Ολυμπιάδα "Φυστεχ" 2020
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1793
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Ολυμπιάδα "Φυστεχ" 2020
Θέματα της εισαγωγικού τύπου ολυμπιάδας του Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας για το 2020.
1. Να βρείτε τον πλήθος των οκταψήφιων αριθμών, το γινόμενο των ψηφίων του καθενός από αυτούς να ισούται με . Η απάντηση να γραφεί σε μορφή ακεραίου αριθμού.
2. Να λύσετε την εξίσωση
.
3. Να λύσετε το σύστημα των εξισώσεων
4. Σφαίρα με κέντρο είναι εγγεγραμμένη σε τρίεδρη γωνία με κορυφή και εφάπτεται των εδρών της στα σημεία (όλες οι επίπεδες γωνίες της τρίεδρης γωνίας είναι διαφορετικές). Να βρείτε την γωνία και το εμβαδόν της τομής της δεδομένης τρίεδρης γωνίας με το επίπεδο , αν είναι γνωστό, ότι τα εμβαδά των τομών της τρίεδρης γωνίας με τα επίπεδα, που εφάπτονται της σφαίρας και είναι κάθετα στην ευθεία , είναι ίσα με και .
5. Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου , για τις οποίες το σύστημα
έχει ακριβώς δυο λύσεις.
6. α) Δυο κύκλοι ίδιας ακτίνας μήκους τέμνονται στα σημεία και . Στον πρώτο κύκλο δίνεται σημείο και στο δεύτερο . Προέκυψε ότι, το σημείο βρίσκεται στο τμήμα και . Στην κάθετη προς την από το σημείο , διαλέχθηκε σημείο , ώστε (τα σημεία και βρίσκονται σε διαφορετικά ημιεπίπεδα ως προς την ευθεία ). Να βρείτε το μήκος του τμήματος .
β) Αν επιπλέον είναι γνωστό ότι , να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου .
7. Να βρείτε το πλήθος των ακέραιων ζευγών , που ικανοποιούν το σύστημα των ανισώσεων
1. Να βρείτε τον πλήθος των οκταψήφιων αριθμών, το γινόμενο των ψηφίων του καθενός από αυτούς να ισούται με . Η απάντηση να γραφεί σε μορφή ακεραίου αριθμού.
2. Να λύσετε την εξίσωση
.
3. Να λύσετε το σύστημα των εξισώσεων
4. Σφαίρα με κέντρο είναι εγγεγραμμένη σε τρίεδρη γωνία με κορυφή και εφάπτεται των εδρών της στα σημεία (όλες οι επίπεδες γωνίες της τρίεδρης γωνίας είναι διαφορετικές). Να βρείτε την γωνία και το εμβαδόν της τομής της δεδομένης τρίεδρης γωνίας με το επίπεδο , αν είναι γνωστό, ότι τα εμβαδά των τομών της τρίεδρης γωνίας με τα επίπεδα, που εφάπτονται της σφαίρας και είναι κάθετα στην ευθεία , είναι ίσα με και .
5. Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου , για τις οποίες το σύστημα
έχει ακριβώς δυο λύσεις.
6. α) Δυο κύκλοι ίδιας ακτίνας μήκους τέμνονται στα σημεία και . Στον πρώτο κύκλο δίνεται σημείο και στο δεύτερο . Προέκυψε ότι, το σημείο βρίσκεται στο τμήμα και . Στην κάθετη προς την από το σημείο , διαλέχθηκε σημείο , ώστε (τα σημεία και βρίσκονται σε διαφορετικά ημιεπίπεδα ως προς την ευθεία ). Να βρείτε το μήκος του τμήματος .
β) Αν επιπλέον είναι γνωστό ότι , να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου .
7. Να βρείτε το πλήθος των ακέραιων ζευγών , που ικανοποιούν το σύστημα των ανισώσεων
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 1288
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: Ολυμπιάδα "Φυστεχ" 2020
H εξίσωση γράφεται ισοδύναμαAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Απρ 26, 2020 12:16 amΘέματα της εισαγωγικού τύπου ολυμπιάδας του Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας για το 2020.
2. Να λύσετε την εξίσωση
.
Έτσι καταλήγουμε σε δύο εξισώσεις.
Η πρώτη είναι
με ακέραιο
και η άλλη η οποία λύνεται με τα γνωστά από το Λύκειο και δίνει
, με ακέραιο.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13262
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Ολυμπιάδα "Φυστεχ" 2020
Επειδή οι κύκλοι είναι ίσοι το είναι ορθογώνιο και ισοσκελές όπως και το Έτσι δικαιολογούνται οι γωνίες των που φαίνονται στο σχήμα. α) Η τέμνει τον πρώτο κύκλο στο οπότε η είναι διάμετρος και άραAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Απρ 26, 2020 12:16 amΘέματα της εισαγωγικού τύπου ολυμπιάδας του Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας για το 2020.
6. α) Δυο κύκλοι ίδιας ακτίνας μήκους τέμνονται στα σημεία και . Στον πρώτο κύκλο δίνεται σημείο και στο δεύτερο . Προέκυψε ότι, το σημείο βρίσκεται στο τμήμα και . Στην κάθετη προς την από το σημείο , διαλέχθηκε σημείο , ώστε (τα σημεία και βρίσκονται σε διαφορετικά ημιεπίπεδα ως προς την ευθεία ). Να βρείτε το μήκος του τμήματος .
β) Αν επιπλέον είναι γνωστό ότι , να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου .
τα σημεία είναι συνευθειακά, δηλαδή οπότε
β) και Είναι ακόμα,
Re: Ολυμπιάδα "Φυστεχ" 2020
Με τους αναγκαίους περιορισμούς, λογαριθμίζουμε την πρώτη εξίσωση, κάνουμε πράξεις κ.λπ. και παίρνουμεAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Απρ 26, 2020 12:16 amΘέματα της εισαγωγικού τύπου ολυμπιάδας του Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας για το 2020.
[
3. Να λύσετε το σύστημα των εξισώσεων
, οπότε ή
Η δεύτερη παραγοντοποιείται και δίνει: , οπότε ή
Η συνέχεια είναι απλή.
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ολυμπιάδα "Φυστεχ" 2020
Στην ουσία είναι Γεωμετρία.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Απρ 26, 2020 12:16 amΘέματα της εισαγωγικού τύπου ολυμπιάδας του Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας για το 2020.
5. Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου , για τις οποίες το σύστημα
έχει ακριβώς δυο λύσεις.
Η πρώτη εξίσωση είναι η περίμετρος του τετραγώνου με κορυφές τα σημεία
Παρατηρούμε ότι θα πρέπει να είναι μη αρνητικό και ότι αν είναι λύση τοτε
και η είναι λύση.
Για είναι εύκολο να δούμε ότι δεν υπάρχει λύση.
(ξεχωρίζουμε τις περιπτώσεις για το πρόσημο του και παίρνουμε τομή με τον κύκλο)
Για εχουμε δύο λύσεις τις
Για ο κύκλος τέμνει σε δύο
σημεία την περίμετρο που βρίσκεται δεξια του άξονα των
οπότε έχουμε τέσσερεις λύσεις.
Για έχουμε δύο λύσεις τις και .
Τέλος για δεν υπάρχει λύση.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ολυμπιάδα "Φυστεχ" 2020
Το πρέπει να ικανοποιεί τηνAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Απρ 26, 2020 12:16 amΘέματα της εισαγωγικού τύπου ολυμπιάδας του Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας για το 2020.
7. Να βρείτε το πλήθος των ακέραιων ζευγών , που ικανοποιούν το σύστημα των ανισώσεων
η
Η τελευταία ''εύκολα '' μπορεί να δειχθεί ότι ικανοποιείται όταν
Ετσι το πλήθος λύσεων είναι
Το τελευταίο άθροισμα ''εύκολα '' υπολογίζεται.
Αν δεν μου έχει ξεφύγει κάτι στις πράξεις βγαίνει
Re: Ολυμπιάδα "Φυστεχ" 2020
Επειδή , αρκεί να μετρήσουμε τους οχταψήφιους που έχουν ψηφία:Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Απρ 26, 2020 12:16 amΘέματα της εισαγωγικού τύπου ολυμπιάδας του Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας για το 2020.
1. Να βρείτε τον πλήθος των οκταψήφιων αριθμών, το γινόμενο των ψηφίων του καθενός από αυτούς να ισούται με . Η απάντηση να γραφεί σε μορφή ακεραίου αριθμού.
1. Τρία τριάρια, τρία πεντάρια και δύο άσσους, και
2. Τρία πεντάρια , ένα τριάρι, ένα ενιάρι και τρεις άσσους κ.λπ.
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Re: Ολυμπιάδα "Φυστεχ" 2020
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Απρ 26, 2020 12:16 amΘέματα της εισαγωγικού τύπου ολυμπιάδας του Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας για το 2020.
4. Σφαίρα με κέντρο είναι εγγεγραμμένη σε τρίεδρη γωνία με κορυφή και εφάπτεται των εδρών της στα σημεία (όλες οι επίπεδες γωνίες της τρίεδρης γωνίας είναι διαφορετικές). Να βρείτε την γωνία και το εμβαδόν της τομής της δεδομένης τρίεδρης γωνίας με το επίπεδο , αν είναι γνωστό, ότι τα εμβαδά των τομών της τρίεδρης γωνίας με τα επίπεδα, που εφάπτονται της σφαίρας και είναι κάθετα στην ευθεία , είναι ίσα με και .
Αλέξανδρε, εδώ, για την επιφάνεια παίζει κάτι τέτοιο;
2 προς ρίζα S = (1 προς ρίζα S_1) + (1 προς ρίζα S_2) ;
Δεν λειτουργεί ο Editor. Θα το φτιάξω με την πρώτη ευκαιρία.
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1793
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Ολυμπιάδα "Φυστεχ" 2020
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τρί Απρ 28, 2020 1:03 pmΤο πρέπει να ικανοποιεί τηνAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Απρ 26, 2020 12:16 amΘέματα της εισαγωγικού τύπου ολυμπιάδας του Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας για το 2020.
7. Να βρείτε το πλήθος των ακέραιων ζευγών , που ικανοποιούν το σύστημα των ανισώσεων
η
Η τελευταία ''εύκολα '' μπορεί να δειχθεί ότι ικανοποιείται όταν
Ετσι το πλήθος λύσεων είναι
Το τελευταίο άθροισμα ''εύκολα '' υπολογίζεται.
Αν δεν μου έχει ξεφύγει κάτι στις πράξεις βγαίνει
Για να απαλλαγούμε από τα εισαγωγικά στα "εύκολα" .
.
Θεωρούμε την συνάρτηση , για την οποία ισχύει , για κάθε . Οπότε είναι κοίλη, άρα θα έχει το πολύ δυο ρίζες. Παρατηρούμε όμως ότι . Άρα άλλες ρίζες δεν υπάρχουν και έχουμε βρει το ζητούμενο διάστημα με τα .
Στον υπολογισμό του αθροίσματος θα έλεγα πιρισσότερο δυσκολεύει η συνειδητοποίηση ότι σε κάθε ακέραια τιμή του διαστήματος η τιμή της συνάρτησης δίνει τον αριθμό των ακέραιων λύσεων με για , αφού στο παραπάνω διάστημα. Παρά το τεχνικό κομμάτι του υπολογισμού του αθροίσματος που ανάγεται σε άθροισμα μιας αριθμητικής και μιας γεωμετρικής προόδου.
Δεν θα ταν άσχημο ερώτημα για τις πανελλαδικές.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1793
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Ολυμπιάδα "Φυστεχ" 2020
Ναι!rek2 έγραψε: ↑Παρ Μάιος 01, 2020 12:36 pmAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Απρ 26, 2020 12:16 amΘέματα της εισαγωγικού τύπου ολυμπιάδας του Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας για το 2020.
4. Σφαίρα με κέντρο είναι εγγεγραμμένη σε τρίεδρη γωνία με κορυφή και εφάπτεται των εδρών της στα σημεία (όλες οι επίπεδες γωνίες της τρίεδρης γωνίας είναι διαφορετικές). Να βρείτε την γωνία και το εμβαδόν της τομής της δεδομένης τρίεδρης γωνίας με το επίπεδο , αν είναι γνωστό, ότι τα εμβαδά των τομών της τρίεδρης γωνίας με τα επίπεδα, που εφάπτονται της σφαίρας και είναι κάθετα στην ευθεία , είναι ίσα με και .
Αλέξανδρε, εδώ, για την επιφάνεια παίζει κάτι τέτοιο;
Re: Ολυμπιάδα "Φυστεχ" 2020
Θεωρούμε την κάτοψη του σχήματος.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Μάιος 01, 2020 12:48 pmΝαι!rek2 έγραψε: ↑Παρ Μάιος 01, 2020 12:36 pmAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Απρ 26, 2020 12:16 amΘέματα της εισαγωγικού τύπου ολυμπιάδας του Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας για το 2020.
4. Σφαίρα με κέντρο είναι εγγεγραμμένη σε τρίεδρη γωνία με κορυφή και εφάπτεται των εδρών της στα σημεία (όλες οι επίπεδες γωνίες της τρίεδρης γωνίας είναι διαφορετικές). Να βρείτε την γωνία και το εμβαδόν της τομής της δεδομένης τρίεδρης γωνίας με το επίπεδο , αν είναι γνωστό, ότι τα εμβαδά των τομών της τρίεδρης γωνίας με τα επίπεδα, που εφάπτονται της σφαίρας και είναι κάθετα στην ευθεία , είναι ίσα με και .
Αλέξανδρε, εδώ, για την επιφάνεια παίζει κάτι τέτοιο;
Οι τομές αναφέρονται κατά σειρά στις επιφάνειες και την ζητούμενη .
Οι επιφάνειες, προφανώς είναι όμοιες, και οι λόγοι τους είναι ίσοι με τα τετράγωνα του λόγου ομοιότητας τους, ή,
επομένως είναι ίσοι με το τετράγωνα των αντίστοιχων λόγων των .
Εύκολα βρίσκουμε και , οπότε
, οποία δίνει την
Τέλος η εφαπτομένη της γωνίας είναι
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης