Τα θέματα 11 έως 20 (τύπου B, "κατεύθυνσης") των Κορεατικών εισαγωγικών εξετάσεων στα μαθηματικά για το έτος 2019. Σε αγκύλες είναι τα μόρια (στο σύνολο
) Τα πρώτα δέκα μπορούν να βρεθούν
εδώ. Μερικά είναι αρκετά λεκτικά και ήταν επίπονη η μετάφραση, ζητώ την κατανόηση για τυχόν λάθη.
11. Για

, το εύρος των τιμών του

για τις οποίες η δευτεροβάθμια εξίσωση

δεν έχει λύσεις, είναι

. Ποιά είναι η τιμή της έκφρασης

; [3 μόρια]
12. Με πόσους τρόπους τέσσερις μαθητές

μπορούν να μοιραστούν

ίδιες σοκολάτες, σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες; [3 μόρια]

a) Κάθε μαθητής λαμβάνει τουλάχιστον μια σοκολάτα.

b) Ο μαθητής

λαμβάνει περισσότερες σοκολάτες από ότι ο μαθητής

.
13. Ποιά είναι η

-συντεταγμένη του σημείου, όπου το επίπεδο που περιέχει την ευθεία

και διέρχεται από το σημείο

στο καρτεσιανό χώρο, τέμνει τον άξονα των

; [3 μόρια]
14. Η γραφική παράσταση του δευτεροβάθμιου τριωνύμου

και της ευθείας

φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.

- korean_2019b_14.png (69.57 KiB) Προβλήθηκε 1998 φορές
Ποιο είναι το άθροισμα των φυσικών αριθμών που ικανοποιούν την ανίσωση

; [4 μόρια]
15. Ο χρόνος μετακίνησης στην δουλειά των εργαζομένων μιας εταιρίας ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή

λεπτά και τυπική απόκλιση

λεπτά. Μια μέρα το

των εργαζόμενων που έκανε τουλάχιστον

λεπτά για να φτάσει στην εταιρία και το

των εργαζόμενων που έκανε για να φτάσει στη εταιρία λιγότερο από

λεπτά, χρησιμοποίησαν το μετρό. Οι υπόλοιποι άλλα μέσα. Ποια είναι η πιθανότητα ένας εργαζόμενος την συγκεκριμένη μέρα να χρησιμοποιήσε το μετρό; (Δίνεται ότι, αν η τυχαία μεταβλητή

ακολουθεί την τυποποιημένη κανονική κατανομή, τότε

) [4 μόρια]
16. Η συνεχής συνάρτηση

που ορίζεται για

, για όλα τα θετικά

ικανοποιεί την σχέση

. Ποια είναι η τιμή του ολοκληρώματος

; [4 μόρια]
17. Τα ακόλουθα είναι η διαδικασία για να βρούμε το πλήθος των συναστήσεων

των οποίων η σύνθεση

έχει σύνολο τιμών με

στοιχεία. Για το σύνολο

και την συνάρτηση

.
Έστω

και

τα σύνολα τιμών των συνασρτήσεων

και

αντίστοιχα. Αν

, τότε η συνάρτηση

είναι ένα προς ένα, οπότε και η

θα είναι ένα προς ένα, άρα

. Αν

, τότε είναι

, οπότε

. Επομένως μπορούμε ναθεωρήσουμε μόνο την περίπτωση

, δηλαδή

.

i) Ο αριθμός των τρόπων (διαδικασία) που μπορούμε να διαλέξουμε ένα υποσύνολο

του

με

, έστω ότι είναι

.

ii) Για το σύνολο

που έχει επιλεγεί στην (i), ας είναι

το στοιχείο του

που δεν ανήκει στο

. Εφόσον

, ο αριθμός των τρόπων (διαδικασιών) που μπορούμε να διαλέξουμε το

από το

ας είναι

.

iii) Για το

που έχει επιλεγθεί στο (i) και το

που έχει επιλεγθεί στο (ii), είναι

και

, οπότε

... (*). Η (*) είναι ίση με τον αριθμό των ένα προς ένα αντισοιχίσεων από το

στο

, έστω

αυτοί οι τρόποι (διαδικασίες).
Οπότε ο αριθμός των συναστήσεων που προέκυψαν από τις (i), (ii), (iii) είναι

. Αν οι αριθμοί που αντιστοιχούν στα

είναι

αντίστοιχα, ποιά είναι η τιμή του

; [4 μόρια]
18. Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος είναι,

,

. Έστω

το σημείο τομής της διχοτόμου της γωνίας

με την πλευρά

και

το σημείο τομής του κύκλου κέντρου

και ακτίνας

με την πλευρά

. Έστω

το εμβαδόν του κυκλικού τομέα

συναρτήσει του μέτρου της γωνίας

και

το εμβαδόν του τριγώνου

. Με τι ισούται το όριο

; [4 μόρια]

- korean_2019b_18.png (29.8 KiB) Προβλήθηκε 1998 φορές
19. Το σημείο

είναι το ίχνος της ορθογώνιας προβολής του της κορυφής

στην έδρα

του τετραέδρου

. Εξάλλου το σημείο

είναι εσωτερικό του τριγώνου

, που είναι ισόπλευρο με μήκος πλευράς

. Το εμβαδόν του τριγώνου

είναι τρεις φορές μεγαλύτερο του τριγώνου

και του τριγώνου

δυο φορές μεγαλύτερο του τριγώνου

,

. Έστω

το μέσο της ακμής

και

το ίχνος της καθέτου από την κορυφή

προς την

. Ποιό είναι το μήκος του τμήματος

; [4 μόρια]

- korean_2019b_19.png (43.88 KiB) Προβλήθηκε 1998 φορές
20. Έστω

η ακολουθία των τετμημένων, κατά αύξουσα σειρά, των σημείων επαφής των εφαπτομένων

, που άγονται από το σημείο

προς την συνάρτηση

. Για όλους τους φυσικούς αριθμούς (μη μηδενικούς) ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθής;

a)

b)

c)
