Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2007
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2007
Εισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2007 (μια από τις εκδόσεις των θεμάτων)
1. Να λύσετε το συστήμα των εξισώσεων
2. Να λύσετε την ανισώση
.
3. Να λύσετε την εξίσωση
.
4. Κύκλος εφάπτεται της πλευράς τετραπλεύρου στο σημείο και της πλευράς στο μέσο της . Η διαγώνιος τέμνει τον κύκλο στα σημεία και (). Είναι γνωστό ότι , , . Οι ημιευθείες και τέμνονται στο σημείο , εξάλλου . Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου και το εμβαδόν του .
5. Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου , για τις οποίες η εξίσωση
έχει μοναδική λύση στο διάστημα .
6. Στην πυραμίδα οι έδρες και είναι ισοσκελή τρίγωνα με κοινή βάση . Σφαίρα ακτίνας με κέντρο το σημείο , που βρίσκεται στην έδρα , εφάπτεται όλων των ακμών της πυραμίδας . Να βρείτε τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων στα οποία χωρίζουν τα σημεία επαφής της σφαίρας τις ακμές της πυραμίδας και τον όγκο της πυραμίδας , αν η γωνία είναι ίση με . Να βρείτε την τιμή της γωνίας , για την οποία ο όγκος της πυραμίδας ελαχιστοποιείται. Να βρείτε αυτή την ελάχιστη τιμή του όγκου της πυραμίδας .
1. Να λύσετε το συστήμα των εξισώσεων
2. Να λύσετε την ανισώση
.
3. Να λύσετε την εξίσωση
.
4. Κύκλος εφάπτεται της πλευράς τετραπλεύρου στο σημείο και της πλευράς στο μέσο της . Η διαγώνιος τέμνει τον κύκλο στα σημεία και (). Είναι γνωστό ότι , , . Οι ημιευθείες και τέμνονται στο σημείο , εξάλλου . Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου και το εμβαδόν του .
5. Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου , για τις οποίες η εξίσωση
έχει μοναδική λύση στο διάστημα .
6. Στην πυραμίδα οι έδρες και είναι ισοσκελή τρίγωνα με κοινή βάση . Σφαίρα ακτίνας με κέντρο το σημείο , που βρίσκεται στην έδρα , εφάπτεται όλων των ακμών της πυραμίδας . Να βρείτε τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων στα οποία χωρίζουν τα σημεία επαφής της σφαίρας τις ακμές της πυραμίδας και τον όγκο της πυραμίδας , αν η γωνία είναι ίση με . Να βρείτε την τιμή της γωνίας , για την οποία ο όγκος της πυραμίδας ελαχιστοποιείται. Να βρείτε αυτή την ελάχιστη τιμή του όγκου της πυραμίδας .
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2007
Από την πρώτη εξίσωση παίρνω και η δεύτερη εξίσωση γράφεται:Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Οκτ 04, 2019 12:00 amΕισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2007 (μια από τις εκδόσεις των θεμάτων)
1. Να λύσετε το συστήμα των εξισώσεων
Έχουμε λοιπόν το σύστημα ή
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2007
Για ευκολία θέτω και η εξίσωση γράφεταιAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Οκτ 04, 2019 12:00 am5. Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου , για τις οποίες η εξίσωση
έχει μοναδική λύση στο διάστημα .
Για έχουμε η οποία εύκολα μπορούμε
να δούμε ότι μηδενίζεται στο . Επίσης, για είναι
και για είναι .
Τώρα η συνάρτηση του αριστερού μέλους της ισότητας είναι η και επειδή η
είναι γνησίως αύξουσα (εύκολο με παράγωγο) η μονοτονία της σύνθετης είναι ακριβώς ίδια με της .
Τέλος, . Άρα τα ζητούμενα όπως μπορούμε
να δούμε από ένα πρόχειρο σχήμα (μόνο η μονοτονία και οι τιμές στα άκρα φτάνουν) είναι τα
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2007
Λίγο προσοχή στη μελέτη της συνάρτησης , υπάρχει και άλλη λύση ...Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑Παρ Οκτ 04, 2019 10:16 amνα δούμε από ένα πρόχειρο σχήμα (μόνο η μονοτονία και οι τιμές στα άκρα φτάνουν) είναι τα
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2007
Σωστά. Έφαγα και την περίπτωση η να εφάπτεται στην κορυφή. Είναι το όπουAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Οκτ 04, 2019 12:00 pmΛίγο προσοχή στη μελέτη της συνάρτησης , υπάρχει και άλλη λύση ...Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑Παρ Οκτ 04, 2019 10:16 amνα δούμε από ένα πρόχειρο σχήμα (μόνο η μονοτονία και οι τιμές στα άκρα φτάνουν) είναι τα
η ρίζα της στο .
Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2007
Είναι : και αν , τότε : και άραAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Οκτ 04, 2019 12:00 am
4. Κύκλος εφάπτεται της πλευράς τετραπλεύρου στο σημείο και της πλευράς στο μέσο της . Η διαγώνιος τέμνει
τον κύκλο στα σημεία και (). Είναι γνωστό ότι , , . Οι ημιευθείες και τέμνονται
στο σημείο , εξάλλου . Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου και το εμβαδόν του .
( νόμος συνημιτόνων στο ) : και το σχήμα κατασκευάστηκε .
Τα ζητούμενα μεγέθη είναι πλέον "δεμένα' αλλά οι υπολογισμοί δεν έγιναν , προκύπτουν άχαρα νούμερα
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2007
Χαρά στο κουράγιο σου Εγώ τα παράτησα πριν καν φτιάξω το σχήμα.KARKAR έγραψε: ↑Σάβ Οκτ 05, 2019 10:43 amRussian.pngAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Οκτ 04, 2019 12:00 am
4. Κύκλος εφάπτεται της πλευράς τετραπλεύρου στο σημείο και της πλευράς στο μέσο της . Η διαγώνιος τέμνει
τον κύκλο στα σημεία και (). Είναι γνωστό ότι , , . Οι ημιευθείες και τέμνονται
στο σημείο , εξάλλου . Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου και το εμβαδόν του .
Είναι : και αν , τότε : και άρα
( νόμος συνημιτόνων στο ) : και το σχήμα κατασκευάστηκε .
Τα ζητούμενα μεγέθη είναι πλέον "δεμένα' αλλά οι υπολογισμοί δεν έγιναν , προκύπτουν άχαρα νούμερα
-
- Δημοσιεύσεις: 360
- Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm
Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2007
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια.
Πρώτα απ' όλα έχουμε τους περιορισμούς :
Είναι:
(2)
Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:
α) .
(2) ,αφού , με λύσεις : .
Συναληθεύοντας με τους περιορισμούς προκύπτουν λύσεις της ανίσωσης : .
β) ή . Άρα .
(2) (3)
i)
(3) ,αφού , με λύσεις : ή .
Συναληθεύοντας με τους περιορισμούς προκύπτουν λύσεις της ανίσωσης :.
ii)
(3) , αφού , με λύσεις :
Συναληθεύοντας με τους περιορισμούς προκύπτουν λύσεις της ανίσωσης :.
Τελικά οι λύσεις της ανίσωσης είναι :.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2007
Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑Παρ Οκτ 04, 2019 12:56 pm
Σωστά. Έφαγα και την περίπτωση η να εφάπτεται στην κορυφή. Είναι το όπου
η ρίζα της στο .
Πάντως, σαν σημείωση, μπορεί να υπολογιστεί ακριβώς αυτή η τιμή του .
Από αυτό το σημείο και ύστερα δεν θέλει και ιδιαίτερα δύσκολες πράξεις. Για πρόβλημα ολυμπιάδας θα ήταν βαρετές, για εισαγωγικές εξετάσεις συχνά έχω δει να ζητούνται. Ίσως για να δούμε αν ο μαθητής είναι εξοικειωμένος με αριθμητικές πράξεις που περιέχουν ριζικά, άλλους άρητους αριθμούς αλλά και να τους συγκρίνει και να αναγνωρίζει την σχετική τους θέση στο άξονα των αριθμών. Πολλές φορές τα αριθμητικά δεδομένα στα γεωμετρικά προβλήματα μπορεί να οδηγούν και σε διαφορετικό σχέδιο κτλ. (όχι ότι συμβαίνει κάτι αντίστοιχο εδώ).
Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2007
Υπάρχει σοβαρή πιθανότητα να τα χω κάνει μπάχαλο παρακαλώ διορθώστε με.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Οκτ 04, 2019 12:00 amΕισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2007 (μια από τις εκδόσεις των θεμάτων)
3. Να λύσετε την εξίσωση
.
Παίρνοντας την συνεφαπτομένη στο άλλο μέλος, μετατρέποντάς τη σε εφαπτομένη και με χιαστί καταλήγω στην:
.
Συνεπώς δεν ορίζεται (σύμφωνα με την ταυτότητα της εφαπτομένης της διαφοράς 2 γωνιών) η:
Όμως χωρίς δυσκολία καταλήγουμε στις:
.
.
Αφού δεν ορίζονταν η εφαπτομένη της διαφοράς έπεται:
Θέτοντας κάνοντας τις πράξεις καταλήγουμε στην:
Edit: υπήρχε αριθμητικό. Η λύση ολοκληρώνεται σε παρακάτω post
τελευταία επεξεργασία από miltosk σε Κυρ Οκτ 06, 2019 6:36 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2007
Μπάχαλο δεν είναι σίγουρα, απλά δεν είναι αρκετά καθαρογραμμένο/δικαιολογημένο το τι ακριβώς κάνεις στην αρχή. Αλλά το λάθος που δεν σε οδηγεί σε λύση είναι αριθμητικό. Στις παραπάνω πράξεις προκύπτει η εξίσωσηmiltosk έγραψε: ↑Κυρ Οκτ 06, 2019 4:37 pmAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Οκτ 04, 2019 12:00 amΕισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2007 (μια από τις εκδόσεις των θεμάτων)
3. Να λύσετε την εξίσωση
.
Θέτοντας κάνοντας τις πράξεις καταλήγουμε στην:
Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2007
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Οκτ 06, 2019 5:45 pmΜπάχαλο δεν είναι σίγουρα, απλά δεν είναι αρκετά καθαρογραμμένο/δικαιολογημένο το τι ακριβώς κάνεις στην αρχή. Αλλά το λάθος που δεν σε οδηγεί σε λύση είναι αριθμητικό. Στις παραπάνω πράξεις προκύπτει η εξίσωσηmiltosk έγραψε: ↑Κυρ Οκτ 06, 2019 4:37 pmAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Οκτ 04, 2019 12:00 amΕισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2007 (μια από τις εκδόσεις των θεμάτων)
3. Να λύσετε την εξίσωση
.
Θέτοντας κάνοντας τις πράξεις καταλήγουμε στην:
Με την επισήμανσή σας:
Από τις διπλές ανισότητες
Για : . Αφού τότε άρα άτοπο.
Για : . Από αριθμητικό γεωμετρικό μέσο: οπότε πρέπει για ισότητα και (ταυτόχρονα), άτοπο.
Για :
Θέτω . Από την ταυτότητα: λαμβάνουμε:
. Πρέπει . Λύνοντας: . Άρα
Αν τότε
Αν τότε
Αν τότε
Οπότε καταλήγουμε με
Λύνοντας την τελευταία:
Φτιάχνοντας τες σε ενιαίο τύπο:
, με ακέραιο
(Παρακαλώ συγχωρέστε τις ελλειπείς δικαιολογήσεις που οφείλονται σε θέμα χρόνου)
Edit: η τελευταία βγαίνει και με Horner αλλά για κάποιο (?) λόγο το δα μετά.
Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2007
Ας τις γράψουμε , θυμίζοντας ότι : . Από : ,Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Οκτ 06, 2019 1:56 pm
Από αυτό το σημείο και ύστερα δεν θέλει και ιδιαίτερα δύσκολες πράξεις.
προκύπτει : . Επίσης :
.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες