Σελίδα 1 από 1

Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [11-20]

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιουν 17, 2019 1:55 pm
από Al.Koutsouridis
Τα θέματα 11 έως 20 (τύπου B, "κατεύθυνσης") των Κορεατικών εισαγωγικών εξετάσεων στα μαθηματικά για το έτος 2019. Σε αγκύλες είναι τα μόρια (στο σύνολο 100) Τα πρώτα δέκα μπορούν να βρεθούν εδώ. Μερικά είναι αρκετά λεκτικά και ήταν επίπονη η μετάφραση, ζητώ την κατανόηση για τυχόν λάθη.


11. Για \displaystyle{ 0 \leq\theta < 2\pi}, το εύρος των τιμών του \theta για τις οποίες η δευτεροβάθμια εξίσωση \displaystyle{6x^2 +(4\cos \theta) x +\sin \theta =0} δεν έχει λύσεις, είναι a < \theta < b. Ποιά είναι η τιμή της έκφρασης \displaystyle{3a+b}; [3 μόρια]

\displaystyle{\textcircled{1} \quad \frac{5}{6}\pi \quad \quad \quad \textcircled{2} \quad \pi  \quad \quad \quad \textcircled{3} \quad \frac{7}{6}\pi  \quad \quad \quad \textcircled{4} \quad \frac{4}{3} \pi  \quad \quad \quad \textcircled{5}\quad \dfrac{3}{2} \pi }


12. Με πόσους τρόπους τέσσερις μαθητές A, B, C, D μπορούν να μοιραστούν 8 ίδιες σοκολάτες, σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες; [3 μόρια]
\quad a) Κάθε μαθητής λαμβάνει τουλάχιστον μια σοκολάτα.
\quad b) Ο μαθητής A λαμβάνει περισσότερες σοκολάτες από ότι ο μαθητής B.

\displaystyle{\textcircled{1} \quad 11 \quad \quad \quad \textcircled{2} \quad 13  \quad \quad \quad \textcircled{3} \quad 15  \quad \quad \quad \textcircled{4} \quad 17 \quad \quad \quad \textcircled{5}\quad 19 }


13. Ποιά είναι η x-συντεταγμένη του σημείου, όπου το επίπεδο που περιέχει την ευθεία x-1=2-y=\dfrac{z+1}{2} και διέρχεται από το σημείο \displaystyle{\left ( 2,0,5\right )} στο καρτεσιανό χώρο, τέμνει τον άξονα των x; [3 μόρια]

\displaystyle{\textcircled{1} \quad \frac{9}{2} \quad \quad \quad \textcircled{2} \quad 4  \quad \quad \quad \textcircled{3} \quad \frac{7}{2}  \quad \quad \quad \textcircled{4} \quad 3  \quad \quad \quad \textcircled{5}\quad \dfrac{5}{2} }


14. Η γραφική παράσταση του δευτεροβάθμιου τριωνύμου \displaystyle{y=f(x)} και της ευθείας \displaystyle{y=g(x)} φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.
korean_2019b_14.png
korean_2019b_14.png (69.57 KiB) Προβλήθηκε 1930 φορές
Ποιο είναι το άθροισμα των φυσικών αριθμών που ικανοποιούν την ανίσωση

\displaystyle \left ( \dfrac{1}{2} \right )^{f(x)g(x)} \geq \left (\dfrac{1}{8} \right )^{g(x)} ; [4 μόρια]

\displaystyle{\textcircled{1} \quad 7 \quad \quad \quad \textcircled{2} \quad 9  \quad \quad \quad \textcircled{3} \quad 11  \quad \quad \quad \textcircled{4} \quad 13 \quad \quad \quad \textcircled{5}\quad 15 }


15. Ο χρόνος μετακίνησης στην δουλειά των εργαζομένων μιας εταιρίας ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή 66,4 λεπτά και τυπική απόκλιση 15 λεπτά. Μια μέρα το 40 \% των εργαζόμενων που έκανε τουλάχιστον 73 λεπτά για να φτάσει στην εταιρία και το 20 \% των εργαζόμενων που έκανε για να φτάσει στη εταιρία λιγότερο από 73 λεπτά, χρησιμοποίησαν το μετρό. Οι υπόλοιποι άλλα μέσα. Ποια είναι η πιθανότητα ένας εργαζόμενος την συγκεκριμένη μέρα να χρησιμοποιήσε το μετρό; (Δίνεται ότι, αν η τυχαία μεταβλητή Z ακολουθεί την τυποποιημένη κανονική κατανομή, τότε \displaystyle{P \left (0 \leq Z \leq 0,44 \right ) =0,17} ) [4 μόρια]

\displaystyle{\textcircled{1} \quad 0,306 \quad \quad \quad \textcircled{2} \quad 0,296  \quad \quad \quad \textcircled{3} \quad 0,286  \quad \quad \quad \textcircled{4} \quad 0,276 \quad \quad \quad \textcircled{5}\quad 0,266 }


16. Η συνεχής συνάρτηση f(x) που ορίζεται για x>0, για όλα τα θετικά x ικανοποιεί την σχέση

\displaystyle 2f(x)+\dfrac{1}{x^2} f\left ( \dfrac{1}{x} \right)= \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}. Ποια είναι η τιμή του ολοκληρώματος \displaystyle \int\limits_{\frac{1}{2}}^{2} f(x)dx; [4 μόρια]

\displaystyle{\textcircled{1} \quad \frac{\ln 2}{3}+\frac{1}{2} \quad \quad \quad \textcircled{2} \quad \frac{2 \ln 2}{3}+\frac{1}{2}  \quad \quad \quad \textcircled{3} \quad \frac{\ln 2}{3}+1 \quad \quad \quad \textcircled{4} \quad \frac{2 \ln 2}{3}+1  \quad \quad \quad \textcircled{5}\quad \frac{2 \ln 2}{3}+\frac{3}{2} }


17. Τα ακόλουθα είναι η διαδικασία για να βρούμε το πλήθος των συναστήσεων f των οποίων η σύνθεση f \circ f έχει σύνολο τιμών με 5 στοιχεία. Για το σύνολο \displaystyle{ X = \{ 1,2,3,4,5,6 \}} και την συνάρτηση \displaystyle{f:X \mapsto X}.

Έστω A και B τα σύνολα τιμών των συνασρτήσεων f και f \circ f αντίστοιχα. Αν n(A)=6, τότε η συνάρτηση f είναι ένα προς ένα, οπότε και η f \circ f θα είναι ένα προς ένα, άρα n(B)=6. Αν n(A) \leq 4, τότε είναι B \subset A, οπότε n(B) \leq 4. Επομένως μπορούμε ναθεωρήσουμε μόνο την περίπτωση n(A)=5, δηλαδή B=A.

\quad i) Ο αριθμός των τρόπων (διαδικασία) που μπορούμε να διαλέξουμε ένα υποσύνολο A του X με n(A)=5, έστω ότι είναι (a).

\quad ii) Για το σύνολο A που έχει επιλεγεί στην (i), ας είναι k το στοιχείο του X που δεν ανήκει στο A. Εφόσον n(A)=5, ο αριθμός των τρόπων (διαδικασιών) που μπορούμε να διαλέξουμε το f(k) από το A ας είναι (b) .

\quad iii) Για το \displaystyle{ A = \{ a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5} \}} που έχει επιλεγθεί στο (i) και το f(k) που έχει επιλεγθεί στο (ii), είναι f(k) \in A και  A=B, οπότε \displaystyle{A = \{ f(a_{1}) , f(a_{2}), f(a_{3}), f(a_{4}), f(a_{5}) \}} ... (*). Η (*) είναι ίση με τον αριθμό των ένα προς ένα αντισοιχίσεων από το A στο A, έστω (c) αυτοί οι τρόποι (διαδικασίες).

Οπότε ο αριθμός των συναστήσεων που προέκυψαν από τις (i), (ii), (iii) είναι (a) \times (b) \times (c). Αν οι αριθμοί που αντιστοιχούν στα (a) , (b) , (c) είναι p,q,r αντίστοιχα, ποιά είναι η τιμή του p+q+r; [4 μόρια]

\displaystyle{\textcircled{1} \quad 131 \quad \quad \quad \textcircled{2} \quad 136  \quad \quad \quad \textcircled{3} \quad 141  \quad \quad \quad \textcircled{4} \quad 146 \quad \quad \quad \textcircled{5}\quad 151 }


18. Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος είναι, AB=1, \displaystyle \angle B = \frac{\pi}{2} . Έστω D το σημείο τομής της διχοτόμου της γωνίας C με την πλευρά AB και E το σημείο τομής του κύκλου κέντρου A και ακτίνας AD με την πλευρά AC. Έστω S(\theta) το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ADE συναρτήσει του μέτρου της γωνίας \angle A= \theta και T(\theta) το εμβαδόν του τριγώνου BCE. Με τι ισούται το όριο \displaystyle \lim\limits_{\theta \to 0^{+}} \dfrac{ \left \{ \left. S(\theta) \right \} \right.^{2} }{T(\theta)}; [4 μόρια]
korean_2019b_18.png
korean_2019b_18.png (29.8 KiB) Προβλήθηκε 1930 φορές
\displaystyle{\textcircled{1} \quad \frac{1}{4} \quad \quad \quad \textcircled{2} \quad \frac{1}{2}  \quad \quad \quad \textcircled{3} \quad \frac{3}{4}  \quad \quad \quad \textcircled{4} \quad 1  \quad \quad \quad \textcircled{5}\quad \dfrac{5}{4} }


19. Το σημείο H είναι το ίχνος της ορθογώνιας προβολής του της κορυφής A στην έδρα BCD του τετραέδρου ABCD. Εξάλλου το σημείο H είναι εσωτερικό του τριγώνου BCD, που είναι ισόπλευρο με μήκος πλευράς 12. Το εμβαδόν του τριγώνου CDH είναι τρεις φορές μεγαλύτερο του τριγώνου BCH και του τριγώνου  DBH δυο φορές μεγαλύτερο του τριγώνου BCH, AH=3. Έστω M το μέσο της ακμής BD και Q το ίχνος της καθέτου από την κορυφή A προς την CM. Ποιό είναι το μήκος του τμήματος AQ ; [4 μόρια]
korean_2019b_19.png
korean_2019b_19.png (43.88 KiB) Προβλήθηκε 1930 φορές
\displaystyle{\textcircled{1} \quad \sqrt{11} \quad \quad \quad \textcircled{2} \quad 2\sqrt{3}  \quad \quad \quad \textcircled{3} \quad \sqrt{13}  \quad \quad \quad \textcircled{4} \quad \sqrt{14}  \quad \quad \quad \textcircled{5}\quad \sqrt{15} }


20. Έστω a_{n} η ακολουθία των τετμημένων, κατά αύξουσα σειρά, των σημείων επαφής των εφαπτομένων t, που άγονται από το σημείο \displaystyle{\left ( -\frac{\pi}{2}, 0\right )} προς την συνάρτηση y=\sin x  \quad (x> 0). Για όλους τους φυσικούς αριθμούς (μη μηδενικούς) ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθής;

\quad a) \displaystyle{ \tan a_{n} = a_{n}+\frac{\pi}{2}}

\quad b) \displaystyle{\tan a_{n+2} - \tan a_{n} > 2 \pi}

\quad c) \displaystyle{ a_{n+1} +a_{n+2} > a_{n}+a_{n+3}}

\displaystyle{\textcircled{1} \quad a \quad \quad \quad \textcircled{2} \quad a,b  \quad \quad \quad \textcircled{3} \quad a,c  \quad \quad \quad \textcircled{4} \quad b,c  \quad \quad \quad \textcircled{5}\quad a,b,c }

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [11-20]

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιουν 17, 2019 4:46 pm
από exdx
Al.Koutsouridis έγραψε:
Δευ Ιουν 17, 2019 1:55 pm

16. Η συνεχής συνάρτηση f(x) που ορίζεται για x>0, για όλα τα θετικά x ικανοποιεί την σχέση

\displaystyle 2f(x)+\dfrac{1}{x^2} f\left ( \dfrac{1}{x} \right)= \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}. Ποια είναι η τιμή του ολοκληρώματος \displaystyle \int\limits_{\frac{1}{2}}^{2} f(x)dx; [4 μόρια]

\displaystyle{\textcircled{1} \quad \frac{\ln 2}{3}+\frac{1}{2} \quad \quad \quad \textcircled{2} \quad \frac{2 \ln 2}{3}+\frac{1}{2}  \quad \quad \quad \textcircled{3} \quad \frac{\ln 2}{3}+1 \quad \quad \quad \textcircled{4} \quad \frac{2 \ln 2}{3}+1  \quad \quad \quad \textcircled{5}\quad \frac{2 \ln 2}{3}+\frac{3}{2} }

\displaystyle \begin{gathered} 
  \int\limits_{1/2}^2 {\left[ {2f(x) + \frac{1}{{{x^2}}}f\left( {\frac{1}{x}} \right)} \right]} \,\,dx = \int\limits_{1/2}^2 {\left[ {\frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right]} \,\,dx \Leftrightarrow \int\limits_{1/2}^2 {\left[ {2f(x)dx} \right]} \,\, - \int\limits_{1/2}^2 {\left[ { - \frac{1}{{{x^2}}}f\left( {\frac{1}{x}} \right)} \right]} \,\,dx = \left[ {\ln |x| - \frac{1}{x}} \right]_{1/2}^2 \Leftrightarrow  \hfill \\ 
   \hfill \\ 
   \Leftrightarrow \int\limits_{1/2}^2 {\left[ {2f(x)dx} \right]} \,\, - \int\limits_2^{1/2} {\left[ {f\left( u \right)} \right]} \,\,du = \left[ {\ln |x| - \frac{1}{x}} \right]_{1/2}^2 \Leftrightarrow 3\int\limits_{1/2}^2 {\left[ {f(x)} \right]} \,\,dx = 2\ln 2 + \frac{3}{2} \Leftrightarrow \int\limits_{1/2}^2 {\left[ {f(x)} \right]} \,\,dx = \frac{{2\ln 2}}{3} + \frac{1}{2} \hfill \\  
\end{gathered}

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [11-20]

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιουν 17, 2019 5:48 pm
από Mihalis_Lambrou
Al.Koutsouridis έγραψε:
Δευ Ιουν 17, 2019 1:55 pm

16. Η συνεχής συνάρτηση f(x) που ορίζεται για x>0, για όλα τα θετικά x ικανοποιεί την σχέση

\displaystyle 2f(x)+\dfrac{1}{x^2} f\left ( \dfrac{1}{x} \right)= \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}. Ποια είναι η τιμή του ολοκληρώματος \displaystyle \int\limits_{\frac{1}{2}}^{2} f(x)dx; [4 μόρια]

\displaystyle{\textcircled{1} \quad \frac{\ln 2}{3}+\frac{1}{2} \quad \quad \quad \textcircled{2} \quad \frac{2 \ln 2}{3}+\frac{1}{2}  \quad \quad \quad \textcircled{3} \quad \frac{\ln 2}{3}+1 \quad \quad \quad \textcircled{4} \quad \frac{2 \ln 2}{3}+1  \quad \quad \quad \textcircled{5}\quad \frac{2 \ln 2}{3}+\frac{3}{2} }
Μπορούμε και καλύτερα, με την έννοια ότι μπορούμε να βρούμε χωρίς κόπο την ίδια την f.

Από την \displaystyle 2f(x)+\dfrac{1}{x^2} f\left ( \dfrac{1}{x} \right)= \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2} με  \dfrac{1}{x} στην θέση του x έχουμε

\displaystyle 2f\left ( \dfrac{1}{x} \right)+x^2 f\left ( x \right)= x+x^2.

Λύνοντας το σύστημα των δύο εξισώσεων ως προς f(x) και f\left ( \dfrac{1}{x} \right) θα βρούμε (άμεσο) f(x) =  \dfrac{1}{3x} +  \dfrac{2}{3x^2} -  \dfrac{1}{x}. Και λοιπά.

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [11-20]

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιουν 17, 2019 9:30 pm
από exdx
Al.Koutsouridis έγραψε:
Δευ Ιουν 17, 2019 1:55 pm


18. Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος είναι, AB=1, \displaystyle \angle B = \frac{\pi}{2} . Έστω D το σημείο τομής της διχοτόμου της γωνίας C με την πλευρά AB και E το σημείο τομής του κύκλου κέντρου A και ακτίνας AD με την πλευρά AC. Έστω S(\theta) το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ADE συναρτήσει του μέτρου της γωνίας \angle A= \theta και T(\theta) το εμβαδόν του τριγώνου BCE. Με τι ισούται το όριο \displaystyle \lim\limits_{\theta \to 0^{+}} \dfrac{ \left \{ \left. S(\theta) \right \} \right.^{2} }{T(\theta)}; [4 μόρια]
korean_2019b_18.png

\displaystyle{\textcircled{1} \quad \frac{1}{4} \quad \quad \quad \textcircled{2} \quad \frac{1}{2}  \quad \quad \quad \textcircled{3} \quad \frac{3}{4}  \quad \quad \quad \textcircled{4} \quad 1  \quad \quad \quad \textcircled{5}\quad \dfrac{5}{4} }

Το θέμα είναι καλό και αξίζει μια αναλυτική λύση αλλά αν έδινα εξετάσεις και εφόσον είναι ερώτηση πολλαπλής επιλογής χωρίς να απαιτείται αναλυτική τεκμηρίωση , θα σκεφτόμουν πονηρά :
Για μικρές τιμές της γωνίας η κατάσταση είναι όπως στο σχήμα :
Untitled.png
Untitled.png (7.71 KiB) Προβλήθηκε 1792 φορές

Επομένως το ζητούμενο όριο προσεγγίζεται από το
\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\frac{{{x^2}{{(1 - x)}^2}}}{4}}}{{\frac{{{x^2}}}{2}}} = \frac{1}{2}


..... και η αναλυτική λύση...
Untitled.png
Untitled.png (16.71 KiB) Προβλήθηκε 1762 φορές
Από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου :
\displaystyle \frac{DA}{DB}=\frac{CA}{CB}\Rightarrow \frac{x}{1-x}=\frac{\frac{1}{\cos \theta }}{\tan \theta }=\frac{1}{\sin \theta }\Rightarrow \frac{1-x}{x}=\sin \theta \Rightarrow \frac{1}{x}=1+\sin \theta \Rightarrow x=\frac{1}{1+\sin \theta }
Είναι : \displaystyle S(\theta )=(A\overset\frown{ED})=\frac{\theta {{x}^{2}}}{2}=\frac{\theta }{2{{(1+\sin \theta )}^{2}}}
και
\displaystyle \begin{gathered} 
  T(\theta ) = (CEB) = \frac{{CE \cdot CB \cdot \sin (\frac{\pi }{2} - \theta )}}{2} = \frac{{CE \cdot CB \cdot \cos \theta }}{2} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{\cos \theta }} - \frac{1}{{1 + \sin \theta }}} \right)\tan \theta \cos \theta  =  \hfill \\ 
   \hfill \\ 
   = \frac{{(1 + \sin \theta  - \cos \theta )}}{{2\cos \theta (1 + \sin \theta )}}\tan \theta \cos \theta  = \frac{{(1 + \sin \theta  - \cos \theta )}}{{2(1 + \sin \theta )}}\tan \theta  \hfill \\  
\end{gathered}
Τότε:
\displaystyle \begin{gathered} 
  \mathop {\lim }\limits_{\theta  \to {0^ + }} \frac{{{{\left[ {S(\theta )} \right]}^2}}}{{T(\theta )}} = \mathop {\lim }\limits_{\theta  \to {0^ + }} \frac{{{{\left[ {\frac{\theta }{{2{{(1 + \sin \theta )}^2}}}} \right]}^2}}}{{\frac{{(1 + \sin \theta  - \cos \theta )}}{{2(1 + \sin \theta )}}\tan \theta }} = \mathop {\lim }\limits_{\theta  \to {0^ + }} \frac{{2{\theta ^2}(1 + \sin \theta )}}{{4{{(1 + \sin \theta )}^4}(1 + \sin \theta  - \cos \theta )\tan \theta }} =  \hfill \\ 
   \hfill \\ 
   = \mathop {\lim }\limits_{\theta  \to {0^ + }} \frac{1}{{2{{(1 + \sin \theta )}^3}\left[ {\frac{{1 + \sin \theta  - \cos \theta }}{\theta }} \right]\frac{{\tan \theta }}{\theta }}} = ... = \frac{1}{2} \hfill \\  
\end{gathered}

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [11-20]

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιουν 18, 2019 12:14 am
από exdx
Al.Koutsouridis έγραψε:
Δευ Ιουν 17, 2019 1:55 pm


14. Η γραφική παράσταση του δευτεροβάθμιου τριωνύμου \displaystyle{y=f(x)} και της ευθείας \displaystyle{y=g(x)} φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.
korean_2019b_14.png
Ποιο είναι το άθροισμα των φυσικών αριθμών που ικανοποιούν την ανίσωση

\displaystyle \left ( \dfrac{1}{2} \right )^{f(x)g(x)} \geq \left (\dfrac{1}{8} \right )^{g(x)} ; [4 μόρια]

\displaystyle{\textcircled{1} \quad 7 \quad \quad \quad \textcircled{2} \quad 9  \quad \quad \quad \textcircled{3} \quad 11  \quad \quad \quad \textcircled{4} \quad 13 \quad \quad \quad \textcircled{5}\quad 15 }
\displaystyle \begin{gathered} 
  {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{f(x)g(x)}} \geqslant {\left( {\frac{1}{8}} \right)^{g(x)}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{({x^2} - 6x + 8)\frac{{3(x - 3)}}{2}}} \geqslant {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{9(x - 3)}}{2}}} \Leftrightarrow ({x^2} - 6x + 8)\frac{{3(x - 3)}}{2} \geqslant \frac{{9(x - 3)}}{2} \Leftrightarrow  \hfill \\ 
   \hfill \\ 
   \Leftrightarrow (x - 3)[({x^2} - 6x + 8) - 3] \geqslant 0 \Leftrightarrow (x - 3)[{x^2} - 6x + 5] \leqslant 0 \Leftrightarrow x \leqslant 1 \hfill \\  
\end{gathered}
ή \displaystyle x \in [3,5] .
Άρα \displaystyle 1 + 3 + 4 + 5 = 13

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [11-20]

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιουν 22, 2019 3:43 pm
από xarabalios
12.Με πόσους τρόπους τέσσερις μαθητές A, B, C, D μπορούν να μοιραστούν 8 ίδιες σοκολάτες, σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες; [3 μόρια]
a) Κάθε μαθητής λαμβάνει τουλάχιστον μια σοκολάτα.
b) Ο μαθητής A λαμβάνει περισσότερες σοκολάτες από ότι ο μαθητής B.


Αρχικα θα αποδειξουμε οτι αν δυο θετικοι ακεραιοι αριθμοι x_{1} ,x_{2} εχουν αθροισμα n τοτε οι τροποι μοιρασμου του αθροισματος ειναι (n-1)..
Oι αριθμοι αυτοι παιρνουν τις τιμες 1,2,3,4....,(n-2),(n-1)
Οποτε για:
\left.\begin{matrix} 
x_{1} =1 \Rightarrow x_{2}=(n-1)\\  
x_{1} =2 \Rightarrow x_{2}=(n-2)\\  
x_{1} =3 \Rightarrow x_{2}=(n-3)\\  
...\\ 
...\\ 
...\\ 
x_{1} =(n-2) \Rightarrow x_{2}=2\\ 
x_{1} =(n-1) \Rightarrow x_{2}=1\\ 
\end{matrix}\right\} 
(n-1) τοποι μοιρασμου του αθροισματος

__________________________________________

Εαν τωρα υποθεσουμε οτι οι μαθητες A,B,C,D παιρνουν απο α,β,γ,δ σοκολατες αντιστοιχα τοτε εχουμε τους τεσσερις αυτους θετικους φυσικους αριθμους για τους οποιους ισχυει οτι
\beta ,\gamma ,\delta \geq 1 ,
\alpha \geq (\beta +1) ,
\alpha +\beta +\gamma +\delta =8


Εαν \beta \geq 3 \Rightarrow \alpha \geq 4 \Rightarrow \alpha +\beta \geq 7 \Rightarrow \gamma +\delta \leq 1 ΑΤΟΠΟ
Αρα \beta =1 ή \beta =2

Για \beta =1 με
 \rightarrow \alpha =2\Rightarrow \gamma +\delta =5 υπαρχουν 4 τροποι μοιρασμου των σοκολατων
 \rightarrow \alpha =3\Rightarrow \gamma +\delta =4 υπαρχουν 3 τροποι μοιρασμου των σοκολατων
 \rightarrow \alpha =4\Rightarrow \gamma +\delta =3 υπαρχουν 2 τροποι μοιρασμου των σοκολατων
 \rightarrow \alpha =5\Rightarrow \gamma +\delta =2 υπαρχει 1 τροπος μοιρασμου των σοκολατων
\rightarrow \alpha \geq 6 \Rightarrow \gamma +\delta \leq 1 ΑΤΟΠΟ

Για \beta =2 με
 \rightarrow \alpha =3\Rightarrow \gamma +\delta =3 υπαρχουν 2 τροποι μοιρασμου των σοκολατων
 \rightarrow \alpha =4\Rightarrow \gamma +\delta =2 υπαρχουν 1 τροποι μοιρασμου των σοκολατων
 \rightarrow \alpha \geq 5\Rightarrow \gamma +\delta \leq 1 ΑΤΟΠΟ

ΑΡΑ ΣΥΝΟΛΙΚΑ ΥΠΑΡΧΟΥΝ 4+3+2+1 + 2+1 = 13 ΤΡΟΠΟΙ ΜΟΙΡΑΣΜΟΥ ΤΩΝ ΣΟΚΟΛΑΤΩΝ,ΒΑΣΙΖΟΜΕΝΟΙ ΣΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΠΑΡΑΠΑΝΩ

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [11-20]

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιουν 22, 2019 6:33 pm
από rek2
Al.Koutsouridis έγραψε:
Δευ Ιουν 17, 2019 1:55 pm
Τα θέματα 11 έως 20 (τύπου B, "κατεύθυνσης") των Κορεατικών εισαγωγικών εξετάσεων στα μαθηματικά για το έτος 2019. Σε αγκύλες είναι τα μόρια (στο σύνολο 100) Τα πρώτα δέκα μπορούν να βρεθούν εδώ. Μερικά είναι αρκετά λεκτικά και ήταν επίπονη η μετάφραση, ζητώ την κατανόηση για τυχόν λάθη.


11. Για \displaystyle{ 0 \leq\theta < 2\pi}, το εύρος των τιμών του \theta για τις οποίες η δευτεροβάθμια εξίσωση \displaystyle{6x^2 +(4\cos \theta) x +\sin \theta =0} δεν έχει λύσεις, είναι a < \theta < b. Ποιά είναι η τιμή της έκφρασης \displaystyle{3a+b}; [3 μόρια]

\displaystyle{\textcircled{1} \quad \frac{5}{6}\pi \quad \quad \quad \textcircled{2} \quad \pi  \quad \quad \quad \textcircled{3} \quad \frac{7}{6}\pi  \quad \quad \quad \textcircled{4} \quad \frac{4}{3} \pi  \quad \quad \quad \textcircled{5}\quad \dfrac{3}{2} \pi }


12. Με πόσους τρόπους τέσσερις μαθητές A, B, C, D μπορούν να μοιραστούν 8 ίδιες σοκολάτες, σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες; [3 μόρια]
\quad a) Κάθε μαθητής λαμβάνει τουλάχιστον μια σοκολάτα.
\quad b) Ο μαθητής A λαμβάνει περισσότερες σοκολάτες από ότι ο μαθητής B.

\displaystyle{\textcircled{1} \quad 11 \quad \quad \quad \textcircled{2} \quad 13  \quad \quad \quad \textcircled{3} \quad 15  \quad \quad \quad \textcircled{4} \quad 17 \quad \quad \quad \textcircled{5}\quad 19 }


13. Ποιά είναι η x-συντεταγμένη του σημείου, όπου το επίπεδο που περιέχει την ευθεία x-1=2-y=\dfrac{z+1}{2} και διέρχεται από το σημείο \displaystyle{\left ( 2,0,5\right )} στο καρτεσιανό χώρο, τέμνει τον άξονα των x; [3 μόρια]

\displaystyle{\textcircled{1} \quad \frac{9}{2} \quad \quad \quad \textcircled{2} \quad 4  \quad \quad \quad \textcircled{3} \quad \frac{7}{2}  \quad \quad \quad \textcircled{4} \quad 3  \quad \quad \quad \textcircled{5}\quad \dfrac{5}{2} }


14. Η γραφική παράσταση του δευτεροβάθμιου τριωνύμου \displaystyle{y=f(x)} και της ευθείας \displaystyle{y=g(x)} φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.
korean_2019b_14.png
Ποιο είναι το άθροισμα των φυσικών αριθμών που ικανοποιούν την ανίσωση

\displaystyle \left ( \dfrac{1}{2} \right )^{f(x)g(x)} \geq \left (\dfrac{1}{8} \right )^{g(x)} ; [4 μόρια]

\displaystyle{\textcircled{1} \quad 7 \quad \quad \quad \textcircled{2} \quad 9  \quad \quad \quad \textcircled{3} \quad 11  \quad \quad \quad \textcircled{4} \quad 13 \quad \quad \quad \textcircled{5}\quad 15 }


15. Ο χρόνος μετακίνησης στην δουλειά των εργαζομένων μιας εταιρίας ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή 66,4 λεπτά και τυπική απόκλιση 15 λεπτά. Μια μέρα το 40 \% των εργαζόμενων που έκανε τουλάχιστον 73 λεπτά για να φτάσει στην εταιρία και το 20 \% των εργαζόμενων που έκανε για να φτάσει στη εταιρία λιγότερο από 73 λεπτά, χρησιμοποίησαν το μετρό. Οι υπόλοιποι άλλα μέσα. Ποια είναι η πιθανότητα ένας εργαζόμενος την συγκεκριμένη μέρα να χρησιμοποιήσε το μετρό; (Δίνεται ότι, αν η τυχαία μεταβλητή Z ακολουθεί την τυποποιημένη κανονική κατανομή, τότε \displaystyle{P \left (0 \leq Z \leq 0,44 \right ) =0,17} ) [4 μόρια]

\displaystyle{\textcircled{1} \quad 0,306 \quad \quad \quad \textcircled{2} \quad 0,296  \quad \quad \quad \textcircled{3} \quad 0,286  \quad \quad \quad \textcircled{4} \quad 0,276 \quad \quad \quad \textcircled{5}\quad 0,266 }


16. Η συνεχής συνάρτηση f(x) που ορίζεται για x>0, για όλα τα θετικά x ικανοποιεί την σχέση

\displaystyle 2f(x)+\dfrac{1}{x^2} f\left ( \dfrac{1}{x} \right)= \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}. Ποια είναι η τιμή του ολοκληρώματος \displaystyle \int\limits_{\frac{1}{2}}^{2} f(x)dx; [4 μόρια]

\displaystyle{\textcircled{1} \quad \frac{\ln 2}{3}+\frac{1}{2} \quad \quad \quad \textcircled{2} \quad \frac{2 \ln 2}{3}+\frac{1}{2}  \quad \quad \quad \textcircled{3} \quad \frac{\ln 2}{3}+1 \quad \quad \quad \textcircled{4} \quad \frac{2 \ln 2}{3}+1  \quad \quad \quad \textcircled{5}\quad \frac{2 \ln 2}{3}+\frac{3}{2} }


17. Τα ακόλουθα είναι η διαδικασία για να βρούμε το πλήθος των συναστήσεων f των οποίων η σύνθεση f \circ f έχει σύνολο τιμών με 5 στοιχεία. Για το σύνολο \displaystyle{ X = \{ 1,2,3,4,5,6 \}} και την συνάρτηση \displaystyle{f:X \mapsto X}.

Έστω A και B τα σύνολα τιμών των συνασρτήσεων f και f \circ f αντίστοιχα. Αν n(A)=6, τότε η συνάρτηση f είναι ένα προς ένα, οπότε και η f \circ f θα είναι ένα προς ένα, άρα n(B)=6. Αν n(A) \leq 4, τότε είναι B \subset A, οπότε n(B) \leq 4. Επομένως μπορούμε ναθεωρήσουμε μόνο την περίπτωση n(A)=5, δηλαδή B=A.

\quad i) Ο αριθμός των τρόπων (διαδικασία) που μπορούμε να διαλέξουμε ένα υποσύνολο A του X με n(A)=5, έστω ότι είναι (a).

\quad ii) Για το σύνολο A που έχει επιλεγεί στην (i), ας είναι k το στοιχείο του X που δεν ανήκει στο A. Εφόσον n(A)=5, ο αριθμός των τρόπων (διαδικασιών) που μπορούμε να διαλέξουμε το f(k) από το A ας είναι (b) .

\quad iii) Για το \displaystyle{ A = \{ a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5} \}} που έχει επιλεγθεί στο (i) και το f(k) που έχει επιλεγθεί στο (ii), είναι f(k) \in A και  A=B, οπότε \displaystyle{A = \{ f(a_{1}) , f(a_{2}), f(a_{3}), f(a_{4}), f(a_{5}) \}} ... (*). Η (*) είναι ίση με τον αριθμό των ένα προς ένα αντισοιχίσεων από το A στο A, έστω (c) αυτοί οι τρόποι (διαδικασίες).

Οπότε ο αριθμός των συναστήσεων που προέκυψαν από τις (i), (ii), (iii) είναι (a) \times (b) \times (c). Αν οι αριθμοί που αντιστοιχούν στα (a) , (b) , (c) είναι p,q,r αντίστοιχα, ποιά είναι η τιμή του p+q+r; [4 μόρια]

\displaystyle{\textcircled{1} \quad 131 \quad \quad \quad \textcircled{2} \quad 136  \quad \quad \quad \textcircled{3} \quad 141  \quad \quad \quad \textcircled{4} \quad 146 \quad \quad \quad \textcircled{5}\quad 151 }


18. Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος είναι, AB=1, \displaystyle \angle B = \frac{\pi}{2} . Έστω D το σημείο τομής της διχοτόμου της γωνίας C με την πλευρά AB και E το σημείο τομής του κύκλου κέντρου A και ακτίνας AD με την πλευρά AC. Έστω S(\theta) το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ADE συναρτήσει του μέτρου της γωνίας \angle A= \theta και T(\theta) το εμβαδόν του τριγώνου BCE. Με τι ισούται το όριο \displaystyle \lim\limits_{\theta \to 0^{+}} \dfrac{ \left \{ \left. S(\theta) \right \} \right.^{2} }{T(\theta)}; [4 μόρια]
korean_2019b_18.png

\displaystyle{\textcircled{1} \quad \frac{1}{4} \quad \quad \quad \textcircled{2} \quad \frac{1}{2}  \quad \quad \quad \textcircled{3} \quad \frac{3}{4}  \quad \quad \quad \textcircled{4} \quad 1  \quad \quad \quad \textcircled{5}\quad \dfrac{5}{4} }


19. Το σημείο H είναι το ίχνος της ορθογώνιας προβολής του της κορυφής A στην έδρα BCD του τετραέδρου ABCD. Εξάλλου το σημείο H είναι εσωτερικό του τριγώνου BCD, που είναι ισόπλευρο με μήκος πλευράς 12. Το εμβαδόν του τριγώνου CDH είναι τρεις φορές μεγαλύτερο του τριγώνου BCH και του τριγώνου  DBH δυο φορές μεγαλύτερο του τριγώνου BCH, ΑΗ=3. Έστω M το μέσο της ακμής BD και Q το ίχνος της καθέτου από την κορυφή A προς την CM. Ποιό είναι το μήκος του τμήματος AQ ; [4 μόρια]
korean_2019b_19.png

\displaystyle{\textcircled{1} \quad \sqrt{11} \quad \quad \quad \textcircled{2} \quad 2\sqrt{3}  \quad \quad \quad \textcircled{3} \quad \sqrt{13}  \quad \quad \quad \textcircled{4} \quad \sqrt{14}  \quad \quad \quad \textcircled{5}\quad \sqrt{15} }


20. Έστω a_{n} η ακολουθία των τετμημένων, κατά αύξουσα σειρά, των σημείων επαφής των εφαπτομένων t, που άγονται από το σημείο \displaystyle{\left ( -\frac{\pi}{2}, 0\right )} προς την συνάρτηση y=\sin x  \quad (x> 0). Για όλους τους φυσικούς αριθμούς (μη μηδενικούς) ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθής;

\quad a) \displaystyle{ \tan a_{n} = a_{n}+\frac{\pi}{2}}

\quad b) \displaystyle{\tan a_{n+2} - \tan a_{n} > 2 \pi}

\quad c) \displaystyle{ a_{n+1} +a_{n+2} > a_{n}+a_{n+3}}

\displaystyle{\textcircled{1} \quad a \quad \quad \quad \textcircled{2} \quad a,b  \quad \quad \quad \textcircled{3} \quad a,c  \quad \quad \quad \textcircled{4} \quad b,c  \quad \quad \quad \textcircled{5}\quad a,b,c }
Στο 19 μάλλον ο Αλέξανδρος ήθελε να γράψει ΑΗ=3, οπότε η απάντηση είναι το
 \quad \quad \textcircled{3} \quad \sqrt{13}  \quad

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [11-20]

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιουν 22, 2019 7:28 pm
από Al.Koutsouridis
rek2 έγραψε:
Σάβ Ιουν 22, 2019 6:33 pm

Στο 19 μάλλον ο Αλέξανδρος ήθελε να γράψει ΑΗ=3, οπότε η απάντηση είναι το
 \quad \quad \textcircled{3} \quad \sqrt{13}  \quad
Σωστά! Το έγραψα δηλαδή, αλλά στα ελληνικά και δεν εμφανιζόταν στην \LaTeX.

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [11-20]

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιουν 22, 2019 9:53 pm
από Al.Koutsouridis
έγραψε:
Δευ Ιουν 17, 2019 1:55 pm

19. Το σημείο H είναι το ίχνος της ορθογώνιας προβολής του της κορυφής A στην έδρα BCD του τετραέδρου ABCD. Εξάλλου το σημείο H είναι εσωτερικό του τριγώνου BCD, που είναι ισόπλευρο με μήκος πλευράς 12. Το εμβαδόν του τριγώνου CDH είναι τρεις φορές μεγαλύτερο του τριγώνου BCH και του τριγώνου  DBH δυο φορές μεγαλύτερο του τριγώνου BCH, AH=3. Έστω M το μέσο της ακμής BD και Q το ίχνος της καθέτου από την κορυφή A προς την CM. Ποιό είναι το μήκος του τμήματος AQ ; [4 μόρια]
korean_2019b_19.png

\displaystyle{\textcircled{1} \quad \sqrt{11} \quad \quad \quad \textcircled{2} \quad 2\sqrt{3}  \quad \quad \quad \textcircled{3} \quad \sqrt{13}  \quad \quad \quad \textcircled{4} \quad \sqrt{14}  \quad \quad \quad \textcircled{5}\quad \sqrt{15} }

Επειδή ποτέ δε ξες πότε θα σου χρειαστεί ο Καραθεοδωρή :D . Από το θεώρημα Καραθεοδωρή στο τρίγωνο BCD και το σημείο H, όπου C=(0,0) , B=(12,0), D=(6, 3\sqrt{12}), H=(x,y) έχουμε

S_{HBC} \cdot \overrightarrow{HD} +S_{HBD} \cdot \overrightarrow{HC} +S_{CHD} \cdot \overrightarrow{HB} =0

Επειδή S_{HBC}=\dfrac{1}{2} S_{BCD} , S_{HBD}=\dfrac{1}{6} S_{BCD},  S_{CHD}=\dfrac{1}{3} S_{BCD} η σχέση γράφεται

3 \cdot \overrightarrow{HD} +\overrightarrow{HC} + 2 \cdot \overrightarrow{HB} =0 \Rightarrow

\displaystyle{3(6-x) +(12-x) +2 \cdot (-x)  =0} και 3 \cdot (3 \sqrt{12}-y) + (-y) +2 \cdot (-y) =0 \Rightarrow  (x,y) = (5, 3 \sqrt{3}).

Το διάνυσμα  \overrightarrow{CQ} είναι παράλληλο με το \overrightarrow{CM} και για κάποιο t θα γράφεται \overrightarrow{CQ} =(\sqrt{3}t,t,0) και το διάνυσμα  \overrightarrow{AQ} είναι, \overrightarrow{AQ} = (\sqrt{3}t-5, t-3\sqrt{3}, -3).

Έχουμε όμως \overrightarrow{CQ}  \perp  \overrightarrow{AQ}  \Rightarrow \overrightarrow{CQ}  \cdot  \overrightarrow{AQ} =0 \Rightarrow \sqrt{3}t (\sqrt{3}t-5)+t ( t-3\sqrt{3}) +0 =0 \Rightarrow t=2\sqrt{3}.

Οπότε \displaystyle{| \overrightarrow{AQ} | = \sqrt{(\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}-5)^2 + (2\sqrt{3}-3\sqrt{3})^2+(-3)^2} = \sqrt{1+3+9}=\sqrt{13}}


Edit: Να σημειώσω, ότι η παραπάνω διαδικασία είναι λίγο πιο γενική από οτι χρειάζεται το πρόβλημα και μπορεί να εφαρμοστεί και σε σκαληνό τρίγωνο. Για την ειδική περίπτωση του ισόπλευρου τριγώνου με την δεδομένη αναλογία εμβαδών μπορούμε εύκολα να δούμε, ότι το σημείο H ανήκει στην μεσοπαράλληλο του τριγώνου. Έτσι ο υπολογισμός της απόστασης του H από την ευθεία CM απλουστεύται.

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [11-20]

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιουν 23, 2019 8:03 am
από rek2
Al.Koutsouridis έγραψε:
Δευ Ιουν 17, 2019 1:55 pm



13. Ποιά είναι η x-συντεταγμένη του σημείου, όπου το επίπεδο που περιέχει την ευθεία x-1=2-y=\dfrac{z+1}{2} και διέρχεται από το σημείο \displaystyle{\left ( 2,0,5\right )} στο καρτεσιανό χώρο, τέμνει τον άξονα των x; [3 μόρια]

Το σημείο (2, 0, 5) ανήκει στο xz επίπεδο. Η δοσμένη ευθεία ( για y=0) τέμνει το xz επίπεδο στο σημείο (3, 0, 3).
Η ευθεία του xz επιπέδου που ορίζεται από τα δύο παραπάνω σημεία έχει εξίσωση (απλό)
2x+z-9=0=y. Τέμνει τον άξονα των χ στο σημείο με χ=9/2.
Σωστή απάντηση το 1.

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [11-20]

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιουν 24, 2019 9:54 pm
από rek2
Al.Koutsouridis έγραψε:
Δευ Ιουν 17, 2019 1:55 pm


20. Έστω a_{n} η ακολουθία των τετμημένων, κατά αύξουσα σειρά, των σημείων επαφής των εφαπτομένων t, που άγονται από το σημείο \displaystyle{\left ( -\frac{\pi}{2}, 0\right )} προς την συνάρτηση y=\sin x  \quad (x> 0). Για όλους τους φυσικούς αριθμούς (μη μηδενικούς) ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθής;

\quad a) \displaystyle{ \tan a_{n} = a_{n}+\frac{\pi}{2}}

\quad \displaystyle{\tan a_{n+2} - \tan a_{n} > 2 \pi}

\quad c) \displaystyle{ a_{n+1} +a_{n+2} > a_{n}+a_{n+3}}

\displaystyle{\textcircled{1} \quad a \quad \quad \quad \textcircled{2} \quad a,b  \quad \quad \quad \textcircled{3} \quad a,c  \quad \quad \quad \textcircled{4} \quad b,c  \quad \quad \quad \textcircled{5}\quad a,b,c }
Ότι τα α και β είναι σωστά προκύπτει απλά.

Για το τρίτο, η ακολουθία \quad c) \displaystyle{ a_{n+1}- a_{n}} είναι φθίνουσα αλλά θέλω πειστικό επιχείρημα. Δεν γνωρίζω ποια εργαλεία επιτρέπονται. :-)

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [11-20]

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιουν 25, 2019 10:19 pm
από Al.Koutsouridis
rek2 έγραψε:
Δευ Ιουν 24, 2019 9:54 pm
Al.Koutsouridis έγραψε:
Δευ Ιουν 17, 2019 1:55 pm


20. Έστω a_{n} η ακολουθία των τετμημένων, κατά αύξουσα σειρά, των σημείων επαφής των εφαπτομένων t, που άγονται από το σημείο \displaystyle{\left ( -\frac{\pi}{2}, 0\right )} προς την συνάρτηση y=\sin x  \quad (x> 0). Για όλους τους φυσικούς αριθμούς (μη μηδενικούς) ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθής;

\quad a) \displaystyle{ \tan a_{n} = a_{n}+\frac{\pi}{2}}

\quad \displaystyle{\tan a_{n+2} - \tan a_{n} > 2 \pi}

\quad c) \displaystyle{ a_{n+1} +a_{n+2} > a_{n}+a_{n+3}}

\displaystyle{\textcircled{1} \quad a \quad \quad \quad \textcircled{2} \quad a,b  \quad \quad \quad \textcircled{3} \quad a,c  \quad \quad \quad \textcircled{4} \quad b,c  \quad \quad \quad \textcircled{5}\quad a,b,c }
Ότι τα α και β είναι σωστά προκύπτει απλά.

Για το τρίτο, η ακολουθία \quad c) \displaystyle{ a_{n+1}- a_{n}} είναι φθίνουσα αλλά θέλω πειστικό επιχείρημα. Δεν γνωρίζω ποια εργαλεία επιτρέπονται. :-)

Θεωρούμε τις συναρτήσεις f(x)=\tan x και g(x)=\dfrac{\pi}{2}+x . Έστω A_{1}, A_{2}, \ldots η ακολουθία των σημείων τομής τους. Οι τετμημένες αυτών των σημείων δίνουν την ακολουθία a_{1}, a_{2}, \dots.

Έστω B_{1}, B_{2}, \dots η ακολουθία των σημείων τομής των παραλλήλων από τα σημεία A_{1},A_{2}, \dots αντίστοιχα προς τον άξονα των x, με τον πρώτο εκ δεξιά κλάδο της εφαπτομένης.

Έστω C_{1}, C_{2}, \dots η ακολουθία των σημείων τομής των ευθειών A_{n}B_{n} με τις καθέτους προς τον άξονα x από τα σημεία A_{n+1}.

korean_2019b_20.png
korean_2019b_20.png (36.6 KiB) Προβλήθηκε 1386 φορές

Εξετάζουμε τρια διαδοχικά σημεία A_{n}, A_{n+1}, A_{n+2} . Τότε θα έχουμε

a_{n+1}-a_{n}= A_{n}C_{n} = \pi +B_{n}C_{n}

a_{n+2}-a_{n+1}= A_{n+1}C_{n+1} = \pi +B_{n+1}C_{n+1} (1)

Μελετάμε την μονοτονία της παραγώγου της f(x). Έχουμε f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{\cos^2 x} \Rightarrow f^{\prime \prime}(x)=2 \tan x \cdot \dfrac{1}{\cos^2 x}. Παρατηρούμε, ότι όπου η εφαπτομένη είναι θετική θα είναι  f^{\prime \prime}(x) > 0. Άρα η παράγωγός της εφαπτομένης θα είναι γνησιώς αύξουσα στα διαστήματα που βρίσκονται τα σημεία τομής μας και η f(x) κυρτή. Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f(x) στο σημείο A_{n+1} θα τέμνει σε εσωτερικό σημείο το τμήμα B_{n}C_{n} και η εφαπτομένη στο σημείο B_{n+1}, που έχει την ίδια κλίση με αυτή του σημείου A_{n+1}, θα τέμνει σε εσωτερικό σημείο το τμήμα A_{n+2}C_{n+1}. Οπότε θα ισχύει

\dfrac{A_{n+1}C_{n} }{B_{n}C_{n}} < f^{\prime}(a_{n+1}) < \dfrac{A_{n+2}C_{n+1} }{B_{n+1}C_{n+1}} (2)


Επειδή τα τρίγωνα A_{n}C_{n}A_{n+1} είναι ορθογώνια και ισοσκελή, θα ισχύει

A_{n+1}C_{n}=A_{n}B_{n}+B_{n}C_{n}= \pi +B_{n}C_{n}

A_{n+2}C_{n+1}=A_{n+1}B_{n+1}+B_{n+1}C_{n+1}= \pi +B_{n+1}C_{n+1}

Οπότε η σχέση (2) γίνεται

 \dfrac{\pi +B_{n}C_{n} }{B_{n}C_{n}} < \dfrac{\pi +B_{n+1}C_{n+1} }{B_{n+1}C_{n+1}}  \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{B_{n}C_{n}} < \dfrac{\pi  }{B_{n+1}C_{n+1}}  \Leftrightarrow B_{n}C_{n} > B_{n+1}C_{n+1}

Από την τελευταία ανίσωση και τις σχέσεις (1) προκύπτει, ότι

a_{n+1}-a_{n} > a_{n+2}-a_{n+1}

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [11-20]

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιουν 29, 2019 12:56 am
από Ανδρέας Πούλος
Απάντηση στο ερώτημα:
12. Με πόσους τρόπους τέσσερις μαθητές A, B, C, D μπορούν να μοιραστούν 8 ίδιες σοκολάτες, σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες; [3 μόρια]
\quad a) Κάθε μαθητής λαμβάνει τουλάχιστον μια σοκολάτα.
\quad b) Ο μαθητής A λαμβάνει περισσότερες σοκολάτες από ότι ο μαθητής B.
Πρόκειται για το ισοδύναμό πρόβλημα του πλήθους των θετικών ακέραιων λύσεων της εξίσωσης
x{1}+x{2}+x{3}+x{4}=8 που δίνεται από τον τύπο \binom{7}{3}=35.
Πρέπει όμως να αφαιρέσουμε τις περιπτώσεις που οι μαθητές Α και Β μοιράζονται ίσο αριθμό από σοκολάτες.
Αυτός ο υπολογισμός είναι απλός λόγω του μικρού αριθμού των περιπτώσεων. Πρόκειται για 9 περιπτώσεις.
Άρα, από τις 35 περιπτώσεις αφαιρούμε τις 9 και μένουν 26 περιπτώσεις.
Σε αυτές τις μισές φορές ο Α θα έχει πιο πολλές σοκολάτες και στις άλλες μισές θα έχει λιγότερες σοκολάτες από τον Β.
Άρα, η σωστή απάντηση είναι 26:2 = 13 περιπτώσεις.