδρου και τέμνει την ακμή στα σημεία και . Είναι γνωστό ότι , , , . Να βρείτε την απόσταση μεταξύ των ακμών και , την ακτίνα του κύκλου που αποτελεί την τομή του επιπέδου με την σφαίρα και τον όγκο του τετράεδρου .
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2006
Αν τότε κ.λπ.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Τρί Απρ 27, 2021 8:53 pmΕισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2006 (μια από τις εκδόσεις των θεμάτων)
1. Να βρείτε τις πραγματικές λύσεις του συστήματος των εξισώσεων
Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη και παίρνουμε
Διαιρούμε διά
Άρα κ.λπ.
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
-
- Δημοσιεύσεις: 1283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2006
Aν έχω καταλάβει σωστά, το θέμα εννοεί ότι οι κύκλοι ,, εφάπτονται στον κύκλο ακτίνας και στις πλευρέςAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Τρί Απρ 27, 2021 8:53 pmΕισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2006 (μια από τις εκδόσεις των θεμάτων)
4. Το τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας και τα σημεία , και είναι τα μέσα των τμημάτων , και αντίστοιχα. Οι κύκλοι , και διέρχονται από τα σημεία και αντίστοιχα, εφάπτονται με τον κύκλο και ο καθένας έχει με το τρίγωνο μοναδικό κοινό σημείο. Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου , αν οι ακτίνες των κύκλων και είναι ίσες με και αντίστοιχα.
στα αντίστοιχα.
Άρα
και αφού προκύπτει ότι
Εύκολα πλέον μπορεί να βρεθεί ότι
Άρα
και αφού προκύπτει ότι
Εύκολα πλέον μπορεί να βρεθεί ότι
Άρα
Φυσικά
και έτσι
Συνεπώς
H ζητουμένη ακτίνα είναι ίση με
Στο θέμα αυτό ας μου επιτραπεί μια προσθήκη.
Να βρεθεί η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ως συνάρτηση της
Θα περιμένω τις σκέψεις σας...
-
- Δημοσιεύσεις: 1283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2006
Έπειτα από τόσες μέρες, οφείλω να γράψω τη λύση στο ερώτημα που έθεσα.
Ισχύει ότι
Είδαμε όμως ότι
Συνεπώς
και έτσι μπορεί να βρεθεί ότι
Ισχύει ότι
Είδαμε όμως ότι
Συνεπώς
και έτσι μπορεί να βρεθεί ότι
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες