Παλιά θέματα εισαγωγικών στην Βρετανία
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Παλιά θέματα εισαγωγικών στην Βρετανία
Ανοίγω ένα θρεντ από θέματα Μαθηματικών από το GCE στην Βρετανία, από τις δεκαετίες 1950 έως 1980. Οι εξετάσεις GCE είναι απαραίτητες για εισαγωγή στα ΑΕΙ.
Το κάθε διαγώνισμα ήταν τρίωρο με 10 ερωτήσεις να γράψεις τις 8.
Οι παρακάτω είναι από επιλογή μου από το αρχείο των εν λόγω εξετάσεων, που είχα κάποτε μελετήσει σε βάθος λόγω ενδιαφέροντος σε διαφορετικά εκπαιδευτικά συστήματα.
Θα αναρτήσω μόνο τις ερωτήσεις που διαφέρουν στον ένα ή τον άλλο βαθμό από την δική μας θεματολογία και οπτική.
Κάποια θέματα θα είναι από τα λεγόμενα "Special papers". Αυτά ήταν αυξημένων απαιτήσεων και απευθυνόντουσαν στους υποψήφιους που
σκόπευαν εισαγωγή σε Πανεπιστήμια υψηλών προδιαγραφών.
Πολλά είναι κατάλληλα για ΑΣΕΠ.
Το κάθε διαγώνισμα ήταν τρίωρο με 10 ερωτήσεις να γράψεις τις 8.
Οι παρακάτω είναι από επιλογή μου από το αρχείο των εν λόγω εξετάσεων, που είχα κάποτε μελετήσει σε βάθος λόγω ενδιαφέροντος σε διαφορετικά εκπαιδευτικά συστήματα.
Θα αναρτήσω μόνο τις ερωτήσεις που διαφέρουν στον ένα ή τον άλλο βαθμό από την δική μας θεματολογία και οπτική.
Κάποια θέματα θα είναι από τα λεγόμενα "Special papers". Αυτά ήταν αυξημένων απαιτήσεων και απευθυνόντουσαν στους υποψήφιους που
σκόπευαν εισαγωγή σε Πανεπιστήμια υψηλών προδιαγραφών.
Πολλά είναι κατάλληλα για ΑΣΕΠ.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Παλιά θέματα εισαγωγικών στην Βρετανία
Άσκηση 1(Special paper, Ιούνιος 1977). Αν και , όπου θετικοί φυσικοί, να εκφράσετε το συναρτήσει των .
Δείξτε ότι από όπου να συμπεράνετε ότι
(Διόρθωση τυπογραφικού: Στην πρώτη παράγραφο άλλαξα το σε . Ευχαριστώ τον Δημήτρη - Demetres - για την επισήμανση.)
Δείξτε ότι από όπου να συμπεράνετε ότι
(Διόρθωση τυπογραφικού: Στην πρώτη παράγραφο άλλαξα το σε . Ευχαριστώ τον Δημήτρη - Demetres - για την επισήμανση.)
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Τετ Μαρ 25, 2020 2:17 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Παλιά θέματα εισαγωγικών στην Βρετανία
Άσκηση 2 (Special paper, Ιούνιος 1973). (i) Αν άρτια και περιττή συνάρτηση στο , δέιξτε ότι
και . Κατόπιν να υπολογίσετε το .
(ii) Θέτουμε , όπου φυσικός. Εξετάζοντας τα να συμπεράνετε ότι αν άρτιος και αν περιττός.
και . Κατόπιν να υπολογίσετε το .
(ii) Θέτουμε , όπου φυσικός. Εξετάζοντας τα να συμπεράνετε ότι αν άρτιος και αν περιττός.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Παλιά θέματα εισαγωγικών στην Βρετανία
Άσκηση 3 (Ιούνιος 1964). Τρεις κύκλοι ακτίνων , αντίστοιχα, εφάπτονται εξωτερικά ανά ζεύγη σε σημεία . Ως γνωστόν (*) οι κοινές εφαπτόμενες στα σημεία επαφής , συντρέχουν, έστω στο . Δείξτε ότι .
(*) To ζήταγε το πρώτο μέρος της άσκησης. Το αφήνω ως γνωστό και απλό.
(*) To ζήταγε το πρώτο μέρος της άσκησης. Το αφήνω ως γνωστό και απλό.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Παλιά θέματα εισαγωγικών στην Βρετανία
Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τετ Μαρ 25, 2020 11:31 amΆσκηση 1(Special paper, Ιούνιος 1977). Αν και , όπου θετικοί φυσικοί, να εκφράσετε το συναρτήσει των .
Δείξτε ότι από όπου να συμπεράνετε ότι
Ας κάνω την αρχή. Δεν είναι δύσκολο αλλά τους μιγαδικούς τους πετάξαμε...
Έχουμε
Έστω . Τότε
αφού . Άρα έχουμε και
Τέλος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Παλιά θέματα εισαγωγικών στην Βρετανία
Μας αντιγράφουν οι Βρετανοί!!Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τετ Μαρ 25, 2020 11:49 pmΆσκηση 3 (Ιούνιος 1964). Τρεις κύκλοι ακτίνων , αντίστοιχα, εφάπτονται εξωτερικά ανά ζεύγη σε σημεία . Ως γνωστόν (*) οι κοινές εφαπτόμενες στα σημεία επαφής , συντρέχουν, έστω στο . Δείξτε ότι .
(*) To ζήταγε το πρώτο μέρος της άσκησης. Το αφήνω ως γνωστό και απλό.
Αλέξανδρος Συγκελάκης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Παλιά θέματα εισαγωγικών στην Βρετανία
Άσκηση 4 (Ιούνιος 1958). i) Να επιλυθεί η εξίσωση .
ii) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός που ικανοποιεί την εξίσωση . Κατόπιν να αποδείξετε οτι η τιμή αυτή του ικανοποιεί
.
ii) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός που ικανοποιεί την εξίσωση . Κατόπιν να αποδείξετε οτι η τιμή αυτή του ικανοποιεί
.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Παλιά θέματα εισαγωγικών στην Βρετανία
Άσκηση 5 (Special paper 1974). i) Αν να αποδείξετε νε επαγωγή ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο ότι
ii) ...
(Δεν γράφω το ii) γιατί δεν θέλει ιδιαίτερη φαντασία. Θα επιθυμούσα όμως δύο τρόπους επίλυσης της παραπάνω. Ως άσκηση δεν είναι δύσκολη αλλά λόγω της διαφορετικής ύλης στο δικό μας, τωρινό, εκπαιδευτικό σύστημα, είναι κατάλληλη για πρωτοετείς φοιτητές Μαθηματικού, Φυσικού ή Πολυτεχνικού κύκλου).
ii) ...
(Δεν γράφω το ii) γιατί δεν θέλει ιδιαίτερη φαντασία. Θα επιθυμούσα όμως δύο τρόπους επίλυσης της παραπάνω. Ως άσκηση δεν είναι δύσκολη αλλά λόγω της διαφορετικής ύλης στο δικό μας, τωρινό, εκπαιδευτικό σύστημα, είναι κατάλληλη για πρωτοετείς φοιτητές Μαθηματικού, Φυσικού ή Πολυτεχνικού κύκλου).
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Παλιά θέματα εισαγωγικών στην Βρετανία
Κάνω το ii) χωρίς χρησιμοποίηση του i)Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τετ Μαρ 25, 2020 11:44 amΆσκηση 2 (Special paper, Ιούνιος 1973). (i) Αν άρτια και περιττή συνάρτηση στο , δέιξτε ότι
και . Κατόπιν να υπολογίσετε το .
(ii) Θέτουμε , όπου φυσικός. Εξετάζοντας τα να συμπεράνετε ότι αν άρτιος και αν περιττός.
Αν τότε
κάνοντας αλλαγή
βγαίνει
Αρα
Αν Αν τότε από https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_kernel
θέτοντας όπου το έχουμε
(φυσικά βγαίνει στοιχειώδως)
Αφού πολλαπλασιάσουμε επί και ολοκληρώσουμε παίρνουμε
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Παλιά θέματα εισαγωγικών στην Βρετανία
Ωραιότατα. Ας το δούμε και αλλιώς, αλλά ουσιαστικά στο ίδιο μήκος κύματος.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Σάβ Μαρ 28, 2020 1:29 pmΚάνω το ii) χωρίς χρησιμοποίηση του i)Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τετ Μαρ 25, 2020 11:44 amΆσκηση 2 (Special paper, Ιούνιος 1973). (i) Αν άρτια και περιττή συνάρτηση στο , δέιξτε ότι
και . Κατόπιν να υπολογίσετε το .
(ii) Θέτουμε , όπου φυσικός. Εξετάζοντας τα να συμπεράνετε ότι αν άρτιος και αν περιττός.
.
Άρα , που σημαίνει ότι για άρτιους δείκτες έχουμε αναδρομικά . Για περιττούς
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Παλιά θέματα εισαγωγικών στην Βρετανία
Γράφω λύση.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Μαρ 28, 2020 12:15 pmΆσκηση 4 (Ιούνιος 1958). i) Να επιλυθεί η εξίσωση .
ii) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός που ικανοποιεί την εξίσωση . Κατόπιν να αποδείξετε οτι η τιμή αυτή του ικανοποιεί
.
α) Είτε εργαζόμαστε με ύψωση στο τετράγωνο αρχίζοντας από την είτε βρίσκουμε με απλές δοκιμές την ρίζα και λέμε ότι είναι μοναδική επειδή η είναι γνήσια αύξουσα ως άθροισμα από δύο γνήσια αύξουσες.
b) Πολλαπλασιάζοντας επί η εξίσωση γίνεται . Ως δευτεροβάθμια ως προς βρίσκουμε (αλλά κρατάμε μόνο το θετικό), οπότε .
Για το λέμε με ύψωση στο τετράγωνο και με χρήση του έχουμε
, άρα , αλλά κρατάμε το θετικό.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Κυρ Αύγ 09, 2020 2:17 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Παλιά θέματα εισαγωγικών στην Βρετανία
.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Μαρ 28, 2020 12:26 pmΆσκηση 5 (Special paper 1974). i) Αν να αποδείξετε με επαγωγή ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο ότι
α' τρόπος. Με επαγωγή. Για το επαγωγικό βήμα λέμε
.
β' τρόπος. Από την Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού έχουμε
όπου σταθερά.
Παραγωγίζοντας φορές και αργότερα με χρήση De Moivre έχουμε
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Παλιά θέματα εισαγωγικών στην Βρετανία
Άσκηση 6 (Special paper, Ιούνιος 1981)
α) (το αφήνω ως ρουτίνα)
β) Έστω . Εξετάζοντας το ανάπτυγμα του για κατάλληλο δείξτε ότι
α) (το αφήνω ως ρουτίνα)
β) Έστω . Εξετάζοντας το ανάπτυγμα του για κατάλληλο δείξτε ότι
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Παλιά θέματα εισαγωγικών στην Βρετανία
Άσκηση 7 (Special paper, Ιούνιος 1988)
α) Αφού πρώτα γράψετε το ανάπτυγμα του ως σειρά ως προς ανιούσες δυνάμεις του , δείξτε ότι ο ο συντελεστής του στο ανάπτυγμα του ως σειρά ως προς ανιούσες δυνάμεις του είναι
Από το προηγούμενο να συμπεράνετε την τιμή του αθροίσματος
α) Αφού πρώτα γράψετε το ανάπτυγμα του ως σειρά ως προς ανιούσες δυνάμεις του , δείξτε ότι ο ο συντελεστής του στο ανάπτυγμα του ως σειρά ως προς ανιούσες δυνάμεις του είναι
Από το προηγούμενο να συμπεράνετε την τιμή του αθροίσματος
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Παλιά θέματα εισαγωγικών στην Βρετανία
Καλό. Σχετίζεται με τη ροπογεννήτρια της POISSON. Το έχουμε δει εδώ: https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... 02#p312502Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Πέμ Απρ 09, 2020 11:43 pmΆσκηση 7 (Special paper, Ιούνιος 1988)
α) Αφού πρώτα γράψετε το ανάπτυγμα του ως σειρά ως προς ανιούσες δυνάμεις του , δείξτε ότι ο ο συντελεστής του στο ανάπτυγμα του ως σειρά ως προς ανιούσες δυνάμεις του είναι
Από το προηγούμενο να συμπεράνετε την τιμή του αθροίσματος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Παλιά θέματα εισαγωγικών στην Βρετανία
Σωστά. Δεν θυμόμουν ότι έχουμε δει το ανάπτυγμα του , οπότε αυτό απαντά στο πρώτο και κύριο ερώτημα της άσκησης. Για το δεύτερο μέρος θέλουμε τον συντελεστή του . Θα τον βρούμε είτε όπως δείχνει ο Τόλης στην εν λόγω παραπομπή (εκεί εργάζεται μέχρι το αλλά απλά συνεχίζουμε άλλον έναν όρο) ή από το ανάπτυγμα Taylor ο συντελεστής είναι . Εδώ , άραΛάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑Πέμ Απρ 09, 2020 11:59 pmΚαλό. Σχετίζεται με τη ροπογεννήτρια της POISSON. Το έχουμε δει εδώ: https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... 02#p312502Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Πέμ Απρ 09, 2020 11:43 pmΆσκηση 7 (Special paper, Ιούνιος 1988)
α) Αφού πρώτα γράψετε το ανάπτυγμα του ως σειρά ως προς ανιούσες δυνάμεις του , δείξτε ότι ο ο συντελεστής του στο ανάπτυγμα του ως σειρά ως προς ανιούσες δυνάμεις του είναι
Από το προηγούμενο να συμπεράνετε την τιμή του αθροίσματος
, οπότε . Τελικά το ζητούμενο άθροισμα είναι .
-Μένει αναπάντητη η Άσκηση 6.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Παλιά θέματα εισαγωγικών στην Βρετανία
Άσκηση 8 (Special paper, Ιούνιος 1980)
Έστω . Κάνοντας χρήση της αλλαγής μεταβλητής , ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο, δείξτε ότι η τιμή του ολοκληρώματος
είναι αν και αν .
Έστω . Κάνοντας χρήση της αλλαγής μεταβλητής , ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο, δείξτε ότι η τιμή του ολοκληρώματος
είναι αν και αν .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Παλιά θέματα εισαγωγικών στην Βρετανία
Περιληπτικά:Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Πέμ Απρ 09, 2020 11:31 pmΆσκηση 6 (Special paper, Ιούνιος 1981)
α) (το αφήνω ως ρουτίνα)
β) Έστω . Εξετάζοντας το ανάπτυγμα του για κατάλληλο δείξτε ότι
Από το ανάπτυγμα Taylor έχουμε
. Άρα
Για και απλές πράξεις στο αριστερό μέλος, έχουμε το ζητούμενο.
-
- Δημοσιεύσεις: 200
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 13, 2015 3:38 pm
Re: Παλιά θέματα εισαγωγικών στην Βρετανία
Καλησπέρα κύριε Μιχάλη, καλησπέρα .Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Κυρ Απρ 12, 2020 9:22 amΆσκηση 8 (Special paper, Ιούνιος 1980)
Έστω . Κάνοντας χρήση της αλλαγής μεταβλητής , ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο, δείξτε ότι η τιμή του ολοκληρώματος
είναι αν και αν .
Παρατηρούμε ότι η αρχική της είναι η
Άρα προκύπτει ότι το (ορισμένο) ολοκλήρωμα ισούται με
Συνεπώς αν το ολοκλήρωμα ισούται με
Αν το ολοκλήρωμα ισούται με
Μιχάλης Γ.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες