Σύστημα Εξισώσεων

Άρης Μερσιέ · #1

Δίνεται ότι:

$5x^2+2y^2-6xy+4x-4y ≡ a(x-y+2)^2 +b(cx+y)^2 + d , \quad \forall \ x,y \in \mathbb{R}$

α) Να βρεθούν οι τιμές των $a,b,c,d \in \mathbb{R}$

β) Να λυθεί το παρακάτω σύστημα εξισώσεων στους πραγματικούς αριθμούς:

$\left\{\begin{matrix} 5x^2+2y^2-6xy+4x-4y=9 \\ 6x^2+3y^2-8xy+8x-8y=14 \end{matrix}\right.$

Πηγή: STEP Paper 1, 2010, Q1

#2

Άρης Μερσιέ έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 07, 2020 3:17 pm
Δίνεται ότι:

$5x^2+2y^2-6xy+4x-4y ≡ a(x-y+2)^2 +b(cx+y)^2 + d , \quad \forall \ x,y \in \mathbb{R}$

α) Να βρεθούν οι τιμές των $a,b,c,d \in \mathbb{R}$

β) Να λυθεί το παρακάτω σύστημα εξισώσεων στους πραγματικούς αριθμούς:

$\left\{\begin{matrix} 5x^2+2y^2-6xy+4x-4y=9 \\ 6x^2+3y^2-8xy+8x-8y=14 \end{matrix}\right.$

Πηγή: STEP Paper 1, 2010, Q1

Επειδή φοβάμαι ότι είναι άσκηση στο σπίτι από μαθήματα που παρακολουθείς, θα δώσω μόνο εκτενή υπόδειξη.

Κάνε ανάνπτυγμα του δεξιού μέλους και εξίσωσε τους συντελεστές των x^2,y^2, xy, x,y

και σταθερού όρου. Λύσε το σύστημα.

Θα βρεις a=b=1, c=-2, d=-4

.

Συνέχισε

Άρης Μερσιέ · #3

Καλησπέρα κύριε Λάμπρου!

Δεν πρόκειται για άσκηση για το σπίτι, αν και καταλαβαίνω γιατί το σκεφτήκατε αυτό (βλέπουμε πολλούς τέτοιους μαθητές στο Mathematica).
Την άσκηση την έλυσα νωρίτερα σήμερα με δική μου πρωτοβουλία και την ανέβασα εδώ γιατί μου φάνηκε ενδιαφέρουσα. Αναφέρω ενδεικτικά ότι οι λύσεις για το δεύτερο ερώτημα είναι οι παρακάτω:

$(x,y)=(1,0) \ , \ (7,12) \ , \ (3,8) \ , \ (-3,-4)$

Το αφήνω ανοιχτό σε περίπτωση που κάποιος άλλος θέλει να γράψει την ολοκληρωμένη λύση.
Καλή συνέχεια!

#4

Άρης Μερσιέ έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 07, 2020 3:56 pm

Την άσκηση την έλυσα νωρίτερα σήμερα με δική μου πρωτοβουλία και την ανέβασα εδώ γιατί μου φάνηκε ενδιαφέρουσα.

Ευχάριστο αυτό και χαιρόμαστε.

Δυστυχώς έχουμε συνηθίσει να αναβάζουν μαθητές ή φοιτητές ασκήσεις για το σπίτι. Επειδή δεν έχουμε πρόθεση να παρακάμπτουμε τους Δασκάλους
τους, είμαστε επιφυλακτικοί.

Κάποτε υπήρχε ένα διάστημα που φοιτητές από το Τμήμα Μαθηματικών της Θεσσαλονίκης ανέβαζαν εδώ ασκήσεις που ήταν για να παραδοθούν στον Καθηγητή τους ως μέρος της βαθμολογίας τους στο μάθημα. Ευτυχώς το πήραμε είδηση πριν το τέλος του εξαμήνου, και ο βαθμός τους ακυρώθηκε.

Το χειρότερο είναι όταν κάποιος (ξένος φοιτητής) ανέβασε εδώ μία δύσκολη άσκηση που ήταν για βράβευση σε έναν Φοιτητικό Μαθηματικό Διαγωνισμό. Την έλυσα μη γνωρίζοντας την κομπίνα, αλλά περί τον ένα χρόνο αργότερα μου υπέπεσε στην αντίληψη η απάτη. Αναγκάστηκα και έγραψα στους οργανωτές του διαγωνισμού, μετά την λήξη του, στην Αυστραλία. Ευτυχώς ο εν λόγω φοιτητής δεν είχε πάρει το βραβείο (κάποιος άλλος είχε λύσει περισσότερες ασκήσεις) αλλά ήταν κοντά. Την γλυτώσαμε δηλαδή, κατά σύμπτωση.

Λοιπόν, φυσάμε και το γιαούρτι.

#5

Άρης Μερσιέ έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 07, 2020 3:17 pm

β) Να λυθεί το παρακάτω σύστημα εξισώσεων στους πραγματικούς αριθμούς:

$\left\{\begin{matrix} 5x^2+2y^2-6xy+4x-4y=9 \\ 6x^2+3y^2-8xy+8x-8y=14 \end{matrix}\right.$

Πηγή: STEP Paper 1, 2010, Q1

Πολλαπλασιάζω την πρώτη εξίσωση με

και την προσθέτω στη δεύτερη, απ' όπου παίρνω:

$\displaystyle x^2 + {y^2} - 4xy = 4 \Leftrightarrow {(2x - y)^2} = {2^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{y=2x-2}$ ή $\boxed{y=2x+2}$

Αντικαθιστώντας τώρα στην πρώτη καταλήγω στις εξισώσεις $\displaystyle {x^2} - 8x + 7 = 0,$ όπου $\boxed{(x,y) = (1,0)}$

ή $\boxed{(x,y)=(7, 12)}$ και x^2=9,

απ' όπου $\boxed{(x,y)=(3, 8)}$ ή $\boxed{(x,y)=(-3, -4)}$

#6

Αν τις αφαιρέσουμε κατά μέλη προκύπτει $\left ( x-y \right )^2+4\left ( x-y \right )-5=0\Leftrightarrow x-y=1 \vee x-y=-5$

Σύστημα Εξισώσεων

Σύστημα Εξισώσεων

Re: Σύστημα Εξισώσεων

Re: Σύστημα Εξισώσεων

Re: Σύστημα Εξισώσεων

Re: Σύστημα Εξισώσεων

Re: Σύστημα Εξισώσεων

Μέλη σε σύνδεση