Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [11-20]
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [11-20]
Τα θέματα 11 έως 20 (τύπου B, "κατεύθυνσης") των Κορεατικών εισαγωγικών εξετάσεων στα μαθηματικά για το έτος 2019. Σε αγκύλες είναι τα μόρια (στο σύνολο ) Τα πρώτα δέκα μπορούν να βρεθούν εδώ. Μερικά είναι αρκετά λεκτικά και ήταν επίπονη η μετάφραση, ζητώ την κατανόηση για τυχόν λάθη.
11. Για , το εύρος των τιμών του για τις οποίες η δευτεροβάθμια εξίσωση δεν έχει λύσεις, είναι . Ποιά είναι η τιμή της έκφρασης ; [3 μόρια]
12. Με πόσους τρόπους τέσσερις μαθητές μπορούν να μοιραστούν ίδιες σοκολάτες, σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες; [3 μόρια]
a) Κάθε μαθητής λαμβάνει τουλάχιστον μια σοκολάτα.
b) Ο μαθητής λαμβάνει περισσότερες σοκολάτες από ότι ο μαθητής .
13. Ποιά είναι η -συντεταγμένη του σημείου, όπου το επίπεδο που περιέχει την ευθεία και διέρχεται από το σημείο στο καρτεσιανό χώρο, τέμνει τον άξονα των ; [3 μόρια]
14. Η γραφική παράσταση του δευτεροβάθμιου τριωνύμου και της ευθείας φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Ποιο είναι το άθροισμα των φυσικών αριθμών που ικανοποιούν την ανίσωση
; [4 μόρια]
15. Ο χρόνος μετακίνησης στην δουλειά των εργαζομένων μιας εταιρίας ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή λεπτά και τυπική απόκλιση λεπτά. Μια μέρα το των εργαζόμενων που έκανε τουλάχιστον λεπτά για να φτάσει στην εταιρία και το των εργαζόμενων που έκανε για να φτάσει στη εταιρία λιγότερο από λεπτά, χρησιμοποίησαν το μετρό. Οι υπόλοιποι άλλα μέσα. Ποια είναι η πιθανότητα ένας εργαζόμενος την συγκεκριμένη μέρα να χρησιμοποιήσε το μετρό; (Δίνεται ότι, αν η τυχαία μεταβλητή ακολουθεί την τυποποιημένη κανονική κατανομή, τότε ) [4 μόρια]
16. Η συνεχής συνάρτηση που ορίζεται για , για όλα τα θετικά ικανοποιεί την σχέση
. Ποια είναι η τιμή του ολοκληρώματος ; [4 μόρια]
17. Τα ακόλουθα είναι η διαδικασία για να βρούμε το πλήθος των συναστήσεων των οποίων η σύνθεση έχει σύνολο τιμών με στοιχεία. Για το σύνολο και την συνάρτηση .
Έστω και τα σύνολα τιμών των συνασρτήσεων και αντίστοιχα. Αν , τότε η συνάρτηση είναι ένα προς ένα, οπότε και η θα είναι ένα προς ένα, άρα . Αν , τότε είναι , οπότε . Επομένως μπορούμε ναθεωρήσουμε μόνο την περίπτωση , δηλαδή .
i) Ο αριθμός των τρόπων (διαδικασία) που μπορούμε να διαλέξουμε ένα υποσύνολο του με , έστω ότι είναι .
ii) Για το σύνολο που έχει επιλεγεί στην (i), ας είναι το στοιχείο του που δεν ανήκει στο . Εφόσον , ο αριθμός των τρόπων (διαδικασιών) που μπορούμε να διαλέξουμε το από το ας είναι .
iii) Για το που έχει επιλεγθεί στο (i) και το που έχει επιλεγθεί στο (ii), είναι και , οπότε ... (*). Η (*) είναι ίση με τον αριθμό των ένα προς ένα αντισοιχίσεων από το στο , έστω αυτοί οι τρόποι (διαδικασίες).
Οπότε ο αριθμός των συναστήσεων που προέκυψαν από τις (i), (ii), (iii) είναι . Αν οι αριθμοί που αντιστοιχούν στα είναι αντίστοιχα, ποιά είναι η τιμή του ; [4 μόρια]
18. Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος είναι, , . Έστω το σημείο τομής της διχοτόμου της γωνίας με την πλευρά και το σημείο τομής του κύκλου κέντρου και ακτίνας με την πλευρά . Έστω το εμβαδόν του κυκλικού τομέα συναρτήσει του μέτρου της γωνίας και το εμβαδόν του τριγώνου . Με τι ισούται το όριο ; [4 μόρια]
19. Το σημείο είναι το ίχνος της ορθογώνιας προβολής του της κορυφής στην έδρα του τετραέδρου . Εξάλλου το σημείο είναι εσωτερικό του τριγώνου , που είναι ισόπλευρο με μήκος πλευράς . Το εμβαδόν του τριγώνου είναι τρεις φορές μεγαλύτερο του τριγώνου και του τριγώνου δυο φορές μεγαλύτερο του τριγώνου , . Έστω το μέσο της ακμής και το ίχνος της καθέτου από την κορυφή προς την . Ποιό είναι το μήκος του τμήματος ; [4 μόρια]
20. Έστω η ακολουθία των τετμημένων, κατά αύξουσα σειρά, των σημείων επαφής των εφαπτομένων , που άγονται από το σημείο προς την συνάρτηση . Για όλους τους φυσικούς αριθμούς (μη μηδενικούς) ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθής;
a)
b)
c)
11. Για , το εύρος των τιμών του για τις οποίες η δευτεροβάθμια εξίσωση δεν έχει λύσεις, είναι . Ποιά είναι η τιμή της έκφρασης ; [3 μόρια]
12. Με πόσους τρόπους τέσσερις μαθητές μπορούν να μοιραστούν ίδιες σοκολάτες, σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες; [3 μόρια]
a) Κάθε μαθητής λαμβάνει τουλάχιστον μια σοκολάτα.
b) Ο μαθητής λαμβάνει περισσότερες σοκολάτες από ότι ο μαθητής .
13. Ποιά είναι η -συντεταγμένη του σημείου, όπου το επίπεδο που περιέχει την ευθεία και διέρχεται από το σημείο στο καρτεσιανό χώρο, τέμνει τον άξονα των ; [3 μόρια]
14. Η γραφική παράσταση του δευτεροβάθμιου τριωνύμου και της ευθείας φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Ποιο είναι το άθροισμα των φυσικών αριθμών που ικανοποιούν την ανίσωση
; [4 μόρια]
15. Ο χρόνος μετακίνησης στην δουλειά των εργαζομένων μιας εταιρίας ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή λεπτά και τυπική απόκλιση λεπτά. Μια μέρα το των εργαζόμενων που έκανε τουλάχιστον λεπτά για να φτάσει στην εταιρία και το των εργαζόμενων που έκανε για να φτάσει στη εταιρία λιγότερο από λεπτά, χρησιμοποίησαν το μετρό. Οι υπόλοιποι άλλα μέσα. Ποια είναι η πιθανότητα ένας εργαζόμενος την συγκεκριμένη μέρα να χρησιμοποιήσε το μετρό; (Δίνεται ότι, αν η τυχαία μεταβλητή ακολουθεί την τυποποιημένη κανονική κατανομή, τότε ) [4 μόρια]
16. Η συνεχής συνάρτηση που ορίζεται για , για όλα τα θετικά ικανοποιεί την σχέση
. Ποια είναι η τιμή του ολοκληρώματος ; [4 μόρια]
17. Τα ακόλουθα είναι η διαδικασία για να βρούμε το πλήθος των συναστήσεων των οποίων η σύνθεση έχει σύνολο τιμών με στοιχεία. Για το σύνολο και την συνάρτηση .
Έστω και τα σύνολα τιμών των συνασρτήσεων και αντίστοιχα. Αν , τότε η συνάρτηση είναι ένα προς ένα, οπότε και η θα είναι ένα προς ένα, άρα . Αν , τότε είναι , οπότε . Επομένως μπορούμε ναθεωρήσουμε μόνο την περίπτωση , δηλαδή .
i) Ο αριθμός των τρόπων (διαδικασία) που μπορούμε να διαλέξουμε ένα υποσύνολο του με , έστω ότι είναι .
ii) Για το σύνολο που έχει επιλεγεί στην (i), ας είναι το στοιχείο του που δεν ανήκει στο . Εφόσον , ο αριθμός των τρόπων (διαδικασιών) που μπορούμε να διαλέξουμε το από το ας είναι .
iii) Για το που έχει επιλεγθεί στο (i) και το που έχει επιλεγθεί στο (ii), είναι και , οπότε ... (*). Η (*) είναι ίση με τον αριθμό των ένα προς ένα αντισοιχίσεων από το στο , έστω αυτοί οι τρόποι (διαδικασίες).
Οπότε ο αριθμός των συναστήσεων που προέκυψαν από τις (i), (ii), (iii) είναι . Αν οι αριθμοί που αντιστοιχούν στα είναι αντίστοιχα, ποιά είναι η τιμή του ; [4 μόρια]
18. Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος είναι, , . Έστω το σημείο τομής της διχοτόμου της γωνίας με την πλευρά και το σημείο τομής του κύκλου κέντρου και ακτίνας με την πλευρά . Έστω το εμβαδόν του κυκλικού τομέα συναρτήσει του μέτρου της γωνίας και το εμβαδόν του τριγώνου . Με τι ισούται το όριο ; [4 μόρια]
19. Το σημείο είναι το ίχνος της ορθογώνιας προβολής του της κορυφής στην έδρα του τετραέδρου . Εξάλλου το σημείο είναι εσωτερικό του τριγώνου , που είναι ισόπλευρο με μήκος πλευράς . Το εμβαδόν του τριγώνου είναι τρεις φορές μεγαλύτερο του τριγώνου και του τριγώνου δυο φορές μεγαλύτερο του τριγώνου , . Έστω το μέσο της ακμής και το ίχνος της καθέτου από την κορυφή προς την . Ποιό είναι το μήκος του τμήματος ; [4 μόρια]
20. Έστω η ακολουθία των τετμημένων, κατά αύξουσα σειρά, των σημείων επαφής των εφαπτομένων , που άγονται από το σημείο προς την συνάρτηση . Για όλους τους φυσικούς αριθμούς (μη μηδενικούς) ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθής;
a)
b)
c)
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Σάβ Ιουν 22, 2019 6:37 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1733
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [11-20]
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Δευ Ιουν 17, 2019 1:55 pm
16. Η συνεχής συνάρτηση που ορίζεται για , για όλα τα θετικά ικανοποιεί την σχέση
. Ποια είναι η τιμή του ολοκληρώματος ; [4 μόρια]
Kαλαθάκης Γιώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [11-20]
Μπορούμε και καλύτερα, με την έννοια ότι μπορούμε να βρούμε χωρίς κόπο την ίδια την .Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Δευ Ιουν 17, 2019 1:55 pm
16. Η συνεχής συνάρτηση που ορίζεται για , για όλα τα θετικά ικανοποιεί την σχέση
. Ποια είναι η τιμή του ολοκληρώματος ; [4 μόρια]
Από την με στην θέση του έχουμε
.
Λύνοντας το σύστημα των δύο εξισώσεων ως προς και θα βρούμε (άμεσο) . Και λοιπά.
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1733
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [11-20]
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Δευ Ιουν 17, 2019 1:55 pm
18. Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος είναι, , . Έστω το σημείο τομής της διχοτόμου της γωνίας με την πλευρά και το σημείο τομής του κύκλου κέντρου και ακτίνας με την πλευρά . Έστω το εμβαδόν του κυκλικού τομέα συναρτήσει του μέτρου της γωνίας και το εμβαδόν του τριγώνου . Με τι ισούται το όριο ; [4 μόρια]
korean_2019b_18.png
Το θέμα είναι καλό και αξίζει μια αναλυτική λύση αλλά αν έδινα εξετάσεις και εφόσον είναι ερώτηση πολλαπλής επιλογής χωρίς να απαιτείται αναλυτική τεκμηρίωση , θα σκεφτόμουν πονηρά :
Για μικρές τιμές της γωνίας η κατάσταση είναι όπως στο σχήμα :
Επομένως το ζητούμενο όριο προσεγγίζεται από το
..... και η αναλυτική λύση... Από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου :
Είναι :
και
Τότε:
Kαλαθάκης Γιώργης
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1733
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [11-20]
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Δευ Ιουν 17, 2019 1:55 pm
14. Η γραφική παράσταση του δευτεροβάθμιου τριωνύμου και της ευθείας φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.
korean_2019b_14.png
Ποιο είναι το άθροισμα των φυσικών αριθμών που ικανοποιούν την ανίσωση
; [4 μόρια]
ή .
Άρα
Kαλαθάκης Γιώργης
-
- Δημοσιεύσεις: 1
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 22, 2019 2:09 pm
Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [11-20]
12.Με πόσους τρόπους τέσσερις μαθητές A, B, C, D μπορούν να μοιραστούν 8 ίδιες σοκολάτες, σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες; [3 μόρια]
a) Κάθε μαθητής λαμβάνει τουλάχιστον μια σοκολάτα.
b) Ο μαθητής A λαμβάνει περισσότερες σοκολάτες από ότι ο μαθητής B.
Αρχικα θα αποδειξουμε οτι αν δυο θετικοι ακεραιοι αριθμοι εχουν αθροισμα n τοτε οι τροποι μοιρασμου του αθροισματος ειναι (n-1)..
Oι αριθμοι αυτοι παιρνουν τις τιμες 1,2,3,4....,(n-2),(n-1)
Οποτε για:
τοποι μοιρασμου του αθροισματος
__________________________________________
Εαν τωρα υποθεσουμε οτι οι μαθητες A,B,C,D παιρνουν απο α,β,γ,δ σοκολατες αντιστοιχα τοτε εχουμε τους τεσσερις αυτους θετικους φυσικους αριθμους για τους οποιους ισχυει οτι
,
,
Εαν ΑΤΟΠΟ
Αρα ή
Για με
υπαρχουν 4 τροποι μοιρασμου των σοκολατων
υπαρχουν 3 τροποι μοιρασμου των σοκολατων
υπαρχουν 2 τροποι μοιρασμου των σοκολατων
υπαρχει 1 τροπος μοιρασμου των σοκολατων
ΑΤΟΠΟ
Για με
υπαρχουν 2 τροποι μοιρασμου των σοκολατων
υπαρχουν 1 τροποι μοιρασμου των σοκολατων
ΑΤΟΠΟ
ΑΡΑ ΣΥΝΟΛΙΚΑ ΥΠΑΡΧΟΥΝ 4+3+2+1 + 2+1 = 13 ΤΡΟΠΟΙ ΜΟΙΡΑΣΜΟΥ ΤΩΝ ΣΟΚΟΛΑΤΩΝ,ΒΑΣΙΖΟΜΕΝΟΙ ΣΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΠΑΡΑΠΑΝΩ
Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [11-20]
Στο 19 μάλλον ο Αλέξανδρος ήθελε να γράψει ΑΗ=3, οπότε η απάντηση είναι τοAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Δευ Ιουν 17, 2019 1:55 pmΤα θέματα 11 έως 20 (τύπου B, "κατεύθυνσης") των Κορεατικών εισαγωγικών εξετάσεων στα μαθηματικά για το έτος 2019. Σε αγκύλες είναι τα μόρια (στο σύνολο ) Τα πρώτα δέκα μπορούν να βρεθούν εδώ. Μερικά είναι αρκετά λεκτικά και ήταν επίπονη η μετάφραση, ζητώ την κατανόηση για τυχόν λάθη.
11. Για , το εύρος των τιμών του για τις οποίες η δευτεροβάθμια εξίσωση δεν έχει λύσεις, είναι . Ποιά είναι η τιμή της έκφρασης ; [3 μόρια]
12. Με πόσους τρόπους τέσσερις μαθητές μπορούν να μοιραστούν ίδιες σοκολάτες, σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες; [3 μόρια]
a) Κάθε μαθητής λαμβάνει τουλάχιστον μια σοκολάτα.
b) Ο μαθητής λαμβάνει περισσότερες σοκολάτες από ότι ο μαθητής .
13. Ποιά είναι η -συντεταγμένη του σημείου, όπου το επίπεδο που περιέχει την ευθεία και διέρχεται από το σημείο στο καρτεσιανό χώρο, τέμνει τον άξονα των ; [3 μόρια]
14. Η γραφική παράσταση του δευτεροβάθμιου τριωνύμου και της ευθείας φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.
korean_2019b_14.png
Ποιο είναι το άθροισμα των φυσικών αριθμών που ικανοποιούν την ανίσωση
; [4 μόρια]
15. Ο χρόνος μετακίνησης στην δουλειά των εργαζομένων μιας εταιρίας ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή λεπτά και τυπική απόκλιση λεπτά. Μια μέρα το των εργαζόμενων που έκανε τουλάχιστον λεπτά για να φτάσει στην εταιρία και το των εργαζόμενων που έκανε για να φτάσει στη εταιρία λιγότερο από λεπτά, χρησιμοποίησαν το μετρό. Οι υπόλοιποι άλλα μέσα. Ποια είναι η πιθανότητα ένας εργαζόμενος την συγκεκριμένη μέρα να χρησιμοποιήσε το μετρό; (Δίνεται ότι, αν η τυχαία μεταβλητή ακολουθεί την τυποποιημένη κανονική κατανομή, τότε ) [4 μόρια]
16. Η συνεχής συνάρτηση που ορίζεται για , για όλα τα θετικά ικανοποιεί την σχέση
. Ποια είναι η τιμή του ολοκληρώματος ; [4 μόρια]
17. Τα ακόλουθα είναι η διαδικασία για να βρούμε το πλήθος των συναστήσεων των οποίων η σύνθεση έχει σύνολο τιμών με στοιχεία. Για το σύνολο και την συνάρτηση .
Έστω και τα σύνολα τιμών των συνασρτήσεων και αντίστοιχα. Αν , τότε η συνάρτηση είναι ένα προς ένα, οπότε και η θα είναι ένα προς ένα, άρα . Αν , τότε είναι , οπότε . Επομένως μπορούμε ναθεωρήσουμε μόνο την περίπτωση , δηλαδή .
i) Ο αριθμός των τρόπων (διαδικασία) που μπορούμε να διαλέξουμε ένα υποσύνολο του με , έστω ότι είναι .
ii) Για το σύνολο που έχει επιλεγεί στην (i), ας είναι το στοιχείο του που δεν ανήκει στο . Εφόσον , ο αριθμός των τρόπων (διαδικασιών) που μπορούμε να διαλέξουμε το από το ας είναι .
iii) Για το που έχει επιλεγθεί στο (i) και το που έχει επιλεγθεί στο (ii), είναι και , οπότε ... (*). Η (*) είναι ίση με τον αριθμό των ένα προς ένα αντισοιχίσεων από το στο , έστω αυτοί οι τρόποι (διαδικασίες).
Οπότε ο αριθμός των συναστήσεων που προέκυψαν από τις (i), (ii), (iii) είναι . Αν οι αριθμοί που αντιστοιχούν στα είναι αντίστοιχα, ποιά είναι η τιμή του ; [4 μόρια]
18. Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος είναι, , . Έστω το σημείο τομής της διχοτόμου της γωνίας με την πλευρά και το σημείο τομής του κύκλου κέντρου και ακτίνας με την πλευρά . Έστω το εμβαδόν του κυκλικού τομέα συναρτήσει του μέτρου της γωνίας και το εμβαδόν του τριγώνου . Με τι ισούται το όριο ; [4 μόρια]
korean_2019b_18.png
19. Το σημείο είναι το ίχνος της ορθογώνιας προβολής του της κορυφής στην έδρα του τετραέδρου . Εξάλλου το σημείο είναι εσωτερικό του τριγώνου , που είναι ισόπλευρο με μήκος πλευράς . Το εμβαδόν του τριγώνου είναι τρεις φορές μεγαλύτερο του τριγώνου και του τριγώνου δυο φορές μεγαλύτερο του τριγώνου , . Έστω το μέσο της ακμής και το ίχνος της καθέτου από την κορυφή προς την . Ποιό είναι το μήκος του τμήματος ; [4 μόρια]
korean_2019b_19.png
20. Έστω η ακολουθία των τετμημένων, κατά αύξουσα σειρά, των σημείων επαφής των εφαπτομένων , που άγονται από το σημείο προς την συνάρτηση . Για όλους τους φυσικούς αριθμούς (μη μηδενικούς) ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθής;
a)
b)
c)
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [11-20]
Σωστά! Το έγραψα δηλαδή, αλλά στα ελληνικά και δεν εμφανιζόταν στην .
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [11-20]
έγραψε: ↑Δευ Ιουν 17, 2019 1:55 pm
19. Το σημείο είναι το ίχνος της ορθογώνιας προβολής του της κορυφής στην έδρα του τετραέδρου . Εξάλλου το σημείο είναι εσωτερικό του τριγώνου , που είναι ισόπλευρο με μήκος πλευράς . Το εμβαδόν του τριγώνου είναι τρεις φορές μεγαλύτερο του τριγώνου και του τριγώνου δυο φορές μεγαλύτερο του τριγώνου , . Έστω το μέσο της ακμής και το ίχνος της καθέτου από την κορυφή προς την . Ποιό είναι το μήκος του τμήματος ; [4 μόρια]
korean_2019b_19.png
Επειδή ποτέ δε ξες πότε θα σου χρειαστεί ο Καραθεοδωρή . Από το θεώρημα Καραθεοδωρή στο τρίγωνο και το σημείο , όπου έχουμε
Επειδή , , η σχέση γράφεται
και .
Το διάνυσμα είναι παράλληλο με το και για κάποιο θα γράφεται και το διάνυσμα είναι, .
Έχουμε όμως .
Οπότε
Edit: Να σημειώσω, ότι η παραπάνω διαδικασία είναι λίγο πιο γενική από οτι χρειάζεται το πρόβλημα και μπορεί να εφαρμοστεί και σε σκαληνό τρίγωνο. Για την ειδική περίπτωση του ισόπλευρου τριγώνου με την δεδομένη αναλογία εμβαδών μπορούμε εύκολα να δούμε, ότι το σημείο ανήκει στην μεσοπαράλληλο του τριγώνου. Έτσι ο υπολογισμός της απόστασης του από την ευθεία απλουστεύται.
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Δευ Ιούλ 01, 2019 10:25 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [11-20]
Το σημείο (2, 0, 5) ανήκει στο xz επίπεδο. Η δοσμένη ευθεία ( για y=0) τέμνει το xz επίπεδο στο σημείο (3, 0, 3).Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Δευ Ιουν 17, 2019 1:55 pm
13. Ποιά είναι η -συντεταγμένη του σημείου, όπου το επίπεδο που περιέχει την ευθεία και διέρχεται από το σημείο στο καρτεσιανό χώρο, τέμνει τον άξονα των ; [3 μόρια]
Η ευθεία του xz επιπέδου που ορίζεται από τα δύο παραπάνω σημεία έχει εξίσωση (απλό)
2x+z-9=0=y. Τέμνει τον άξονα των χ στο σημείο με χ=9/2.
Σωστή απάντηση το 1.
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [11-20]
Ότι τα α και β είναι σωστά προκύπτει απλά.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Δευ Ιουν 17, 2019 1:55 pm
20. Έστω η ακολουθία των τετμημένων, κατά αύξουσα σειρά, των σημείων επαφής των εφαπτομένων , που άγονται από το σημείο προς την συνάρτηση . Για όλους τους φυσικούς αριθμούς (μη μηδενικούς) ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθής;
a)
c)
Για το τρίτο, η ακολουθία c) είναι φθίνουσα αλλά θέλω πειστικό επιχείρημα. Δεν γνωρίζω ποια εργαλεία επιτρέπονται.
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [11-20]
rek2 έγραψε: ↑Δευ Ιουν 24, 2019 9:54 pmΌτι τα α και β είναι σωστά προκύπτει απλά.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Δευ Ιουν 17, 2019 1:55 pm
20. Έστω η ακολουθία των τετμημένων, κατά αύξουσα σειρά, των σημείων επαφής των εφαπτομένων , που άγονται από το σημείο προς την συνάρτηση . Για όλους τους φυσικούς αριθμούς (μη μηδενικούς) ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθής;
a)
c)
Για το τρίτο, η ακολουθία c) είναι φθίνουσα αλλά θέλω πειστικό επιχείρημα. Δεν γνωρίζω ποια εργαλεία επιτρέπονται.
Θεωρούμε τις συναρτήσεις και . Έστω η ακολουθία των σημείων τομής τους. Οι τετμημένες αυτών των σημείων δίνουν την ακολουθία .
Έστω η ακολουθία των σημείων τομής των παραλλήλων από τα σημεία αντίστοιχα προς τον άξονα των , με τον πρώτο εκ δεξιά κλάδο της εφαπτομένης.
Έστω η ακολουθία των σημείων τομής των ευθειών με τις καθέτους προς τον άξονα από τα σημεία .
Εξετάζουμε τρια διαδοχικά σημεία . Τότε θα έχουμε
(1)
Μελετάμε την μονοτονία της παραγώγου της . Έχουμε . Παρατηρούμε, ότι όπου η εφαπτομένη είναι θετική θα είναι . Άρα η παράγωγός της εφαπτομένης θα είναι γνησιώς αύξουσα στα διαστήματα που βρίσκονται τα σημεία τομής μας και η κυρτή. Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο θα τέμνει σε εσωτερικό σημείο το τμήμα και η εφαπτομένη στο σημείο , που έχει την ίδια κλίση με αυτή του σημείου , θα τέμνει σε εσωτερικό σημείο το τμήμα . Οπότε θα ισχύει
(2)
Επειδή τα τρίγωνα είναι ορθογώνια και ισοσκελή, θα ισχύει
Οπότε η σχέση (2) γίνεται
Από την τελευταία ανίσωση και τις σχέσεις (1) προκύπτει, ότι
- Ανδρέας Πούλος
- Δημοσιεύσεις: 1494
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
- Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
- Επικοινωνία:
Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [11-20]
Απάντηση στο ερώτημα:
που δίνεται από τον τύπο .
Πρέπει όμως να αφαιρέσουμε τις περιπτώσεις που οι μαθητές Α και Β μοιράζονται ίσο αριθμό από σοκολάτες.
Αυτός ο υπολογισμός είναι απλός λόγω του μικρού αριθμού των περιπτώσεων. Πρόκειται για 9 περιπτώσεις.
Άρα, από τις 35 περιπτώσεις αφαιρούμε τις 9 και μένουν 26 περιπτώσεις.
Σε αυτές τις μισές φορές ο Α θα έχει πιο πολλές σοκολάτες και στις άλλες μισές θα έχει λιγότερες σοκολάτες από τον Β.
Άρα, η σωστή απάντηση είναι περιπτώσεις.
Πρόκειται για το ισοδύναμό πρόβλημα του πλήθους των θετικών ακέραιων λύσεων της εξίσωσης12. Με πόσους τρόπους τέσσερις μαθητές A, B, C, D μπορούν να μοιραστούν 8 ίδιες σοκολάτες, σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες; [3 μόρια]
\quad a) Κάθε μαθητής λαμβάνει τουλάχιστον μια σοκολάτα.
\quad b) Ο μαθητής A λαμβάνει περισσότερες σοκολάτες από ότι ο μαθητής B.
που δίνεται από τον τύπο .
Πρέπει όμως να αφαιρέσουμε τις περιπτώσεις που οι μαθητές Α και Β μοιράζονται ίσο αριθμό από σοκολάτες.
Αυτός ο υπολογισμός είναι απλός λόγω του μικρού αριθμού των περιπτώσεων. Πρόκειται για 9 περιπτώσεις.
Άρα, από τις 35 περιπτώσεις αφαιρούμε τις 9 και μένουν 26 περιπτώσεις.
Σε αυτές τις μισές φορές ο Α θα έχει πιο πολλές σοκολάτες και στις άλλες μισές θα έχει λιγότερες σοκολάτες από τον Β.
Άρα, η σωστή απάντηση είναι περιπτώσεις.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες